版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)(第四版)第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算§2復(fù)數(shù)的幾何表示§3復(fù)數(shù)的乘冪與方根§4區(qū)域§5復(fù)變函數(shù)§6復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性§1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算1.復(fù)數(shù)的概念2.復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算1.復(fù)數(shù)的概念定義:在實(shí)數(shù)范圍,方程是無(wú)解的.因此引進(jìn)一個(gè)新數(shù)i,稱為虛數(shù)單位,規(guī)定為復(fù)數(shù),x,y分別稱為z的實(shí)部和虛部,記作兩個(gè)復(fù)數(shù)相等,是指的它的實(shí)部和虛部分別相等.復(fù)數(shù)z=0,指實(shí)部和虛部都是0.且復(fù)數(shù)不能比較大小.對(duì)于任意二實(shí)數(shù)x,y,稱或當(dāng)時(shí),稱為純虛數(shù)。2.復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算當(dāng)z1,z2為實(shí)數(shù)時(shí),上二式與實(shí)數(shù)的運(yùn)算一致。復(fù)數(shù)的加,法和乘法定義為稱上面二式右端為z1,z2的和,差與積。稱滿足的復(fù)數(shù)為z1除以z2的商,記作與實(shí)數(shù)一樣,復(fù)數(shù)運(yùn)算也滿足交換律,結(jié)合律和分配律:因此共軛復(fù)數(shù)把實(shí)部相同而虛部絕對(duì)值相等符號(hào)相反的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)有如下性質(zhì):如果,那么。復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù),與z共軛的復(fù)數(shù)記作。[解]例1
設(shè),求與所以[解]例2
設(shè),求與所以10[解]例求滿足下列條件的復(fù)數(shù)z:(1)設(shè)則由得故(2)則[證]例3
設(shè),為兩個(gè)任意復(fù)數(shù),或證明§2復(fù)數(shù)的幾何表示1.復(fù)平面2.復(fù)球面1.復(fù)平面所以復(fù)數(shù)的全體與該平面上的點(diǎn)的全體成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,此時(shí),x軸稱為實(shí)軸,y軸稱為虛軸,兩軸所在的平面稱為復(fù)平面或z
平面.這樣,復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)成一一對(duì)應(yīng),從而使我們能借助幾何語(yǔ)言和方法研究復(fù)變函數(shù)從而復(fù)數(shù)可以用該平面上的坐標(biāo)為的點(diǎn)來(lái)表示,這是復(fù)數(shù)的一個(gè)常用表示方法。由一對(duì)有序?qū)崝?shù)唯一確定,一個(gè)復(fù)數(shù)問題。OxyxyqPz=x+iy|z|=r在復(fù)平面上,復(fù)數(shù)z還與從原點(diǎn)指向點(diǎn)z=x+iy
的平面長(zhǎng)度稱為z的?;蚪^對(duì)值,記作向量一一對(duì)應(yīng),因此復(fù)數(shù)z也能用向量來(lái)表示。向量的顯然,還有下列各式成立在z0的情況,以正實(shí)軸為始邊,以表示z的向量OP為終邊這時(shí),有稱為z的輻角,記作的角的弧度數(shù)一個(gè),則為任意整數(shù))給出了z的全部幅角,在的幅角中,滿足的稱為Arg
z的主值,記作幅角不確定。時(shí),arg
z當(dāng)其中當(dāng)時(shí),,可由右邊關(guān)系確定:是其中的有無(wú)窮多個(gè)幅角,如果任何一個(gè)復(fù)數(shù)由復(fù)數(shù)運(yùn)算法則,兩個(gè)復(fù)數(shù)Oxyz1z2z1+z2且成立不等式加減法一致。如圖(三角不等式),Oxy原點(diǎn)上,還有。一對(duì)共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)和,如果z不在負(fù)實(shí)軸和Oxy的位置是關(guān)于實(shí)數(shù)軸對(duì)稱的,因而
z1和z2的加減法和相應(yīng)的向量的利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系:OxyxyqPz=x+iy|z|=r可以將z表示成三角表示式:得指數(shù)表示式:
利用歐拉公式[解]例1
將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。1)顯然,。又z在第三象限,則因此,z的三角表示式為z的指數(shù)表示式為2)
顯然,,又故z的三角表示式為z的指數(shù)表示式為19[解]例將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。1)顯然,所以,20[解]例將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。2)顯然,所以,當(dāng)時(shí),有[證]例2
設(shè)又為兩個(gè)任意復(fù)數(shù),證明:所以兩邊開方,應(yīng)得到所要證明的三角不等式。[解]例3因此,復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為將通過(guò)兩點(diǎn)由此得知由取形式的方程來(lái)表示。的直線用復(fù)數(shù)已知通過(guò)點(diǎn)的直線可用參數(shù)方程表示為的直線段的參數(shù)方程可以寫成到,得知線段的中點(diǎn)為23[解]例將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。1)顯然,所以,24[解]例將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式。2)顯然,所以,當(dāng)時(shí),有[解]例4設(shè)求下列方程所表示的曲線:或1)
從幾何上看,方程表示所有與點(diǎn)-i距離為2,方程可變?yōu)橐簿褪堑狞c(diǎn)的軌跡,即中心為-i,半徑為2的圓。也可用代數(shù)方法求出該圓的直角坐標(biāo)方程。所以,那么軌跡,所以方程表示的曲線是一條垂直平分線,它的2)
從幾何上看,方程表示到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的方程為。也可以用代數(shù)的方法求得。3)
設(shè)從而立即可得所求曲線方程為,這是一條平行于x軸的直線。27[解]例求下列方程所表示的曲線:點(diǎn)的軌跡,所以方程表示的曲線是一條垂直平分線,它1)
從幾何上看,方程表示到兩點(diǎn)距離相等的的方程為。也可以用代數(shù)的方法求得。的點(diǎn)的軌跡,所以方程表示的曲線是一條垂直平分線,2)
從幾何上看,方程表示到兩點(diǎn)距離之和為定值它的方程為。也可以用代數(shù)的方法求得。28[解]例求下列方程所表示的曲線:3)
從幾何上看,方程表示z到1的距離與z到的點(diǎn)集是實(shí)軸上的閉區(qū)間[-1,1]。-1的距離之和為2,而-1到1的距離也為2。因此z只能在線段[-1,1]上,即滿足條件另一點(diǎn)N。稱N為北極,S為南極。NSOxyPz2.復(fù)球面除了復(fù)數(shù)的平面表示方法外,還可以用球面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)。取一個(gè)與復(fù)平面切于原點(diǎn)的球面,球面上的一點(diǎn)S與原點(diǎn)重合。通過(guò)S作垂直于復(fù)平面的直線與球面相交于對(duì)復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn)z,用直線將z與N相連,與球面相交于P點(diǎn),則球面上除N點(diǎn)外的所有點(diǎn)和復(fù)平面上的所有點(diǎn)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,而N點(diǎn)本身可代表無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),記作。這樣的球面稱作復(fù)球面。于復(fù)數(shù)來(lái)說(shuō),實(shí)部、虛部與輻角的概念均無(wú)意義,但包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面。不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限平面,或稱復(fù)平面。對(duì)其模規(guī)定為正窮大,即。對(duì)于其它復(fù)數(shù)z都有關(guān)于的四則運(yùn)算作如下規(guī)定:除法:但可為)加法:至于其它運(yùn)算,不規(guī)定其意義。乘法:減法:§3復(fù)數(shù)的乘冪與方根1.乘積與商2.冪與根設(shè)有兩個(gè)復(fù)數(shù)1.乘積與商于是那么
