五年級數(shù)學上冊 第5單元 分數(shù)的意義-第04講-最大公因數(shù)(學生版)（北師大版）

高思愛提分演示（KJ)初中語文學生輔導講義[學生版]學員姓名寒假班 年級初一輔導科目初中語文學科教師李紅娟上課時間2020-02-0508:00:00-09:00:00 知識圖譜最大公因數(shù)的認識知識精講一．公因數(shù)和最大公因數(shù)的意義幾個數(shù)公有的因數(shù)叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)．其中最大的一個叫做這幾個數(shù)的最大公因數(shù)．二．求兩個數(shù)最大公因數(shù)的方法（1）列舉法：先分別找出兩個數(shù)的因數(shù)，從中找出公因數(shù)，再找出公因數(shù)中最大的一個．（2）篩選法：先找出兩個數(shù)中較小數(shù)因數(shù)，從中圈出圈大數(shù)的因數(shù)，再看哪一個因數(shù)最大．（3）分解質(zhì)因數(shù)法：先將這兩個數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，再從分解的質(zhì)因數(shù)中找出這兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)，公有的質(zhì)因數(shù)相乘所得的積就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)．（4）短除法：把兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)按從小到大的順序依次作為除數(shù)，連續(xù)去除這兩個數(shù)，直到得出的兩個商只有公因數(shù)1為止，再把所有的除數(shù)相乘，所得的積就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)．典型例題

怎樣求18和27的最大公因數(shù)？名師學堂方法一：列舉法．方法分析：先分別找出18和27各自的因數(shù)，然后看18和27的因數(shù)中哪些是它們的公因數(shù)，再從中找出最大的一個．18的因數(shù)：1，2，3，6，9，18；27的因數(shù)：1，3，9，27；18和27的公因數(shù)有1，3，9；18和27的最大公因數(shù)是9．方法二：篩選法．方法分析：先找出兩個數(shù)中較小數(shù)18的因數(shù)，再看18的因數(shù)中，哪些是27的因數(shù)，從中找出最大的．18的因數(shù)：1，2，3，6，9，18．從大到小依次看18的因數(shù)是不是27的因數(shù)，18不是27的因數(shù)，9是27的因數(shù)，所以9是18和27的最大公因數(shù)，這樣找最大公因數(shù)更快捷．方法三：分解質(zhì)因數(shù)法．方法分析：把18和27分別分解質(zhì)因數(shù)，，．18和27的公因數(shù)一定包含18和27公有的質(zhì)因數(shù)．最大公因數(shù)就是公因數(shù)中最大的一個，所以它一定包含18和27全部公有的質(zhì)因數(shù)3和3，3乘3的積就是18和27的最大公因數(shù)．即18和27的最大公因數(shù)是．方法四：短除法．方法分析：用18和27公有的最小質(zhì)因數(shù)3去除這兩個數(shù)，看這兩個數(shù)的商是否只有公因數(shù)1，如果不1，再接著往下除，一直除到商只有公因數(shù)1為止，然后把所有的除數(shù)相乘，所得的積就是18和27的最大公因數(shù)．18和27的最大公因數(shù)是．三點剖析重點：公因數(shù)和最大公因數(shù)的意義．難點：求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的方法．易錯點：公因數(shù)與最大公因數(shù)區(qū)別不開，混淆公因數(shù)和最大公因數(shù)的意義．公因數(shù)和最大公因數(shù)的意義例題例題1、填一填，與同伴交流并回答，10和25的公因數(shù)中最大的是________。10的因數(shù)10的因數(shù)25的因數(shù)10和25的公因數(shù)例題2、12的因數(shù)有（）；16的因數(shù)有（）；12和16的公因數(shù)有（）；其中最大的一個是（）。例題3、判斷。（1）兩個數(shù)的公因數(shù)的個數(shù)是無限的。（）（2）1是任何兩個非零自然數(shù)的公因數(shù)。（）（3）兩個相鄰的自然數(shù)（0除外）的最大公因數(shù)都是1。