1311棱柱棱錐和棱臺(tái)

棱柱、棱錐和棱臺(tái)一、空間幾何體的相關(guān)概念1、空間幾何體：在我們的周圍存在著各種各樣的物體，他們都占據(jù)著空間的一部分，如果只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體。例如：我們?nèi)粘＝佑|到的足球、籃球等，吐過只考了他們的形狀和大小，他們都是球體，還有其他幾何體如長(zhǎng)方體、正方體等。2、多面體：一般地，由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.（1）多面體的面：圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面；（2）多面體的棱：兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱；（3）多面體的頂點(diǎn)：棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)。3、旋轉(zhuǎn)體：一條平面曲線（包括直線）繞它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸。二、棱柱1、定義：一般地，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成的多面體叫棱柱。（1）有兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的地面，它們是全等的多邊形；（2）其余各面叫做棱柱的側(cè)面，他們都是平行四邊形；（3）相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；（4）側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)?！咀⒁狻浚?）有兩個(gè)面互相平行，并不代表只有兩個(gè)面互相平行，如長(zhǎng)方體有三組對(duì)面互相平行，其中任意一組對(duì)面都可以作為底面。（2）棱柱的另外一種定義一般地，由一個(gè)平面沿著某一方向平移形成的空間幾何體叫做柱體，平移起止位置的兩個(gè)面叫做柱體的底面，縮變形的邊平移所形成的的面叫做柱體的側(cè)面2、棱柱的分類：（1）按底面多邊形的邊數(shù)：可以把棱柱分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等等；（2）按側(cè)棱與底面的位置關(guān)系：可以把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱．斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱．正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱．平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱．三、棱錐1、定義：一般地，有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐。（1）這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面；（2）有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面；（3）相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱；（4）各個(gè)側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)?！咀⒁狻坑幸粋€(gè)面是多邊形，其余各面都使三角形的幾何體不一定是棱錐，如圖。棱錐還需要滿足各三角形有且只有一個(gè)公共頂點(diǎn)。2、棱錐的分類：按底面多邊形的邊數(shù)，可以把棱錐分成三棱錐、四棱錐和五棱錐?！咀⒁狻康酌鏋檎噙呅蔚睦忮F叫做正棱錐，如正三棱錐、正四棱錐……四、棱臺(tái)1、定義：用一個(gè)平行與棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面與截面之間的部分叫做棱臺(tái)。（1）原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面和上底面；（2）其他各面叫做棱臺(tái)的側(cè)面；（3）相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱臺(tái)的側(cè)棱；（4）側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱臺(tái)的定點(diǎn)?！咀⒁狻浚?）棱臺(tái)上下底面是互相平行且相似的多邊形；（2）側(cè)面都是梯形；（3）各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)。2、棱臺(tái)的分類：由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺(tái)分別叫做三棱臺(tái)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)……題型一棱柱的幾何特征【例1】（2023春·全國(guó)·高一專題練習(xí)）觀察下面的幾何體，哪些是棱柱？（）A．①③⑤B．①②③⑤C．①③⑥D(zhuǎn)．③④⑥【答案】A【解析】由棱柱的定義可知：①③⑤滿足棱柱的定義．故選:A.【變式11】（2022秋·山東濰坊·高二昌邑市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列命題不正確的是（）A．正方體一定是正四棱柱B．底面是正多邊形的棱柱是正棱柱C．有相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱D．平行六面體的六個(gè)面均為平行四邊形【答案】B【解析】對(duì)于A，上、下底面都是正方形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱，所以正方體是正四棱柱，故A正確；對(duì)于B，底面是正多邊形的直棱柱是正棱柱，底面是正多邊形但側(cè)棱與底面不垂直的棱柱不是正棱柱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，有兩個(gè)相鄰的側(cè)面是矩形，說明公共側(cè)棱與底面兩條相交直線垂直，則側(cè)棱與底面垂直，而側(cè)棱與底面垂直的棱柱為直棱柱，所以有相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱，故C正確；對(duì)于D，底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體，而棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，故D正確．