定理一兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積,兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和。從而有用指數(shù)形式表示復(fù)數(shù):q2q2z2q1z1z1z21Oxy并旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度,如圖所示相當(dāng)于將z1的模擴(kuò)大|z2|倍則則定理可以表示為:由定理進(jìn)一步可證,如果當(dāng)用向量表示復(fù)數(shù)時(shí),
定理二兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商,兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差。按照商的定義,當(dāng)時(shí),有由乘積公式有于是由此得如果用指數(shù)形式表示復(fù)數(shù):定理二可簡(jiǎn)明地表示為:。根據(jù)復(fù)數(shù)乘法,有[解]例1即為所求的頂點(diǎn)已知正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)為所以求第三個(gè)頂點(diǎn)。如圖,將旋轉(zhuǎn)類似可得Oxy表示繞或得到另一個(gè)向量,它的終點(diǎn)或36。根據(jù)復(fù)數(shù)乘法,有[解]例向量,它的終點(diǎn)即為所求的頂點(diǎn)已知等腰直角三角形的兩個(gè)底角的點(diǎn)分別為所以,求頂點(diǎn)。如圖,將旋轉(zhuǎn)類似可得Oxy表示繞或,長(zhǎng)度再縮短或得到另一個(gè)2.冪與根則對(duì)任意正整數(shù)n,有
n個(gè)相同復(fù)數(shù)z的乘積稱為z的n次冪,記作,即若定義,那么當(dāng)n為負(fù)整數(shù)時(shí)上式也成立。時(shí),則有棣莫弗(DeMoivre)公式特別地,當(dāng)下面用棣莫弗公式求方程的根,其中z為已知復(fù)數(shù)。如n為正整數(shù),則一個(gè)復(fù)數(shù)的n次根不止有一個(gè),而是方根設(shè)z為己知,方程的根稱為z的n次根,都記為,即有n個(gè),下面就來(lái)求出這個(gè)根先不妨令由棣莫弗公式有于是則上式成立,必有由此,可得其中,是算術(shù)平方根,所以時(shí),得到n個(gè)相異的根:當(dāng)當(dāng)k為其他整數(shù)值代入時(shí),這些根又會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。在幾何上,不難看出:z1/n的n個(gè)值就是以原點(diǎn)為中心,r1/n為半徑的圓的內(nèi)接正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)。例如k=n時(shí),[解]例2求因?yàn)榧此赃@四個(gè)根是內(nèi)接于中心在原點(diǎn),半徑為的圓的正方形的四個(gè)頂點(diǎn),且有42[解]例求因?yàn)榧此赃@四個(gè)根是內(nèi)接于中心在原點(diǎn),半徑為的圓的正方形的四個(gè)頂點(diǎn),且有43[解]例求方程因?yàn)榧此缘乃懈??!?區(qū)域1.區(qū)域的概念2.單連通域與多連通域1.區(qū)域的概念平面上以z0為中心,d(任意的正數(shù))為半徑的圓:dz0內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為z0的鄰域,而稱由不等式所確定的點(diǎn)集為z0的去心鄰域。設(shè)G為一平面點(diǎn)集,z0為G中任意一點(diǎn)。內(nèi)點(diǎn):若存在z0的一個(gè)鄰域,該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于G,則稱z0為G的內(nèi)點(diǎn)開集:如果G內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn),則稱G為開集。區(qū)域:若平面點(diǎn)集D是一個(gè)開集,且是連通的,也就是D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D的一條折線連接起來(lái),則稱D為一個(gè)區(qū)域。但在P的任意小的鄰域內(nèi)總包含有D中的點(diǎn),邊界點(diǎn):設(shè)D為復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域,如果點(diǎn)P不屬于D,則點(diǎn)P稱為D的邊界點(diǎn)。區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的。邊界:D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界。C3C2zg1g2C1PxyDO如果一個(gè)區(qū)域可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓里面,即存在正數(shù)M,使區(qū)域D的每個(gè)點(diǎn)z都滿足|z|<M,則稱D為有界的,否則稱為無(wú)界的。滿足不等式r1<|z-z0|<r2的所有點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)區(qū)域,而且是有界的,區(qū)域的邊界由兩個(gè)圓周|z-z0|=r1和|z-z0|=r2構(gòu)成,稱為圓環(huán)域。若在圓環(huán)域內(nèi)去掉一個(gè)(或幾個(gè))點(diǎn),它仍然構(gòu)成區(qū)域,只是區(qū)域的邊界由兩個(gè)圓周和一個(gè)(或幾個(gè))孤立的點(diǎn)所構(gòu)成。區(qū)域D與它的邊界一起稱為閉區(qū)域或閉域,記作。z0r2r1無(wú)界區(qū)域的例子xyy上半平面:Im
z>0角形域:0<arg
z<xyjxab帶形域:a<Im
z<b2.單連通域與多連通域在數(shù)學(xué)上,常用參數(shù)方程表示各種平面曲線。若x(t)和y(t)是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù),則方程組代表一條平面曲線,稱為連續(xù)曲線。令則此曲線可用一個(gè)方程來(lái)代表。這就是平面曲線的復(fù)數(shù)表示式。且t的每一個(gè)值,有這曲線稱為光滑的,由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線,稱為按段光滑曲線。都連續(xù),上和如果區(qū)間連續(xù)不連續(xù)光滑不光滑z(a)=z(b)簡(jiǎn)單,閉z(a)z(b)簡(jiǎn)單,不閉z(a)=z(b)不簡(jiǎn)單,閉不簡(jiǎn)單,不閉z(a)z(b)重點(diǎn)的連續(xù)曲線C,稱為簡(jiǎn)單曲線或若爾當(dāng)(Jardan)曲線。如果簡(jiǎn)單曲線C的起點(diǎn)與終點(diǎn)閉合,即z(a)=z(b),則曲線C稱為簡(jiǎn)單閉曲線。設(shè)為一條連續(xù)曲線,與分別為C的起點(diǎn)與終點(diǎn)。對(duì)于滿足的t1與t2,當(dāng)而有時(shí),點(diǎn)稱為曲線C的重點(diǎn)。沒有定義:定義:內(nèi)部外部C任意一條簡(jiǎn)單閉曲線C把整個(gè)復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集,其中除去C外,一個(gè)是有界區(qū)域,稱為C的內(nèi)部,另一個(gè)是無(wú)界區(qū)域,稱為C的外部,C為它們的公共邊界。單連通域多連通域復(fù)平面上的一個(gè)區(qū)域B,如果在其中任就稱為單連通域,一個(gè)區(qū)域如果不是單連通域,就稱為多連通域。作一條簡(jiǎn)單閉曲線,而曲線的內(nèi)部總屬于B,一條簡(jiǎn)單閉曲線的內(nèi)部是單連通域。
