【附15套期末模擬卷】安徽省三校2019-2020學(xué)年高一年級下冊數(shù)學(xué)期末模擬試卷含解析

安徽省三校2019-2020學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合

題目要求的

1、函數(shù)y的一個對稱中心是（）

2乃

,0C.

3

2、△A3C中,/?=2,c=3,A=60°,則a=

A.B.百c.272D.3

3、在等腰梯形ABCD中,AB=2DC，點E是線段BC的中點，若=+則％+〃=（

)

5_511

B.C.一D.-

2424

一個等腰三角形繞著底邊上的高所在的直線旋轉(zhuǎn)180度所形成的幾何體是（）

A.兩個共底面的圓錐B.半圓錐C.圓錐D.圓柱

2*

5、已知函數(shù)/(x)=31nx-+CL-----x在區(qū)間（1,3）上有最大值，則實數(shù)。的取值范圍是（）

12

11_L11

A.一/B.C.2'T?5

6、在三棱錐P-ABC中，AC=2AB=2亞,BC=M，NAPC=90，平面平面PAC，

則三棱錐ABC外接球的表面積為（）

A.4萬B.5TCC.84D.10乃

7、不等式f+2x—3>0的解集為（)

A.(—3,1)B.(-°o,-3)(1,+oo)

C.(-1,3)D.(3,+00)

已知｛4｝為等差數(shù)列，其前〃項和為S“，若。3=6,S3=12,則公差d等于（）

5

A.B.-C.2D.3

3

9、等差數(shù)列｛““｝中，。3=2,。5=7,則%=（）

A.10B.20C.16D.12

2ex-',x<2/、

處設(shè)小)=|廄(2一)42'則/("2))=()

A.3B.2C.1D.0

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11、三棱錐A—3CD的各頂點都在球。的球面上，AB±BC,CD，平面ABC,8C=4,BD=5,

球。的表面積為169%,則4-3口)的表面積為.

12、數(shù)列｛%｝滿足下列條件：4=1,且對于任意正整數(shù)"，恒有％,,=%+〃，則火12=.

13、已知等差數(shù)列｛4｝滿足。2+%+%()+?！?18,則4+。9=.

14、設(shè)數(shù)列｛4｝(〃eN*)是等差數(shù)列，若的和的018是方程4/一8x+3=0的兩根，則數(shù)列｛q｝的前

2019項的和S2O19=

15、已知二面角。一/一力為60。，動點P、Q分別在面夕、￡內(nèi)，P到￡的距離為Q到a的距離為

2+，則P、Q兩點之間距離的最小值為.

16、程4*一2、一2=0的解為.

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、已知/(x)=2Gsirtxcosx+Zcos?》-1.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間：

7T

(2)已知xe0,y,求f(x)的值域

18、已知圓C經(jīng)過網(wǎng)一3,-3),。(2,2)兩點，且圓心C在x軸上.

⑴求圓C的方程；

⑵若直線/PQ,且/截y軸所得縱截距為5,求直線/截圓C所得線段A3的長度.

19、已知點A(0,2),8(0,g),點P為曲線C上任意一點且滿足1PAi=2|P8|

(1)求曲線。的方程；

(2)設(shè)曲線。與y軸交于M,N兩點，點H是曲線C上異于M,N的任意一點，直線用RNR分別交直

線/：y=3于點RG,試問y軸上是否存在一個定點S,使得5尸—56=0?若存在，求出點S的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由.

20、已知公差不為零的等差數(shù)列｛4｝中，生=3,且4M3,成等比數(shù)列.

(I)求數(shù)列｛《,｝的通項公式；

(D)令“=」一(〃eN*),求數(shù)列也｝的前〃項和S”.

anan+\

21、已知圓C經(jīng)過點E(0,4),F(5,5),且圓心在直線/：2x—7y+8=0上.

