731離散型隨機變量的均值精練-2021-2022學年高二數學（人教A版2019選擇性）

7.3.1離散型隨機變量的均值(精練）A學業(yè)基礎一、單選題1．（2021·全國·高二課時練習）已知隨機變量的分布列為：設，則的數學期望的值是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據分布列的性質，得，解得，所以隨機變量的數學期望為．又，所以隨機變量的數學期望為．故選：C.2．（2021·全國·高二課時練習）隨機變量的分布列為：－1350.50.2則其均值的值為()A．2.4 B．1.9 C．1.5 D．1.4【答案】D【詳解】由分布列的性質，得，由均值的定義，得．故選：D3．（2021·全國·高二課時練習）甲，乙兩臺自動車床生產同種標準件，表示甲車床生產件產品中的次品數，表示乙車床生產件產品中的次品數，經一段時間考查后，，的分布列分別是據此判定（）A．甲比乙質量好 B．乙比甲質量好C．甲與乙質量相同 D．無法判定【答案】A【詳解】由分布列可得：，，，甲比乙質量好．故選：A.4．（2022·全國·高三專題練習（理））已知某一隨機變量的概率分布列如下，且，則的值為（）790.10.4A．4 B．5 C．3 D．7【答案】A【詳解】解：由概率和為可知：，所以，解得：.故選：A5．（2022·全國·高三專題練習）已知隨機變量的分布列為：1240.40.30.3則等于（）A．15 B．11C．2.2 D．2.3【答案】A【詳解】由隨機變量的分布列，可得期望，所以.故選：A.6．（2022·全國·高三專題練習）林老師等概率地從1~3中抽取一個數字，記為，葉老師等概率地從1~5中抽取一個數字，記為，已知，其中是的概率，其中，則=（）A．3 B．5 C．6 D．8【答案】C【詳解】解：依題意，，所以，，因為與相互獨立，所以故選：C7．（2021·全國·高二課時練習）在一次抽獎活動中，主辦方在一個箱子里放有個寫有“謝謝參與”的獎券，1個寫有“恭喜中獎”的獎券，若活動規(guī)定隨機從箱子中不放回地抽取獎券，若抽到寫有“謝謝參與”的獎券，則繼續(xù)；若抽到寫有“恭喜中獎”的獎券則停止，則抽獎次數的均值是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，表示第一次就抽到寫有“恭喜中獎”的獎券，其概率為；，表示第一次抽到寫有“謝謝參與”的獎券，第二次抽到寫有“恭喜中獎”的獎券，其概率為，，表示第一次抽到寫有“謝謝參與”的獎券，第二次抽到寫有“謝謝參與”的獎券，…,第n次抽到寫有“恭喜中獎”的獎券，其概率為，所以的均值為．故選：C8．（2021·全國·高二單元測試）交強險是車主必須為機動車購買的險種.若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用（基準保費）統(tǒng)一為元，在下一年續(xù)保時，實行的是費率浮動機制，保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數越多，費率也就越高，具體浮動情況如下表：交強險費率浮動因素和浮動比率表類別浮動因素浮動比率上一個年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮10%上兩個年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮20%上三個及以上年度未發(fā)生有責任道路交通事故下浮30%上一個年度發(fā)生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故0%上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責任不涉及死亡的道路交通事故上浮10%上一個年度發(fā)生有責任道路交通死亡事故上浮30%為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機抽取了100輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到了下面的表格：類別數量20101038202若以這100輛該品牌車的投保類別的頻率代替1輛車投保類別的概率，則隨機抽取1輛該品牌車在下一年續(xù)保時的費用的期望為（）A．A元 B．0.958A元C．0.957A元 D．0.956A元【答案】D【詳解】設1輛該品牌車在下一年續(xù)保時的費用為X元，則X的取值范圍為，且，，，，，，∴∴，故選：D.二、填空題9．（2021·全國·高二課時練習）已知，，則________．【答案】2【詳解】∵，又，∴，解得.故答案為：210．（2021·全國·高二課時練習）節(jié)日期間，某種鮮花的進價是每束2.5元，售價是每束5元，節(jié)后對沒有賣出的鮮花以每束1.6元處理．