單連通域B具有這樣的特征:屬于B的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線,在B內(nèi)可以經(jīng)過(guò)連續(xù)的的變形而縮成一點(diǎn),多連通域則無(wú)這個(gè)特征?!?復(fù)變函數(shù)1.復(fù)變函數(shù)的定義2.映射的概念1.復(fù)變函數(shù)的定義定義如果z的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著w的一個(gè)值,則函數(shù)f(z)是單值的;
定的法則存在,按照這一法則,對(duì)于集合G中的每一個(gè)復(fù)數(shù)z,就有一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)(簡(jiǎn)稱復(fù)變函數(shù)),記作否則就是多值的。集合G稱為f(z)的定義集合,對(duì)應(yīng)于G中所有z對(duì)應(yīng)的一切w值所成的集合G*,稱為函數(shù)值集合。的集合,如果有一個(gè)確設(shè)G是一個(gè)復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng),則稱復(fù)變?cè)谝院蟮挠懻撝?定義集合G常常是一個(gè)平面區(qū)域,稱之為定義域,并且,如無(wú)特別聲明,所討論的函數(shù)均為單值函數(shù)。由于給定了一個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)x和y,而復(fù)數(shù)u和v,所以復(fù)變函數(shù)w和自變量z之間的關(guān)系w=f(z)相當(dāng)它們確定了自變量為x和y的兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù).例如,考察函數(shù)令因而函數(shù)w=z2
對(duì)應(yīng)于兩個(gè)二元函數(shù):就相當(dāng)于給定了兩個(gè)亦同樣地對(duì)應(yīng)著一對(duì)實(shí)數(shù)于兩個(gè)關(guān)系式:,則2.映射的概念定義如用z平面的點(diǎn)表示自變量z的值,而用另一個(gè)平面w平面上的點(diǎn)表示函數(shù)w的值,則函數(shù)w=f(z)在幾何上就可看做是把z平面上的一個(gè)點(diǎn)集G(定義集合)變到w平面上的一個(gè)點(diǎn)集G*(函數(shù)值集合)的映射(或變換)。這個(gè)映射通常簡(jiǎn)稱為由函數(shù)w=f(z)所構(gòu)成的映射。如果G中的點(diǎn)z被映射w=f(z)映射成G*中的點(diǎn)w,則w稱為z的象(映象),而z稱為w的原象。例如,函數(shù)所構(gòu)成的映射,是一個(gè)關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱映射,把任一圖形映成關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的全同圖形。再如,函數(shù)所構(gòu)成的映射,可以把z平面上與正實(shí)軸交角為的角形域映射成w平面上與正實(shí)軸交角為的角形域。如下頁(yè)圖。2axyOuvOz1z2w2z3w3aw1xyOuvOABCz1z2A'B'C'w1w2函數(shù)函數(shù)假定函數(shù)w=f(z)的定義集合為z平面上的集合G,函數(shù)值集合為w平面上的集合G*,則G*中的每個(gè)點(diǎn)w必將對(duì)應(yīng)著G中的一個(gè)(或幾個(gè))點(diǎn)。按照函數(shù)的定義,在G*上就確定了一個(gè)單值(或多值)函數(shù)反函數(shù),也稱為映射w=f(z)的逆映射。從反函數(shù)的定義可知,對(duì)任意的wG*,有當(dāng)反函數(shù)為單值函數(shù)時(shí),也有,它稱為函數(shù)w=f(z)的今后,不再區(qū)分函數(shù)與映射(變換)。若函數(shù)與它的反函數(shù)都是單值的,那么稱函數(shù)是一一的。也稱集合G與G*是一一對(duì)應(yīng)的?!?復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性1.函數(shù)的極限2.函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的極限作當(dāng)zz0時(shí),f(z)A。如圖定義:內(nèi),如果有一確定的數(shù)A存在,對(duì)于任意給定的地必有一正數(shù)則稱A為f(z)當(dāng)z趨向于z0時(shí)的極限,記作設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在z0的去心鄰域,相應(yīng),使得當(dāng)時(shí)有,或記xyOz0dzOuvAef(z)幾何意義:z0的充分小的點(diǎn)f(z)就落A的預(yù)先給定的鄰域中。應(yīng)當(dāng)注意,z趨向于z0的方式是任意的,無(wú)論以何種方式趨向于z0,f(z)都要趨向于同一常數(shù)A。當(dāng)變點(diǎn)z一旦進(jìn)入鄰域時(shí),它的象充分必要條件是則[證]必要性:任給,根據(jù)極限的定義有如果,存在,當(dāng)時(shí),或當(dāng)這就是說(shuō)時(shí),因此有定理一
設(shè)充分性:如果由極限定義,對(duì)于任給,總存在,使當(dāng)時(shí),而則當(dāng)時(shí),有即定理二定理一將求復(fù)變函數(shù)的極限問題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)二元,則實(shí)變函數(shù)的極限問題。由定理一,下面的極限有理運(yùn)算法則對(duì)于復(fù)變函數(shù)也成立。如果[證]例證明函數(shù)令由此得,則當(dāng)時(shí)的極限不存在。。讓z沿直線y=kx趨于零時(shí)有顯然,它隨k的不同而不同,所以不存在。雖然,但根據(jù)定理一,不存在。此題也可用另一種方法證明。令則2.函數(shù)的連續(xù)性如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處連續(xù),就說(shuō)f(z)在D內(nèi)連續(xù)。定義如果定理三函數(shù)連續(xù)的充要條件是則說(shuō)f(z)在z0處連續(xù)。在處處連續(xù)。和在例如,函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處連續(xù),因?yàn)槌c(diǎn)外是處處連續(xù)的,而是處處連續(xù)的。由定理二和定理三,還可以推得接下來(lái)的定理四。其中P(z)和Q(z)都是多項(xiàng)式,在復(fù)平面分母不為零的點(diǎn)也是連續(xù)的。由以上定理,可以推得有理整函數(shù)(多項(xiàng)式)對(duì)復(fù)平面內(nèi)所有的z都是連續(xù)的,而有理分式函數(shù)2)若函數(shù)h=g(z)在z0處連續(xù),函數(shù)w=f(h)在h0=g(z0)連續(xù),則復(fù)合函數(shù)w=f[g(z)]在z0處連續(xù)。定理四1)在z0連續(xù)的兩個(gè)函數(shù)f(z)與g(z)的和,差,積,商(分母在z0不為零)在z0處連續(xù);在閉曲線或包括曲線端點(diǎn)在內(nèi)的曲線段上連續(xù)的函數(shù)f(z),在曲線上是有界的。即存在一正數(shù)M,在曲線上還應(yīng)指出,所謂函數(shù)f(z)在曲線C上z0點(diǎn)處連續(xù)的意義是指恒有67[解]例求極限68[解]因?yàn)槔髽O限所以有故有復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)(第四版)第二章解析函數(shù)§1解析函數(shù)的概念§2函數(shù)解析的充要條件§3初等函數(shù)§1解析函數(shù)的概念1.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分2.解析函數(shù)的概念1.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分存在,則就說(shuō)f(z)在z0可導(dǎo),此極限值就稱為f(z)在z0i)導(dǎo)數(shù)的定義定義設(shè)函數(shù)w=f(z)定義于區(qū)域D,z0為D中一點(diǎn),點(diǎn)的導(dǎo)數(shù),
記作不出D的范圍。如果極限也就是說(shuō),對(duì)于任給的時(shí),有,存在,使得當(dāng)應(yīng)當(dāng)注意,定義中任意的,定義中極限值存在的要求與無(wú)關(guān),也就是說(shuō),當(dāng)都趨于同一個(gè)數(shù)。若f(z)在D內(nèi)處處可導(dǎo),就說(shuō)f(z)在D內(nèi)可導(dǎo)。(即)的方式是的方式在區(qū)域D內(nèi)以任何方式趨于z0時(shí),比值所以例1
求f(z)=z2的導(dǎo)數(shù)。[解]因?yàn)槔?
