專題08二次函數(shù)與冪函數(shù)

2023高考一輪復(fù)習(xí)講與練08二次函數(shù)與冪函數(shù)練高考明方向1．(2018上海)已知，若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上遞減，則=_____【答案】【解析】由題意為奇函數(shù)，所以只能取，又在上遞減，所以．2．（2017浙江）若函數(shù)在區(qū)間[0，1]上的最大值是，最小值是，則A．與有關(guān)，且與有關(guān)B．與有關(guān)，但與無關(guān)C．與無關(guān)，且與無關(guān)D．與無關(guān)，但與有關(guān)【答案】B【解析】函數(shù)的對(duì)稱軸為，①當(dāng)，此時(shí)，，；②當(dāng)，此時(shí)，，；③當(dāng)，此時(shí)，或，或．綜上，的值與有關(guān)，與無關(guān)．選B．3．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)若，則 ()(A)(B)(C)(D)【答案】C 【解析】對(duì)A：由于，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，A錯(cuò)誤；對(duì)B：由于，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，B錯(cuò)誤；對(duì)C： 要比較和，只需比較和，只需比較和，只需和，構(gòu)造函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，因此，又由得，∴，C正確，對(duì)D： 要比較和，只需比較和，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，又由得，∴，D錯(cuò)誤4．（2014北京）加工爆米花時(shí)，爆開且不糊的粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率與加工時(shí)間（單位：分鐘）滿足函數(shù)關(guān)系（、、是常數(shù)），下圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為（）A．分鐘B．分鐘C．分鐘D．分鐘【答案】B【解析】由題意可知過點(diǎn)（3，0.7），（4，0.8）（5，0.5），代入中可解得，∴，∴當(dāng)分鐘時(shí)，可食用率最大．5．(2013廣東)定義域?yàn)榈乃膫€(gè)函數(shù),,,中，奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是A． B． C． D．【答案】C【解析】是奇函數(shù)的為與，故選C．講典例備高考二次函數(shù)與冪函數(shù)二次函數(shù)與冪函數(shù)奇函數(shù)的定義偶函數(shù)的定義函數(shù)的對(duì)稱性奇偶性的判斷奇偶性的應(yīng)用周期性的判斷周期性的應(yīng)用類型一、冪函數(shù)的定義基礎(chǔ)知識(shí)：1、冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．基本題型：1．（冪函數(shù)的判斷）下列函數(shù)中是冪函數(shù)的是()A．y＝x4＋x2 B．y＝10xC．y＝eq\f(1,x3) D．y＝x＋1【答案】C【詳解】根據(jù)冪函數(shù)的定義知，y＝eq\f(1,x3)是冪函數(shù)，y＝x4＋x2，y＝10x，y＝x＋1都不是冪函數(shù)．2．（冪函數(shù)的判斷）給出下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是冪函數(shù)的有（）A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【詳解】由冪函數(shù)的定義：形如（為常數(shù)）的函數(shù)為冪函數(shù)，則可知①和④是冪函數(shù).類型二、冪函數(shù)的圖象基礎(chǔ)知識(shí)：1、五個(gè)常見冪函數(shù)的圖象基本題型：1．（根據(jù)解析式確定圖象）已知，且，若，則函數(shù)的圖像為（）.A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得：，令，則，解得或（舍去），所以，即，所以的圖像即為的圖像．2．（根據(jù)圖象確定解析式）圖中、、為三個(gè)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中指數(shù)的值依次可以是（）A．、3、 B．、3、 C．、、3 D．、、3【答案】D【詳解】由題意得，根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，，所以解析式中指數(shù)的值依次可以是，3．（利用圖象比較大?。?duì)于冪函數(shù)，若，則，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．無法確定【答案】A【解析】?jī)绾瘮?shù)在上是增函數(shù)，大致圖象如圖所示.設(shè)，，其中，則AC的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為，且，，.，.4．（利用圖象比較大?。┮阎瘮?shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc的圖象如圖所示，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c<b<aB．a(chǎn)<b<cC．b<c<aD．c<a<b【答案】A【解析】由冪函數(shù)圖像特征知，，，，所以選A．5．（冪函數(shù)圖象的性質(zhì)）下列命題中，假命題的個(gè)數(shù)為_________．①冪函數(shù)的圖象有可能經(jīng)過第四象限；②冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象是一條直線；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)是嚴(yán)格減函數(shù)；⑤過點(diǎn)的冪函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱．【答案】3