(1)求圓C的方程；

(2)過點2)的直線與圓C交于A,6兩點，問在直線)，=2上是否存在定點N,使得心.=N恒

成立？若存在，請求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合

題目要求的

1.A

【解析】

【分析】

令—2x+g=竺，得：尤=—"+二，即函數(shù)的對稱中心為［一與+3,o］,ZeZ,再求解即可.

62412I412；

【詳解】

._A_7Ckjc..k兀TC

解：令—2xH=解得：X=-----19

629412

If兀、(k兀?

即函數(shù)y=§tan［-2x+%J的對稱中心為［--—+—,0\,k&Z,

令4=0,即函數(shù)y=gtan(-2x+g］的一個對稱中心是(二

故選：A.

【點睛】

本題考查了正切函數(shù)的對稱中心，屬基礎(chǔ)題.

2.B

【解析】

試題分析：由余弦定理片=/+c?-2Z?ccosA=7=>a=J7,故選擇B

考點：余弦定理

【解析】

【分析】

利用平面向量的幾何運算，將AE用AB和AD表示，根據(jù)平面向量基本定理得入，N的值，即可求解.

【詳解】

取AB的中點F,連CF,則四邊形AFCD是平行四邊形，所以CF//AD,且CF=AD

因為AE=AB+BE=AB+!BC=AB+L(FC—FB)=AB+L(AD-'AB]=3AB+LAD,

22212)412

131,,5

424

故選B.

【點睛】

本題主要考查了平面向量的基本定理的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)平面向量的基本定理，將AE用AB和AD

進(jìn)行表示，求得4〃的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.C

【解析】

【分析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的知識，結(jié)合等腰三角形的幾何特征，得出正確的選項.

【詳解】

由于等腰三角形三線合一，故等腰三角形繞著底邊上的高所在的直線旋轉(zhuǎn)180度所形成的幾何體是圓錐.

故選C.

【點睛】

本小題主要考查旋轉(zhuǎn)體的知識，考查等腰三角形的幾何特征，屬于基礎(chǔ)題.

5.B

【解析】

3131

因為尸(x)=一一2x+a——,所以由題設(shè)廣(x)=一—2x+a一一在(1,3)只有一個零點且單調(diào)遞減，則問

x2x2

’1八

[/(1)>0。+萬>°111

題轉(zhuǎn)化為〈[二八，即,,=>--<?<—,應(yīng)選答案B.

/⑶<011n22

I八/a------<0

I2

/(1)>0

點睛：解答本題的關(guān)鍵是如何借助題設(shè)條件建立不等式組八，這是解答本題的難點，也是解答好

1/(3)<0

本題的突破口，如何通過解不等式使得問題巧妙獲解.

6.

【解析】

【分析】

結(jié)合題意，結(jié)合直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，得到兩個直角三角形，取斜邊的一半，即為外接球的半徑,

結(jié)合球表面積計算公式，計算，即可.

【詳解】

過P點作結(jié)合平面ABC，平面PAC可知，PN平面ABC,故

PN1AB,結(jié)合A8LAC可知，AB_L平面PAC,所以ABLPC,結(jié)合

所以PCJ_平面PA8,所以NCP8=90°，故該外接球的半徑等于四=巫，所以球的表面積為

22

S=4;TR2=4萬=10乃,故選D.

【點睛】

考查了平面與平面垂直的性質(zhì)，考查了直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，難度偏難.

7.B

【解析】

【分析】

把不等式左邊的二次三項式因式分解后求出二次不等式對應(yīng)方程的兩根，結(jié)合二次函數(shù)的圖象可得二次不

等式的解集.

【詳解】

由f+2x-3>0,得(xT)(x+3)>0,解得x<-3或x>l.

所以原不等式的解為(-8,-3)口(1,+8),

故選：B.

【點睛】

本題考查一元二次不等式的解法，求出二次方程的根結(jié)合二次函數(shù)的圖象可得解集，屬于基礎(chǔ)題.

8.C

【解析】

【詳解】

由題意可得S3=3%=12,4=4,又%=6,

所以〃-。2=2,故選C.