問f(z)=x+2yi是否可導(dǎo)?[解]設(shè)沿著平行于x軸的直線趨向于z,因而這時(shí)極限設(shè)沿著平行于x軸的直線趨向于z,因而這時(shí)極限所以f(z)=x+2yi的導(dǎo)數(shù)不存在。設(shè)沿著平行于y軸的直線趨向于z,因而這時(shí)極限ii)可導(dǎo)與連續(xù)容易證明,在z0點(diǎn)可導(dǎo)的函數(shù)必定在z0點(diǎn)連續(xù)。事實(shí)上,由在z0點(diǎn)可導(dǎo)的定義,對(duì)于任給的相應(yīng)地有一個(gè)令則,,使得當(dāng)時(shí),有由此得所以即在連續(xù)。iii)求導(dǎo)法則與實(shí)函數(shù)相同,復(fù)變函數(shù)也有類似的求導(dǎo)公式與法則,羅列如下:,其中c為復(fù)常數(shù)。,其中n為正整數(shù)。,其中c為復(fù)常數(shù)。,其中n為正整數(shù)。。。。。,其中,其中w=f(z)與是兩個(gè)互為反函數(shù)的單值函數(shù),且。iv)微分的概念小量,而設(shè)函數(shù)w=f(z)在z0可導(dǎo),則有其中因此,如果函數(shù)在z0的微分存在,則稱函數(shù)f(z)在z0可微。是的高階無(wú)窮的線性部是函數(shù)w=f(z)的改變量分,稱為函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0的微分,記作即由此可見,函數(shù)w=f(z)在z0可導(dǎo)與在z0可微是等價(jià)的。特別,當(dāng)f(z)=z時(shí),得。于是上式可變?yōu)槿鬴(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可微,則稱f(z)在D內(nèi)可微。2.解析函數(shù)的概念定義如果函數(shù)f(z)在z0及z0的鄰域內(nèi)處處可導(dǎo),則稱如果f(z)在z0不解析,則稱z0為f(z)的奇點(diǎn)f(z)在z0解析,若f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)解析,則稱f(z)在D內(nèi)解析,或稱f(z)是D內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)(全純函數(shù)或由定義可知,函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價(jià)的。但是,函數(shù)在一點(diǎn)處解析和在一點(diǎn)處可導(dǎo)不等價(jià)。即,函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo),不一定在該點(diǎn)處解析。函數(shù)在一正則函數(shù))點(diǎn)處解析比在該點(diǎn)處可導(dǎo)的要求要高得多。例3
研究函數(shù)[解]和的解析性。由解析函數(shù)的定義與前面的例題可知,在復(fù)平面內(nèi)是解析的,而卻是處處不解析的。下面研究的解析性。由于如果,那么當(dāng)時(shí),上式的極限是零。如果,令沿直線趨于,由于k的任意性,不趨于一個(gè)確定的值。所以當(dāng)?shù)臉O限不存在。時(shí),因此,僅在z=0處可導(dǎo),而在其他點(diǎn)都不可導(dǎo),由定義,它在復(fù)平面內(nèi)處處不解析。例4
研究函數(shù)[解]的解析性。因?yàn)閣在復(fù)平面內(nèi)除點(diǎn)z=0外處處可導(dǎo),且所以在除z=0外的復(fù)平面內(nèi),函數(shù)處處解析,而z=0是它的奇點(diǎn)。所有多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的,任何一個(gè)和,差,積,商(除去分母為零的點(diǎn))在D內(nèi)解析。2)設(shè)h=g(z)在z平面上的區(qū)域D內(nèi)解析,w=f(h)在h平面上的區(qū)域G內(nèi)解析。如果對(duì)D內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)z,g(z)對(duì)應(yīng)值h都屬于G,則復(fù)合函數(shù)w=f[g(z)]在D內(nèi)有理分式函數(shù)P(z)/Q(z)在不含分母為零的點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)是解析函數(shù),使分母為零的點(diǎn)是它的奇點(diǎn)。根據(jù)求導(dǎo)法則可知:定理
1)在區(qū)域D內(nèi)解析的兩個(gè)函數(shù)f(z)與g(z)的解析?!?函數(shù)解析的充要條件在工程中,往往是要用復(fù)變函數(shù)來(lái)解決實(shí)際問題。而實(shí)際問題中遇到的復(fù)變函數(shù),通常都是某個(gè)實(shí)變函數(shù)延拓而來(lái)的。即,如果原來(lái)有一個(gè)實(shí)變函數(shù)f(x),自變量是實(shí)數(shù),函數(shù)值也是實(shí)數(shù),則將x用一個(gè)復(fù)數(shù)代替,就產(chǎn)生了一個(gè)自變量和函數(shù)值都是復(fù)數(shù)的復(fù)變函數(shù)。事實(shí)上我們只關(guān)心這樣的復(fù)變函數(shù)。比如說(shuō)實(shí)變函數(shù)經(jīng)常就是實(shí)變函數(shù)中的基本初等函數(shù)及組合構(gòu)成的初等函數(shù)延拓到復(fù)變函數(shù)。,則相應(yīng)的延拓的復(fù)變函數(shù)就是件。設(shè)f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv
(x,y)定義在區(qū)域D內(nèi),且在D內(nèi)一點(diǎn)z=x+iy可導(dǎo)。,有判斷一個(gè)函數(shù)是否解析,如果只根據(jù)解析函數(shù)的定義,往往比較困難。因此,需要尋找判斷函數(shù)解析的簡(jiǎn)便方法。先考察函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)(或可微)應(yīng)當(dāng)滿足什么條其中則對(duì)于充分小的令。由上式得從而有由于,所以。因此得知u(x,y)和v(x,y)在(x,y)可微,而且滿足方程這就是函數(shù)f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)一點(diǎn)z=x+iy可導(dǎo)的必要條件。而且滿足方程方程稱為柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程
。實(shí)際上,這個(gè)條件也是充分的。且也有下面的定理:定理一設(shè)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)域D內(nèi),而f(z)在D內(nèi)一點(diǎn)z=x+iy可導(dǎo)的充分必要條件是:u(x,y)與v(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微,并且在該點(diǎn)滿足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程
。[證]條件的必要性上面已經(jīng)證明,下面證充分性。[充分性]由于這里[充分性]由于又因?yàn)閡(x,y)與v(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微,可知因此根據(jù)柯西-黎曼方程所以或最后兩項(xiàng)都趨于零。因此這就是說(shuō),函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點(diǎn)z=x+iy處可導(dǎo)因?yàn)?,故?dāng)趨于零時(shí),上式右端的根據(jù)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析的定義及定理一,就可得由定理一可得函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點(diǎn)z=x+iy處的導(dǎo)數(shù)公式:到判斷函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析的一個(gè)充要條件。定理二函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定義域D內(nèi)解析的充要條件是u(x,y)與v(x,y)在D內(nèi)可微,并滿足柯西-黎曼方程。這兩個(gè)定理是本章的主要定理。不但提供了判斷函數(shù)f(z)在某點(diǎn)是否可導(dǎo),在區(qū)域內(nèi)是否解析的常用辦法,而且給出了一個(gè)簡(jiǎn)潔的求導(dǎo)公式。是否滿足柯西-黎曼方程是定理中的主要條件。如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)不滿足柯西-黎曼方程,那么,f(z)在D內(nèi)不解析;如果在D內(nèi)滿足柯西-黎曼方程,且u和v具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),那么,f(z)在D內(nèi)解析。對(duì)于f(z)在一點(diǎn)z=x+iy的可導(dǎo)性,也有類似的結(jié)論。例1
判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析:[解]不可導(dǎo),處處不解析。1)
因?yàn)榭芍挛?黎曼方程不滿足,所以在復(fù)平面內(nèi)處處2)
因?yàn)榭挛?黎曼方程成立,由于上面四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的,所以f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo),處處解析,且有從而[解]例1
