七年級(jí)數(shù)學(xué) 第13講 角的運(yùn)算（原卷版）

第13講角的運(yùn)算1．會(huì)利用角平分線的意義進(jìn)行有關(guān)表示或計(jì)算；2.掌握角的和、差、倍、分關(guān)系，并會(huì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.3.掌握角大小比較方法。知識(shí)點(diǎn)1：角平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．注意：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣．知識(shí)點(diǎn)2：角的運(yùn)算如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．注意：(1)用量角器量角和畫角的一般步驟：①對(duì)中(角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．知識(shí)點(diǎn)3：角的比較角的大小比較與線段的大小比較相類似，方法有兩種．方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下圖，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．考點(diǎn)1：角平分線的的定義例1.（2022秋?萬源市校級(jí)期末）如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4，則下列結(jié)論正確的有（）①AD平分∠BAE；②AF平分∠EAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠BAC；⑤AE平分∠BAC．A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式1-1】（2022秋?澄海區(qū)期末）已知射線OC在∠AOB內(nèi)部，下列說法不能確定射線OC是∠AOB的平分線的是（）A．∠AOC+∠BOC＝∠AOB B．∠AOC＝∠AOB C．∠AOB＝2∠BOC D．∠AOC＝∠BOC【變式1-2】（2022秋?達(dá)川區(qū)校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OD是∠AOC的角平分線，∠COB＝42°，則∠DOC的度數(shù)是（）A．59° B．60° C．69° D．70°【變式1-3】（2023春?寶坻區(qū)校級(jí)月考）如圖，直線AB、CD交于O，OE是∠BOC的平分線且∠BOE＝50°，那么∠AOC＝（）°A．80 B．100 C．130 D．150考點(diǎn)2：角的計(jì)算例2.（2022秋?大渡口區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，OC是∠AOB的平分線，∠BOD＝∠DOC，∠BOD＝13°，則∠AOD的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．60° D．52°【變式2-1】（2022秋?安鄉(xiāng)縣期末）如圖，已知O是直線AB上一點(diǎn)，∠1＝40°，OD平分∠BOC，則∠2的度數(shù)是（）A．60° B．65° C．70° D．75°【變式2-2】（2022秋?長垣市期末）如圖，已知，，且∠COD＝20°，則∠AOB＝（）A．100° B．110° C．120° D．135°【變式2-3】（2022秋?東明縣校級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A、B、O在一條直線上，射線OC是∠DOB的平分線，∠AOD＝110°，∠BOC＝°．考點(diǎn)3：雙角平分線的運(yùn)算例3.（2022秋?南川區(qū)期末）如圖所示，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線．（1）如果∠AOB＝40°，∠DOE＝25°，那么∠BOD是多少度？（2）如果∠AOE＝150°，∠COD＝20°，那么∠AOB是多少度？【變式3-1】（2022秋?濟(jì)南期末）如圖，點(diǎn)A，O，B在同一條直線上，射線OD和射線OE分別平分∠AOC和∠BOC，求∠DOE的度數(shù)．【變式3-2】（2022秋?黔江區(qū)期末）如圖，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線．（1）若∠AOB＝30°，∠DOE＝20°，那么∠BOD是多少度？（2）若∠AOE＝150°，∠AOB＝40°，那么∠COD是多少度？【變式3-3】（2022秋?七星關(guān)區(qū)期末）如圖，O為直線AB上的一點(diǎn)，且∠COD為直角，OE平分∠BOD，OF平分∠AOE．若∠BOC＝54°，求∠DOF的度數(shù)．考點(diǎn)4：有關(guān)折疊的角度運(yùn)算例4.（2023春?東平縣期中）如圖，將一張長方形紙按照如圖所示的方法對(duì)折，兩條虛線為折痕，這兩條折痕構(gòu)成的角的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．75° D．90°【變式4-1】（2023春?北辰區(qū)期中）如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、CB均落在對(duì)角線BD上，得折痕BE、BF，則∠EBF的度數(shù)是（）A．15° B．40° C．45° D．60°【變式4-2】（2023?高青縣一模）將一張長方形紙片按如圖方式折疊，BD、BE為折痕，點(diǎn)C′恰好落在A′B上，若∠ABE＝20°，則∠DBC為（）A．40° B．50° C．60° D．70°【變式4-3】（2022秋?