【點睛】

本題考查兩個常見變形公式52?_,=(2〃-l)a“和d=組口.

n-m

9.D

【解析】

【分析】

【詳解】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知第五項減去第三項等于公差的2倍，由。5=%+5得到2d等于5,然后再根據(jù)等

差數(shù)列的性質(zhì)得到第七項等于第五項加上公差的2倍，把生的值和2d的值代入即可求出火的值,即可知

。7=%+2d=7+5=12，故選D.

10.B

【解析】

【分析】

先求內(nèi)層函數(shù)/(2),將所求值代入分段函數(shù)再次求解即可

【詳解】

2

/(2)=log3(2-l)=log,3=l,則/(〃2))=/(l)=2xe°=2

故選：B

【點睛】

本題考查分段函數(shù)具體函數(shù)值的求法，屬于基礎(chǔ)題

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11.60+6而’

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可證得而CD_LC4,所以球心。為的中點.由球。的表面積為169萬，即可

求出">=13,繼而得出AC,AB的值，求出三棱錐A-的表面積.

【詳解】

D

O

如圖所示：*\

B

VABLBC,CO,平面ABC,又CQ_LC4,故球心。為AO的中點.

13

???球。的表面積為169%=47/?2,???/?=彳，即有AD=13.

2

?*-AB=V132-52=12,AC=V132-32=4jl0-

:.SzAlROCv=—xl2x4=24,nDUSARD=—X12X5=30,

S=—x3x4\/10=6^10,S=—x3x4=6.

ACn22Bcn

故A—3C￡)的表面積為S=24+30+6^+6=60+6所.

故答案為：60+6V10.

【點睛】

本題主要考查三棱錐的表面積的求法，球的表面積公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和數(shù)學(xué)運算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.512

【解析】

【分析】

直接由%=4+鹿，可得%12=%6+256=。256+2*=q28+128+2**=428+2,+2**=,這樣推下去

,再帶入等比數(shù)列的求和公式即可求得結(jié)論。

【詳解】

4“=%+〃

??。512="256+256

=”256+2'

=

6tI.Z?o+128+2*

=+2，+2*

=?1+1+21+22++28

=512

故選C。

【點睛】

利用遞推式的特點，反復(fù)帶入遞推式進(jìn)行計算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出結(jié)果，本題是一道中等難度題目。

13.9

【解析】

【分析】

利用等差數(shù)列下標(biāo)性質(zhì)求解即可

【詳解】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，=。3+%0=%+。9，則2(4+。9)=18.所以4+。9=9.

故答案為：9

【點睛】

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題

14.2019

【解析】

【分析】

根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出4+々018=2，再利用等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)得到

4+4019=4+。2018，然后利用等差數(shù)列求和公式可得出答案.

【詳解】

由二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得%+。刈8=2,

由等差數(shù)列的性質(zhì)得出4+他”9=4+。2018=2,

因此，等差數(shù)列｛《,｝的前2019項的和為S20l9=2019(3+4019)=2019x2=2019,

故答案為2019.

【點睛】

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)與等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，涉及二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于等

差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中等題.

15.2百

【解析】

【分析】

【詳解】

如圖

分別作Q4_LQ于A,AC11于C,以社。于B,PDH于D,

連CQ,BD則NACQ=4PDB=60°,/Q=2瓜5=瓜、

.-.AC=PD=2

又：PQ=y/AQ2+AP2=^12+AP2>2v/3

當(dāng)且僅當(dāng)4P=0,

即點A與點P重合時取最小值.

故答案選C.

【點睛】

16.x=l

【解析】

【分析】

設(shè)f=2'>0,即求二次方程產(chǎn)一，一2=0的正實數(shù)根，即可解決問題.

【詳解】

設(shè)/=2'>0,即轉(zhuǎn)化為求方程產(chǎn)-f-2=0的正實數(shù)根

由r一2=0得1=2或f=—1(舍)

所以，=2*=2,貝！lx=l

故答案為：x=l

【點睛】

本題考查指數(shù)型二次方程，考查換元法，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

.7T.27r.-n

17.(1)k7t+—,kn+——(kGZ);(2)[—1,2].