判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析:3)
由容易看出,這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù),但僅當(dāng)x=y=0時(shí),,得,所以才滿足柯西-黎曼方程,因而函數(shù)僅在z=0可導(dǎo),但在復(fù)平面內(nèi)任何地方都不解析。[解]例1
判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析:1011)
因?yàn)闀r(shí),柯西-黎曼方程才成立,故此函數(shù)在直線從而僅當(dāng)[解]例判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析:上處處可導(dǎo),而在復(fù)平面上處處不解析。1022)
因?yàn)闀r(shí),柯西-黎曼方程才成立,故此函數(shù)在直線從而僅當(dāng)[解]例判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析:上處處可導(dǎo),而在復(fù)平面上處處不解析。例2
設(shè)函數(shù)問常數(shù)a,b,c,d取何值時(shí),f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處解析?[解]由于從而要使只需因此,當(dāng)內(nèi)處處解析,這時(shí)時(shí),此函數(shù)在復(fù)平面104例設(shè)函數(shù)問常數(shù)a,b,c
取何值時(shí),
f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處解析?[解]先求從而要使只需,因此,所以,有105例設(shè)解析函數(shù)的實(shí)部[解]由于又函數(shù)解析,則有即對(duì)求v關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù),得積分得,那么求f(z)。則即所以有例3
如果所以u(píng)=常數(shù),v=常數(shù),因而f(z)在D內(nèi)是常數(shù)。[證]因?yàn)樵趨^(qū)域D處處為零,則f(z)在D內(nèi)為故一常數(shù)。例4
如果f(z)=u+iv為一解析函數(shù),且f'(z)0,則曲線族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2必互相正交,其中c1,c2為[證]由于如果在曲線交點(diǎn)處uy與vy都不為零,由隱函數(shù)求導(dǎo)法則知曲線族中任一條曲線的斜率分別為利用柯西-黎曼方程得和故uy與vy不全為零。常數(shù)。108例4
如果f(z)=u+iv為一解析函數(shù),且f'(z)0,則曲線族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2必互相正交,其中c1,c2為因此,二曲線族互相正交。如果uy與vy其中有一個(gè)為零,則另一個(gè)必不為零,此時(shí)易知交點(diǎn)的切線一條是垂直,一條是水平,仍然正交。常數(shù)。[證]利用柯西-黎曼方程得§3初等函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)2.對(duì)數(shù)函數(shù)3.乘冪與冪函數(shù)4.三角函數(shù)與雙曲函數(shù)5.反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)內(nèi)也能定義一個(gè)函數(shù)f(z)具有ex的三個(gè)性質(zhì):i)
f(z)在復(fù)平面內(nèi)解析;前面的例題中已經(jīng)知道,函數(shù)是一個(gè)在復(fù)平面處處解析的函數(shù),且有時(shí),f(z)=ex。f(z)稱為指數(shù)函數(shù)。記作實(shí)函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)是很特殊的,希望能夠在復(fù)平面ii)
f'(z)=f(z);iii)
當(dāng)Im(z)=0時(shí),f(z)=ex,其中x=Re(z)。,當(dāng)y=0等價(jià)于關(guān)系式:為整數(shù))由上式可知事實(shí)上,設(shè)z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,按定義有跟ex一樣,expz也服從加法定理:鑒于expz滿足條件iii),且加法定理也成立,為了方便,往往用ez代替expz。但必須注意,這里的ez
沒有冪的意義,僅僅作為代替expz的符號(hào)使用,因此就有由加法定理,可以推出expz的周期性。,即特別,當(dāng)x=0時(shí),有其中k為任何整數(shù)。這個(gè)性質(zhì)是實(shí)變指數(shù)函數(shù)沒有的。它的周期是2.對(duì)數(shù)函數(shù)所以和實(shí)變函數(shù)一樣,對(duì)數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。將滿足方程的函數(shù)w=f(z)稱為對(duì)數(shù)函數(shù)。令,則由于Arg
z為多值函數(shù),所以對(duì)數(shù)函數(shù)w=f(z)為多因此值函數(shù),并且每?jī)蓚€(gè)值相差的整數(shù)倍,記作如果規(guī)定上式中的Arg
z取主值arg
z,則Ln
z為一單值函數(shù),記作ln
z,稱為L(zhǎng)n
z的主值,因此有表達(dá)。對(duì)于每一個(gè)固定的k,上式為一單值函數(shù),稱為L(zhǎng)n
z的一個(gè)分支。而其余各值可由特別,當(dāng)z=x>0時(shí),Ln
z的主值ln
z=ln
x,就是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)。例1
求Ln2,Ln(-1)以及它們相應(yīng)的主值。[解]因?yàn)?所以它的主值就是ln2。而(k為整數(shù)),所以它的主值是。不再成立。而且正實(shí)數(shù)的對(duì)數(shù)也是無(wú)窮多值的。在實(shí)變函數(shù)中,負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù),此例說(shuō)明在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)利用幅角的性質(zhì)不難證明,復(fù)變數(shù)對(duì)函數(shù)函數(shù)保持了實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì):116例求Ln(-i),Ln(-3+4i)以及它們相應(yīng)的主值。[解]因?yàn)樗运闹髦稻褪嵌?k為整數(shù)),所以它的主值是,但應(yīng)注意,與第一章中關(guān)于乘積和商的輻角等式體是相同的,還應(yīng)注意的是,等式:不再成立,其中n為大于1的正整數(shù)。一樣,這些等式也應(yīng)理解為兩端可能取的函數(shù)值的全對(duì)數(shù)函數(shù)的解析性就主值ln
z而言,其中l(wèi)n|z|除原點(diǎn)外在其它點(diǎn)都是連續(xù)的,而arg
z在原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸上都不連續(xù)。所以除去原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸,在復(fù)平面內(nèi)其他點(diǎn),lnz處處因?yàn)槿粼O(shè)z=x+iy,則當(dāng)z<0時(shí),連續(xù)。在區(qū)域數(shù)w=lnz是單值的。由反函數(shù)的求導(dǎo)法則可知:綜上所述,內(nèi)的反函所以,lnz在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)解析。而且有,Lnz
的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)也解析,并且有相同的導(dǎo)數(shù)值.今后應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)Lnz時(shí),指的都是它在除去原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)的某一單值分支。3.乘冪ab與冪函數(shù)可表示為ab=eblna,現(xiàn)在將它推廣到復(fù)數(shù)的情形。設(shè)a為不等于0的一個(gè)復(fù)數(shù),b為任意一個(gè)復(fù)數(shù),定義乘冪多值的。當(dāng)b為整數(shù)時(shí),由于在高等數(shù)學(xué)中,如果a為正數(shù),b為實(shí)數(shù),則乘冪ab由于是多值的,因而ab也是ab為ebLna,即所以這時(shí)ab具有單一的值。當(dāng)b=p/q
(p和q為互質(zhì)的整數(shù),q>0)時(shí),由于ab具有q個(gè)值,即當(dāng)k=0,1,...,(q-1)時(shí)相應(yīng)的各個(gè)值。除此而外,一般而論ab具有無(wú)窮多個(gè)值。例2
求和的值。[解]由此可見,是正實(shí)數(shù),它的主值是123例求和的值。[解]124例求和的值。[解]時(shí)是與a的n次冪及a的n次根的定義是完全一致的。應(yīng)當(dāng)指出,定義,當(dāng)b為正整數(shù)n及分?jǐn)?shù)i)當(dāng)b為正整數(shù)n時(shí),根據(jù)定義(指數(shù)n項(xiàng))(因子n個(gè))(因子n個(gè))ii)
當(dāng)b為分?jǐn)?shù)時(shí),有因?yàn)閕i)當(dāng)b為分?jǐn)?shù)時(shí),有其中所以,如果a=z為一復(fù)變數(shù),就得到一般的冪函數(shù),當(dāng)b=n與時(shí),就分別得到通常的冪函數(shù)及zn