故選：B【變式12】（2022秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·高二呼市二中?？计谥校ǘ噙x）一個(gè)棱柱是正四棱柱的條件是（）A．底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面是矩形B．底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面C．底面是菱形的直四棱柱，且對(duì)角線長(zhǎng)度相等D．底面是正方形，每個(gè)側(cè)面是全等矩形的四棱柱【答案】CD【解析】對(duì)于A，底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱，當(dāng)這兩個(gè)側(cè)面是相對(duì)的側(cè)面，并且和底面不垂直時(shí)，棱柱是斜棱柱，不能保證是正四棱柱；對(duì)于B，底面是正方形，有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面的棱柱，當(dāng)這兩個(gè)側(cè)面是相對(duì)的側(cè)面，另外兩個(gè)相對(duì)的側(cè)面可能和底面不垂直，此時(shí)棱柱是斜棱柱，不能保證是正四棱柱；對(duì)于C,底面是菱形，且對(duì)角線長(zhǎng)度相等,則底面是正方形，又因?yàn)槭侵崩庵?，故能保證棱柱是正四棱柱；對(duì)于D,每個(gè)側(cè)面是全等矩形的四棱柱,則相鄰兩個(gè)側(cè)面的交線即側(cè)棱垂直于底面，即棱柱為直棱柱，又底面為正方形，故能保證是正四棱柱，故選：CD【變式13】（2022·高一單元測(cè)試）滿足下列條件的棱柱中，一定是直棱柱的是（）A．底面是矩形B．有一個(gè)側(cè)面與底面垂直C．有一個(gè)側(cè)面是矩形D．相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形【答案】D【解析】如圖所示是一個(gè)斜四棱柱：因?yàn)榈酌媸蔷匦?，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閭?cè)面與底面垂直，故B錯(cuò)誤；側(cè)面是矩形，故C錯(cuò)誤；當(dāng)相鄰兩個(gè)側(cè)面是矩形時(shí)，則這兩個(gè)側(cè)面的交線與底面垂直，即得到側(cè)棱與底面垂直，則該棱柱一定是直棱柱，故D正確.故選：A.題型二棱錐的幾何特征【例2】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）下面圖形中，為棱錐的是（）A．①③B．①③④C．①②④D．①②【答案】C【解析】一般地，有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐，顯然①②④滿足棱錐定義，③不滿足棱錐定義，所以①②④是棱錐，③不是棱錐.故選：C【變式21】（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）對(duì)于棱錐，下列敘述正確的是（）A．三棱錐共有三條棱B．四棱錐共有四個(gè)面C．五棱錐的頂點(diǎn)有五個(gè)D．六棱錐有一個(gè)底面【答案】D【解析】對(duì)于A，因?yàn)槿忮F共有六條棱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)樗睦忮F共有五個(gè)面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)槲謇忮F的頂點(diǎn)有六個(gè)，故錯(cuò)誤；對(duì)于，根據(jù)棱錐的定義，D正確.故選：D．【變式22】（2023春·浙江杭州·高一杭州四中校考期中）若一個(gè)正棱錐的各棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均相等，則該棱錐一定不是（）A．正三棱錐B．正四棱錐C．正五棱錐D．正六棱錐【答案】D【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，正四面體為滿足條件的正三棱錐，故排除A；對(duì)于選項(xiàng)B，考慮如圖所示的正四棱錐.滿足，為底面正方形中心，EO平面ABCD.因底面為正方形，故，則，，，兩兩全等，得.故存在滿足條件的正四棱錐，排除B；對(duì)于選項(xiàng)C，考慮如圖所示的五棱錐.滿足，O為底面正五邊形中心，F(xiàn)O平面ABCDE.因底面為正五邊形，故，則，，，，兩兩全等.得.故存在滿足條件的正五棱錐，排除C；對(duì)于選項(xiàng)D，考慮如圖所示的正六棱錐.滿足，O為底面正六邊形中心.GO平面ABCDEF.但注意到OA=AB，，則有.這與所設(shè)滿足的條件矛盾，故不存在滿足條件的正六棱錐，故D正確.故選：D【變式23】（2022春·廣東中山·高一統(tǒng)考期末）（多選）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)不同頂點(diǎn)，然后將它們兩兩相連，可組成空間幾何體．這個(gè)空間幾何體可能是（）A．每個(gè)面都是直角三角形的四面體；B．每個(gè)面都是等邊三角形的四面體；C．每個(gè)面都是全等的直角三角形的四面體；D．有三個(gè)面為等腰直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體．【答案】ABD【解析】對(duì)于A，每個(gè)面都是直角三角形的四面體，如：E﹣ABC，所以A正確；對(duì)于B，每個(gè)面都是等邊三角形的四面體，如E﹣BGD，所以B正確；對(duì)于C，若四面體的每個(gè)面都是全等的直角三角形，則必有直角邊等于斜邊，而這樣的直角三角形不存在，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，有三個(gè)面為等腰直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體，如：A﹣BDE，所以D正確；故選：ABD．【變式24】（2022春·河南開封·高一?？计谥校┫铝姓f法中正確的個(gè)數(shù)為（）①各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐；②各側(cè)面都是面積相等的等腰三角形的棱錐為正棱錐；③各側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐；④底面是正多邊形且各側(cè)面是全等三角形的棱錐為正棱錐．A．B．C．D．