_63

【解析】

【分析】

(1)將三角函數(shù)化簡為/(x)=2sin(2x+升再求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.

TCn7T7TT7TI

(2)根據(jù)xe0,-得到-W2x+上〈一，得到sin(2x+^)e[——,l]最后得到答案.

L2」66662

【詳解】

(1)/(x)=2A/3sinxcosx+2cos2x-\=Gsin2x+cos2x=2sin(2x+?),

冗jr3乃7T24

令2k兀?——<2XH——<215----,k￡Z,解得：k兀+——GxSk兀、------,kwZ,

26263

712乃

可得函數(shù)y=/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為：++—(ZwZ)；

_63

TT7T7T77r71I

(2)0<x<—^>0<2x<^=>一<2x-\——<——=sin(2xd——)e[——,1]

266662

71

2sin(2xH——)e[-1,2]

6

f(x)的值域為[T,2].

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域，將三角函數(shù)化簡為標(biāo)準(zhǔn)形式是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計算

能力.

18.(1)(x+l)2+y2=13(2)|AB1=275

【解析】

【分析】

(1)設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(。,0),利用|C"=|C。求出C的值，可確定圓心坐標(biāo)，并計算出半徑長R,然

后利用標(biāo)準(zhǔn)方程可寫出圓C的方程；

(2)由〃/PQ,得出直線/的斜率與直線PQ的斜率相等，可得出直線/的斜率，再由/截.v軸所得縱截

距為5,可得出直線/的方程，計算圓心到直線/的距離d,則

\AB\=2\lR2-d2.

【詳解】

(1)設(shè)圓心C(c,0),則收=(廿3)2+9=(c—2)2+4,則C=-1,R2=13

所以圓C方程：(尸Hy+y2=i3.

2+3

(2)由于即0=----=1,且/PQ,則/:y=x+5,

Q2+3

則圓心C(-l,0)到直線/的距離為：1=上#=2夜.

由于R=g，苧=五_/=后,網(wǎng)=2逐

【點睛】

本題考查圓的方程的求解以及直線截圓所得弦長的計算，再解直線與圓相關(guān)的問題時，可充分利用圓的幾

何性質(zhì)，利用幾何法來處理，問題的核心在于計算圓心到直線的距離的計算，在計算弦長時，也可以利用

弦長公式來計算。

19.(1)x2+y2=1；(2)存在點S使得S尸-SG=O成立.

【解析】

【分析】

(1)設(shè)P(x,y),由|PA|=2|PB|,得次+(>'_2)2=2jx2+(y_g),由此能求出曲線。的方程.

(2)由題意得M(0,1),N(0,-1),設(shè)點R(xo,yo),(x/0),由點R在曲線C上，得+直線

RM的方程》-1=千口%，從而直線RM與直線y=3的交點為尸[含■,31直線RN的方程為

)'+1=,從而直線RN與直線y=3的交點為G1言,假設(shè)存在點S(0,m),使得擰炭=0

2x4x/、)八uuuu

成立，則Urn高n？+3一相一=0,由此能求出存在點S，使得SF-SG=0成立，且S點的坐標(biāo)為

(0,3±2?

【詳解】

(1)設(shè)P(x,y),^\PA\=2\PB\,

得:yjx2+(y-2)2=2jx2+(>

整理得Y+y2=i.

所以曲線。的方程為f+y2=].

(2)由題意得，M(o,l),N(0,—l).

設(shè)點火(%?%)(%=0)，由點R在曲線C上,

所以X；+巾=1.

1)0-1

直線的方程為yT=T—X,

X。

所以直線RM與直線V=3的交點為F

直線RN的方程為y+1=團(tuán)里X

(A、

所以直線RN與直線y=3的交點為G—2,3.

1%+1J

假設(shè)存在點S(0,〃?)，使得".SG=O成立，

則=—SG=1^j,3—加).

