專題09空間角距離的計(jì)算

專題專題09空間角、距離的計(jì)算知識點(diǎn)一直線與平面所成的角知識點(diǎn)一直線與平面所成的角1.定義：一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)叫做斜足．過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影．平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．(2)規(guī)定：一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角等于90°；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角等于0°.因此，直線與平面所成的角的范圍是[0°，90°].知識點(diǎn)二知識點(diǎn)二二面角1.有關(guān)概念：平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面．從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面．2.平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，則這兩條射線構(gòu)成的角叫做這個(gè)二面角的平面角.如圖，OA?α，OB?β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l?∠AOB是二面角的平面角.3.范圍：[0，π]4.記法：棱為l，面分別為α，β的二面角記為α－l－β.如圖所示，也可在α，β內(nèi)(棱以外的半平面部分)分別取點(diǎn)P，Q，將這個(gè)二面角記作二面角P－l－Q5.度量：二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角知識點(diǎn)三知識點(diǎn)三點(diǎn)到平面的距離定義：從平面外一點(diǎn)引平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離，叫作這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.知識點(diǎn)四知識點(diǎn)四直線與平面間的距離定義：一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫作這這條直線和這個(gè)平面的距離.知識點(diǎn)五知識點(diǎn)五平行平面間的距離與兩個(gè)平行平面都垂直的直線，叫作這兩個(gè)平行平面的公垂線.它夾在這兩個(gè)平行平面間的線段，叫作這兩個(gè)平行平面的公垂線段.公垂線段的長度叫作兩個(gè)平行平面間的距離.考點(diǎn)01直線與平面所成角（函數(shù)值）的計(jì)算【典例1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）正方體中，直線與平面所成角大小為______．【答案】30°##【分析】由線面角的定義及線面垂直的判定找到線面角的平面角，進(jìn)而求其大小.【詳解】如下圖，由正方體性質(zhì)知：，且，即，又面，面，故，由，面，故面，所以為直線與平面所成角的平面角，顯然，又，故.故答案為：【典例2】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，長方體，，，，是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到棱靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，恰有，求此時(shí)與平面所成的角__________．【答案】【分析】結(jié)合長方體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可知與平面所成的角為，由及勾股定理可得，進(jìn)而可求出得出結(jié)果.【詳解】長方體中，因?yàn)?，，所以，，，因?yàn)榈酌妫矫?，所以，所以與平面所成的角為，，由條件可得，解得，因此，因?yàn)?，所以，與平面所成的角為，故答案為：【典例3】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）在長方體中，，，是中點(diǎn)，求：(1)與平面所成的角；(2)與平面所成的角．【答案】(1)(2)【分析】(1)連接，根據(jù)平面，可得即為直線與平面所成的角的平面角，解三角形即可；(2)連接，根據(jù)平面，可得即為直線與平面所成的角的平面角，解三角形即可.【詳解】（1）如圖，連接，因?yàn)槠矫妫詾樵谄矫嫔系纳溆埃始礊橹本€與平面所成的角的平面角，又平面，所以，在中，，所以，得，即直線與平面所成的角的大小是；（2）連接，因?yàn)槠矫?，所以為在平面上的射影，所以即為直線與平面所成的角的平面角，又面，所以，因?yàn)?，所以在中，，得，即直線與平面所成的角的大小是.【總結(jié)提升】求線面角的方法：(1)求直線和平面所成角的步驟：①尋找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；②連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；③把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過解三角形，求出該角．(2)求線面角的技巧：在上述步驟中，其中作角是關(guān)鍵，而確定斜線在平面內(nèi)的射影是作角的關(guān)鍵，幾何圖形的特征是找射影的依據(jù)，射影一般都是一些特殊的點(diǎn)，比如中心、垂心、重心等．