拓展五圓錐曲線的最值問(wèn)題-2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)講義（人教A版2019選擇性）（原卷版）

拓展五圓錐曲線的最值（范圍）問(wèn)題解析幾何中的最值（范圍）問(wèn)題，主要是結(jié)合直線與橢圓、直線與拋物線的位置關(guān)系的進(jìn)行命題，要求證明、探索、計(jì)算線段長(zhǎng)度（距離）或圖形面積或參數(shù)等有關(guān)最值問(wèn)題.從高考命題看，此類問(wèn)題以主觀題形式考查，多步設(shè)問(wèn)，逐步深入考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.圓錐曲線中的最值（范圍）問(wèn)題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法即通過(guò)利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、均值不等式方法等進(jìn)行求解.而解答題部分主要使用代數(shù)法。知識(shí)點(diǎn)1圓錐曲線中的最值（范圍）問(wèn)題解題策略一利用定義法和幾何關(guān)系求最值1、根據(jù)圓錐曲線的定義，把所求的最值轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)線之間的距離等；2、利用兩點(diǎn)間線段最短，或垂線段最短，或三角形的三邊性質(zhì)等找到取得最值的臨界條件，進(jìn)而求出最值.二切線法適用范圍：當(dāng)所求的最值是圓錐曲線上點(diǎn)到某條直線的距離的最值時(shí)1、設(shè)出與這條直線平行的圓錐曲線的切線，2、切線方程與曲線方程聯(lián)立，消元得到一個(gè)一元二次方程，且，求出的值，即可求出切線方程；3、兩平行線間的距離就是所求的最值，切點(diǎn)就是曲線上去的最值時(shí)的點(diǎn).三參數(shù)法1、根據(jù)曲線方程的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)膮?shù)表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)；2、將目標(biāo)函數(shù)表示成關(guān)于參數(shù)的函數(shù)；3、把所求的最值歸結(jié)為求解關(guān)于這個(gè)參數(shù)的函數(shù)的最值的方法.四利用基本不等式和函數(shù)求最值1、基本不等式法（1）將所求最值的量用變量表示出來(lái)，（2）用基本不等式求這個(gè)表達(dá)式的最值，并且使用基本不等式求出最值.注：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.2、函數(shù)法（1）把所求最值的目標(biāo)表示為關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)；（2）通過(guò)研究這個(gè)函數(shù)求最值，是求各類最值最為普遍的方法.知識(shí)點(diǎn)2解決圓錐曲線中的取值范圍問(wèn)題應(yīng)考慮的五個(gè)方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．類型一與距離有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題1．（2022·山東·青島二中高二期中）已知是橢圓的右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，為橢圓外一點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．2．（2022·青海西寧·二模（文））設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)為雙曲線右支上的一點(diǎn)，且與圓相切于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A． B．1 C． D．23．（2022·重慶市江津中學(xué)校高二階段練習(xí)）設(shè)F是橢圓上的右焦點(diǎn)，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．5 C． D．44．（2022·河南·南陽(yáng)市第二完全學(xué)校高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知F是雙曲線C：的左焦點(diǎn)，點(diǎn)H的坐標(biāo)為．若點(diǎn)P為C右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)雙曲線的右支上一點(diǎn)P，分別向圓和圓作切線，切點(diǎn)分別為M，N，則的最小值為_(kāi)_____；此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____．6．（2022·四川·石室中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知拋物線：的焦點(diǎn)為，圓：，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，與圓交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)，在同一象限，則的最小值為（

）A．8 B．12 C．16 D．20類型二與線段有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題7．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓C的離心率，左右焦點(diǎn)分別為，P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)__________.8．（2022·天津·南開(kāi)中學(xué)高二期中）已知橢圓的離心率為，直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為.(1)求橢圓C的方程；(2)直線l是圓的任意一條不垂直于坐標(biāo)軸的切線，l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn)，求：（i）圓O的方程；（ii）的最大值.9．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓過(guò)點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為．(1)若直線的斜率為3，求直線的斜率;(2)若四邊形為平行四邊形，求的取值范圍．10．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知拋物線方程為，為其焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且拋物線在、兩點(diǎn)處的切線分別交軸于、兩點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)____．11．（2022·北京·清華附中朝陽(yáng)學(xué)校高二期中）已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且的離心率為，、為橢圓的左、右頂點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)若為橢圓上一點(diǎn)（不同于、）．求證：直線和的斜率之積為定值；(3)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，求的取值范圍．12．（2022·重慶一中高二階段練習(xí)）如圖，已知橢圓內(nèi)切于矩形，對(duì)角線的斜率之積為，左焦點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.類型三與面積有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題13．（2022·山西·太原五中高二階段練習(xí)）已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，離心率，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，過(guò)點(diǎn)F的直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)（非長(zhǎng)軸端點(diǎn)）.(1)求橢圓C的方程；(2)已知點(diǎn)Q（0，2），求線段MQ長(zhǎng)度的取值范圍：(3)延長(zhǎng)MO交橢圓C于P點(diǎn)，求△PMN面積的最大值.14．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）橢圓上有兩點(diǎn)和，．點(diǎn)A關(guān)于橢圓中心的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)．(1)若點(diǎn)在直線上，求點(diǎn)坐標(biāo)；(2)是否存在一個(gè)點(diǎn)，滿足，若滿足求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)設(shè)的面積為，的面積為，求的取值范圍．15．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）分別是橢圓于的左、右焦點(diǎn).(1)若Р是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；(2)設(shè)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn).求四邊形AEBF面積的最大值.類型四與斜率有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題16．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上且直線的斜率的取值范圍是，，那么直線斜率的取值范圍是（

