第08講 確定圓的條件（2種題型）（解析版）

第08講確定圓的條件（2種題型）1.了解三角形的外接圓與外心相關(guān)概念，2.探索如何過一點(diǎn)、兩點(diǎn)和不在同一直線上的三點(diǎn)作圓；一．確定圓的條件不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．注意：這里的“三個(gè)點(diǎn)”不是任意的三點(diǎn)，而是不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，而在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能畫一個(gè)圓．“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有”，即過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，過一點(diǎn)可畫無數(shù)個(gè)圓，過兩點(diǎn)也能畫無數(shù)個(gè)圓，過不在同一條直線上的三點(diǎn)能畫且只能畫一個(gè)圓．二．三角形的外接圓與外心（1）外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓，叫做三角形的外接圓．（2）外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．（3）概念說明：①“接”是說明三角形的頂點(diǎn)在圓上，或者經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)．②銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．③找一個(gè)三角形的外心，就是找一個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，三角形的外接圓只有一個(gè)，而一個(gè)圓的內(nèi)接三角形卻有無數(shù)個(gè)．一．確定圓的條件（共5小題）1．（2022秋?鹽都區(qū)期中）下列說法正確的是（）A．等弧所對的圓心角相等 B．在等圓中，如果弦相等，那么它們所對的弧也相等 C．過三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓 D．平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧【分析】根據(jù)確定圓的條件，弧，圓心角，弦之間的關(guān)系，垂徑定理的判定進(jìn)行一一判斷即可．【解答】解：A、等弧所對的圓心角相等，說法正確，本選項(xiàng)符合題意；B、在等圓中，如果弦相等，但它們所對的弧不一定相等，本選項(xiàng)不符合題意；C、過不在同一直線上的三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓，說法不正確，本選項(xiàng)不符合題意；D、平分弦（非直徑）的直徑，平分這條弦所對的弧，說法不正確，本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查確定圓的條件，弧，圓心角，弦之間的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．2．（2016秋?太倉市校級期末）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中三塊碎片如圖所示，三塊碎片中最有可能配到與原來一樣大小的圓形鏡子的碎片是（）A．① B．② C．③ D．均不可能【分析】要確定圓的大小需知道其半徑．根據(jù)垂徑定理知第①塊可確定半徑的大?。窘獯稹拷猓旱冖賶K出現(xiàn)兩條完整的弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點(diǎn)就是圓心，進(jìn)而可得到半徑的長．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分線的交點(diǎn)即為該圓的圓心．3．（2021春?射陽縣校級期末）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能確定一個(gè)圓（填“能”或“不能”）．【分析】根據(jù)三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到它們不共線，于是根據(jù)確定圓的條件可判斷它們能確定一個(gè)圓．【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），∴BC∥x軸，而點(diǎn)A（1，0）在x軸上，∴點(diǎn)A、B、C不共線，∴三個(gè)點(diǎn)A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能確定一個(gè)圓．故答案為：能．【點(diǎn)評】本題考查了確定圓的條件：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．4．（2022秋?江寧區(qū)校級月考）下列說法：①長度相等的弧是等??；②相等的圓心角所對的弧相等；③直徑是圓中最長的弦；④經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C只能作一個(gè)圓．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】利用等弧的定義、圓周角定理、圓的有關(guān)定義及確定圓的條件分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【解答】解：①長度相等的弧不一定是等弧，故原命題錯誤，不符合題意；②同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，故原命題錯誤，不符合題意；③直徑是圓中最長的弦，正確，符合題意；④經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C只能作一個(gè)圓，正確，符合題意，正確的有2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解等弧的定義、圓周角定理、圓的有關(guān)定義及確定圓的條件，難度不大．5．（2022春?射陽縣校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B，C的橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù)，過這三個(gè)點(diǎn)作一條圓弧，則此圓弧的圓心坐標(biāo)為（2，1）．【分析】根據(jù)圖形得出A、B、C的坐標(biāo)，再連接AB，作線段AB和線段BC的垂直平分線MN、EF，兩線交于Q，則Q是圓弧的圓心，最后求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可．【解答】解：從圖形可知：A點(diǎn)的坐標(biāo)是（0，2），B點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，3），C點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，3），連接AB，作線段AB和線段BC的垂直平分線MN、EF，兩線交于Q，則Q是圓弧的圓心，如圖，∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，1），故答案為：（2，1）．【點(diǎn)評】本題考查了確定圓的條件，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，垂徑定理等知識點(diǎn)，能找出圓弧的圓心Q的位置是解此題的關(guān)鍵．二．三角形的外接圓與外心（共20小題）6．（2022秋?廣陵區(qū)校級期末）如圖，點(diǎn)A（0，3），B（2，1），C在平面直角坐標(biāo)系中，則△ABC的外心在（）A．第四象限 B．第三象限 C．原點(diǎn)O處 D．y軸上【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，所以在平面直角坐標(biāo)系中作AB與BC的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為△ABC的外心．【解答】解：如圖，根據(jù)網(wǎng)格點(diǎn)O′即為所求．∵△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴EF與MN的交點(diǎn)O′即為所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐標(biāo)是（﹣2，﹣1）．故選：B．【點(diǎn)評】此題考查了三角形的外接圓與外心，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．注意三角形的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)．解此題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．7．（2023?姑蘇區(qū)校級二模）如圖，E為正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn)（不與C、D重合），將△BCE沿直線BE翻折到△BFE，延長EF交AE于點(diǎn)G，點(diǎn)O是過B、E、G三點(diǎn)的圓劣弧EG上一點(diǎn)，則∠EOG＝135°．【分析】連接BG，由折疊的性質(zhì)得出BC＝BF，∠CBE＝∠FBE，∠BCE＝∠BFE，由正方形的性質(zhì)得出AB＝BC，∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，證明Rt△ABG≌Rt△FBG（HL），證出∠ABG＝∠FBG，求出∠GBE＝∠ABC＝45°，則可得出答案．【解答】解：連接BG，∵將△BCE沿直線BE翻折到△BFE，∴BC＝BF，∠CBE＝∠FBE，∠BCE＝∠BFE，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠C＝∠ABC＝90°，∴AB＝BF，∵BG＝BG，∴Rt△ABG≌Rt△FBG（HL），∴∠ABG＝∠FBG，∴∠ABG＝∠FBG，∴∠GBE＝∠ABC＝45°，∵四邊形GBEO為圓內(nèi)接四邊形，∴∠EBG+∠EOG＝180°，∴∠EOG＝180°﹣∠EBG＝135°，故答案為：135．【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋?江陰市校級月考）（1）如圖1，請只用無刻度直尺找出△ABC的外心點(diǎn)O；并直接寫出其外接圓半徑；（2）如圖2，請用直尺和圓規(guī)將圖中的弧補(bǔ)成圓；并標(biāo)記圓心P．【分析】（1）根據(jù)三角形的外心是三邊垂直平分線的交點(diǎn)作出點(diǎn)O；（2）在弧上任取三點(diǎn)A，C，C，連接AB，BC，分別作弦AB，BC的垂直平分線，兩垂直平分線的交點(diǎn)即為圓心P，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）如圖（1）所示，點(diǎn)O即為所求；外接圓半徑＝＝；故答案為：；（2）如圖（2）所示：⊙P即為所求．【點(diǎn)評】本題考查了三角形外接圓與外心，勾股定理，正確地作出圖形是解題的關(guān)鍵．9．（2023?無錫二模）在聯(lián)歡會上，甲、乙、丙3人分別站在不在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C上，他們在玩搶凳子游戲，要在他們之間放一個(gè)木凳，誰先搶到凳子誰獲勝，為使游戲公平，凳子應(yīng)放在△ABC的（）A．三條高的交點(diǎn) B．內(nèi)心 C．外心 D．重心【分析】為使游戲公平，要使凳子到三個(gè)人的距離相等，于是利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等可知，要放在三邊中垂線的交點(diǎn)上．【解答】解：∵三角形的三條垂直平分線的交點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，∴凳子應(yīng)放在△ABC的三條垂直平分線的交點(diǎn)最適當(dāng)．即凳子應(yīng)放在△ABC的外心上．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)的應(yīng)用；掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等是解答本題的關(guān)鍵．10．（2022秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，正方形ABCD、等邊三角形AEF內(nèi)接于同一個(gè)圓，則的度數(shù)為（）A．15° B．