考點(diǎn)02二面角（函數(shù)值）的大小【典例4】（2023·全國·高一專題練習(xí)）點(diǎn)在二面角的平面上，點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到棱的距離為，則二面角的大小為______．【答案】或【分析】根據(jù)二面角的定義，結(jié)合勾股定理分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)二面角為鈍角時(shí)，如下圖所示：設(shè)，連接，因?yàn)?，所以，而平面，所以平面，而平面，所以，所以是二面角的平面角的補(bǔ)角，在直角三角形中，，所以二面角的大小為，同理當(dāng)二面角為銳角時(shí)，二面角的大小為，故答案為：或【典例5】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）若正四棱錐的側(cè)面是正三角形，則它的側(cè)面與底面所成角的大小是______.【答案】【分析】如圖所示，為對角線的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)，說明，則即為側(cè)面與底面所成角的平面角，解即可得解.【詳解】解：正四棱錐的四個(gè)側(cè)面與底面所成角相等，如圖所示，為對角線的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則底面，，則，則即為側(cè)面與底面所成角的平面角，設(shè)棱錐的棱長為，則，在中，，所以，即正四棱錐的側(cè)面與底面所成角的大小是.故答案為：.【典例6】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知平面ABCD，ABCD是正方形，異面直線PB與CD所成的角為．(1)二面角的大??；(2)直線與平面所成的角的大小．【答案】(1)(2)【分析】（1）作于E，連接ED，由已知推導(dǎo)出就是二面角的平面角，由此根據(jù)余弦定理得出，即可得出答案；（2）還原棱錐為正方體，作于F，連接，即可推導(dǎo)出就是直線與平面所成的角，即可求出答案.【詳解】（1）ABCD是正方形，，就是異面直線PB與CD所成的角，即，平面ABCD，平面ABCD，，，作于E，連接ED，在與中，，，，，，就是二面角的平面角，設(shè)，則，，則，則，即，二面角的大小為；（2）還原棱錐為正方體，作于F，平面平面，，平面，連接，則就是直線與平面所成的角，，，，即，直線與平面所成的角為.【規(guī)律方法】1.求二面角大小的步驟：簡稱為“一作二證三求”．作平面角時(shí)，一定要注意頂點(diǎn)的選擇．2．作二面角的平面角的方法：方法一：(定義法)在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．如右圖所示，∠AOB為二面角α－a－β的平面角．方法二：(垂線法)過二面的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角．如圖所示，∠AFE為二面角A－BC－D的平面角．方法三：(垂面法)過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．如圖所示，∠AOB為二面角α－a－β的平面角．考點(diǎn)03點(diǎn)到平面距離的計(jì)算【典例7】（2023·高一單元測試）如圖，在直三棱柱中，，，，M為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)A到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)利用線面平行的判定定理證明；(2)利用等體積法求解.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，則有為的中點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，所以，且平面，平面，所以平面.（2）連接,因?yàn)?，所?又因?yàn)槠矫?，平面，所以?所以平面,又因?yàn)槠矫?所以,又，所以是等腰直角三角形，,所以,,設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為，因?yàn)?所以,所以.【典例8】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，是圓柱的一條母線，是底面的一條直徑，是圓上一點(diǎn)，且，.(1)求直線與平面所成角正弦值；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)(2)【分析】（1）由線面垂直判定可知平面，由線面角定義知所求角為，由長度關(guān)系可得結(jié)果；（2）過作，由面面垂直的判定與性質(zhì)可知即為所求距離，利用面積橋可求得結(jié)果.【詳解】（1）平面，平面，，；是圓的直徑，，又，平面，平面，即為直線與平面所成角，，，，又，，即直線與平面所成角的正弦值為.（2）過作，垂足為，由（1）得：平面，平面，平面平面，又平面平面，平面，，平面，，，根據(jù)等面積法知：，，即到平面的距離等于.【典例9】（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明，，結(jié)合線面垂直的判定即可證；（2）點(diǎn)O到平面PAC距離，即為三棱錐面PAC的高，計(jì)算出與即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.連接，因?yàn)?，所?又，所以，所以.因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?（2）因?yàn)?，所以?，.