）A．， B．， C．， D．，17．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓，過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條切線，且兩切線垂直.(1)求；(2)已知點(diǎn)，若存在過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，且以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)（不與重合），求直線斜率的取值范圍.18．（2022·黑龍江·富錦市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知雙曲線的浙近線方程為，且虛軸長(zhǎng)為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)，且滿足，求的取值范圍.19．（2022·江蘇·金陵中學(xué)高二階段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線過(guò)點(diǎn)，且該雙曲線虛軸長(zhǎng)為．(1)求雙曲線E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線l與E的左支交于點(diǎn)M，N，直線DM，DN與y軸相交于P，Q兩點(diǎn)．①求直線l的斜率k的取值范圍；②求|TP|＋|TQ|的取值范圍．類型五與向量有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題20．（2022·江蘇·高二期中）給定橢圓，稱圓心在原點(diǎn)O、半徑是的圓為橢圓C的“準(zhǔn)圓”．已知橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到點(diǎn)F的距離為．(1)求橢圓C和其“準(zhǔn)圓”的方程；(2)若點(diǎn)A是橢圓C的“準(zhǔn)圓”與x軸正半軸的交點(diǎn)，B、D是橢圓C上的兩相異點(diǎn)，且軸，求的取值范圍，21．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓過(guò)點(diǎn)離心率，左、右焦點(diǎn)分別為，P，Q是橢圓C上位于x軸上方的兩點(diǎn)．(1)若，求直線的方程；(2)延長(zhǎng)分別交橢圓C于點(diǎn)M，N，設(shè)，求的最小值．22．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知、分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓上．過(guò)點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓于、兩個(gè)不同的點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)落在以線段為直徑的圓的外部，求直線的斜率的取值范圍；(3)當(dāng)直線的傾斜角為銳角時(shí)，設(shè)直線、分別交軸于點(diǎn)、，記，，求的取值范圍．23．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知P是平面上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P與的距離之差的絕對(duì)值為．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E．(1)求曲線E的方程；(2)設(shè)不與y軸垂直的直線l過(guò)點(diǎn)且交曲線E于M，N兩點(diǎn)，曲線E與x軸的交點(diǎn)為A，B，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．類型六與角度有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題24．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若在軸負(fù)半軸上存在一點(diǎn)，使得為銳角，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．25．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓C的方程為離心率，，分別為左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，若為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．26．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓：，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為圓心，為半徑作圓，為圓的兩條切線，為切點(diǎn)，求的取值范圍．27．（2022·江蘇·南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二階段練習(xí)）設(shè)A，B為雙曲線C：的左、右頂點(diǎn)，直線l過(guò)右焦點(diǎn)F且與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，為等腰直角三角形．(1)求雙曲線C的離心率；(2)已知，若直線AM，AN分別交直線于P，Q兩點(diǎn)，若為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，若為銳角，求t的取值范圍．類型七與點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題28．（2022·北京市十一學(xué)校高二階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在拋物線上，于點(diǎn).若是鈍角三角形，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是（

）A． B． C． D．29．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知兩個(gè)定點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為和，動(dòng)點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)點(diǎn)為軸上一定點(diǎn)，求點(diǎn)與軌跡上點(diǎn)之間距離的最小值；(3)過(guò)點(diǎn)的直線與軌跡在軸上方部分交于、兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．30．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知拋物線上一點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)在以為直徑的圓上（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.(1)求拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線、，切線、與拋物線的另一交點(diǎn)分別為、，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)記為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.31．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知平面上一動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離相等，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的軌跡方程(2)已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B引圓的兩條切線BP；BQ，切線BP、BQ與曲線C的另一交點(diǎn)分別為P、Q，線段PQ中點(diǎn)N的縱坐標(biāo)記為，求的取值范圍．類型八與參數(shù)有關(guān)的最值（范圍）問(wèn)題32．（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)在橢圓C：上，過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓C于點(diǎn)的垂心為，若垂心在y軸上．則實(shí)數(shù)的取值范圍是________________．33．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高二階段練習(xí)）已知點(diǎn)在橢圓上，直線的斜率之積是，且.(1)求橢圓的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，且，求的取值范圍.34．（2022·福建省龍巖第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，過(guò)的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1，是橢圓的右頂點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)交橢圓于、兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，，，記，，的面積分別為，，．(1)求證：為定