即華?弋+(3—m)2=0,

整理得當(dāng)」+(3-m)2=0.

因為x；+y；=1,

所以一8+(3-加)2=o,

解得利=3±2-\/2?

所以存在點S使得冷./=0成立，且點S的坐標(biāo)為(0,3±2近).

【點睛】

本題考查曲線方程的求法，考查是否存在滿足向量積為0的點的判斷與求法，考查圓、直線方程、向量的

數(shù)量積公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

20.(I)a=n+\；(D)S?.

n2“+4

【解析】

【分析】

(I)解方程組即得1=1,6=2,即得數(shù)列｛%｝的通項公式；(II)利用裂項相消法求數(shù)列｛"｝的前"項

和s“.

【詳解】

a1+d=3

(I)由題意:

(q+2d)~=q(q+6d)

化簡得屋一1=0,因為數(shù)列｛q｝的公差不為零，.,4=l,q=2,

故數(shù)列｛a,,｝的通項公式為4=〃+1.

i111

cm由(i)知”

aa(〃+l)(〃+2)n+1〃+2

?n+X

1l_]__1_n

故數(shù)列｛"｝的前〃項和S〃=———+———+

〃+l〃+22〃+22n+4

【點睛】

本題主要考查等差數(shù)列通項的求法，考查裂項相消法求和，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分

析推理能力.

21.(1)(x—3>+(y—2尸=13(2)在直線y=2上存在定點N，(,2),使得旗川=一心乂恒成立，詳

見解析

【解析】

【分析】

(1)求出弦EE中垂線方程，由中垂線和直線/相交得圓心坐標(biāo)，再求出圓半徑，從而得圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線斜率存在時，設(shè)方程為y=Z(x-l)+2,代入圓的方程，得x的一元二次方程，同時設(shè)交點為

A(玉,凹),3(々,必)，由韋達(dá)定理得天+%2，11%2，假設(shè)定點存在，設(shè)其為NQ,2),由女AN=-&N求得/，

再驗證所作直線斜率不存在時，N點也滿足題意.

【詳解】

(1)所的中點為0K■!),的垂直平分線的斜率為-5,

???EE的垂直平分線的方程為5x+y—17=0,.?.￡：/的垂直平分線與直線/交點為圓心C,則

2x-7y+8=0

5中一17=0,解……

又「=’(3_0)2+(2_4)2=岳.

...圓C的方程為(x-3)2+(y—2)2=13.

(2)當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的斜率為攵，則過點"(1,2)的直線方程為y=k(x-1)+2,故

由，整理得叱NW?辦+J=。，

_k2—4

設(shè)4(%,乂)，8("2，%)，，%+Z=，光彳12

：：；2

\+k

y—2y—2

設(shè)N(r,2),則2=2=3-，

'1■~—""^=O，'(X一2)(々一。+(%一2)(%-f)=0,

X1-IXry—I

_.1/\c(X2k~-82k2+6

2%1%2—(，+1)(%1+/)+2r=0,---—Q+1)-----—K2z=0,

I+&I+%

即2r一8—2公0+l)—6?+l)+2f+公?2/=0

7

—8—6f—6+=0,t=——,

當(dāng)斜率不存在時，x=l,A(l,5),B(l,-l),kAN=-kBN成立,

二在直線y=2上存在定點N1-g,2),使得原N=-七V恒成立

【點睛】

本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查與圓有關(guān)的定點問題.求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可先求出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，然

后得標(biāo)準(zhǔn)方程，注意圓心一定在弦的中垂線上.定點問題，通常用設(shè)而不求思想，即設(shè)直線方程與圓方程

聯(lián)立消元后得一元二次方程，設(shè)直線與圓的交點坐標(biāo)為(3,凹),(九2，%)，由韋達(dá)定理得百+%，％%2,然

后設(shè)定點坐標(biāo)如本題N(f,2),再由條件號^=-后刎求出/，若不能求出，說明定點不存在，如能求出，值,

注意驗證直線斜率不存在時，此定點也滿足題意.