在復(fù)平面內(nèi)是單值解析函數(shù),且(zn)'=nzn-1.對(duì)數(shù)函數(shù)Ln
z的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的,因而各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)也是解析的,且有冪函數(shù)是一個(gè)多值函數(shù),具有n個(gè)分支,又值函數(shù),當(dāng)b為無(wú)理數(shù)或復(fù)數(shù)時(shí),是無(wú)窮多值的。同樣的道理,它的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面冪函數(shù)(除去b=n與兩種情況外)也是一個(gè)多內(nèi)也是解析的,并且有4.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)現(xiàn)將其推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情形,定義當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí),顯然這與上式完全一致。由歐拉公式有將這兩式相加與相減,分別得到為周期的周期函數(shù),因此cos
z和sinz以由于ez是以也容易推出cos
z是偶函數(shù),sinz是奇函數(shù):又由指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以求得從公式還易知普遍正確,即對(duì)于復(fù)數(shù),歐拉公式仍然成立。為周期,即由定義和指數(shù)函數(shù)的加法定理,可知三角函數(shù)許多仍然成立由此得但當(dāng)z為純虛數(shù)iy時(shí),有但當(dāng)z為純虛數(shù)iy時(shí),有所以這兩個(gè)公式對(duì)于計(jì)算cos
z與sinz的值有用。當(dāng)y時(shí),|siniy|和|cosiy|都趨于無(wú)窮大,因此,|sinz|1和|cosz|1在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不再成立。其它復(fù)變數(shù)三角函數(shù)的定義如下:分別稱為雙曲余弦,正弦和正切函數(shù)。與三角函數(shù)密切相關(guān)的是雙曲函數(shù),定義sh
z為奇函數(shù),它們都是復(fù)平面內(nèi)的解析函數(shù),導(dǎo)數(shù)不難證明ch
z和sh
z都是以為周期的函數(shù),chz為偶函數(shù),及分別為:134例解方程:[解1]即或即所以135例解方程:[解2]即則所以即5.反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)則稱w為z的反余弦函數(shù),記作反三角函數(shù)定義為三角函數(shù)的反函數(shù),設(shè)由得二次方程數(shù)。兩端取對(duì)數(shù)得它的根為其中應(yīng)理解為雙值函顯然Arccosz是一個(gè)多值函數(shù),它的多值性正是cos
w的偶性和周期性的反映。用同樣的方法可以定義反正弦和反正切函數(shù),并且重復(fù)上述步驟,可以得到它們的表達(dá)式:反雙曲函數(shù)定義為雙曲函數(shù)的反函數(shù)。用與推導(dǎo)它們都是多值函數(shù)。反三角函數(shù)表達(dá)式完全類似的步驟,可以得到各反雙曲函數(shù)的表達(dá)式:反雙曲正弦反雙曲余弦反雙曲正切復(fù)變函數(shù)工程數(shù)學(xué)(第四版)第三章復(fù)變函數(shù)的積分§1復(fù)變函數(shù)積分的概念§2柯西-古薩基本定理§3基本定理的推廣———復(fù)合閉路定理§4原函數(shù)與不定積分§5柯西積分公式§6解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)§7解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系§1復(fù)變函數(shù)積分的概念1.積分的定義2.積分存在的條件及其計(jì)算法3.積分的性質(zhì)1.積分的定義如果選定C的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正方向(或正向),則將C理解為帶有方向的曲線,稱為有向曲線。設(shè)曲線C的兩個(gè)端點(diǎn)為A與B,如果將A到B的方向作為C的正方向,則從B到A的方向就是C的負(fù)方向,。常將兩個(gè)端點(diǎn)中一個(gè)作為起點(diǎn),另一個(gè)作為終點(diǎn),則正方向規(guī)定為起點(diǎn)至終點(diǎn)的方向。設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線。并記作而簡(jiǎn)單閉曲線的正方向是指當(dāng)曲線上的點(diǎn)P順此方向沿該曲線前進(jìn)時(shí),鄰近P點(diǎn)的曲線內(nèi)部始終位于P點(diǎn)的左方。相反的方向就是曲線的負(fù)方向。定義終點(diǎn)為B的一條光滑有向設(shè)w=f(z)定義在區(qū)域D內(nèi),C是D內(nèi)起點(diǎn)為AAz1z1z2z2z3z3...zk-1zkzkDzkBxyO曲線。C任意分成n個(gè)弧段,設(shè)分點(diǎn)為Az1z1z2z2z3z3...zk-1zkzkDzkBxyO在每個(gè)弧段zk-1zk(k=1,2,...,n)上任意取一點(diǎn)k,并作和式的長(zhǎng)度,,,記當(dāng)n無(wú)限增加且趨于零,如有唯一極限,則稱其為f(z)沿曲線C的積分,記作容易看出,當(dāng)C是x軸上的區(qū)間axb,而f(z)=u(x)時(shí),這個(gè)積分定義就是一元實(shí)函數(shù)定積分的定義。如果C為閉曲線,則沿此閉曲線的積分記作2.積分存在的條件及計(jì)算法給出,正方向?yàn)閰?shù)增加的方向,參數(shù)a及b對(duì)應(yīng)于起點(diǎn)如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)處處連續(xù),則u(x,y)及v(x,y)均為D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。設(shè)zk=xk+ihk,設(shè)光滑曲線C由參數(shù)方程A及終點(diǎn)B,并且
。由于所以,有下面的式子:由于u,v都是連續(xù)函數(shù),根據(jù)線積分的存在定理,當(dāng)n無(wú)限增大而弧段長(zhǎng)度的最大值趨于零時(shí),不論對(duì)不論對(duì)C的分法如何,點(diǎn)(xk,hk
)的取法如何,上式右端的兩個(gè)和式的極限都是存在的。因此有上式在形式上可以看作是與所以是比較容易記住的。相乘后求積分得到:而且上式說(shuō)明了兩個(gè)問題:i)當(dāng)f(z)是連續(xù)函數(shù)而C是光滑曲線時(shí),積分是一定存在的。可以通過(guò)兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的線積分來(lái)計(jì)算。根據(jù)線積分的計(jì)算方法,有上式右端可以寫成所以今后討論積分,如無(wú)特別說(shuō)明,總假定被積函數(shù)是連續(xù)的,曲線C是按段光滑的。如果C是由C1,C2,...,Cn等光滑曲線首尾連接而成,則定義[解]直線的方程可寫作,其中C為原點(diǎn)到點(diǎn)3+4i的直線段。例1
計(jì)算或在C上,。于是又因容易驗(yàn)證,右邊兩個(gè)線積分都與路線C無(wú)關(guān),所以的值,不論C是怎樣的連接原點(diǎn)到3+4i的曲線,都等于[解]直線的方程可寫作計(jì)算積分例分別沿y=x與在C上,。于是拋物線的方程可寫作在C上,。于是z0rqz-z0=reiqzOxy的正向圓周,n為整數(shù)。例2
計(jì)算,其中C為以z0為中心,r為半徑當(dāng)n=0時(shí),結(jié)果為當(dāng)時(shí),結(jié)果為所以[解]C的方程可寫作這個(gè)結(jié)果以后經(jīng)常要用到,它的特點(diǎn)是與積分路線圓周的中心和半徑無(wú)關(guān),應(yīng)當(dāng)記住。所以這是因?yàn)閦1z0=1+iOxyC2C1C31)
沿原點(diǎn)到點(diǎn)例3
計(jì)算的值,其中C為所接成的折線。[解]的直線段2)
沿從原點(diǎn)到點(diǎn)的直線段段,與從到的直線3.積分的性質(zhì)則(k為常數(shù))設(shè)曲線C長(zhǎng)度為L(zhǎng),f(z)在C上滿足,復(fù)函數(shù)的積分也有下列一些簡(jiǎn)單性質(zhì),與實(shí)變函數(shù)中定積分的性質(zhì)類似的:線因此便得不等式的第一部分,又因兩端取極限,得兩點(diǎn)之間的弧段的長(zhǎng)度,所以事實(shí)上,是與兩點(diǎn)之間的距離,為這這里表示連續(xù)函數(shù)(非負(fù)的)沿C的曲所以這是不等式的第二部分。絕對(duì)值的一個(gè)上界。例4設(shè)C為從頂點(diǎn)到點(diǎn)3+4i的直線段,試求積分[解]C的方程為。由估值不等式得從而有而,所以在C上,§2柯西-古薩(Cauchy-Goursat)基本定理或沿封閉曲線的積分值為零的條件,可能與被積函數(shù)的解析性及區(qū)域的單連通性有關(guān)。究竟關(guān)系如何,不妨先在加強(qiáng)條件下做些初步探討。假設(shè)f(z)=u+iv在單連通域B內(nèi)處處解析,且連續(xù)的,且滿足柯西-黎曼方程從上節(jié)的幾個(gè)例題中思考,積分的值與路線無(wú)關(guān),在B內(nèi)連續(xù)。由于所以u(píng)和v以及它們的偏導(dǎo)數(shù)在B內(nèi)都是則有其中C為B內(nèi)任何一條簡(jiǎn)單閉曲線,從格林公式與柯西-黎曼方程(路線C取正向)得其中D是C所圍的區(qū)域,所以上式的左端為零。閉曲線的積分為零。實(shí)際上,是不必要的。因此有下面一條在解析函數(shù)理論中最基本的定理。因此在上面的假設(shè)下,函數(shù)f(z)沿B內(nèi)任何一條在B內(nèi)連續(xù)的假設(shè)柯西-古薩基本定理CB內(nèi)處處解析,則在B內(nèi)任何一條封閉曲線C的積分為零:如果函數(shù)f(z)在單連通域B定理中曲線C可以不是簡(jiǎn)單曲線。這個(gè)定理又稱柯西積分定理。CB柯西-古薩基本定理成立的條件之一是曲線C要屬于區(qū)域B。如果曲線C是B的邊界,函數(shù)f(z)在B內(nèi)與解析,甚至f(z)在B內(nèi)解析,在閉區(qū)域B+C上連續(xù),則f(z)在邊界上C上解析,即在閉區(qū)域B+C上的積分仍然有[解]由積分運(yùn)算的性質(zhì)可知的正向例計(jì)算積分其中利用柯西-古薩基本定理因此有