【詳解】對(duì)于①，正數(shù)的指數(shù)冪為正數(shù)，故冪函數(shù)的圖象不可能經(jīng)過第四象限，故錯(cuò)誤；對(duì)于②，的任何指數(shù)冪均為，所以冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)，故正確；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋鋱D象是兩條射線，故錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)不具有單調(diào)性，故錯(cuò)誤；對(duì)于⑤，當(dāng)冪函數(shù)過點(diǎn)時(shí)，得為偶數(shù)，故冪函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故正確.類型三、冪函數(shù)的性質(zhì)基礎(chǔ)知識(shí)：1、五個(gè)常見冪函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定義域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函數(shù)eq\a\vs4\al(偶函數(shù))奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在R上單調(diào)遞增在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞增在(0，＋∞)上單調(diào)遞增在(－∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞減過定點(diǎn)(0,0)，(1,1)(1,1)1．（冪函數(shù)單調(diào)性）已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知得，解得：，所以，因?yàn)?，，，又，所以，由在上遞增，可得：，所以.2．（冪函數(shù)圖象的對(duì)稱性）已知冪函數(shù)（）的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在上是減函數(shù)，則的值為______.【答案】【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，，解得或1，當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，在單調(diào)遞增，不符合題意，當(dāng)時(shí)，是偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，在單調(diào)遞減，符合題意，.3．（冪函數(shù)的奇偶性）設(shè)，則使函數(shù)的定義域?yàn)榍液瘮?shù)為奇函數(shù)的所有的值為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】時(shí)，函數(shù)解析式為滿足題意；時(shí)，函數(shù)解析式為，偶函數(shù)，不符合題意；時(shí)，函數(shù)解析式為滿足題意；時(shí)，函數(shù)解析式為，定義域?yàn)?，不符合題意；時(shí)，函數(shù)解析式為，定義域?yàn)?，不符合題意.類型四、二次函數(shù)的解析式基礎(chǔ)知識(shí)：二次函數(shù)解析式的三種形式一般式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，圖象的對(duì)稱軸是x＝－eq\f(b,2a)，頂點(diǎn)坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))頂點(diǎn)式f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，圖象的對(duì)稱軸是x＝m，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(m，n)零點(diǎn)式f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，圖象的對(duì)稱軸是x＝eq\f(x1＋x2,2)基本題型：1．已知f(x)是二次函數(shù)且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，則f(x)＝________.【答案】eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x＋2【解析】因?yàn)閒(x)是二次函數(shù)且f(0)＝2，所以設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)．又因?yàn)閒(x＋1)－f(x)＝x－1，所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－(ax2＋bx＋2)＝x－1，整理得(2a－1)x＋a＋b＋1＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1＝0，,a＋b＋1＝0，))解得a＝eq\f(1,2)，b＝－eq\f(3,2)，所以f(x)＝eq\f(1,2)x2－eq\f(3,2)x＋2.2．已知二次函數(shù)f(x)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(－2,0)，且有最小值－1，則f(x)＝________.【答案】f(x)＝x2＋2x.【解析】法一：設(shè)函數(shù)的解析式為f(x)＝ax(x＋2)(a≠0)，所以f(x)＝ax2＋2ax，由eq\f(4a×0－4a2,4a)＝－1，得a＝1，所以f(x)＝x2＋2x.法二：由二次函數(shù)f(x)與x軸交于(0,0)，(－2,0)，知f(x)的圖象關(guān)于x＝－1對(duì)稱．設(shè)f(x)＝a(x＋1)2－1(a>0)，又f(0)＝0，得a＝1，所以f(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x.已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,3)，它在x軸上截得的線段長(zhǎng)為2，并且對(duì)任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，則f(x)＝________.