濰坊期末）如圖，在矩形紙片ABCD中，把∠D沿直線AE折疊，使得點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處．已知∠EAF與∠BAF的度數(shù)之比為2：5，則∠DAF的度數(shù)是（）A．20° B．30° C．40° D．45°【變式4-4】（2022秋?路北區(qū)校級(jí)期末）如圖是一個(gè)長方形紙片ABCD，將紙片沿EF，EG折疊，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'，點(diǎn)D對(duì)應(yīng)點(diǎn)D'，并且點(diǎn)D'在線段A'E上，若∠AEF＝15°，則∠DEG的大小為（）A．80° B．75° C．70° D．45°考點(diǎn)5：三角形拼接角的運(yùn)算例5.．（2022秋?金安區(qū)校級(jí)期末）如圖，一副三角板如圖擺放，若∠1＝9°，則∠2的度數(shù)為（）A．24° B．25° C．26° D．27°【變式5-1】（2022秋?岳陽期末）把兩塊三角板按如圖所示拼在一起，則∠ABC等于（）A．90° B．100° C．120° D．150°【變式5-2】（2022秋?陳倉區(qū)期末）一副三角板如圖擺放，則∠ABC的度數(shù)是（）A．90° B．75° C．60° D．15°【變式5-3】（2022秋?晉中期末）將一副三角板如圖所示放置，若∠AOD＝20°，那么∠COB的度數(shù)是（）A．120° B．140° C．160° D．170°考點(diǎn)6：角的大小比較例6.（2022秋?儀征市期末）如圖，用同樣大小的三角板比較∠A和∠B的大小，下列判斷正確的是（）A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．沒有量角器，無法確定【變式6-1】（2023春?福山區(qū)期中）如圖，正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長都為1，則∠α與∠β的大小關(guān)系為（）A．∠α＜∠β B．∠α＝∠β C．∠α＞∠β D．無法估測(cè)【變式6-2】（2022秋?遂川縣期末）下面所標(biāo)注的四個(gè)角中最大的角是（）A． B． C． D．【變式6-3】（2022秋?長安區(qū)校級(jí)期末）用“疊合法”比較∠1與∠2的大小，正確的是（）A． B． C． D．1．（2023?河北一模）如圖1，圖2所示，把一副三角板先后放在∠AOB上，則∠AOB的度數(shù)可能（）A．60° B．50° C．40° D．30°2．（2023?順義區(qū)一模）如圖，要把角鋼（1）變成夾角是90°的鋼架（2），則在角鋼（1）上截去的缺口的度數(shù)為（）A．60° B．90° C．120° D．150°3．（2023?安次區(qū)二模）下列度數(shù)的角，只借助一副三角尺不能拼出的是（）A．15° B．75° C．105° D．115°4．（2023?樂山）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OD是∠BOC的平分線，若∠AOC＝140°，則∠BOD的度數(shù)為．（2022?百色）如圖擺放一副三角板，直角頂點(diǎn)重合，直角邊所在直線分別重合，那么∠BAC的大小為°．6．（2022?湘潭）如圖，一束光沿CD方向，先后經(jīng)過平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB＝120°，∠CDB＝20°，則∠AEF＝．1．（2022秋?長沙期末）如圖，已知點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，∠AOC＝58°，∠BOD＝74°，則∠COD等于（）A．42° B．46° C．48° D．51°2．（2022秋?靖西市期末）關(guān)于角的描述錯(cuò)誤的是（）A．∠1與∠AOB表示同一個(gè)角 B．∠AOC可以用∠O表示 C．∠AOC＝∠AOB+∠BOC D．∠β表示∠BOC3．（2022秋?泰興市期末）在所給的：①15°、②65°、③75°、④115°、⑤135°的角中，可以用一副三角板畫出來的是（）A．②④⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④4．（2022秋?晉安區(qū)期末）已知射線OC在∠AOB的內(nèi)部，下列4個(gè)表述中：①∠AOC＝∠AOB，②∠AOC＝∠BOC，③∠AOB＝2∠BOC，④∠AOC+∠BOC＝∠AOB，能表示射線OC是∠AOB的角平分線的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．（2022秋?中寧縣期末）一副三角板如圖所示放置，則∠AOB的度數(shù)為（）A．75° B．90° C．105° D．120°6．（2022秋?荊門期末）如圖，將一副三角尺的兩個(gè)銳角（60°角和45°角）的頂點(diǎn)O疊放在一起，若∠AOD與∠BOC的和為35°，則∠AOC的度數(shù)為（）A．55° B．65° C．70° D．75°7．（2022秋?洪山區(qū)期末）如圖，長方形紙片ABCD，M為AD邊的中點(diǎn)，將紙片沿BM，CM折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A1處，點(diǎn)D落在點(diǎn)D1處，若∠1＝30°，則∠BMC＝（）A．135° B．120° C．105° D．100°8．（2023春?萊西市期中）如圖所示，由正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，O是網(wǎng)格線交點(diǎn)，那么∠AOB與∠COD的大小關(guān)系是∠AOB∠COD．（填“＞”，“＜”或“＝”）9．（2022秋?隆化縣期末）如圖，OC是∠AOD的平分線，OE是∠BO