2019-2020高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合

題目要求的

1、在ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,A=60"，a=JJ，匕=夜，則8=（）

A.75°B.30°C.45°D.135°

r

2、已知非零向量q與b的夾角為竽，且忖=1,卜+2目=2,則代（）

A.1B.2C.GD,2G

3、設(shè)Z是復(fù)數(shù)，從Z,",|z『，|z2b|7|2,zG中選取若干對象組成集合，則這樣的集合最多有

（）

A.3個元素B.4個元素C.5個元素D.6個元素

4、已知4（0,百），8（1,0）,。為坐標(biāo)原點，則AABO的外接圓方程是（）

A.x2+y2-x-y/3y=0B.x2+y2+x+>/3y=0

C.x2+y2-x+y/3y=0D.x1+y2+x-4?>y=0

5、如圖，A3是圓。的直徑，0CLA3,假設(shè)你往圓內(nèi)隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為

（）

c

2刀■加7171

/狙10拒.工［2tan17/l-cos70皿1*/、

6、設(shè)。=—cos6+——sin6,b=---------,c=」--------，則有（）

221+tan217V2

A.b<c<aB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

y>x

7、設(shè)實數(shù)X、）'滿足約束條件卜+y<3,則Z=2x+y的最大值為（）

3%-2y+120

911

A.-B.4C.5D.—

22

8、某小組共有5名學(xué)生，其中男生3名，女生2名，現(xiàn)選舉2名代表，則恰有1名女生當(dāng)選的概率為（）

9、已知點A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部

分，則b的取值范圍是()

、JO11)

A.(0，1)B.1-------，一C.D.

I22J32)

10、化簡sin2013。的結(jié)果是

A.sin33°B.cos33°C.-sin330-cos330

二、填空題：本大題共6小題，每小題，共30分。

H、若把一570°寫成2br+a伍eZ,0Wa<2〃)的形式，則夕=.

12、設(shè)AABC的內(nèi)角A，B,C所對的邊分別為“，b,c.已知。=2,b=x，A=：如果解此三角形

有且只有兩個解，則X的取值范圍是.

13、某個年級有男生560人，女生420人，用分層抽樣的方法從該年級全體學(xué)生中抽取一個容量為280的

樣本，則此樣本中男生人數(shù)為.

14、若存在實數(shù)b使得關(guān)于x的不等式,sir?x+(4a+加sinx+13a+-2sin%,4恒成立，則實數(shù)〃的

取值范圍是—.

15、在AABC中，ZABC=150°?。是線段AC上的點，NDBC=30，若AABC的面積為百，當(dāng)BD

取到最大值時，AC=.

16、已知扇形的圓心角為胃，半徑為5,則扇形的弧長/=.

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、在.----中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知-：+-：=-：+—.

(I)求A的大??；

(II)如果:，求a的值.

COS-=—,L=2

18、已知向量4與向量b的夾角為(，且同=1,囚叫=J7.

(1)求w；

(2)若a_L(a—肪)，求/L

19、某體育老師隨機(jī)調(diào)查了100名同學(xué)，詢問他們最喜歡的球類運動，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示.已知最喜歡足

球的人數(shù)等于最喜歡排球和最喜歡羽毛球的人數(shù)之和.

最喜歡的球類運動足球籃球排球乒乓球羽毛球網(wǎng)球

人數(shù)a201015b5

(1)求的值；

(2)將足球、籃球、排球統(tǒng)稱為“大球”，將乒乓球、羽毛球、網(wǎng)球統(tǒng)稱為“小球”.現(xiàn)按照喜歡大、小球的

人數(shù)用分層抽樣的方式從調(diào)查的同學(xué)中抽取5人，再從這5人中任選2人，求這2人中至少有一人喜歡小

球的概率.

20、寫出集合｛。，勿的所有子集.

21、己知數(shù)列｛a“一2"｝為等差數(shù)列，且q=8,%=26.