【答案】f(x)＝x2－4x＋3.【解析】∵f(2－x)＝f(2＋x)對(duì)x∈R恒成立，∴f(x)的對(duì)稱軸為x＝2.又∵f(x)的圖象被x軸截得的線段長(zhǎng)為2，∴f(x)＝0的兩根為1和3.設(shè)f(x)的解析式為f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式為f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.基本方法：求二次函數(shù)解析式的方法類型五、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)基礎(chǔ)知識(shí)：函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象定義域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))對(duì)稱軸x＝－eq\f(b,2a)頂點(diǎn)坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))奇偶性當(dāng)b＝0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時(shí)是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是減函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－eq\f(b,2a)，＋∞))上是增函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函數(shù)，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－eq\f(b,2a)，＋∞))上是減函數(shù)基本題型：1．（根據(jù)函數(shù)圖象求范圍）(多選)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()A．b＝－2aB．a(chǎn)＋b＋c<0C．a(chǎn)－b＋c>0D．a(chǎn)bc<0【答案】AD【解析】根據(jù)對(duì)稱軸x＝－eq\f(b,2a)＝1得到b＝－2a，A正確；當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a＋b＋c>0，B錯(cuò)誤；當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝a－b＋c<0，C錯(cuò)誤；函數(shù)圖象開口向下，所以a<0，b＝－2a>0，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝c>0，故abc<0，D正確．2．（根據(jù)解析式確定函數(shù)圖象）(多選)在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋1和函數(shù)g(x)＝ax＋1的圖象可能是()【答案】ABD【解析】若a＝0，則f(x)＝x＋1，g(x)＝1，A符合；若a<0，則f(x)的圖象開口向下，過點(diǎn)(0,1)，對(duì)稱軸的方程為x＝－eq\f(1,2a)，g(x)的圖象過點(diǎn)(0,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，0))，且－eq\f(1,2a)<－eq\f(1,a)，B符合；若0<a<eq\f(1,4)，則f(x)的圖象開口向上，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，過點(diǎn)(0,1)，對(duì)稱軸的方程為x＝－eq\f(1,2a)，g(x)的圖象過點(diǎn)(0,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，0))，且－eq\f(1,2a)>－eq\f(1,a)，C不符合；若a>eq\f(1,4)，則f(x)的圖象開口向上，與x軸沒有交點(diǎn)，過點(diǎn)(0,1)，對(duì)稱軸的方程為x＝－eq\f(1,2a)，g(x)的圖象過點(diǎn)(0,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，0))，且－eq\f(1,2a)>－eq\f(1,a)，D符合．基本方法：1、分析二次函數(shù)圖象問題的要點(diǎn)一是看二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，它決定二次函數(shù)圖象的開口方向；二是看對(duì)稱軸和頂點(diǎn)，它們決定二次函數(shù)圖象的具體位置；三是看函數(shù)圖象上的一些特殊點(diǎn)，如函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)、與x軸的交點(diǎn)，函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)等．從這三方面入手，能準(zhǔn)確地判斷出二次函數(shù)的圖象．反之，也能從圖象中得到如上信息．類型四、二次函數(shù)給定區(qū)間上最值問題基礎(chǔ)知識(shí)：1、閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱軸，結(jié)合圖象，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解．2、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、軸定區(qū)間動(dòng)．無論哪種類型，解題的關(guān)鍵都是圖象的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要依據(jù)圖象的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論．基本題型：1．（軸定區(qū)間定）已知函數(shù)y＝2x2－6x＋3，x∈[－1,1]，則f(x)的最小值是________．