20° C．25° D．30°【分析】由∠BAD＝90°，∠EAF＝60°，已知圖形是以正方形ABCD的對角線AC所在直線為對稱軸的軸對稱圖形，求得∠BAE＝15°，則所對的圓心角等于30°，所以的度數(shù)為30°．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，△AEF是等邊三角形，∴∠BAD＝90°，∠EAF＝60°，∵已知圖形是以正方形ABCD的對角線AC所在直線為對稱軸的軸對稱圖形，∴∠BAE＝∠DAF＝×（90°﹣60°）＝15°，∵∠BAE是所對的圓周角，∴所對的圓心角等于2×15°＝30°，∴的度數(shù)為30°，故選：D．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查正多邊形與圓、正方形及等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理、弧的度數(shù)等知識，根據(jù)圓周角定理求出所對的圓心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．11．（2022秋?太倉市校級月考）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，BD為⊙O的直徑，則AD的值為（）A．6 B． C．3 D．【分析】先根據(jù)“等邊對等角”得出∠C的度數(shù)，再根據(jù)“同弧所對的圓周角相等”得出∠D的度數(shù)，從而得出直徑BD的長度，最后根據(jù)勾股定理求解即可．【解答】解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，∴，∴∠D＝∠C＝30°，∵BD為⊙O的直徑，∴∠BAD＝90°，∴BD＝2AB＝6，在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得：．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了“等邊對等角”，“同弧所對的圓周角相等”，“直徑所對的圓周角為直角”，“在直角三角形中，30°角所對的邊為斜邊的一半”，勾股定理，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋?梁溪區(qū)校級期中）三角形的外心具有的性質(zhì)是（）A．外心在三角形外 B．外心在三角形內(nèi) C．外心到三角形三邊距離相等 D．外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等【分析】三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可確定．【解答】解：根據(jù)三角形外心的定義，可知三角形外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外心，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵．13．（2023?邗江區(qū)校級二模）如圖，⊙O的直徑為m，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB的長為x，AC的長為y，且x+y＝6，AD⊥BC于點(diǎn)D，AD＝1，則m的最大值為9．【分析】過點(diǎn)A作⊙O的直徑AE，連接CE，根據(jù)圓周角定理，可證得△ABD∽△AEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得m＝xy，再由x+y＝6，即可得m＝﹣（x﹣3）2+9，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：如圖：過點(diǎn)A作⊙O的直徑AE，連接CE，則AE＝m，∠ACE＝90°，∠ABD＝∠AEC，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ACE＝90°，∴△ABD∽△AEC，∴，∴，∴m＝xy，∵x+y＝6，∴y＝6﹣x，∴m＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，∵﹣1＜0，∴當(dāng)x＝3時(shí)，m取最大值，最大值為9，故答案為：9．【點(diǎn)評】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，得到m關(guān)于x或y的二次函數(shù)關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．14．（2022秋?阜寧縣期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A＝60°，BC＝4，則⊙O的半徑是4．【分析】作直徑CD，如圖，連接BD，根據(jù)圓周角定理得到∠CBD＝90°，∠D＝60°，然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出CD，從而得到⊙O的半徑．【解答】解：作直徑CD，如圖，連接BD，∵CD為直徑，∴∠CBD＝90°，∵∠D＝∠A＝60°，∴BD＝BC＝×4＝4，∴CD＝2BD＝8，∴OC＝4，即⊙O的半徑是4．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心．也考查了圓周角定理．15．（2021秋?海州區(qū)校級月考）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC＝2，∠BAC＝30°，則⊙O的直徑長等于4．【分析】連接BO并延長交⊙O于D，連接CD，得到∠BCD＝90°，根據(jù)圓周角定理得到∠D＝∠BAC＝30°，根據(jù)含30°角直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：連接BO并延長交⊙O于D，連接CD，則∠BCD＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠D＝∠BAC＝30°，∵BC＝2，∴BD＝2BC＝4，故答案為：4．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓與外心，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．16．（2022?亭湖區(qū)校級模擬）如圖1，它是一個(gè)幾何探究工具，其中△ABC內(nèi)接于⊙G，AB是⊙G的直徑，AB＝4，AC＝2，現(xiàn)將制作的幾何探究工具放在平面直角坐標(biāo)系中（如圖2），然后點(diǎn)A在x軸上由點(diǎn)O開始向右滑動，點(diǎn)B在y軸上也隨之向點(diǎn)O滑動（如圖3），并且保持點(diǎn)O在⊙G上，當(dāng)點(diǎn)B滑動至與點(diǎn)O重合時(shí)運(yùn)動結(jié)束、在整個(gè)運(yùn)動過程中，點(diǎn)C運(yùn)動的路程是．【分析】由于在運(yùn)動過程中，原點(diǎn)O始終在⊙G上，則弧AC的長保持不變，弧AC所對應(yīng)的圓周角∠AOC保持不變，等于∠XOC，故點(diǎn)C在與x軸夾角為∠ABC的射線上運(yùn)動．頂點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡應(yīng)是一條線段，且點(diǎn)C移動到圖中C2位置最遠(yuǎn)，然后又慢慢移動到C3結(jié)束，點(diǎn)C經(jīng)過的路程應(yīng)是線段C1C2+C2C3．【解答】解：如圖3，連接OG．∵∠AOB是直角，G為AB中點(diǎn)，∴GO＝AB＝半徑，∴原點(diǎn)O始終在⊙G上．∵∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝2，∴BC＝，連接OC，則∠AOC＝∠ABC，∴tan∠AOC＝，∴點(diǎn)C在與x軸夾角為∠AOC的射線上運(yùn)動．如圖4，C1C2＝OC2﹣OC1＝4﹣2＝2；如圖5，C2C3＝OC2﹣OC3＝；∴總路徑為：C1C2+C2C3＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評】此題主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長度或表示線段的長度，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．17．（2022秋?宿城區(qū)期中）如圖，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于點(diǎn)F，M是BC的中點(diǎn)，⊙O是△ABC的外接圓．（1）點(diǎn)B，C，D，E是否在以點(diǎn)M為圓心的同一個(gè)圓上？請說明理由．（2）若AB＝8，CF＝6，求△ABC外接圓的半徑長．【分析】（1）連接EM，DM，根據(jù)垂直定義可得∠BDC＝∠BEC＝90°，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得EM＝BM＝BC，DM＝CM＝BC，從而可得EM＝BM＝DM＝CM，即可解答；（2）連接AF并延長交BC于點(diǎn)G，連接BO并延長交⊙O于點(diǎn)H，連接AH，CH，根據(jù)三角形的高是交于一點(diǎn)的可得AG⊥BC，再根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠BAH＝∠BCH＝90°，從而可得AG∥CH，AH∥CE，然后利用平行四邊形的判定可得四邊形AFCH是平行四邊形，從而可得CF＝AH＝6，最后在Rt△BAH中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）點(diǎn)B，C，D，E在以點(diǎn)M為圓心的同一個(gè)圓上，理由：連接EM，DM，∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴EM＝BM＝BC，DM＝CM＝BC，∴EM＝BM＝DM＝CM，∴點(diǎn)B，C，D，E在以點(diǎn)M為圓心的同一個(gè)圓上；（2）連接AF并延長交BC于點(diǎn)G，連接BO并延長交⊙O于點(diǎn)H，連接AH，CH，∵BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于點(diǎn)F，∴AG⊥BC，∵BH是⊙O的直徑，∴∠BAH＝∠BCH＝90°，∴BA⊥AH，BC⊥CH，∴AG∥CH，∵CE⊥AB，∴AH∥CE，∴四邊形AFCH是平行四邊形，∴CF＝AH＝6，在Rt△BAH中，AB＝8，∴BH＝＝＝10，∴△ABC外接圓的半徑長為5．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓與外心，直角三角形斜邊上的中線，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，確定圓的條件，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．18．（2022秋?海州區(qū)校級月考）閱讀下列材料：已知實(shí)數(shù)m，n滿足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，試求2m2+n2的值．解：設(shè)2m2+n2＝t，則原方程變?yōu)椋╰+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因?yàn)?m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題簡單化．根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題．（1）已知實(shí)數(shù)x、y，滿足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；（2）已知Rt△ACB的三邊為a、b、c（c為斜邊），其中a、b滿足（a2+b2﹣1）（a2+b2﹣4）＝5（a2+b2）（a2+b2﹣4），求Rt△ACB外接圓的半徑．【分析】（1）設(shè)2x2+2y2＝t，解一元二次方程得到t＝±6，根據(jù)2x2+2y2≥0，得到2x2+2y2＝6，進(jìn)而求出x2+y2＝3；（2）設(shè)a2+b2＝t，解一元二次方程得到a2+b2＝4，根據(jù)勾股定理求出c，求出Rt△ACB外接圓的半徑為1．【解答】解：（1）設(shè)2x2+2y2＝t，則原方程變形為（t+3）（t﹣3）＝27，整理得：t2＝36，解得，t＝±6，∵2x2+2y2≥0，∴2x2+2y2＝6，∴x2+y2＝3；（2）設(shè)a2+b2＝t，則原方程變形為（t﹣1）（t﹣4）＝5t（t﹣4），整理得，4t2﹣15t﹣4＝0，解得：t＝4或﹣，∵a2+b2≥0，∴a2+b2＝4，∴c＝＝2，∴Rt△ACB外接圓的半徑為1．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的外心、一元二次方程的解法，掌握換元法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．