(1)求數(shù)列｛凡｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛4｝的前〃項和S..

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合

題目要求的

1.C

【解析】

【分析】

根據(jù)正弦定理，得到sinB的值，然后判斷出3<A,從而得到

【詳解】

在A3c中，由正弦定理，一="-

sinAsinB

得及r=巫，所以sinB=也，

sin60sin82

因b-V2?

所以B<A,所以B為銳角，

所以8=45°.

故選：C.

【點睛】

本題考查余弦定理解三角形，屬于簡單題.

2.B

【解析】

【分析】

根據(jù)條件可求出=從而對|。+2切=2兩邊平方即可得出|“『一2|“|=0,解出|4|即可.

【詳解】

向量a與人的夾角為三，且忖=1,卜+24=2；

,1,

/.ab-——\a\i

2

(a+2h)2=a2+4ab+4b2=|a『一2|a|44=4；

/.|a|2-21al=0；

二|。|=2或()(舍去)；

二Ia|=2.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了向量數(shù)量積的定義及數(shù)量積的運算公式，屬于中檔題.

3.A

【解析】

【分析】

設(shè)復(fù)數(shù)z=a+初(aSeR)分別計算出以上式子，根據(jù)集合的元素互異性，可判斷答案.

【詳解】

解：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+初(a,beR)

z=a-bi(a,bGR),

z=a+bi=z(a,bwR),

|zF=a2+h2,

\z^=a2+b2,

z-z=^a+bi^a-bi)=cr+b2

z2=(a+biy=a2-b2+2abi

|z2|=|a2-b2+2例='(a2_〃)-+(2帥)。==a2+b2

故由以上的數(shù)組成的集合最多有a+而，a-hi,/+￡這3個元素，

故選：A

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的運算及相關(guān)概念，屬于中檔題.

4.A

【解析】

【分析】

根據(jù)圓的幾何性質(zhì)判斷出是直徑，由此求得圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而求得三角形ABO外接圓的方程.

【詳解】

由于直角對的弦是直徑，故A3是圓的直徑，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為所以

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x—g）+y—與=1,化簡得x2+y2-x-6y=0,故選A.

【點睛】

本小題主要考查三角形外接圓的方程的求法，考查圓的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

5.B

【解析】

【分析】

先根據(jù)條件計算出陰影部分的面積，然后計算出整個圓的面積，利用幾何概型中的面積模型即可計算出對

應(yīng)的概率.

【詳解】

設(shè)圓的半徑為R,因為0CJ.A3,所以S4叱二3二夫出二卡？，

又因為S。=兀箝，

SR2|

所以落到陰影部分的概率為P=F=一.

So7lR71

故選：B.

【點睛】

本題考查幾何概型中的面積模型的簡單應(yīng)用，難度較易.注意幾何概型的常見概率公式：

°目標(biāo)事件的區(qū)域長度（面積、體積）

試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積、體積）?

6.A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，利用輔助角公式得a=sin36，對于b，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角公式對。進(jìn)行

處理，即可得到〃=sin34;對于。，利用二倍角公式對c變形處理可以得到c=sin35，再根據(jù)正弦函

數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.

cos217

l-(l-2sin235)

―-------------L=sin35

2

冗

因為正弦函數(shù)在0,-上為增函數(shù)，所以匕<c<a,選A.

【點睛】

本題是一道關(guān)于三角函數(shù)值大小比較的題目，解答本題的關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)公式；二倍角公式、輔助角

公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系等.屬于中等題.

7.A

【解析】

【分析】

作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，平移該直線可得最優(yōu)解.

【詳解】

作出可行域，如圖A48c內(nèi)部（含邊界），作直線/：2x+y=0,向上平移直線/,Z=2x+），增大，當(dāng)

339

直線/過點6（/,］）時，Z=2x+），得最大值為

故選：A.

【點睛】

本題考查簡單的線性規(guī)劃，解題關(guān)鍵是作出可行域和目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線.