【答案】－1【解析】∵函數(shù)f(x)＝2x2－6x＋3的圖象的對(duì)稱軸為x＝eq\f(3,2)>1，∴函數(shù)f(x)＝2x2－6x＋3在[－1,1]上單調(diào)遞減，∴f(x)min＝2－6＋3＝－1.2、（軸動(dòng)區(qū)間定）已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1時(shí)有最大值2，則實(shí)數(shù)a的值為________．【答案】－1或2【解析】易知y＝－x2＋2ax＋1－a(x∈R)的圖象的對(duì)稱軸為直線x＝a.當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象如圖①中實(shí)線部分所示，當(dāng)x＝0時(shí)，ymax＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2，即a＝－1.當(dāng)0≤a≤1時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象如圖②中實(shí)線部分所示，當(dāng)x＝a時(shí)，ymax＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1.∴a2－a＋1＝2，解得a＝eq\f(1±\r(5),2).∵0≤a≤1，∴a＝eq\f(1±\r(5),2)不滿足題意．當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象如圖③中實(shí)線部分所示，當(dāng)x＝1時(shí)，ymax＝f(1)＝a＝2，∴a＝2.綜上可知，a的值為－1或2.3、（軸定區(qū)間動(dòng)）設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函數(shù)f(x)的最小值．【解析】f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝1.當(dāng)t＋1≤1，即t≤0時(shí)，函數(shù)圖象如圖(1)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上為減函數(shù)，所以最小值為f(t＋1)＝t2＋1；當(dāng)t<1<t＋1，即0<t<1時(shí)，函數(shù)圖象如圖(2)所示，在對(duì)稱軸x＝1處取得最小值，最小值為f(1)＝1；當(dāng)t≥1時(shí)，函數(shù)圖象如圖(3)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上為增函數(shù)，所以最小值為f(t)＝t2－2t＋2.綜上可知，當(dāng)t≤0時(shí)，f(x)min＝t2＋1；當(dāng)0<t<1時(shí)，f(x)min＝1；當(dāng)t≥1時(shí)，f(x)min＝t2－2t＋2.新預(yù)測(cè)破高考1．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則下列命題正確的是（）A．是偶函數(shù) B．在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)C．的值域?yàn)?D．在定義域內(nèi)有最大值【答案】B【詳解】設(shè)，則，解得，，的定義域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；可得在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)，故B正確；值域?yàn)?，故C錯(cuò)誤；故在定義域內(nèi)沒有最大值，故D錯(cuò)誤.2．下列關(guān)于冪函數(shù)的結(jié)論，正確的是（）.A．冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn) B．冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限C．冪函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù) D．冪函數(shù)在其定義域內(nèi)都有反函數(shù)【答案】B【解析】?jī)绾瘮?shù)不過點(diǎn)，則A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限，則B正確；的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)或軸對(duì)稱，則C錯(cuò)誤；在內(nèi)無反函數(shù)，則D錯(cuò)誤；3．已知函數(shù)：①；②；③；④；則下列函數(shù)圖象（第一象限部分）從左到右依次與函數(shù)序號(hào)的對(duì)應(yīng)順序是（）A．②①③④ B．②③①④ C．④①③② D．④③①②【答案】D【詳解】①：函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，且圖象過點(diǎn)，因此從左到右第三個(gè)圖象符合；②：函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)，且圖象過點(diǎn)，因此從左到右第四個(gè)圖象符合；③：函數(shù)在第一象限內(nèi)是減函數(shù)，因此從左到右第二個(gè)圖象符合；④：函數(shù)在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，因此從左到右第一個(gè)圖象符合，4．(多選)函數(shù)f(x)＝ax2＋2x＋1與g(x)＝xa在同一坐標(biāo)系中的圖象可能為()【答案】ACD【詳解】當(dāng)a<0時(shí)，g(x)＝xa為奇函數(shù)，定義域?yàn)閧x|x≠0}，且在(0，＋∞)上遞減，而f(x)＝ax2＋2x＋1的圖象開口向下，對(duì)稱軸為x＝－eq\f(1,a)>0，f(0)＝1，故A符合；當(dāng)a＝2n(n∈N*)時(shí)，g(x)＝xa為偶函數(shù)，且在(0，＋∞)上遞增，f(x)＝ax2＋2x＋1的圖象開口向上，且對(duì)稱軸為x＝－eq\f(1,a)<0，Δ＝4－4a<0，其圖象和x軸沒有交點(diǎn)，故D符合；當(dāng)a＝eq\f(1,2n)(n∈N*)時(shí)，函數(shù)g(x)＝xa的定義域?yàn)閇0，＋∞)，且在[0，＋∞)上遞增，f(x)＝ax2＋2x＋1的圖象開口向上，且對(duì)稱軸為x＝－eq\f(1,a)<0，Δ＝4－4a>0，圖象和x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故C符合．