19．（2022秋?秦淮區(qū)期中）以下列三邊長度作出的三角形中，其外接圓半徑最小的是（）A．8，8，8 B．4，10，10 C．4，8，10 D．6，8，10【分析】分別求出各三角形的外接圓半徑，比較即可．【解答】解：A、∵△ABC是等邊三角形，設(shè)O是外心，∴BF＝CF＝4，AF⊥BC，BE平分∠ABC，∴∠OBF＝∠ABC＝30°，∴OB＝＝＝，∴△ABC的外接圓的半徑為；B、∵△ABC是等腰三角形，過A作AD⊥BC于D，延長AD交⊙O于E，∵AB＝AC＝10，∴＝，BD＝CD＝BC＝2，∴AE是⊙O的直徑，AD＝＝＝4，∴∠ABE＝∠ADB＝90°，∵∠BAD＝∠EAB，∴△ADB∽△ABE，∴＝，∴＝，∴AE＝，∴外接圓半徑為；C、作AD⊥BC于點(diǎn)D，作直徑AE，連接CE，在Rt△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2，在Rt△ACD中，AC2﹣CD2＝AD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即42﹣BD2＝82﹣（10﹣BD）2，解得BD＝，由勾股定理得，AD＝＝，∵AE為圓的直徑，∴∠ACE＝90°，∴∠ADB＝∠ACE，又∠B＝∠E，∴△ADB∽△ACE，∴＝，即＝，解得AE＝，則外接圓半徑＝，D、∵62+82＝102，∴此三角形是直角三角形，∴此三角形外接圓的半徑為5，∴其外接圓半徑最小的是A選項(xiàng)，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的外接圓與外心、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，掌握圓周角定理、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．20．（2023?秦淮區(qū)模擬）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，，把△ABC繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△BED，則對應(yīng)點(diǎn)C，D之間的距離為2．【分析】連接OC，OB，OD，根據(jù)圓周角定理得到△OCB是等邊三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠COD＝90°，根據(jù)勾股定理得到．【解答】解：連接OC，OB，OD，CD，∵∠BOC＝2∠A＝60°，OC＝OB，∴△OCB是等邊三角形，∴，∵△ABC繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△BED，∴∠COD＝90°，根據(jù)勾股定理．故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓與外心，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．21．（2019秋?新北區(qū)校級期中）如圖，AB為△ADC的外接圓⊙O的直徑，若∠BAD＝50°，則∠ACD＝40°．【分析】根據(jù)直徑所對圓周角是直角和同弧所對圓周角相等即可求出∠ACD的度數(shù)．【解答】解：如圖，連接BD，∵AB為△ADC的外接圓⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝50°，∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°，∴∠ACD＝∠ABD＝40°．故答案為：40．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓與外心，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形的外接圓與外心．22．（2022秋?漣水縣校級月考）定義：到一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)叫做該三角形的外心．（1）如圖①，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)O是△ABC的外心，求證∠ABO＝30°（2）如圖②，△ABC是等邊三角形，分別延長等邊三角形ABC的邊AB、BC、CA到點(diǎn)D、E、F，使BD＝CE＝AF，連接DE，EF，DF．若點(diǎn)O為△ABC的外心，求證：點(diǎn)O也是△DEF的外心．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABO＝∠OBC，于是得到結(jié)論；（2）連接OF，OD，OE，由（1）得，∠ABO＝30°，推出∠FAO＝∠DBO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC，∵點(diǎn)O是△ABC的外心，∴OA＝OB＝OC，在△AOB與△COB中，，∴△AOB≌△COB（SSS），∴∠ABO＝∠OBC，∵∠ABO+∠OBC＝∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°；（2）連接OF，OD，OE，由（1）得，∠ABO＝30°，∵點(diǎn)O為△ABC的外心，∴OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABO＝30°，∴∠OAC＝60°﹣30°＝30°，∴180°﹣∠OAC＝180°﹣∠ABO，∴∠FAO＝∠DBO，在△FAD與△DBO中，，∴△FAD≌△DBO（SAS），∴OF＝OD，同理，OF＝OE，∴OF＝OE＝OD，∴點(diǎn)O也是△DEF的外心．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．23．（2022秋?惠山區(qū)校級月考）閱讀下列材料：已知實(shí)數(shù)m，n滿足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，試求2m2+n2的值．解：設(shè)2m2+n2＝t，則原方程變?yōu)椋╰+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因?yàn)?m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題簡單化．根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題，并寫出解答過程．（1）已知實(shí)數(shù)x、y，滿足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；（2）已知Rt△ACB的三邊為a、b、c（c為斜邊），其中a、b滿足（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝5，求Rt△ACB外接圓的半徑．【分析】（1）利用換元法解方程即可解決問題；（2）利用換元法解方程可得c＝，再根據(jù)直角三角形外接圓的半徑等于斜邊的一半即可解決問題．【解答】解：（1）設(shè)2x2+2y2＝t，則原方程可變?yōu)椋╰+3）（t﹣3）＝27，解得t＝±6，∵2x2+2y2≥0，∴2x2+2y2＝6，∴x2+y2＝3；（2）設(shè)a2+b2＝t，則原方程可變?yōu)閠（t﹣4）＝5，即t2﹣4t﹣5＝0，解得t1＝5，t2＝﹣1，∵a2+b2≥0，∴a2+b2＝5，∴c2＝5，∴c＝，∴Rt△ACB外接圓的半徑為．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓與外心，代數(shù)式求值，高次方程，勾股定理，一元二次方程，解決本題的關(guān)鍵是掌握直角三角形的外心．24．（2023?建鄴區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AC＝BC．D是AB上一點(diǎn)，⊙O經(jīng)過點(diǎn)A，C，D交BC于點(diǎn)E．過點(diǎn)D作DF∥BC，分別交AC于點(diǎn)G，⊙O于點(diǎn)F．（1）求證AC＝DF；（2）若AC＝10，AB＝12，CF＝3，求BE的長．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAC＝∠B，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ADF＝∠B，求出∠ADF＝∠CFD，根據(jù)平行線的判定得出BD∥CF，根據(jù)平行四邊形的判定得出即可得出平行四邊形DBCF，繼而得出BC＝DF，又由AC＝BC，即可得答案；（2）求出∠AEF＝∠B，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠ECF+∠EAF＝180°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ECF+∠B＝180°，求出∠AEF＝∠EAF，根據(jù)等腰三角形的判定得出即可得出AF＝EF，再證△ACF≌△FDE（SAS），得出CF＝DE＝BD＝3，再證△ABC∽△EBD，得出＝，即可得答案．【解答】（1）證明：∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B，∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B，∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD，∴BD∥CF，∵DF∥BC，∴四邊形DBCF是平行四邊形，∴BC＝DF，∵AC＝BC，∴AC＝DF；（2）解：連接AE，AF，DE，EF，∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，∴∠AEF＝∠B，∵四邊形AECF是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ECF+∠EAF＝180°，∵BD∥CF，∴∠ECF+∠B＝180°，∴∠EAF＝∠B，∴∠AEF＝∠EAF，∴AF＝EF，∵DF∥BC，∴∠DFE＝∠FEC，∵∠FAC＝∠FEC，∴∠FAC＝∠DFE，∵AC＝DF，∴△ACF≌△FDE（SAS），∴CF＝DE，∴DE＝BD＝3，∴∠B＝∠DEB，∵AC＝BC，∴∠B＝∠CAB，∴∠B＝∠CAB＝∠DEB，∴△ABC∽△EBD，∴＝，∴＝，∴BE＝3.6．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，圓內(nèi)接四邊形，等腰三角形的判定等知識點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．25．（2022秋?溧陽市期中）閱讀下列材料：已知實(shí)數(shù)m，n滿足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，試求2m2+n2的值．解：設(shè)2m2+n2＝t，則原方程變?yōu)椋╰+1）（t﹣1）＝80，整理得t2﹣1＝80，t2＝81，所以t＝±9，因?yàn)?m2+n2≥0，所以2m2+n2＝9．上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題簡單化．根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題，并寫出解答過程．（1）已知實(shí)數(shù)x、y滿足（2x2+2y2+3）（2x2+2y2﹣3）＝27，求x2+y2的值；（2）已知Rt△ABC的三邊為a、b、c（c為斜邊），且a、b滿足（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝5，求Rt△ACB外接圓的半徑．【分析】（1）設(shè)2x2+2y2＝t，解一元二次方程得到t＝±6，根據(jù)2x2+2y2≥0，得到2x2+2y2＝6，進(jìn)而求出x2+y2＝3；（2）設(shè)a2+b2＝t，解一元二次方程得到a2+b2＝4，根據(jù)勾股定理求出c，求出Rt△ACB外接圓的半徑為1．【解答】解：（1）設(shè)2x2+2y2＝t，則原方程變形為（t+3）（t﹣3）＝27，整理得：t2＝36，解得，t＝±6，∵2x2+2y2≥0，∴2x2+2y2＝6，∴x2+y2＝3；（2）設(shè)a2+b2＝t，則原方程變形為t（t﹣4）＝5，整理得t2﹣4t﹣5＝0，解得：t＝5或﹣1，∵a2+b2≥0，∴a2+b2＝5，∴c＝＝，∴Rt△ACB外接圓的半徑為．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的外心、一元二次方程的解法，掌握換元法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．一、單選題1．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）下列說法正確的是（