設(shè)點(diǎn)到的距離為，則，則.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則.因?yàn)?，所以，解得，即點(diǎn)到平面的距離為.【總結(jié)提升】1.利用垂直關(guān)系，構(gòu)造直角三角形；2．利用“等積法”．考點(diǎn)04直線與平面間距離的計(jì)算【典例10】（2022春·山東聊城·高一山東聊城一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在長方體中，.(1)求直線與平面的距離；(2)求四棱錐的體積；【答案】(1)(2)【分析】（1）先證得平面，然后利用等面積法求得直線與平面的距離.（2）根據(jù)錐體體積公式求得正確答案.【詳解】（1）由于平面平面，所以平面.過作，垂足為，根據(jù)長方體的性質(zhì)可知，由于平面，所以平面，在直角三角形中，，，解得，所以直線與平面的距離為.（2）由（1）知，四棱錐的高為，所以.【典例11】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)正方體的棱長是2，求棱和平面的距離．【答案】【分析】根據(jù)已知得出，即可得出平面，即可求出點(diǎn)到平面的距離，根據(jù)平面，得出到平面的距離即A到平面的距離，即可得出答案.【詳解】連接BD、AC，為正方體，四邊形ABCD為正方形，，，，平面，到平面的距離為，平面，到平面的距離即A到平面的距離，棱和平面的距離為.【典例12】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）已知正方體的棱長為，分別是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求線段的長；若不存在，請說明理由；(3)求到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)存在，(3)【分析】（1）由平行四邊形和三角形中位線性質(zhì)可證得，由線面平行判定可得結(jié)論；（2）取中點(diǎn)，由等腰三角形三線合一性質(zhì)和勾股定理可證得，，由線面垂直的判定可得平面，進(jìn)而得到的長；（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論可知所求距離為的長，由（2）可知.【詳解】（1）連接，，，四邊形為平行四邊形，；分別為中點(diǎn)，，，平面，平面，平面.（2）取中點(diǎn)為，，，，，又，，，又，，則，，平面，平面，此時(shí)，則線段上存在點(diǎn)，為中點(diǎn)，使得平面，此時(shí).（3）平面，到平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，由（2）知：當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，平面，則點(diǎn)到平面的距離即為，又，直線到平面的距離為.【總結(jié)提升】利用圖形特征，找出或作出表示距離的線段；轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距離問題．考點(diǎn)05平行平面間距離的計(jì)算【典例13】（2022·高一課時(shí)練習(xí)）兩平行平面，之間的距離為，直線與平面，分別交于A，兩點(diǎn)，點(diǎn)，若，則點(diǎn)P到平面的距離為_________．【答案】或【分析】作圖，利用三角形的相似比可得.【詳解】設(shè)點(diǎn)P到平面的距離為，到平面的距離為．當(dāng)P在平面，之間時(shí)，；當(dāng)P在平面，同側(cè)時(shí)，∵，∴，，∴，．∴點(diǎn)P到平面的距離為或．故答案為：12cm或36cm【典例14】（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖在直三棱柱中，，，，E是上的一點(diǎn)，且，D、F、G分別是、、的中點(diǎn)，與相交于．(1)求證：平面；(2)求平面與平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由已知條件得平面，從而，又，由此能證明平面．（2）由已知條件推導(dǎo)出平面，平面，由此能證明平面平面．由已知條件推導(dǎo)出為平行平面與之間的距離，由此能求出結(jié)果．【詳解】（1）證明：由直三棱柱的性質(zhì)得平面平面，又，平面平面，平面，平面，又平面，，，在和中，，，即，又，平面平面．（2）解：由題意知，在中，，又，，平面，平面，平面，、分別為、的中點(diǎn)，，又，，平面，平面，平面，平面，平面，，平面平面．平面，平面平面，平面，為平行平面與之間的距離，，即平面與之間的距離為．1．（2022·全國甲（文）T9）在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（）A. B.AB與平面所成的角為C. D.與平面所成的角為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面角的定義以及長方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出．【詳解】如圖所示：不妨設(shè)，依題以及長方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，，解得．對于A，，，，A錯(cuò)誤；對于B，過作于，易知平面，所以與平面所成角為，因?yàn)?，所以，B錯(cuò)誤；對于C，，，，C錯(cuò)誤；對于D，與平面所成角為，，而，所以．D正確．故選：D．2.【多選題】（2022·新高考Ⅰ卷T9）已知正方體，則（）A.直線與所成的角為 B.直線與所成的角為C.直線與平面所成的角為 D.