B明顯不符合題意，故選A、C、D.5．若冪函數(shù)的圖象不過原點(diǎn)且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則（）A． B． C．或 D．【答案】A【詳解】根據(jù)冪函數(shù)的概念，得，解得或，①若，則，令，其定義域?yàn)?，且，顯然冪函數(shù)為偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不符合題意，舍去；②若，則，令，其定義域?yàn)?，且，即冪函?shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，符合題意.所以.6．若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．1【答案】C【解析】設(shè)冪函數(shù)，圖象過點(diǎn)，故，故，，令，則，，∴時(shí)，.7．冪函數(shù)，當(dāng)取不同的正數(shù)時(shí)，在區(qū)間上它們的圖象是一簇曲線（如圖）.設(shè)點(diǎn)，，連接AB，線段AB恰好被其中的兩個(gè)冪函數(shù)，的圖象三等分，即有，則mn等于（）A．1 B．2 C．3 D．無法確定【答案】A【解析】由題，，，所以，，，，，.8．冪函數(shù)f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，且f(－x)＝f(x)，則m可能等于()A．0 B．1C．2 D．3【答案】B【解析】∵冪函數(shù)f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴3m－5＜0，即m＜.又∵m∈N，∴m＝0,1.∵f(－x)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù)．當(dāng)m＝0時(shí)，f(x)＝x－5是奇函數(shù)；當(dāng)m＝1時(shí)，f(x)＝x－2是偶函數(shù)．∴m＝1,故選B.9．已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且，單調(diào)遞增，且，此時(shí)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以要有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，需.10．已知冪函數(shù)，，對(duì)任意，，且，都有，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】對(duì)任意，，且，都有，即在上單調(diào)減，又是冪函數(shù)，知：，解得或（舍去），∴，是偶函數(shù)，∴，，而，即，11．已知點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,8)))在冪函數(shù)f(x)＝xn的圖象上，設(shè)a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))，b＝f(lnπ)，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．b<a<c B．a(chǎn)<b<cC．b<c<a D．a(chǎn)<c<b【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,8)))在函數(shù)f(x)的圖象上，所以eq\f(1,8)＝2n，解得n＝－3，所以f(x)＝x－3，易知當(dāng)x>0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減．因?yàn)閑q\f(\r(3),3)<eq\f(\r(2),2)<1，lnπ>lne＝1，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))>f(lnπ)，即a>c>b，故選C.12．(多選)已知函數(shù)f(x)＝3x2－6x－1，則()A．函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)B．函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞增C．當(dāng)a＞1時(shí)，若f(ax)在x∈[－1,1]上的最大值為8，則a＝3D．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，若f(ax)在x∈[－1,1]上的最大值為8，則a＝eq\f(1,3)【答案】ACD【解析】因?yàn)槎魏瘮?shù)對(duì)應(yīng)的一元二次方程的判別式Δ＝(－6)2－4×3×(－1)＝48＞0，所以函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，A正確．因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為x＝1，且圖象開口向上，所以f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，B不正確．令t＝ax，則f(ax)＝g(t)＝3t2－6t－1＝3(t－1)2－4.當(dāng)a＞1時(shí)，eq\f(1,a)≤t≤a，故g(t)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))上先減后增，又eq\f(a＋\f(1,a),2)＞1，故最大值為g(a)＝3a2－6a－1＝8，解得a＝3(負(fù)值舍去)．同理當(dāng)0＜a＜1時(shí)，a≤t≤eq\f(1,a)，g(t)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))上的最大值為geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝eq\f(3,a2)－eq\f(6,a)－1＝8，解得a＝eq\f(1,3)(負(fù)值舍去)．故C、D正確．13．已知冪函數(shù)（其中，）滿足：①在區(qū)間上為減函數(shù)；②對(duì)任意的，都有.則在的值域?yàn)開_________.【答案】，值域?yàn)椤窘馕觥?，，?，1.對(duì)任意，都有，即，是偶