）A．弧長相等的弧是等弧 B．直徑是最長的弦C．三點(diǎn)確定一個(gè)圓 D．平分弦的直徑垂直于弦【答案】B【分析】根據(jù)等弧的概念、弦的概念、確定圓的條件以及垂徑定理判斷即可．【詳解】A、能夠重合的弧是等弧，弧長相等的弧不一定是等弧，故本選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；B、直徑是最長的弦，本選項(xiàng)說法正確，符合題意；C、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故本選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；D、平分弦（不是直徑的弦）的直徑垂直于弦，故本選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的概念和有關(guān)性質(zhì)，熟記等弧的概念、弦的概念、確定圓的條件以及垂徑定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考期中）下列說法正確的是（

）A．等弧所對的圓心角相等 B．在等圓中，如果弦相等，那么它們所對的弧也相等C．過三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓 D．平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧【答案】A【分析】根據(jù)確定圓的條件，弧，圓心角，弦之間的關(guān)系，垂徑定理的判定進(jìn)行一一判斷即可．【詳解】解：A、等弧所對的圓心角相等，說法正確，本選項(xiàng)符合題意；B、在等圓中，如果弦相等，但它們所對的弧不一定相等，本選項(xiàng)不符合題意；C、過不在同一直線上的三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓，說法不正確，本選項(xiàng)不符合題意；D、平分弦（非直徑）的直徑，平分這條弦所對的弧，說法不正確，本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查確定圓的條件，弧，圓心角，弦之間的關(guān)系，垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．3．（2022秋·江蘇徐州·九年級校考期末）下列命題中，正確的是（）A．圓心角相等，所對的弦的弦心距相等 B．三點(diǎn)確定一個(gè)圓C．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧 D．弦的垂直平分線必經(jīng)過圓心【答案】D【分析】根據(jù)圓的確定，垂徑定理，弦，圓心角的關(guān)系，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、同圓或等圓中，圓心角相等，所對的弦的弦心距相等，選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；B、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；C、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，選項(xiàng)說法錯誤，不符合題意；D、弦的垂直平分線必經(jīng)過圓心，選項(xiàng)說法正確，符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查判斷命題的真假．熟練掌握圓的確定，垂徑定理，弦，圓心角的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級校考期末）如圖，點(diǎn)，C在平面直角坐標(biāo)系中，則的外心在（

）A．第四象限 B．第三象限 C．原點(diǎn)O處 D．y軸上【答案】B【分析】根據(jù)直角坐標(biāo)系的特點(diǎn)作AB、BC的垂直平分線即可求解．【詳解】如圖，作AB、BC的垂直平分線，交點(diǎn)在第三象限，故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形的外心的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出垂直平分線求解．5．（2021秋·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期中）下列命題中真命題的是（