§3基本定理的推廣———復(fù)合閉路定理在上一節(jié)中,討論了柯西-古薩定理是在單連通域里,現(xiàn)將柯西-古薩基本定理推廣到多連通域的情況。設(shè)函數(shù)f(z)在多連通域D內(nèi)解析,C為D內(nèi)的任意一條簡(jiǎn)單閉曲線,當(dāng)C的內(nèi)部不完全含于D時(shí),沿C的積分設(shè)C及C1為D內(nèi)任方向)簡(jiǎn)單閉曲線,C1就不一定為零。意兩條(正向?yàn)槟鏁r(shí)針在C內(nèi)部,且以C及C1為邊界的區(qū)域D1全含于D。DCC1AA'BB'D1FEE'F'其中A,B在C上,A'B'D內(nèi)的簡(jiǎn)單閉曲線。如右圖,及在C1上構(gòu)成兩條全在作兩條不相交的弧線,分析,得知將上面兩等式相加,得DCC1AA'BB'D1FEE'F'DCC1AA'BB'D1FEE'F'將上面兩式相加,得即或上式說(shuō)明在區(qū)域內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)沿閉曲線的積分,不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值,只要在變形過(guò)程中不經(jīng)過(guò)函數(shù)閉路變形原理。看成一條復(fù)合閉路G,其正向?yàn)?上式說(shuō)明如果將C及順時(shí)針,則沿C逆時(shí)針,沿D變形過(guò)程中不能夠經(jīng)過(guò)f(z)不解析的點(diǎn)一重要事實(shí),稱為
f(z)不解析的點(diǎn)。這閉曲線,C1,C2,...,Cn是在C內(nèi)部的簡(jiǎn)單閉曲線,它們互不包含也互不相交,并且以C,C1,C2,...,Cn為邊界的區(qū)域全含于D。如果f(z)在D內(nèi)解析,則設(shè)C為多連通域D內(nèi)的一條簡(jiǎn)單定理(復(fù)合閉路定理)均取正方向;,其中C與為由C及Ck(k=1,2,...,n)DCC1C2C3所組成的復(fù)合閉路(C按順時(shí)針,Ck按逆時(shí)針)。例如從本章§1的例2知:當(dāng)C為以z0為中心的正向所以,根據(jù)閉路變形原理,對(duì)于包含z0的任何一條正向簡(jiǎn)單曲線都有:圓周時(shí),[解]函數(shù)的任何正向簡(jiǎn)單閉曲線。是處處解析的。線,因此,它也包含這兩個(gè)奇點(diǎn)。在G內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互不相交的正向圓周C1與C2,C1只例計(jì)算的值,為包含圓周|z|=1在內(nèi)在復(fù)平面內(nèi)除z=0和z=1兩個(gè)奇點(diǎn)外由于是包含著圓周|z|=1在內(nèi)的任何正向簡(jiǎn)單閉曲xyO1GC1C2包含奇點(diǎn)z=0,C2只包含奇點(diǎn)z=1。則根據(jù)復(fù)合閉路定理可得從這個(gè)例子可以看到:借助于復(fù)合閉路定理,有些比較復(fù)雜的函數(shù)的積分可以化為比較簡(jiǎn)單的函數(shù)的積分來(lái)計(jì)算它的值。這是計(jì)算積分常用的一種方法。xyO1GC1C2[解]函數(shù)的正向。外是處處解析的。C內(nèi)作三個(gè)互不包含也互不相交的正向圓周C1,C2,C3,C1只包含例計(jì)算在復(fù)平面內(nèi)除z=0,i,-i三個(gè)奇點(diǎn)由于C是圓周|z-3|=1,它包含這三個(gè)奇點(diǎn)。因此在奇點(diǎn)z=0,C2只包含奇點(diǎn)z=i,xyOiCC1C2C3-iC3只包含奇點(diǎn)z=-i。則根據(jù)復(fù)合閉路定理可得xyOiCC1C2C3-i[解]函數(shù)的正向。外是處處解析的。C內(nèi)作三個(gè)互不包含也互不相交的正向圓周C1,C2,C3,C1只包含例計(jì)算在復(fù)平面內(nèi)除z=0,i,-i三個(gè)奇點(diǎn)由于C是圓周|z-3|=1,它包含這三個(gè)奇點(diǎn)。因此在奇點(diǎn)z=0,C2只包含奇點(diǎn)z=i,xyOiCC1C2C3-iC3只包含奇點(diǎn)z=-i。則根據(jù)復(fù)合閉路定理可得xyOiCC1C2C3-i§4原函數(shù)與不定積分z1z2BC1C2z1z2C1C2B定理一如果函數(shù)f(z)在單連通域B內(nèi)處處解析,則積分與連接起點(diǎn)及終點(diǎn)的路線C無(wú)關(guān)。由定理一可知,解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)z0和終點(diǎn)z1有關(guān),如圖所示,有z1z2BC1C2z1z2C1C2B固定z0,讓z1在B內(nèi)變動(dòng),令z1=z,則積分在B內(nèi)確定了一個(gè)單值函數(shù)對(duì)這個(gè)函數(shù)我們有下面的定理。[證]從導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā)來(lái)證。設(shè)z為B內(nèi)任意一點(diǎn),以z為中心作一含于B內(nèi)的小圓K,取定理二如果f(z)在單連通域B內(nèi)處處解析,則函數(shù)F(z)必為B內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù),并且在K內(nèi)。于是可得充分小使z+DzzKzz0z+DzzKzz0,存在,當(dāng)即時(shí),總有又任給又因從而有因此根據(jù)積分的估值性質(zhì)有這就是說(shuō)即這個(gè)定理跟微積分學(xué)中的對(duì)變上限積分的求導(dǎo)定理完全類似在此基礎(chǔ)上,也可以得出類似于微積分學(xué)中的基本定理和牛頓-萊布尼茲公式。先引入原函數(shù)的概念。容易證明,f(z)的任何兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)。設(shè)G(z)和H(z)是
f(z)的何任兩個(gè)原函數(shù),則定義如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的導(dǎo)數(shù)等于f(z),,則稱為f(z)在區(qū)域B內(nèi)的原函數(shù)。定理二表明是f(z)的一個(gè)原函數(shù)。所以c為任意常數(shù)。因此,如果函數(shù)f(z)在區(qū)域B內(nèi)有一個(gè)原函數(shù)F(z),即則,它就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù),而且具有一般表達(dá)式F(z)+c,c為任意常數(shù)。可推得跟牛頓-萊布尼茲公式類似的解析函數(shù)積分計(jì)跟在微積分學(xué)中一樣,定義:f(z)的原函數(shù)的一般形式F(z)+c(其中c為任意常數(shù))為f(z)的不定積分,利用任意兩個(gè)原函數(shù)之差為一常數(shù)這一性質(zhì),記作算公式。[證]因?yàn)橐彩莊(z)的原函數(shù),所以或當(dāng)z=z0時(shí),根據(jù)柯西-古薩基本定理,,因此有f(z)的的一個(gè)原函數(shù),則如果f(z)在單連通域B內(nèi)處處解析,G(z)為這里z0,z1為域B內(nèi)的兩點(diǎn)。定理三[解]原函數(shù)為zsin
z+cos
z。所以例1
求積分的值函數(shù)zcos
z在全平面內(nèi)解析,容易求得它有一個(gè)有了原函數(shù)、不定積分和積分計(jì)算公式,復(fù)變函數(shù)的積分就可用跟微積分學(xué)中類似的方法去計(jì)算。在所設(shè)區(qū)域內(nèi)解析。它的一個(gè)原函例2
試沿區(qū)域數(shù)為,所以內(nèi)的圓弧|z|=1,計(jì)算的值。積分[解]函數(shù)[解]例求下列積分的值:或[解]例1
求下列積分的值:[解]例1