根據前5年節(jié)日期間對這種鮮花需求量(束)的統(tǒng)計(如表)，若進這種鮮花500束在今年節(jié)日期間銷售，則利潤的均值是________元．2003004005000.200.350.300.15【答案】706【詳解】節(jié)日期間這種鮮花需求量的均值為E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝340(束)．設利潤為Y，則Y＝5X＋1.6×(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706(元)．故答案為：70611．（2021·全國·高二課時練習）馬老師從課本上抄錄的一個隨機變量的分布列如下表：123盡管“”處無法完全看清，且兩個“”處字跡模糊，但能肯定兩個“”處的數值相同，據此，_____．【答案】2【詳解】設，，則．于是，．故答案為：2.12．（2021·全國·高二課時練習）如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體切割為125個同樣大小的小正方體.經過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的涂漆面數為，則的均值______.【答案】【詳解】的所有可能取值為，大正方體8個頂點處的8個小正方體涂有3面油漆；每一條棱上除了兩個頂點處的小正方體外剩余的都涂有兩面油漆，所以涂有兩面油漆的有個；每個表面去掉四條棱上的16個小正方體，還剩9個小正方體，這9個都是一面涂漆，所以一共有個小正方體涂有一面油漆；剩余的個內部的小正方體6個面都沒有涂油漆，所以，，，，.故答案為：.三、解答題13．（2021·北京師大附中高三期中）某學校組織“一帶一路”知識競賽，有、兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束：若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束．類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答類問題的概率為0.8，能正確回答類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關．（1）若小明先回答類問題，記為小明的累計得分，求的值；（2）若小明先回答類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（3）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題?請直接寫出結論，不必說明理由．【答案】（1）（2）分布列見解析（3）小明應選擇先回答類問題（1）解：依題意可得（2）解：由已知可得，的所有可能取值為0，20，100，則，，所以的分布列為：0201000.20.320.48（3）解：由（2）可知小明先回答類問題累計得分的期望為，若小明先回答類問題，記為小明的累計得分，則的所有可能取值為0，80，100，，，，則的期望為，因為，所以為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答類問題．14．（2021·云南·高三期中（理））2021年10月昆明生物多樣性會議期間，一位攝影愛好者來到云南省旅游城市大理，這里有蝴蝶泉公園、洱海生態(tài)廊道、蒼山地質公園三個著名的旅游景點，若這位攝影愛好者游覽這三個景點的概率分別是，，，且是否游覽哪個景點互不影響，設表示這位攝影愛好者離開該城市時游覽的景點數與沒有游覽的景點數之差的絕對值．（1）求的分布列和數學期望；（2）記“時，不等式恒成立”為事件，求事件發(fā)生的概率．【答案】（1）分布列見解析，（2）（1）解：分別記“攝影愛好者游覽蝴蝶泉公園”，“攝影愛好者游覽洱海生態(tài)廊道”，“攝影愛好者游覽蒼山地質公園”為事件，，，由已知，，相互獨立，，，，攝影愛好者游覽的景點數的可能取值為，，，，相應地，沒有游覽的景點數的可能取值為，，，，所以的可能取值為，，，，所以的分布列為；（2）解：的可能取值為，，且時，不等式恒成立，有恒成立，即；當時，不等式恒成立，當時，不等式不恒成立．所以B應考能力15．（2021·全國·高二課時練習）一個均勻小正方體的六個面中，三個面上標有數0，兩個面上標有數1，一個面上標有數2，將這個小正方體拋擲2次，則向上兩個數的積的均值是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設拋擲1次向上的數字為，拋擲2次向上的數字之積為，則由題意可知，，，所以，，，，所以．故選：A.16．（2021·全國·高二課時練習）某突發(fā)事件，在不采取任何預防措施的情況下發(fā)生的概率為0.3，一旦發(fā)生，將造成400萬元的損失.現(xiàn)有甲?