）A．長度相等的弧是等弧 B．相等的圓心角所對的弦相等C．任意三點(diǎn)確定一個(gè)圓 D．外心在三角形的一條邊上的三角形是直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)等弧、圓心角與弦的關(guān)系、確定圓的條件、直角三角形的外心等知識一一判斷即可．【詳解】解：A、在同圓或等圓中，長度相等的弧是等弧，故A中命題是假命題，不符合題意；B、在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，故B中命題是假命題，不符合題意；C、不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故C中命題是假命題，不符合題意；D、外心在三角形的一條邊上的三角形是直角三角形，是真命題，本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查判斷命題的真假，涉及等弧、圓心與弦的關(guān)系、確定圓的條件、直角三角形的外心等知識，熟知它們的前提條件是解答的關(guān)鍵．6．（2022秋·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）以下列三邊長度作出的三角形中，其外接圓半徑最小的是（

）A．8，8，8 B．4，10，10 C．4，8，10 D．6，8，10【答案】A【分析】分別求出各三角形的外接圓半徑，比較即可．【詳解】A、∵是等邊三角形，設(shè)O是外心，∴，平分，∴，∴，∴的外接圓的半徑為，B、∵是等腰三角形，過點(diǎn)A作于D，延長交于E，∵，∴，，∴是的直徑，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴外接圓半徑為，C、作于點(diǎn)D，作直徑，連接，在中，，在中，，∴，即,解得，由勾股定理得，，∵為圓的直徑，∴，∴，又，∴，∴，即，解得，則外接圓半徑，D、∵，∴此三角形是直角三角形，∴此三角形外接圓的半徑為5，∴其外接圓半徑最小的是A選項(xiàng)，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心、相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握圓周角定理、相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．7．（2023·江蘇·模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，點(diǎn)C在上，，垂足為D，，點(diǎn)E是上的動點(diǎn)（不與C重合），點(diǎn)F為的中點(diǎn)，若在E運(yùn)動過程中的最大值為4，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判斷出點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓，判斷出的最大值為，再求出，然后根據(jù)勾股定理即可求出答案．【詳解】解：如圖，連接，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，點(diǎn)，，，在以為直徑的圓上，，∵，在中，，，根據(jù)勾股定理得，故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了垂徑定理，四點(diǎn)共圓，勾股定理，作出輔助線判斷出點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓是解本題的關(guān)鍵．8．（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)為（1，3）、（5，3）、（1，－1），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（

）A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）【答案】B【分析】根據(jù)三角形的外心的概念作出外心，根據(jù)坐標(biāo)與圖形性質(zhì)解答即可．【詳解】解：連接AB、AC，分別作AB、AC的垂直平分線，兩條垂直平分線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為△ABC外接圓的圓心，由題意得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1），即△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（3，1），故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形的外接圓，若的半徑為r，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，，延長交于D，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，，，求出，根據(jù)勾股定理求出，即可求出，根據(jù)三角形的面積公式求出即可．【詳解】連接，，延長交于D，∵等邊三角形是，∴，，，∴，∴由勾股定理得：，∴則的面積是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的外接圓，三角形的面積等知識點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能正確作輔助線后求出的長，題目具有一定的代表性，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．10．（2023秋·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）如圖，為的外心，為正三角形，與相交于點(diǎn)，連接．若，，則為（