（）（4）兩個合數(shù)的最大公因數(shù)不能是1。（）（5）兩個數(shù)的最大公因數(shù)一定比這兩個數(shù)都小。（）（6）1和任何非零自然數(shù)的最大公因數(shù)是1。（）隨練隨練1、填一填。（1）a和b相同的因數(shù)是它們的（），其中最大的一個是它們的（）。隨練2、下列各組數(shù)中有沒有公因數(shù)2？有沒有公因數(shù)5？有沒有公因數(shù)3？填一填．18和24（）45和60（）36和42（）75和90（）51和84（）72和40（）隨練3、判斷．（對的畫“√”，錯的畫“×”）（1）5是因數(shù)，10是倍數(shù)．（）（2）最簡分數(shù)的分子和分母沒有公因數(shù)．（）（3）分數(shù)的分子和分母同時除以一個數(shù)，分數(shù)的大小不變．（）求兩個數(shù)最大公因數(shù)的方法例題例題1、選一選．（將正確答案的字母填在括號里）（1）的分子、分母的公因數(shù)有（）個．A．4B．3C．2D．1（2）下列各組數(shù)中，最大公因數(shù)是1的一組是（）．A．15和5B．11和12C．100和12D．81和27（3）12是36和60的（）．A．倍數(shù)B．因數(shù)C．公因數(shù)D．最大公因數(shù)（4）下列各數(shù)中，（）與18的公因數(shù)只有1個．A．36B．25C．27D．15例題2、寫出下面各分數(shù)中分子和分母的最大公因數(shù)．（）（）（）（）（）（）例題3、在16的因數(shù)上畫“△”，在28的因數(shù)上畫“○”。112345678910111213141516171819202122232425262728293016和28的公因數(shù)有________，最大公因數(shù)是________。例題4、在相應(yīng)的括號里寫出相鄰階梯上兩個數(shù)的最大公因數(shù)。例題5、你能用短除法求出下面每組數(shù)的最大公因數(shù)嗎？30和4516和40隨練隨練1、判斷：36和24的最大公因數(shù)是4．（）隨練2、找出18和24的所有因數(shù)及最大公因數(shù)，并與同伴交流你是怎么找的。18的因數(shù)：________；21的因數(shù)：________；18和24的最大公因數(shù)是________。隨練3、寫出下面各數(shù)與3的最大公因數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？2235610121415與3的最大公因數(shù)我發(fā)現(xiàn)：當一個數(shù)是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時，它們的最大公因數(shù)是（），當一個數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時，它們的最大公因數(shù)是（），一個數(shù)與質(zhì)數(shù)的最大公因數(shù)只有（）種情況．最大公因數(shù)的應(yīng)用知識精講一．兩個數(shù)最大公因數(shù)的特殊情況1．當兩個數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時，較小數(shù)就是它們的最大公因數(shù)．2．當兩個數(shù)的公因數(shù)只有1時，它們的最大公因數(shù)就是1．公因數(shù)只有1的兩個數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)．二．互質(zhì)數(shù)的特殊情況1．1和任意非0的自然數(shù)都是互質(zhì)數(shù)．2．2和任何奇數(shù)都是互質(zhì)數(shù)．3．相鄰的兩個自然數(shù)是互質(zhì)數(shù)．4．相鄰的兩個奇數(shù)是互質(zhì)數(shù)．5．不相同的兩個質(zhì)數(shù)是互質(zhì)數(shù)．6．一個合數(shù)與一個質(zhì)數(shù)是互質(zhì)數(shù)．（合數(shù)是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)除外）三．最大公因數(shù)的實際應(yīng)用當所求量分別與兩個（或幾個）已知量的因數(shù)有關(guān)時，可以用公因數(shù)或最大公因數(shù)的知識解決．典型例題