求下列積分的值:§5柯西積分公式都是相同的。現(xiàn)在來(lái)求這個(gè)積分的值。設(shè)B為一單連通域,為B中一點(diǎn)。若f(z)在B內(nèi)解形原理,這積分的值沿任何一條圍繞的簡(jiǎn)單閉曲線析,則函數(shù)在不解析。所以在B內(nèi)圍繞的一條閉曲線C的積分一般不為零。又根據(jù)閉路變則取以z0為中心,半徑為δ的很小的圓周既然沿圍繞z0的任何簡(jiǎn)單閉曲線積分值都相同。(取其正向)作為積分曲線C。由于f(z)的連續(xù)性,在C上的函數(shù)f(z)的值將隨著的值也將隨著d的縮小而接近于其實(shí)兩者是相等的,即因此有下面的定理。δ的縮小而逐漸接近于它在圓心z0處的值,從而可以猜想析,C為D內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,它的內(nèi)部完全含于D,z0為C內(nèi)的任一點(diǎn),則如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處解定理(柯西積分公式)DCKzz0R周K:|z-z0|=R全部在C的內(nèi)部,時(shí),,存在,當(dāng)[證]由于f(z)在z0連續(xù),任給設(shè)以z0為中心,R為半徑的圓且。那么有對(duì)上式右邊第二個(gè)式子整理可得這表明不等式右端積分的??梢匀我庑?只要R足夠小就行了,根據(jù)閉路變形原理,該積分的值與R無(wú)關(guān),所以只有在對(duì)所有的R積分值為零才有可能,因此,上式即為要證的式子。上式稱為柯西積分公式。如果f(z)在簡(jiǎn)單閉曲線C所圍成的區(qū)域內(nèi)及C上解析,那么公式仍然成立。即即,解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值。如果C是圓周,則定理可變?yōu)閇解]由公式有例求下列積分(沿圓周方向)的值:[解]由公式有例求下列積分(沿圓周方向)的值:[解]例求下列積分(沿圓周方向)的值:[解]被積函數(shù)例計(jì)算積分C分別為:有兩個(gè)奇點(diǎn):(1)在內(nèi)有奇點(diǎn),故[解]被積函數(shù)例計(jì)算積分C分別為:有兩個(gè)奇點(diǎn):(2)在內(nèi)有奇點(diǎn),故[解]被積函數(shù)例計(jì)算積分C分別為:有兩個(gè)奇點(diǎn):(3)由復(fù)合閉路定理,有§6解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù),而且有各高階導(dǎo)數(shù),它的值也可用函數(shù)在邊界上的值用積分來(lái)表示。這一點(diǎn)和實(shí)變函數(shù)完全不同。一個(gè)實(shí)變函數(shù)在某一區(qū)間上可導(dǎo),它的導(dǎo)數(shù)在這區(qū)間上是否連續(xù)也不一定,更不要說(shuō)它有高階導(dǎo)數(shù)存在了。其中C為在函數(shù)f(z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任何一條[證]設(shè)z0為D內(nèi)任意一點(diǎn),先證n=1的情形,即正向簡(jiǎn)單曲線,而且它的內(nèi)部全含于D。關(guān)于解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)有下面的定理。定理解析函數(shù)f(z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),它的n階導(dǎo)數(shù)為:先按定義有因此就是要證在時(shí)也趨向于零。從而有令則時(shí)I0,而現(xiàn)要證當(dāng)又因?yàn)閒(z)在C上連續(xù),則有界,設(shè)界為M,則在C上|f(z)|M。d為z0到C上各點(diǎn),則,小使其滿足所以Dz0dC適當(dāng)?shù)氐淖疃叹嚯x,則取再利用同樣的方法去求極限:便可得L是C的長(zhǎng)度。時(shí),I0,也就證這就證得了當(dāng)這也就證明了一個(gè)解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)。得了依此類推,用數(shù)學(xué)歸納法可以證明:此公式可以這樣記憶:把柯西積分公式的兩邊對(duì)z0求n階導(dǎo)數(shù),右邊求導(dǎo)在積分號(hào)下進(jìn)行,求導(dǎo)時(shí)把被積函數(shù)看作是z0的函數(shù),而把z看作常數(shù)。在于通過(guò)求導(dǎo)來(lái)求積分。高階導(dǎo)數(shù)公式的作用,不在于通過(guò)積分來(lái)求導(dǎo),而[解]1)
函數(shù)在C內(nèi)的z=1處不解析,但在C內(nèi)卻是處處解析的。有例1
求下列積分的值,其中C為正向圓周:|z|=r>1。[解]OC1C2Ci-ixy2)
函數(shù)在C內(nèi)的C內(nèi)以i和閉路定理,-i為中心作兩個(gè)正向圓周。則此函數(shù)在由C,和所圍成的區(qū)域內(nèi)是解析的。根據(jù)復(fù)合處不解析。在由定理有同樣可得因此[解]1)
函數(shù)在C內(nèi)的z=0處不解析,但在C內(nèi)卻是處處解析的。有例
求下列積分的值,其中C為正向圓周:|z|=1。[解]2)
函數(shù)在C內(nèi)的z=0處不解析,但在C內(nèi)卻是處處解析的。有例求下列積分的值,其中C為正向圓周:|z|=1。[解]3)
函數(shù)在C內(nèi)的z=0處不解析,但在C內(nèi)卻是處處解析的。有例求下列積分的值,其中C為正向圓周:|z|=1。[解]被積函數(shù)例計(jì)算積分C分別為:有兩個(gè)奇點(diǎn):(1)在內(nèi)有奇點(diǎn),故[解]被積函數(shù)例計(jì)算積分C分別為:有兩個(gè)奇點(diǎn):(2)在內(nèi)有奇點(diǎn),故[解]被積函數(shù)例計(jì)算積分C分別為:有兩個(gè)奇點(diǎn):(3)在內(nèi)有奇點(diǎn),故例2
設(shè)函數(shù)f(z)在單連通域B內(nèi)連續(xù),且對(duì)于B內(nèi)任[證]在B內(nèi)取定一點(diǎn),z為B內(nèi)任意一點(diǎn),根據(jù)已知然后還可以用證明定理二相同的方法,證明函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù),故f(z)為解析函數(shù)。所以F(z)是B內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù),再根據(jù)上面定理知解析何一條簡(jiǎn)單閉曲線C都有,證明f(z)在B內(nèi)條件,知積分的值與連接與z的路線無(wú)關(guān),它定義了一個(gè)z的單值函數(shù):解析(Morera)?!?
解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系問題:則和的二階偏導(dǎo)有在區(qū)域D內(nèi)解析,若什么性質(zhì)?即在內(nèi)滿足拉普拉斯(Laplace)方程:分析:故有同理設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析,得問題:則和的二階偏導(dǎo)在區(qū)域D內(nèi)解析,若有什么性質(zhì)?
這里是一種運(yùn)算記號(hào),稱為拉普拉斯算子。則稱為區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足拉普拉斯(Laplace)方程即定義如果二元實(shí)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有二階定理若在區(qū)域內(nèi)解析,必為(共軛)調(diào)和函數(shù)。[證]設(shè)為D的一個(gè)解析函數(shù),那么從而則根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)定理,u與v具有任意階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),所以
因此u與v都是調(diào)和函數(shù)。同理從而根據(jù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)定理,u與v具有任意階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),所以設(shè)u(x,y)為區(qū)域D內(nèi)給定的調(diào)和函數(shù),把使u+iv在D內(nèi)構(gòu)成解析函數(shù)的調(diào)和函數(shù)v(x,y)稱為u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù)。換句話話,在D內(nèi)滿足柯西-黎曼方程利用柯西-黎曼方程求得它的共軛調(diào)和函數(shù)v,從而構(gòu)成應(yīng)當(dāng)指出,如果已知一個(gè)調(diào)和函數(shù)u,那么就可以于解析函數(shù)的理論解決函數(shù)的問題。在第六章將舉例說(shuō)解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的上述關(guān)系,使我
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2024保潔服務(wù)合同
- 傳統(tǒng)工業(yè)區(qū)課件人教必修
- 2024琥珀教學(xué)課件:從琥珀中窺見古生態(tài)
- 中級(jí)會(huì)計(jì)師考試《會(huì)計(jì)實(shí)務(wù)》模擬試題三
- 中級(jí)育嬰員考試試題含答案
- 肺癌中醫(yī)護(hù)理方案圖文課件
- 高氯廢水化學(xué)需氧量的測(cè)定
- 2024年Scratch教案:助力編程教育普及
- 慎終如始抓緊抓實(shí)黨紀(jì)學(xué)習(xí)教育(嚴(yán)格對(duì)照查擺認(rèn)真對(duì)標(biāo)對(duì)表及時(shí)總結(jié)梳理)
- 2022年4月自考00143經(jīng)濟(jì)思想史真題試卷
- 廚房員工績(jī)效考核方案
- 英文科技論文寫作的100個(gè)常見錯(cuò)誤
- 新湘科版小學(xué)三年級(jí)科學(xué)上冊(cè)-全冊(cè)教案
- 2023飛輪儲(chǔ)能技術(shù)在新能源一次調(diào)頻上的應(yīng)用
- 第7講-化學(xué)工程的倫理問題-201912092040097
- 肉羊舍飼高效養(yǎng)殖技術(shù)匯編
- 北師大版2023-2024五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期中測(cè)試卷
- 第十六章-組織創(chuàng)新-管理學(xué)馬工程-課件
- 全球航路的開辟(共31張)
- 初中數(shù)學(xué)華東師大版七年級(jí)上冊(cè)整式的加減課件
- 學(xué)校監(jiān)控視頻故障應(yīng)急預(yù)案
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論