）A．110° B．90° C．85° D．80°【答案】C【分析】由三角形的外心可知，結(jié)合，先求出，再利用是正三角形以及外角的性質(zhì)即可求解的度數(shù)．【詳解】解：是的外心，是正三角形故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查外心的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)，熟練掌握外心的性質(zhì)及外角的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2022秋·江蘇無錫·九年級江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、P的坐標(biāo)分別為，，．若點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，且橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)，P是的外心，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為______．【答案】或或【分析】如圖所示，以P為圓心，以的長為半徑畫圓，在圓上的格點(diǎn)即為所求．【詳解】解：如圖所示，以P為圓心，以的長為半徑畫圓，在圓上的格點(diǎn)有，，，∵P是的外心，即點(diǎn)C在圓P上，且點(diǎn)C在第一象限，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為或或，故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，三角形外接圓，熟知點(diǎn)C在圓P上是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級鎮(zhèn)江市外國語學(xué)校校考期末）已知一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長分別為和，則這個(gè)直角三角形的外接圓的半徑為_____________．【答案】【分析】先用勾股定理求值直角三角形的斜邊長，再根據(jù)直角三角形的外接圓的特征，即可求解．【詳解】∵一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長分別為和，∴直角三角形的斜邊長，∵直角三角形的外接圓的直徑就是直角三角形的斜邊，∴這個(gè)三角形的外接圓的直徑長為．∴這個(gè)三角形的外接圓的半徑長為．故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理以及直角三角形的外接圓，掌握直角三角形的外接圓的直徑就是直角三角形的斜邊，是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·江蘇蘇州·九年級校考期中）平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，則的外心的坐標(biāo)為______．【答案】【分析】設(shè)的外心坐標(biāo)為點(diǎn)，由三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等列出等量關(guān)系式，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，即可求解．【詳解】解：設(shè)的外心坐標(biāo)為點(diǎn)，則，，，，即解得：，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形外心知識以及解直角三角形，掌握三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期中）如圖，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在直角坐標(biāo)系中的格點(diǎn)上，圖中△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是_______．【答案】【分析】設(shè)三角形的外心為，然后根據(jù)外心的性質(zhì)可以得到關(guān)于x、y的方程組，解方程組即可得解．【詳解】解：設(shè)三角形的外心為，由題意可得：，則，解方程可得：，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握三角形外接圓的性質(zhì)、二元一次方程組的解法是解題關(guān)鍵．15．（2022·江蘇無錫·無錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知在中，，，則的外接圓的半徑是______．【答案】【分析】通過作輔助線，可將求外接圓的半徑轉(zhuǎn)化為求的斜邊長，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可．【詳解】解：如圖，作，垂足為D，則O一定在上，∴，設(shè)，即，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查等腰三角形外接圓半徑的求法，正確利用勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16．（2022秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期中）小明在與同學(xué)的嬉鬧中把校服劃壞了，劃壞的圖形恰好是一個(gè)直角三角形，這個(gè)直角三角形的兩條邊長分別是5和12，媽媽打算用一個(gè)圓形圖案把它蓋住縫補(bǔ)好，則媽媽用的圓形圖案所在圓的半徑最小值為___________．【答案】6或6.5【分析】由題意得，此圓形為直角三角形的外接圓，直角三角形的外接圓圓心是斜邊的中點(diǎn)，那么半徑為斜邊的一般，分兩種情況：①12為斜邊長；②5和12為兩條直角邊長，由勾股定理求得直角三角形的斜邊長，進(jìn)而可求得外接圓的半徑．【詳解】解：由勾股定理可知：①當(dāng)直角三角形的斜邊長為：12；因此這個(gè)直角三角形的外接圓半徑為6，②當(dāng)兩條直角邊長為5和12，則直角三角形的斜邊長為：；因此這個(gè)直角三角形的外接圓半徑為6.5綜上所述：這個(gè)外接圓的半徑為6或6.5故答案為：6或6.5【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的外接圓半徑和勾股定理，解題關(guān)鍵是理解直角三角形的外接圓是以斜邊中點(diǎn)為圓心，斜邊長的一半為半徑的圓．17．（2021秋·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為，點(diǎn)為，點(diǎn)為．用一個(gè)圓面去覆蓋，能夠完全覆蓋這個(gè)三角形的最小圓面的半徑是______．【答案】【分析】由題意可得，該圓為外接圓，根據(jù)垂徑定理確定外接圓的圓心，即可求解．【詳解】解：由題意可得：完全覆蓋這個(gè)三角形的最小圓為外接圓，作線段的垂直平分線，如圖，可得外接圓的圓心坐標(biāo)為，半徑故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的外接圓，涉及了垂徑定理，解題的關(guān)鍵是確定外接圓的圓心．18．（2020秋·江蘇南通·九年級南通田家炳中學(xué)?？计谥校┤酎c(diǎn)O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底邊BC＝4，則△ABC的面積為_____．【答案】8﹣4或8+4【分析】分兩種情形討論：①當(dāng)圓心O在△ABC內(nèi)部時(shí)．②當(dāng)點(diǎn)O在△ABC外時(shí)．分別求解即可．【詳解】解：由題意可得，當(dāng)△ABC為△A1BC時(shí)，連接OB、OC，∵點(diǎn)O是等腰△ABC的外心，且∠BOC＝60°，底邊BC＝4，OB＝OC，∴△OBC為等邊三角形，OB＝OC＝BC＝4，OA1⊥BC于點(diǎn)D，∴CD＝2，∴OD＝＝2，∴A1D＝4﹣2，∴△ABC的面積＝×4×（4﹣2）＝8﹣4，當(dāng)△ABC為△A2BC時(shí)，連接OB、OC，A2D＝4+2同理可得，△ABC的面積＝8+4，故答案為：8﹣4或8+4．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓與外心、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，注意一題多解，屬于中考?？碱}型．三、解答題19．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）（1）請借助網(wǎng)格和一把無刻度直尺找出△ABC的外心點(diǎn)O；（2）設(shè)每個(gè)小方格的邊長為1，求出外接圓⊙O的面積．【答案】（1）見解析；（2）10π【分析】（1）根據(jù)三角形的外心是三邊垂直平分線的交點(diǎn)作出點(diǎn)O；（2）根據(jù)勾股定理求出圓的半徑，根據(jù)圓的面積公式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：（1）如圖所示，點(diǎn)O即為所求；（2）連接OB，由勾股定理得：OB＝，∴外接圓⊙O的面積為：π×（）2＝10π．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握三角形的外心的概念、熟記圓的面積公式是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋·江蘇無錫·九年級江蘇省錫山高級中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谥校┱堄脽o刻度的直尺和圓規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡，標(biāo)上相應(yīng)字母．(1)已知，作，使圓心P到、邊的距離相等，且經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．(2)如圖，四邊形是直角梯形，作，使與邊都相切．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）作線段的垂直平分線，再作的角平分線交于P，再以P為圓心，以為半徑作圓即可；（2）分別作的角平分線，二者交于P，過點(diǎn)P作于E，以P為圓心，以為半徑畫圓即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：如圖所示，即為所求；【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖—作角平分線，作線段垂直平分線，作圓，熟知相關(guān)作圖方法是解題的關(guān)鍵．21．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）已知，點(diǎn)D是的邊上一點(diǎn)．(1)如圖甲，，垂足為E，平分交邊于點(diǎn)F，交邊于點(diǎn)O，求證：；(2)如圖乙，交邊于點(diǎn)E，平分交邊于點(diǎn)O，，垂足為點(diǎn)F，求；(3)如圖丙，在線段上找一點(diǎn)O作，使經(jīng)過點(diǎn)D且與相切．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，寫出作法過程，不證明）【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析．【分析】（1）由，易證，由“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”得到，結(jié)合角平分線得到，最后依據(jù)“等角對等邊”可證明；（2）由題意易得，由平分線得到，易證得；（3）過點(diǎn)D作交邊于點(diǎn)E，點(diǎn)E作平分交邊于點(diǎn)O，點(diǎn)O作，垂足為點(diǎn)F，以點(diǎn)O為圓心，為半徑作圓，為所求．【詳解】（1）證明：如圖甲，，，，，平分，，，；（2）證明：如圖乙，，，，平分，，在與中，，；（3）如圖，過點(diǎn)D作交邊于點(diǎn)E，點(diǎn)E作平分交邊于點(diǎn)O，點(diǎn)O作，垂足為點(diǎn)F，以點(diǎn)O為圓心，為半徑作圓，與相切，由（2）可知，，經(jīng)過點(diǎn)D，即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直的定義、角平分線的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、等角對等邊、全等三角形的證明和性質(zhì)、尺規(guī)作圖；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及尺規(guī)作圖方法．22．（2023秋·江蘇連云港·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、、．(1)在圖中畫出經(jīng)過、、三點(diǎn)的圓弧所在圓的圓心的位置；(2)坐標(biāo)原點(diǎn)與有何位置關(guān)系？并說明理由．【答案】(1)見解析(2)點(diǎn)在內(nèi)部，理由見解析【分析】（1）根據(jù)圓心必在圓內(nèi)任意一條弦的垂直平分線上，只需要作出的垂直平分線，二者的交點(diǎn)即為點(diǎn)M；（2）利用勾股定理求出的長即可得到答案；【詳解】（1）解：如圖所示，點(diǎn)M即為所求；（2）解：點(diǎn)在內(nèi)部，理由如下：由（1）得點(diǎn)M的坐標(biāo)為，∴，∵，∴點(diǎn)在內(nèi)部；【點(diǎn)睛】本題主要考查了確定圓的圓心位置，勾股定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，正確求出圓心的位置是解題的關(guān)鍵．23．（2022秋·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，，是的高，，相交于點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的外接圓．(1)點(diǎn)是否在以點(diǎn)M為圓心得同一個(gè)圓上？請說明理由．(2)若，，求外接圓的半徑長．【答案】(1)點(diǎn)在以點(diǎn)M為圓心得同一個(gè)圓上，理由見解析(2)外接圓的半徑長是5【分析】（1）連接，根據(jù)垂直定義可得，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得，，從而可得，即可解答；（2）連接并延長交于點(diǎn)G，連接并延長交于點(diǎn)H，連接，根據(jù)三角形的高是交于一點(diǎn)的可得，再根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得，從而可得，，然后利用平行四邊形的判定可得四邊形是平行四邊形，從而可得，最后在中，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）解：點(diǎn)在以點(diǎn)M為圓心的同一個(gè)圓上．理由：連接，∵是的高，相交于點(diǎn)F，∴，，∴．∵M(jìn)是的中點(diǎn)，∴，，∴，∴點(diǎn)在以點(diǎn)M為圓心的同一個(gè)圓上；（2）解：連接并延長交于點(diǎn)G，連接并延長交于點(diǎn)H，連接，∵是的高，相交于點(diǎn)F，∴，．∵是的直徑，∴，∴，．∵，∴．∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，在中，，∴，∴外接圓的半徑長為5．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，直角三角形斜邊上的中線，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，確定圓的條件，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．24．（2023·江蘇常州·常州市第二十四中學(xué)?？家荒＃┮阎侵本€l和雙曲線的交點(diǎn)．(1)求m的值．(2)若直線l分別和x軸、y軸交于E、F兩點(diǎn)，且點(diǎn)A是的外心，試確定直線l的解析式．(3)在雙曲線上另取一點(diǎn)B，過B作軸于K，試問：在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或【分析】（1）直接把點(diǎn)坐標(biāo)代入可計(jì)算出；（2）由于為直角三角形，點(diǎn)是的外心，根據(jù)直角三角形外心為斜邊的中點(diǎn)得到點(diǎn)，為的中點(diǎn)，再根據(jù)線段中點(diǎn)的坐標(biāo)公式得到點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，然后利用待定系數(shù)法確定的解析式；（3）根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義得到，設(shè)，利用三角形面積公式得到，然后求出即可得到點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】（1）解：把代入得，解得；（2）為直角三角形，點(diǎn)是的外心，點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，把，代入得，解得，直線的解析式為；（3）存在．理由如下：連接，設(shè)，，，，或滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)的解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義．25．（2022秋·江蘇常州·九年級統(tǒng)考期中）閱讀下列材料：已知實(shí)數(shù)m，n滿足，試求的值．解：設(shè)，則原方程變?yōu)?，整理得，，所以，因?yàn)?，所?上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題簡單化．根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題，并寫出解答過程．(1)已知實(shí)數(shù)x、y滿足，求值；(2)已知的三邊為a、b、c（c為斜邊），且a、b滿足，外接圓的半徑．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，解一元二次方程得到，根據(jù)，得到，即可得到答案；（2）設(shè)，解一元二次方程得到，根據(jù)勾股定理求出c，即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)，則原方程變形為，整理得：，解得，，∵，∴，∴；（2）解：設(shè)，則原方程變形為，整理得，解得：或，∵，∴，∴，∴外接圓的半徑．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外心、一元二次方程的解法，掌握換元法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．26．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考三模）尺規(guī)作圖蘊(yùn)含豐富的推理，還體現(xiàn)逆向思維，請嘗試用無刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖，不寫作法，保留作圖痕跡．