直線與平面ABCD所成的角為【答案】ABD【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】如圖，連接、，因?yàn)?，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，故直線與所成的角為，A正確；連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)?，，所以平面，又平面，所以，故B正確；連接，設(shè)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)?，，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設(shè)正方體棱長為，則，，，所以，直線與平面所成的角為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.故選：ABD3.（2019年高考全國Ⅰ卷文數(shù)）已知∠ACB=90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC=2，點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為___________．【答案】【解析】作分別垂直于，平面，連接，由題意可知，，平面，又平面，，，，，，又易知，為的平分線，，又，．一、單選題1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在空間內(nèi)，直線與平面所成角的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間中線面角的定義即可求解.【詳解】空間內(nèi)，直線與平面平行或者直線在平面內(nèi)，此時(shí)直線與平面所成角為0，當(dāng)直線與平面垂直時(shí)，直線與平面所成角為，故直線與平面所成角的取值范圍是,故選：D2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，二面角的平面角為銳角，是內(nèi)的一點(diǎn)（它不在棱上），點(diǎn)是在平面內(nèi)的射影，點(diǎn)是上滿足為銳角的任意一點(diǎn)，那么（

）A．B．C．D．無法確定與的大小關(guān)系【答案】A【分析】過C向AB做垂線交AB于F，連接DF，由直角三角形可知，再由的正切即可比較大小.【詳解】過C向AB做垂線交AB于F，連接DF，如圖，因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，，平面，所以AB面CDF，平面，所以，在直角三角形CDF中，CF為斜邊DF為直角邊，所以，在直角三角形中，，在直角三角形DEF中，，由知，故選：A3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）正四面體的側(cè)棱與底面所成角的正弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖所示，在正四棱錐中，為的中心，則底面，再解即可.【詳解】解：如圖所示，在正四棱錐中，為的中心，則底面，為邊上的中線，，所以即為側(cè)棱與底面所成角的平面角，設(shè)正四面體的棱長為，則，在中，，即正四面體的側(cè)棱與底面所成角的正弦值是.故選：C.4．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）正四棱錐中，E是AB上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），設(shè)SE與BC所成角大小為，SE是平面ABCD所成角大小為，二面角大小為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意作出輔助線，再利用線線、線面、二面角的定義得到，，，進(jìn)而推得，，，，，從而根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，，由此即可判斷的大小.【詳解】設(shè)點(diǎn)為點(diǎn)在底面的投影點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，作過點(diǎn)作直線，且點(diǎn)為直線的中點(diǎn)，，，點(diǎn)為點(diǎn)在底面的投影點(diǎn)，底面，底面，，且，為正四棱錐，點(diǎn)為點(diǎn)在底面的投影點(diǎn)，點(diǎn)為底面的中心，又點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，底面，底面，，，且平面，平面，平面，平面，，，，，點(diǎn)為直線的中點(diǎn)，且，，且，又，，，四邊形是平行四邊形，，即，，又，，平面，平面，平面，又平面，，在中，，在中，，，在中，，，在中，為斜邊，為直角邊，則，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)中，與重合時(shí)，，則，則，與都為銳角，則，在中，為斜邊，為直角邊，則，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)中，與重合時(shí)，，則，且，則，，與都為銳角，則，，綜上所述：，故選：A.二、多選題5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，平面，正方形邊長為1，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則（