8.B

【解析】

【分析】

記三名男生為a/,c,兩名女生為％)，分別列舉出基本事件，得出基本事件總數(shù)和恰有1名女生當(dāng)選包

含的基本事件個數(shù)，即可得解.

【詳解】

記三名男生為a,b,c,兩名女生為％丁，

任選2名所有可能情況為ab,ac,ax,ay,be,bx,by,cx,cy,xy,共10種，

恰有一名女生的情況為?,ay,公,加,ex,cy，共6種，

所以恰有1名女生當(dāng)選的概率為余=1.

故選：B

【點睛】

此題考查根據(jù)古典概型求概率，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確計算出基本事件總數(shù)，和某一事件包含的基本事件個數(shù).

9.B

【解析】

【分析】

bb

先求得直線y=ax+b(a>0)與x軸的交點為M(—-,0),由--K0可得點M在射線OA上.求出直

aa

線和BC的交點N的坐標(biāo)，①若點M和點A重合，求得b=；；②若點M在點。和點A之間，求得

-<b<-;③若點M在點A的左側(cè)，求得1>b>l-也.再把以上得到的三個b的范圍取并集，可

3232

得結(jié)果.

【詳解】

由題意可得，三角形ABC的面積為-ABOC^l,

2

由于直線y=ax+b(a>0)與x軸的交點為M(,0),

a

由直線y=ax+b(a>0)將△ABC分割為面積相等的兩部分，可得b>0,

故-240,故點M在射線OA上.

a

y=ax+b1-AQ+Z;

設(shè)直線y=ax+b和BC的交點為N,則由.可得點N的坐標(biāo)為(——,--).

冗+y=tl。+1。+1

①若點M和點A重合，如圖:

則點N為線段BC的中點，故N(1,

22

把A、N兩點的坐標(biāo)代入直線y=ax+b,求得a=b=；.

②若點M在點O和點A之間，如圖：

此時b>g,點N在點B和點C之間，

由題意可得三角形NMB的面積等于

2

即_1.加8-丁“=，，即lx|1+-=1可得a=-^—>0,求得bV，,

2-22<a)a+\21-2/72

故有彳<b<彳.

32

③若點M在點A的左側(cè)，

則｝<一,由點M的橫坐標(biāo)---V—1,求得b>a.

3a

y=ax+h\-ba-b

設(shè)直線y=ax+b和AC的交點為P,則由.t求得點P的坐標(biāo)為(―，——),

y=x+la-\a-\

此時，由題意可得，三角形CPN的面積等于即L(1-b)?|XN-XP|=L

222

1\-b\-b1

即一(1-b)?|---------------|=一，化簡可得2(1-b)三m-1|.

2a+\a-12

由于此時b>a>0,0<a<l,：.2(1-b)2=|a2-1|=1-a2

____15

兩邊開方可得V2(l-b)=Jl-Q2V1,:」_卜(~^,化簡可得b>l--『，

故有1_克<1)<1.

23

綜上可得b的取值范圍應(yīng)是1一冬g,

故選B.

【點睛】

本題主要考查確定直線的要素，點到直線的距離公式以及三角形的面積公式的應(yīng)用，還考查了運算能力以

及綜合分析能力，分類討論思想，屬于難題.

10.C

【解析】

試題分析：Sin2013。=sin(l8000+213°)=sin213°=sin(180°+33°)=-sin33°.

考點：誘導(dǎo)公式.

點評：直接考查誘導(dǎo)公式，我們要熟記公式.屬于基礎(chǔ)題型.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11.2

6

【解析】

【分析】

將角度化成弧度，再用象限角的表示方法求解即可.

【詳解】

解：-570°=-570°x^-=--=-4^+—.

180066

故答案為：苧.

6

【點睛】

本題考查弧度與角度的互化，象限角的表示，屬于基礎(chǔ)題.

12.(2,272)

【解析】

【分析】

由余弦定理寫出C與X的等式，再由有兩個正解，