(1)【圓的作圖】點(diǎn)P是中邊上的一點(diǎn)，在圖1中作，使它與的兩邊相切，點(diǎn)P是其中一個(gè)切點(diǎn)；(2)點(diǎn)P是中邊上的一點(diǎn)，在圖2中作，使它滿足以下條件：①圓心O在上；②經(jīng)過點(diǎn)P；③與邊相切；(3)【不可及點(diǎn)的作圖】如圖3，從墻邊上引兩條不平行的射線（交點(diǎn)在墻的另一側(cè)，畫不到），作這兩條射線所形成角的平分線．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖角平分線、垂直平分線作出結(jié)果；（2）根據(jù)尺規(guī)作圖角平分線、垂直平分線、已知線段作出結(jié)果，有多種不同做法．（3）根據(jù)尺規(guī)作圖作角平分線、作垂直平分線、作已知線段、作垂線作出結(jié)果，有多種不同做法．【詳解】（1）解：

①過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)；②作的平分線交于點(diǎn)；

③以點(diǎn)為圓心，長為半徑作圓；則⊙為所求的圖形．（2）法1：①過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，②在上截取，③作交于點(diǎn)（或作的平分線交于點(diǎn)）；④以點(diǎn)為圓心，長為半徑作圓；則⊙為所求的圖形．

法2：①過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)；②作的平分線交于點(diǎn)；③作的垂直平分線交于點(diǎn)；（或過點(diǎn)作交于點(diǎn)；或作交于點(diǎn)）；④以點(diǎn)為圓心，長為半徑作圓；則⊙為所求的圖形．

法3：①反向延長射線，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)；②作的平分線；③過點(diǎn)作，交于點(diǎn)；④作的垂直平分線交于點(diǎn)；（或過點(diǎn)作交于點(diǎn)）；⑤以點(diǎn)為圓心，長為半徑作圓；則⊙為所求的圖形．

法4：①在上任取一點(diǎn)（除外），作，垂足為點(diǎn)；②以點(diǎn)為圓心，長為半徑作⊙，交于點(diǎn)；③過點(diǎn)作，交于點(diǎn)；④過點(diǎn)作，交于點(diǎn)；⑤以點(diǎn)為圓心，長為半徑作圓；則⊙為所求的圖形．

法5：①在上任取一點(diǎn)（除外），作，垂足為點(diǎn)；②以點(diǎn)為圓心，長為半徑作⊙交于點(diǎn)；③連接，并延長交于點(diǎn)；④過點(diǎn)作交于點(diǎn)；⑤以點(diǎn)為圓心，長為半徑作圓；則⊙為所求的圖形．

（3）法1：①在上任取一點(diǎn)（除外），在上任取一點(diǎn)（除外），連接；②作的平分線，作的平分線，兩平分線交于點(diǎn)；③同樣方法，得點(diǎn)；④作直線；則直線為所求的圖形．

法2：①在上任取一點(diǎn)（除外），在上任取一點(diǎn)（除外），連接；②作的平分線，作的平分線，兩平分線交于點(diǎn)；③作的平分線，作的平分線，兩平分線交于點(diǎn)；④作直線；則直線為所求的圖形．

法3：①在上任取一點(diǎn)（除外），在上任取一點(diǎn)（除外），連接；②作的平分線，作的平分線，兩平分線交于點(diǎn)；③過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)；④過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)；

⑤作的平分線；則直線為所求的圖形．

法4：①在上任取一點(diǎn)（除外），過點(diǎn)作；②作的平分線，交于點(diǎn)；③作線段的垂直平分線；則直線為所求的圖形．

法5：①在上任取一點(diǎn)（除外），在上任取一點(diǎn)（除外）；②過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)；過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)；與交于點(diǎn)；③作的平分線交于點(diǎn)，射線反向延長線交于點(diǎn)；④作線段平分線；則直線為所求的圖形．

法6:①在上任取一點(diǎn)（除外），過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)；②過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)；③作的平分線交于點(diǎn)；④作線段的垂直平分線；則直線為所求的圖形．

法7:①在上任取兩點(diǎn)、（除外），以點(diǎn)為圓心，長為半徑作⊙；②過點(diǎn)作，交⊙于點(diǎn)；③連接并延長交于點(diǎn)；④作線段的垂直平分線；