）A．B．C．若PA=1，則異面直線PE與BC所成角的余弦值為D．若PA=1，則直線PE與平面所成角為【答案】BC【分析】連接，證明，計(jì)算判斷AB；求出異面直線夾角余弦、線面角的正弦判斷CD作答.【詳解】連接，如圖，因?yàn)槠矫妫矫?，則，而，平面，于是平面，又平面，因此，在正方形中，，，則，，A錯(cuò)誤，B正確；取中點(diǎn)，連接，則，為異面直線PE與BC所成的角或其補(bǔ)角，而平面，平面，有，又，平面，則有平面，平面，于是，，因此，C正確；由平面知，是直線PE與平面所成的角，，顯然，D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題6.（2023春·全國·高一專題練習(xí)）已知如圖邊長為的正方形外有一點(diǎn)且平面，，二面角的大小的正切值______．【答案】【分析】由線面垂直的判定和性質(zhì)，結(jié)合二面角平面角定義可知所求角為，根據(jù)長度關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，連接，平面，平面，，，四邊形為正方形，，，平面，平面，又平面，，是二面角的平面角，由，得：.故答案為：.7．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)二面角的大小為45°，A為棱上一點(diǎn)，在內(nèi)與成45°角，則與平面所成角的大小為_____．【答案】30°##【分析】過作，交于，在平面內(nèi)作，過點(diǎn)作，交于，由已知條件推導(dǎo)出是直線與平面所成的角，由此能求出線段與平面所成角的大?。驹斀狻咳鐖D，過點(diǎn)作于，在平面內(nèi)作交于，連接，由于，，平面，所以平面，平面，故是二面角的平面角，即，由，設(shè)，由于平面，平面，平面，，，，平面，是直線與平面所成的角，，，，，由于為銳角，，故答案為：30°四、解答題8.（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在正四棱錐中，.(1)求側(cè)棱與底面所成角的大小；(2)求二面角的大小的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)線面角的定義可證得為所求角，設(shè)等邊的邊長為，由長度關(guān)系可求得，從而得到結(jié)果；（2）由二面角平面角定義可知為所求二面角的平面角，由長度關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)底面正方形的中心為，連接，由正四棱錐結(jié)構(gòu)特征知：平面，即點(diǎn)在平面上的投影為，為側(cè)棱與底面所成角，在中，，，為等邊三角形，設(shè)其邊長為，平面，平面，，在中，，，，，即側(cè)棱與底面所成角的大小為.（2）取的中點(diǎn)為，連接，在正方形中，；在等邊中，，為二面角的平面角，平面，平面，；在中，，，，二面角的大小的余弦值為.9.（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在長方體中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)求直線與平面所成的角；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)(2)【分析】(1)連接BP，則平面，得為直線AP與平面所成角，利用線面垂直的性質(zhì)求出即可求解；(2)過點(diǎn)P作，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定定理可得平面，即PE為點(diǎn)P到平面的距離，求出PE即可.【詳解】（1）連接BP，則，在長方體中，平面，所以為直線AP與平面所成角，由平面，得，即，由，得，所以直線AP與平面所成的角為；（2）過點(diǎn)P作，垂足為E，在長方體中，平面，平面，得，又平面，所以平面，即PE為點(diǎn)P到平面的距離，而，所以點(diǎn)P到平面的距離為.10.（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面平面，，，PD的中點(diǎn)為F.(1)求證：平面；(2)求直線到面的距離.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）連接BD交AC于O，連接FO，得，根據(jù)線面平行的判定可得平面；（2）根據(jù)線面平行，將線到面的距離化為點(diǎn)到面的距離，再根據(jù)等體積法可求出結(jié)果.【詳解】（1）連接BD交AC于O，連接FO，∵F為AD的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，則，∵平面ACF，平面ACF，∴平面ACF.（2）因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，，平面，所以平面ABCD.由于平面ACF，則PB到平面ACF的距離，即P到平面ACF的距離.又因?yàn)镕為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)P到平面ACF的距離與點(diǎn)D到平面ACF的距離相等.取AD的中點(diǎn)E，連接EF，CE，則，因?yàn)槠矫鍭BCD，所以平面ABCD，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)榱庑吻?，，所以，，則，，，，設(shè)點(diǎn)D到平面ACF的距離為，由得即直線PB到平面ACF的距離為.11.（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，四棱錐中，平面，，．過點(diǎn)作直線的平行線交于為線段上一點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（