乙兩種相互獨立的預防措施可供采取，單獨采取甲?乙預防措施所需費用分別為45萬元和30萬元，采取相應預防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率分別為0.9和0.85，若預防措施允許單獨采取?聯(lián)合采取或不采取，那么總費用（總費用=采取預防措施的費用+發(fā)生突發(fā)事件損失的期望）最少的是（）A．不采取任何預防措施 B．單獨采取甲預防措施C．單獨采取乙預防措施 D．聯(lián)合采取甲?乙兩種預防措施【答案】D【詳解】①不采取預防措施時，總費用即損失的期望為（萬元）；②若單獨采取甲預防措施，則采取預防措施所需費用為45萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為，損失的期望為（萬元），所以總費用為（萬元）；③若單獨采取乙預防措施，則采取預防措施所需費用為30萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為，損失的期望為（萬元），所以總費用為（萬元）；④若聯(lián)合采取甲?乙兩種預防措施，則采取預防措施所需費用為（萬元），發(fā)生突發(fā)事件的概率為，損失的期望為（萬元），所以總費用為（萬元）.綜合①②③④，比較其總費用，可知選擇聯(lián)合采取甲?乙兩種預防措施，可使總費用最少.故選：D17．（2021·江蘇·南京市第二十九中學高二階段練習）為喜迎“中國共產黨建黨100華誕”，某中學高二年級歷史方向類的班級舉行“黨史知識”競賽．在本次競賽中共有40道選擇題，每道選擇題都有4個選項，其中有且只有一個選項是正確的．評分標準規(guī)定：“每題只選一個選項，答對得5分，不答或答錯倒扣2分”．某學生每道題答對的概率都為，則該學生在本次競賽時得分的均值為（）A．36 B．32 C．172 D．144【答案】C【詳解】由題設，每道題期望分值為，∴40道選擇題的期望得分為.故選：C18．（2021·內蒙古赤峰·高二期末）某地有四人先后感染了新型冠狀病毒，其中只有到過疫區(qū)，肯定是受A感染的．對于，因為難以斷定他是受還是受感染的，于是假定他受和受感染的概率都是．同樣也假定受，和感染的概率都是．在這種假定之下，，，中直接受感染的人數的數學期望為_______．【答案】【詳解】解：由題意分析得可取的值為1、2、3，用“”、2、表示被直接感染的人數．四個人的傳染情形共有6種：，，，，，．每種情況發(fā)生的可能性都相等，所以傳染1人有兩種情況，傳染2人有三種情況，傳染3人有一種情況．“”表示傳染，沒有傳染給、“”表示傳染給、，沒有傳染給，或傳染給、，沒有傳染給“”表示傳染給、、．于是有，，．可取的值為1、2、3，其中，，，分布列為：123．故答案為：．C新素養(yǎng)新題型19．(多選)（2021·江蘇南通·高三階段練習）某電視臺的一檔欄目推出有獎猜歌名活動，規(guī)則：根據歌曲的主旋律制作的鈴聲來猜歌名，猜對當前歌曲的歌名方能猜下一首歌曲的歌名.現(xiàn)推送三首歌曲，，給某選手，已知該選手猜對每首歌曲的歌名相互獨立，且猜對三首歌曲的歌名的概率以及猜對獲得相應的獎金如下表所示.歌曲猜對的概率0.80.60.4獲得的獎金金額/元100020003000下列猜歌順序中獲得獎金金額的均值超過2000元的是（）A． B． C． D．【答案】AD【詳解】根據規(guī)則，該選手獲得獎金總額為.按的順序進行，則該選手獲得獎金總額為的可能取值有四種情況：，，，.概率分布表為01000300060000.20.320.2880.192.故A正確.同理，按的順序猜獲得獎金金額的均值為1872元，故B錯誤.按的順序猜獲得獎金金額的均值為1904元，故C錯誤.按的順序猜獲得獎金金額的均值為2112元，故D正確.故選：AD20．(多選)（2021·全國·高二課時練習）設隨機變量表示從1到這個整數中隨機抽取的一個整數，表示從1到這個整數中隨機抽取的一個整數，則（）A．當時，B．當時，C．當（且）時，D．當時，的數學期望為【答案】BCD【詳解】對A，當時，，，則，故A錯誤；對B，當時，，則由可得或，，故B正確；對C，當（且）時，，，則，故C正確；對D，當時，的可能取值為1，2，則，，故的數學期望為,故D正確.故選：BCD.21．(多選)（2020·全國全國·模擬預測）新冠肺炎疫情發(fā)生后，我國加緊研發(fā)新型冠狀病毒疫苗，某醫(yī)藥研究所成立疫苗研發(fā)項目，組建甲、乙兩個疫苗研發(fā)小組，且兩個小組獨立開展研發(fā)工作.已知甲小組研發(fā)成功的概率為，乙小組研發(fā)成功的概率為.該研發(fā)項目的獎金為100萬元，分配方案是：若只有某一小組研發(fā)成功，則該小組獲得全部獎金；若兩個小組都研發(fā)成功，則平分全部獎金；若兩個小組均未研發(fā)成功，則均不獲得獎金.則（）A．該研究所疫苗研發(fā)成功的概率為B