則直線為所求的圖形．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖作角平分線、作垂直平分線、作已知線段、作垂線，其中熟練運(yùn)用作圖方法并保留作圖痕跡是解題關(guān)鍵．一．選擇題1．經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)可以作圓的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．無數(shù)【分析】不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．【解答】解：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是圓的確定，過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)圓，過一點(diǎn)可畫無數(shù)個(gè)圓，過兩點(diǎn)也能畫無數(shù)個(gè)圓，過不在同一條直線上的三點(diǎn)能畫且只能畫一個(gè)圓．2．下列說法正確的個(gè)數(shù)有（）①平分弦的直徑，平分這條弦所對的??；②在等圓中，如果弦相等，那么它們所對的弧也相等；③等弧所對的圓心角相等；④過三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系以及確定圓的條件進(jìn)行逐個(gè)判斷即可．【解答】解：①平分弦（弦不是直徑）的直徑，平分這條弦所對的弧，說法錯誤；②在等圓中，如果弦相等，但它們所對的弧不一定相等，說法錯誤；③等弧所對的圓心角相等，說法正確；④過不在同一直線上的三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓，說法錯誤．綜上所述，正確的說法有1個(gè)．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系及確定圓的條件，在解答此類問題時(shí)要注意只有在同圓或等圓中，等弧所對的圓心角、弦、弦心距都分別相等．3．下列說法正確的是（）A．一個(gè)三角形只有一個(gè)外接圓 B．三點(diǎn)確定一個(gè)圓 C．長度相等的弧是等弧 D．三角形的外心到三角形三條邊的距離相等【分析】根據(jù)三角形的外接圓、等弧的定義、三角形外心的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：A、任意三角形都有且只有一個(gè)外接圓，正確，本選項(xiàng)符合題意；B、不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，原說法錯誤，本選項(xiàng)不符合題意；C、長度相等的弧不一定是等弧，原說法錯誤，本選項(xiàng)不符合題意；D、三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，原說法錯誤，本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓、等弧的定義，熟練掌握圓的有關(guān)概念是解題的關(guān)鍵．4．小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的一塊碎片應(yīng)該是（）A．第一塊 B．第二塊 C．第三塊 D．第四塊【分析】要確定圓的大小需知道其半徑．根據(jù)垂徑定理知第①塊可確定半徑的大?。窘獯稹拷猓旱冖賶K出現(xiàn)一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點(diǎn)就是圓心，進(jìn)而可得到半徑的長．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：圓上任意兩弦的垂直平分線的交點(diǎn)即為該圓的圓心．5．如圖，已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三點(diǎn)A（3，0）、B（5，0）、C（0，4），⊙P經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（6，8） B．（4，5） C．（4，318） D．（4，33【分析】根據(jù)題意可知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，y），根據(jù)PA＝PC列出關(guān)于y的方程，解方程得到答案．【解答】解：∵⊙P經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，y），作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，由題意得，42解得，y=31故選：C．【點(diǎn)評】本題考查的是確定圓的條件，解題的關(guān)鍵是理解經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓，圓心是過任意兩點(diǎn)的線段的垂直平分線的交點(diǎn)．6．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，則點(diǎn)O是△ABC的（）A．三條高線的交點(diǎn) B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) C．三條中線的交點(diǎn) D．三角形三內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)【分析】根據(jù)三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圓，∴點(diǎn)O是△ABC的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)．故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了三角形的外接圓與外心，正確把握外心的定義是解題關(guān)鍵．7．已知正三角形的邊長為12，則這個(gè)正三角形外接圓的半徑是（）A．23 B．3 C．33 D．43【分析】設(shè)正△ABC的中心為O，過O點(diǎn)作OD⊥BC，垂足為D，連接OB，把問題轉(zhuǎn)化到Rt△OBD中求OB即可．【解答】解：如圖，連接OB，作OD⊥BC，∵BC＝12，∴BD=12BC∵△ABC是等邊三角形，∴∠OBD＝30°，∴OB=BD故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了正多邊形和圓．關(guān)鍵是畫出正三角形及其中心，表示正三角形外接圓的半徑，把問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中求解．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC為直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x軸，M為Rt△ABC的外心．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，1），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4）【分析】設(shè)C（m，n），利用直角三角形的外心為斜邊的中點(diǎn)，根據(jù)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到﹣1=m+32，1=n+42，求出m、n得到點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣5，﹣2），由于AB⊥x軸，BC∥【解答】解：∵M(jìn)為Rt△ABC的外心，∴M點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，設(shè)C（m，n），∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，1），∴﹣1=m+32，1解得m＝﹣5，n＝﹣2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣5，﹣2），∵∠ABC＝90°，AB⊥x軸，∴BC∥x軸，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣2）．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心；銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心為直角三角形斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形的外部．也考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，﹣3），B（2，﹣1），C（2，3）．則△ABC的外心坐標(biāo)為（）A．（0，0） B．（﹣1，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，所以在平面直角坐標(biāo)系中作AB與BC的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為△ABC的外心．【解答】解：如圖，根據(jù)網(wǎng)格點(diǎn)O′即為所求．∵△ABC的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴EF與MN的交點(diǎn)O′即為所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐標(biāo)是（﹣2，1）．故選：D．【點(diǎn)評】此題考查了三角形的外接圓與外心，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．注意三角形的外心即是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)．解此題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．10．如圖，在等邊△ABC中，AB＝4，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，動點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且EF＝23，作△BEF的外接圓⊙O，交AC于點(diǎn)G、H．當(dāng)動點(diǎn)E從點(diǎn)D向點(diǎn)A運(yùn)動時(shí)，線段GH長度的變化情況為（）A．一直不變 B．一直變大 C．先變小再變大 D．先變大再變小【分析】由等腰三角形的性質(zhì)可求ON＝1，F(xiàn)O＝OB＝GO＝OH＝2，則點(diǎn)O在以點(diǎn)B為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動，由勾股定理可求GH＝24-【解答】解：如圖，連接BO，EO，F(xiàn)O，GO，HO，過點(diǎn)O作ON⊥EF于N，OP⊥GH于P，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠EOF＝120°，∵OE＝OF，ON⊥EF，∴∠OEF＝∠OFE＝30°，EN＝FN=3∴OF＝2ON，F(xiàn)N=3ON∴ON＝1，F(xiàn)O＝2，∴OB＝GO＝OH＝2，∴點(diǎn)O在以點(diǎn)B為圓心，2為半徑的圓上運(yùn)動，∵OG＝OH，OP⊥GH，∴GH＝2PH，∵PH=OH∴GH＝24-∵動點(diǎn)E從點(diǎn)D向點(diǎn)A運(yùn)動時(shí)，OP的長是先變小再變大，∴GH的長度是先變大再變小，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外接圓與外心，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，確定點(diǎn)O的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵．二．填空題11．（2021秋?東光縣期中）經(jīng)過兩點(diǎn)可以做無數(shù)個(gè)個(gè)圓，不在同一直線的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓．【分析】經(jīng)過兩點(diǎn)可以做無數(shù)個(gè)個(gè)圓，不在同一直線的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓．【解答】解：經(jīng)過兩點(diǎn)可以做無數(shù)個(gè)個(gè)圓，不在同一直線的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓．故答案為：無數(shù)個(gè)，三．【點(diǎn)評】本題考查了確定圓的條件及確定直線的條件，屬于基礎(chǔ)題，比較簡單．12．（2021秋?建鄴區(qū)期中）當(dāng)A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，則n需要滿足的條件為n≠﹣8．【分析】能確定一個(gè)圓就是不在同一直線上，首先確定直線AB的解析式，然后點(diǎn)C不滿足求得的直線即可．【解答】解：設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，∵A（1，2），B（3，﹣3），∴，解得：k＝﹣，b＝，∴直線AB的解析式為y＝﹣x+，∵點(diǎn)A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓時(shí)，∴點(diǎn)C不在直線AB上，∴n＝﹣×5+＝﹣8，∴當(dāng)點(diǎn)A（1，2），B（3，﹣3），C（5，n）三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，則n需要滿足的條件為n≠﹣8，故答案為：n≠﹣8．【點(diǎn)評】本題考查了確定圓的條件及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，能夠了解確定一個(gè)圓時(shí)三點(diǎn)不共線是解答本題的關(guān)鍵．13．平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能確定一個(gè)圓（填“能”或“不能”）．【分析】根據(jù)三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到它們不共線，于是根據(jù)確定圓的條件可判斷它們能確定一個(gè)圓．【解答】解：∵B（0，﹣3）、C（2，﹣3），∴BC∥x軸，而點(diǎn)A（1，0）在x軸上，∴點(diǎn)A、B、C不共線，∴三個(gè)點(diǎn)A（1，0）、B（0，﹣3）、C（2，﹣3）能確定一個(gè)圓．故答案為：能．【點(diǎn)評】本題考查了確定圓的條件：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓．14．在平面直角坐標(biāo)系中有A，B，C三點(diǎn)，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．現(xiàn)在要畫一個(gè)圓同時(shí)經(jīng)過這三點(diǎn)，則圓心坐標(biāo)為（2，0）．【分析】根據(jù)不在同一直線上的三點(diǎn)能確定一個(gè)圓，該圓圓心在三點(diǎn)中任意兩點(diǎn)連線的垂直平分線上，據(jù)此及勾股定理可列式求解．【解答】解：∵A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在