2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.4.1平面素養(yǎng)作業(yè)提技能含解析新人教A版必修第二冊

PAGE第八章8.48.4.1A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．若始終線a在平面α內(nèi)，則正確的表示圖形是(A)[解析]選項(xiàng)B、C、D中直線a在平面α外，選項(xiàng)A中直線a在平面α內(nèi).2．如圖所示，下列符號(hào)表示錯(cuò)誤的是(A)A．l∈α B．P?lC．l?α D．P∈α[解析]視察圖知：P?l，P∈α，l?α，則l∈α是錯(cuò)誤的.3．下面四個(gè)說法(其中A、B表示點(diǎn)，a表示直線，α表示平面)：①∵A?α，B?α，∴AB?α；②∵A∈α，B?α，∴AB?α；③∵A?a，a?α，∴A?α；④∵A∈a，a?α，∴A∈α.其中表述方式和推理都正確的結(jié)論的序號(hào)是(C)A．①④ B．②③C．④ D．③[解析]①錯(cuò)，應(yīng)寫為A∈α，B∈α；②錯(cuò)，應(yīng)寫為AB?α；③錯(cuò)，推理錯(cuò)誤，有可能A∈α；④推理與表述都正確.4．(2024～2024安徽蚌埠高二期中)三條兩兩平行的直線可以確定平面的個(gè)數(shù)為(D)A．0 B．1C．0或1 D．1或3[解析]當(dāng)三條直線是同一平面內(nèi)的平行直線時(shí)，確定一個(gè)平面，當(dāng)三條直線是三棱柱側(cè)棱所在的直線時(shí)，確定三個(gè)平面.5．(多選)空間不共線的四點(diǎn)，可以確定平面的個(gè)數(shù)可能是(BD)A．0 B．1C．2 D．4[解析]若有三點(diǎn)共線，則由直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，得不共線的四點(diǎn)，可以確定平面的個(gè)數(shù)為1個(gè)；若隨意三點(diǎn)均不共線，則空間不共線的四點(diǎn)，可以確定平面的個(gè)數(shù)是1或4．故空間不共線的四點(diǎn)，可以確定平面的個(gè)數(shù)是1或4個(gè).故選BD．6．如圖所示，平面α∩β＝l，A、B∈α，C∈β且C?l，AB∩l＝R，設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的平面為γ，則β∩γ等于(C)A．直線ACB．直線BCC．直線CRD．以上都不對(duì)[解析]由C，R是平面β和γ的兩個(gè)公共點(diǎn)，可知β∩γ＝CR.二、填空題7．在長方體ABCD－A1B1C1D1的全部棱中，既與AB共面，又與CC1共面的棱有__5__條[解析]由圖可知，既與AB共面又與CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5條.8．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列說法正確的是__(2)(3)(4)__(填序號(hào)(1)直線AC1在平面CC1B1B內(nèi).(2)設(shè)正方形ABCD與A1B1C1D1的中心分別為O、O1，則平面AA1C1C與平面BB1D1D(3)由A、C1、B1確定的平面是ADC1B1．(4)由A、C1、B1確定的平面與由A、C1、D確定的平面是同一個(gè)平面.[解析](1)錯(cuò)誤.如圖所示，點(diǎn)A?平面CC1B1B，所以直線AC1?平面CC1B1B.(2)正確.如圖所示.因?yàn)镺∈直線AC?平面AA1C1C，O∈直線BD?平面BB1D1D，O1∈直線A1C1?平面AA1C1C，O1∈直線B1D1?平面BB1D1D，所以平面AA1C1C(3)(4)都正確，因?yàn)锳D∥B1C1且AD＝B1C所以四邊形AB1C1D所以A，B1，C1，D共面.三、解答題9．如圖，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.求證：B，E，D三點(diǎn)共線.[證明]因?yàn)锳B∥CD，所以AB，CD可確定一個(gè)平面，設(shè)為平面β，所以AC在平面β內(nèi)，即點(diǎn)E在平面β內(nèi).而AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E，可知點(diǎn)B，D，E為平面α與平面β的公共點(diǎn)，依據(jù)基本領(lǐng)實(shí)3可得，B，D，E三點(diǎn)共線.10．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AA1的中點(diǎn)，求證(1)E、C、D1、F、四點(diǎn)共面；(2)CE、D1F、DA三線共點(diǎn)[解析](1)分別連接EF、A1B、D1C∵E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)，∴EF∥A1B且EF＝eq\f(1,2)A1B.又∵A1D1B1C1BC，∴四邊形A1D1CB是平行四邊形，∴A1B∥CD1，從而EF∥CD1．EF與CD1確定一個(gè)平面.∴E、F、D1、C四點(diǎn)共面.(2)∵EFeq\f(1,2)CD1，∴直線D1F和CE必相交.設(shè)D1F∩CE＝∵D1F?平面AA1D1D，P∈D1F，∴P∈平面AA1D1又CE?平面ABCD，P∈EC，∴P∈平面ABCD，即P是平面ABCD與平面AA1D1D的公共點(diǎn).