如果要用邊長是整分米數(shù)的正方形地磚把貯藏室的地面鋪滿（使用的地磚必須都是整塊），可以選擇邊長是幾分米的地磚？邊長最大是幾分米？名師學堂理解題意．題中要求在貯藏室的長方形地面上鋪正方形的地磚，鋪地磚的要求是既要把地面鋪滿，又要用邊長是整分米數(shù)的整塊的地磚．如圖所示：分析與解答．方法分析：正方形地磚的邊長是整分米數(shù)，而且要所用地磚必須都是整塊的，那么正方形地磚的邊長要同時符合長方形地面長和寬的要求，即正方形地磚的邊長必須既是16的因數(shù)，又是12的因數(shù)，也就是16和12的公因數(shù)．因此，16和12的公因數(shù)即所需正方形地磚的邊長，其中的最大公因數(shù)就是要求的最大正方形地磚的邊長．解決問題：16和12的公因數(shù)有1、2、4，最大公因數(shù)是4．所以，可以選邊長是1dm、2dm、4dm的正方形地磚，正方形地磚的邊長最大是4dm．回顧與反思——用畫圖法驗證結(jié)果的準確性．方法說明．畫一個長16dm，寬12dm的長方形，代表貯藏室．分別在長方形里面畫邊長為1dm、2dm、3dm、……的正方形，用來代表地磚，看是否能正好鋪滿長方形．操作驗證．用邊長是1dm的正方形地磚鋪，長邊上用16塊，寬邊上用12塊，一共用了（塊）地磚，正好鋪滿地面（如圖一）；用邊長是2dm的正方形地磚鋪，長邊上用8塊，寬邊上用6塊，一共用了（塊）地磚，正好鋪滿地面（如圖二）；用邊長是3dm的正方形地磚鋪，寬邊上用4塊，長邊上用5塊后，余1dm，所以不能用整數(shù)塊地磚鋪滿地面（如圖三）；用邊長是4dm的正方形地磚鋪，長邊上用4塊，寬邊上用3塊，一共用了（塊）地磚，正好鋪滿地面（如圖四）；用邊長是5dm的正方形地磚鋪，長邊上用3塊后，余1dm，寬邊上用2塊后，余2dm，所以不能用整數(shù)塊地磚鋪滿地面（如圖五）．……繼續(xù)畫下去，發(fā)現(xiàn)剩下的都不能用整數(shù)塊地磚鋪滿地面．得出結(jié)論．要想用整數(shù)塊的正方形地磚把貯藏室的地面鋪滿，所選正方形地磚的邊長必須是16和12的公因數(shù)．長和寬的最大公因數(shù)就是最大正方形地磚的邊長．三點剖析重點：用求公因數(shù)的方法解決實際問題．難點：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題．易錯點：實際情況分析時不全面．求兩個數(shù)最大公因數(shù)的特殊情況例題例題1、選擇。（1）4是32和40的（）。A．倍數(shù) B．公因數(shù) C．最大公因數(shù) D．以上都不對（2）如果（a，b均為非0自然數(shù)），a與b的最大公因數(shù)是（）。A．1 B．a(chǎn) C．b D．3（3）兩個質(zhì)數(shù)的最大公因數(shù)是（）。A．1 B．較小的數(shù) C．較大的數(shù) D．無法確定（4）如果（a，b均為非0自然數(shù)），則a和35的最大公因數(shù)是（）。A．1 B．a(chǎn) C．b D．35（5）57和19的最大公因數(shù)是（）。A．57 B．19 C．1 D．3例題2、找出下列每組數(shù)的最大公因數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？（1）4和8（）5和25（）7和56（）13和39（）我發(fā)現(xiàn)：當兩個數(shù)成（）關(guān)系時，它們的最大公因數(shù)就是（）。（2）5和13（）8和9（）11和19（）22和15（）我發(fā)現(xiàn)：當兩個數(shù)只有公因數(shù)（）時，它們的最大公因數(shù)也是（）。例題3、A，B兩個數(shù)的和是90，其中A是B的5倍，A和B的最大公因數(shù)是多少？隨練隨練1、判斷．（對的畫“√”，錯的畫“×”）（1）自然數(shù)不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)．（）（2）a＝8b（a，b均為非零的自然數(shù)），那么a和b的最大公因數(shù)是8．（）隨練2、探究題找出下列各組數(shù)的最大公因數(shù)，并寫出你的發(fā)現(xiàn)．（1）6和12________24和8________5和15________21和7________30和6________12和48________我發(fā)現(xiàn)：________________________________________．（2）4和9________5和11________3和10________8和9________14和15________1和6________我發(fā)現(xiàn)：________________________________．隨練3、兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時，較小的數(shù)是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。