【答案】D【解析】對(duì)于①，各側(cè)棱都相等，但無法保證底面為正多邊形，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，各側(cè)面都是面積相等的等腰三角形，但無法保證各個(gè)等腰三角形全等且腰長(zhǎng)均為側(cè)棱長(zhǎng)，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，但無法保證等腰三角形的腰長(zhǎng)為側(cè)棱長(zhǎng)，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，底面是正多邊形，各側(cè)面是全等三角形，則可以保證頂點(diǎn)在底面射影為底面中心，滿足正棱錐定義，④正確.故選：D.題型三棱臺(tái)的幾何特征【例3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列說法中正確的是（）A．用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)B．上下底面全等，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱C．棱臺(tái)的底面是兩個(gè)相似的正方形D．棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)【答案】D【解析】A中,要用“平行于底面”的平面去截棱錐，棱錐底面與截面間部分才叫棱臺(tái),如果截棱錐的平面不與底面平行，棱錐底面與截面間部分只能叫多面體,故A錯(cuò)誤；B中,如圖所示幾何體，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形，但不是棱柱，故B錯(cuò)誤；C中，棱臺(tái)的底面不一定是兩個(gè)相似的正方形，只需是相似多邊形即可,故C錯(cuò)誤；D中,由棱臺(tái)的定義知棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn),故D正確.故選：D.【變式31】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）有下列四種敘述：①用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)；②兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)；③有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)；④棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn).其中正確的有（）A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)【答案】B【解析】對(duì)于①：當(dāng)截面不平行于底面時(shí)，棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺(tái)，①錯(cuò)；對(duì)于②③：如圖的幾何體滿足條件，但側(cè)棱延長(zhǎng)線不能相交于一點(diǎn)，不是棱臺(tái)，②③錯(cuò)；對(duì)于④：棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征知：側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)，④正確.故選：B【變式32】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，能推斷這個(gè)幾何體可能是三棱臺(tái)的是（）A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4B．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3C．A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4D．AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1【答案】C【解析】A選項(xiàng)，，所以幾何體不是三棱臺(tái)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，，所以幾何體不是三棱臺(tái)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，，所以幾何體是三棱臺(tái)，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，該幾何體可能是三棱柱，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C【變式33】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列關(guān)于棱臺(tái)的說法中錯(cuò)誤的是（）A．所有的側(cè)棱所在直線交于一點(diǎn)B．只有兩個(gè)面互相平行C．上下兩個(gè)底面全等D．所有的側(cè)面不存在兩個(gè)面互相平行【答案】C【解析】由棱臺(tái)的定義可知：A.所有的側(cè)棱所在直線交于一點(diǎn)，正確；B.只有兩個(gè)面互相平行，就是上、下底面平行，正確；C.棱臺(tái)的上下兩個(gè)底面不全等，故C不正確；D.所有的側(cè)面不存在兩個(gè)面互相平行，正確.故選：C.題型四展開圖及其應(yīng)用【例4】（2023春·浙江杭州·高一杭州四中?？计谥校┮阎襟w的棱長(zhǎng)為，一螞蟻沿著正方體的表面從點(diǎn)爬到點(diǎn)的最短距離是__________．【答案】【解析】如圖所示，將正方體的側(cè)面與展開，則最短距離為，故答案為：.【變式41】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖所示，在所有棱長(zhǎng)均為1的三棱柱上，有一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，圍著三棱柱的側(cè)面爬行一周到達(dá)點(diǎn)A1，則爬行的最短路線長(zhǎng)為__．【答案】【解析】正三棱柱的側(cè)面展開圖如圖所示的矩形，矩形的長(zhǎng)為3，寬為1，則其對(duì)角線AA1的長(zhǎng)為最短路程．因此螞蟻爬行的最短路程為．故答案為：．【變式42】（2023春·上海·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)相等．螞蟻甲從A點(diǎn)沿表面經(jīng)過棱、爬到點(diǎn)，螞蟻乙從B點(diǎn)沿表面經(jīng)過棱爬到點(diǎn)．設(shè)，，若兩只螞蟻各自爬過的路程最短，則______【答案】【解析】如圖所示，將三棱柱沿著側(cè)棱展開，又因?yàn)檎庵牡酌孢呴L(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)相等，則同理所以