而平面ABCD∩平面AA1D1D＝直線AD，∴P∈直線AD(公理3)，∴直線CE、D1F、DA三線共點(diǎn)B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．空間中四點(diǎn)可確定的平面有(D)A．1個(gè) B．3個(gè)C．4個(gè) D．1個(gè)或4個(gè)或多數(shù)個(gè)[解析]當(dāng)四個(gè)點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，經(jīng)過這四個(gè)點(diǎn)的平面有多數(shù)個(gè)；當(dāng)這四個(gè)點(diǎn)為三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，可確定四個(gè)平面；當(dāng)這四個(gè)點(diǎn)為平面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，確定一個(gè)平面；當(dāng)其中三點(diǎn)共線于l，另一點(diǎn)不在直線l上時(shí)，也確定一個(gè)平面，故選D．2．設(shè)P表示一個(gè)點(diǎn)，a、b表示兩條直線，α、β表示兩個(gè)平面，給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論是(D)①P∈a，P∈α?a?α②a∩b＝P，b?β?a?β③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈bA．①② B．②③C．①④ D．③④[解析]當(dāng)a∩α＝P時(shí)，P∈a，P∈α，但a?α，∴①錯(cuò)；a∩β＝P時(shí)，②錯(cuò)；如圖∵a∥b，P∈b，∴P?a，∴由直線a與點(diǎn)P確定唯一平面α，又a∥b，由a與b確定唯一平面β，但β經(jīng)過直線a與點(diǎn)P，∴β與α重合，∴b?α，故③正確；兩個(gè)平面的公共點(diǎn)必在其交線上，故④正確，選D．3．經(jīng)過同始終線上的3個(gè)點(diǎn)的平面(C)A．有且只有1個(gè) B．有且只有3個(gè)C．有多數(shù)個(gè) D．只有0個(gè)[解析]因3個(gè)點(diǎn)在同一條直線，所以經(jīng)過該直線的平面都滿意條件，故選C．4．下列各圖均是正六棱柱，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)不共面的圖形是(D)[解析]在選項(xiàng)A、B、C中，由棱柱、正六邊形、中位線的性質(zhì)，知均有PS∥QR，即在此三個(gè)圖形中P、Q、R、S共面，故選D．二、填空題5．若直線l與平面α相交于點(diǎn)O，A、B∈l，C、D∈α，且AC∥BD，則O、C、D三點(diǎn)的位置關(guān)系是__共線__.[解析]∵AC∥BD，∴AC與BD確定一個(gè)平面，記作平面β，則α∩β＝直線CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB?β，∴O∈直線CD，∴O、C、D三點(diǎn)共線.6．已知α、β是不同的平面，l、m、n是不同的直線，P為空間中一點(diǎn).若α∩β＝l，m?α、n?β、m∩n＝P，則點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系用符號(hào)表示為__P∈l__.[解析]因?yàn)閙?α，n?β，m∩n＝P，所以P∈α且P∈β.又α∩β＝l，所以點(diǎn)P在直線l上，所以P∈l.7．給出以下結(jié)論：①和一條直線都相交的兩條直線在同一平面內(nèi)；②三條兩兩相交的直線在同一平面內(nèi)；③有三個(gè)不同公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合；④兩兩平行的三條直線確定三個(gè)平面.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是__0__.[解析]如圖所示，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，AD與A′B′都與直線AA′相交，但是直線AD與A′B′不在同一平面內(nèi)，故①錯(cuò)誤；在正方體ABCD－A′B′C′D′中，直線AB，AD，AA′兩兩相交，但是這三條直線不在同一平面內(nèi)，故②錯(cuò)誤；當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，兩個(gè)平面可有多數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，只有當(dāng)兩個(gè)平面有三個(gè)不共線的公共點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)平面才重合，故③錯(cuò)誤；兩兩平行的三條直線也可能在同一平面內(nèi)，故④錯(cuò)誤.綜上可知，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是0．三、解答題8．如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是AA1，D1C1的中點(diǎn)，過D，M，N三點(diǎn)的平面與正方體的下底面相交于直線(1)畫出直線l的位置；(2)設(shè)l∩A1B1＝P，求線段PB1的長.[解析](1