（）互質(zhì)數(shù)的意義和判斷方法例題例題1、按要求寫出兩個數(shù)，使它們的最大公因數(shù)是1。（1）兩個數(shù)都是質(zhì)數(shù)：（）和（）。（2）兩個數(shù)都是合數(shù)：（）和（）。（3）一個質(zhì)數(shù)，一個合數(shù)：（）和（）。（4）兩個數(shù)都是奇數(shù)：（）和（）。（5）一個奇數(shù)，一個偶數(shù)：（）和（）。（6）一個質(zhì)數(shù)，一個偶數(shù)：（）和（）。（7）一個奇數(shù)，一個合數(shù)：（）和（）。隨練用求最大公因數(shù)的方法解決實際問題例題例題1、有一塊長方形紙板，長42cm，寬35cm，要將它剪成正方形紙板且沒有剩余（損耗忽略不計），剪成正方形的邊長最大是多少厘米？例題2、如果用邊長是整分米數(shù)的正方形瓷磚把這面墻貼滿如果用邊長是整分米數(shù)的正方形瓷磚把這面墻貼滿（使用的瓷磚都是整塊）．可以選擇邊長是多少分米的瓷磚？邊長最大是多少分米？要使所用的正方形瓷磚都是整塊的，瓷磚的邊長必須既是________的因數(shù)，又是________的因數(shù)，只要找出55和20的________數(shù)和________數(shù)，就知道正方形瓷磚的邊長和最大邊長．例題3、每年的6月5日世界環(huán)境日，前進路小學五（1）班56名學生和五（2）班64名學生都要上街參加環(huán)保宣傳活動．要求按班分組，如果兩個班每組的人數(shù)必須相同，每組最多有多少人？例題4、如圖有一塊長方體木塊，長是7dm、寬是5dm、高是4.5dm，如果把它鋸成若干塊同樣大小的正方體木塊，可以鋸成棱長最大是多少厘米的正方體木塊而又不浪費，可以鋸成多少塊？隨練隨練1、同學們買來84枝紅花，60枝黃花，36枝粉花，用這些花最多可以扎成多少束同樣的花束？隨練2、把長45cm和30cm的兩根彩帶剪成長度一樣的短彩帶且沒有剩余。每根短彩帶最長是多少？每根短彩帶最長是多少？隨練3、有一塊長48cm、寬42cm的花布，不浪費邊角料，剪出若干個盡量大的正方形布片．正方形布片的邊長最長是多少厘米？隨練4、星星幼兒園買回49塊水果糖和29塊奶糖．劉老師把兩種糖果分別平均分給小班的每位小朋友，結(jié)果水果糖多出4塊，奶糖少了1塊．小班最多會有多少個小朋友？拓展拓展1、先用“√”畫出各個數(shù)的因數(shù)，再填空。11234567891011124612（1）4和6的公因數(shù)有（），最大公因數(shù)是（）。（2）4和12的公因數(shù)有（），最大公因數(shù)是（）。（3）6和12的公因數(shù)有（），最大公因數(shù)是（）。（4）4，6和12的公因數(shù)有（），最大公因數(shù)是（）。拓展2、用14個小正方形拼長方形，有幾種拼法？畫一畫，填一填。14＝（）×（）14＝（）×（）14的全部因數(shù)：________拓展3、按要求寫出兩個數(shù)，使它們的最大公因數(shù)是1．（1）兩個數(shù)都是質(zhì)數(shù)：________和________．（2）兩個數(shù)都是合數(shù)：________和________．（3）一個奇數(shù)，一個偶數(shù)：________和________．（4）一個質(zhì)數(shù)，一個合數(shù)：________和________．（5）一個奇數(shù)，一個合數(shù)：________和________．（6）一個質(zhì)數(shù)，一個偶數(shù)：________和________．拓展4、找一找1，2，…，20各數(shù)和8的最大公因數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？拓展5、填空。（1）在24的因數(shù)上畫“○”，在36的因數(shù)上畫“△”。112345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353624和36的公因數(shù)有（），最大公因數(shù)是（）。（2）18的因數(shù)有（），27的因數(shù)有（），18和27的公因數(shù)有（），最大公因數(shù)是（）。（3）把12和30的因數(shù)、公因數(shù)分別填在相應(yīng)的位置。12和30的最大公因數(shù)是（）。拓展6、選一選．（將正確答案的序號填在括號里）（1）18和54的最大公因數(shù)是（）．①3②6③9④18（2）5和15的最大公因數(shù)是（）．①1②3③5④7（3）甲、乙兩數(shù)是兩個相鄰的自然數(shù)，甲、乙兩數(shù)的最大公因數(shù)是（）．①1②甲