2024-2025學年高中數(shù)學第四章定積分3定積分的簡單應(yīng)用課后作業(yè)含解析北師大版選修2-2

PAGE第四章定積分[A組基礎(chǔ)鞏固]1．曲線y＝x3與直線y＝x所圍圖形的面積等于()A.(x－x3)dx B.x3－x)dxC．2eq\i\in(0,1,)(x－x3)dx D．2(x－x3)dx解析：∵y＝x3，y＝x為奇函數(shù)，且x≥0時交于(0,0)、(1,1)，∴圍成面積為2eq\i\in(0,1,)(x－x3)dx.答案：C2.由曲線y＝x2－1、直線x＝0、x＝2和x軸圍成的封閉圖形的面積(如圖)是()A.eq\i\in(0,2,)(x2－1)dxB．|eq\i\in(0,2,)(x2－1)dx|C.eq\i\in(0,2,)|x2－1|dxD.eq\i\in(0,1,)(x2－1)dx＋eq\i\in(1,2,)(x2－1)dx解析：分為兩塊，(0,1)為一塊此時積分值為負，(1,2)對應(yīng)另一塊，積分值為正，∴有－eq\i\in(0,1,)(x2－1)dx＋eq\i\in(1,2,)(x2－1)dx＝eq\i\in(0,2,)|x2－1|dx.答案：C3．若a＝eq\i\in(0,2,)x2dx，b＝eq\i\in(0,2,)x3dx，c＝eq\i\in(0,2,)sinxdx，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)<c<b B．a(chǎn)<b<cC．c<b<a D．c<a<b解析：a＝eq\i\in(0,2,)x2dx＝eq\f(1,3)x3|eq\o\al(2,0)＝eq\f(8,3)，b＝eq\i\in(0,2,)x3dx＝eq\f(1,4)x4|eq\o\al(2,0)＝4，c＝eq\i\in(0,2,)sinxdx＝－cosx|eq\o\al(2,0)＝1－cos2<2.∴b>a>c.答案：D4．曲線y＝x2＋2x與直線x＝－1，x＝1及x軸所圍成圖形的面積為()A．2 B.eq\f(8,3)C.eq\f(4,3) D.eq\f(2,3)解析：S＝－(x2＋2x)dx＋eq\i\in(0,1,)(x2＋2x)dx＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋x2))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(0,－1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3＋x2))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,0)))＝eq\f(2,3)＋eq\f(4,3)＝2.答案：A5．如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點P，則點P恰好取自陰影部分的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,7)解析：陰影部分的面積為eq\i\in(0,1,)(eq\r(x)－x)dx＝eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(1,0)))＝eq\f(1,6)，故所求的概率P＝eq\f(陰影部分的面積,正方形OABC的面積)＝eq\f(1,6)，故選C.答案：C6．如圖所示一個質(zhì)點做直線運動的v-t圖像，則質(zhì)點在前6s內(nèi)的位移為________．答案：97．如圖所示，圖中陰影部分的面積為________．答案：S＝eq\i\in(a,c,)f(x)dx＋eq\i\in(c,b,)g(x)dx－eq\i\in(a,b,)y(x)dx.8．拋物線y＝－x2＋4x－3及其在點A(1,0)和點B(3,0)處的切線所圍圖形的面積為________．解析：由y′＝－2x＋4得在點A、B處切線的斜率分別為2和－2，則兩切線方程分別為y＝2x－2和y＝－2x＋6.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－2,y＝－2x＋6))，得兩切線交點坐標為C(2,2)，∴S＝S△ABC－eq\i\in(1,3,)(－x2＋4x－3)dx＝eq\f(1,2)×2×2－(－eq\f(1,3)x3＋2x2－3x)|eq\o\al(3,1)＝2－eq\f(4,3)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)9．求曲線x＝3y2和直線y＝x－2所圍成的平面圖形的面積．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3y2，,y＝x－2，))解得交點坐標為(3,1)和(eq\f(4,3)，－eq\f(2,3))，則對應(yīng)變量y的改變區(qū)間為[－eq\f(2,3)，1]于是所求面積S＝＝(eq\f(1,2)y2＋2y－y3)|＝eq\f(125,54).10．設(shè)y＝f(x)是二次函數(shù)，方程f(x)＝0有兩個相等的實根，且f′(x)＝2x＋2.(1)求y＝f(x)的表達式；(2)若直線x＝－t(0<t<1)把y＝f(x)的圖像與兩坐標軸所圍成的圖形的面積兩等分，求t的值．解析：(1)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f′(x)＝2ax＋b.又已知f′(x)＝2x＋2，∴a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c.又方程f(x)＝0有兩個相等的實根，∴Δ＝4－4c＝0，即c＝1.∴f(x)＝x2＋2x＋1.(2)依題意有eq\i\in(－1,－t,)(x2＋2x＋1)dx＝(x2＋2x＋1)dx，∴(eq\f(1,3)x3＋x2＋x)|eq\o\al(－t,－1)＝(eq\f(1,3)x3＋x2＋x)|eq\o\al(0,－t).∴－eq\f(1,3)t3＋t2－t＋eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)t3－t2＋t.∴2t3－6t2＋6t－1＝0.∴2(t－1)3＝－1，解得t＝1－eq\f(1,\r(3,2)).[B組實力提升]1．依據(jù)＝0推斷，直線x＝0，x＝2π，y＝0和正弦曲線y＝sinx所圍成的圖形的面積時，正確結(jié)論為()A．面積為0B．圖形在x軸上方的面積大于在x軸下方的面積C．圖形在x軸上方的面積小于在x軸下方的面積D．圖形在x軸上方的面積等于在x軸下方的面積解析：作出圖像可知，D正確．sinxdx＝－eq\i\in(0,π,)sinxdx.答案：D2．若兩曲線y＝x2與y＝cx3(c>0)圍成圖形的面積是eq\f(2,3)，則c等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C．1 D.eq\f(2,3)解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2，,y＝cx3，))得A(0,0)，B(eq\f(1,c)，eq\f(1,c2))，S＝(x2－cx3)dx＝(eq\f(1,3)x3－eq\f(1,4)cx4)|＝eq\f(1,12)·eq\f(1,c3)＝eq\f(2,3)，∴c＝eq\f(1,2).答案：B3．如圖，在一個長為π，寬為2的矩形OABC內(nèi)，曲線y＝sinx(0≤x≤π)與x軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形OABC內(nèi)隨機投一點(該點落在矩形OABC內(nèi)任何一點是等可能的)，則所投的點落在陰影部分的概率是________．解析：因為eq\i\in(0,π,)sinxdx＝－cosx＝－cosπ＋cos0＝2，又S矩形＝2π，所以所投的點落在陰影部分的概率是P＝eq\f(2,2π)＝eq\f(1,π).答案：eq\f(1,π)4．已知a∈[0，eq\f(π,2)]，當eq\i\in(0,a,)(cosx－sinx)dx取最大值時，a＝________.解析：eq\i\in(0,a,)(cosx－sinx)dx＝(sinx＋cosx)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\o\al(a,0)))＝sina＋cosa－1＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(π,4)))－1，當a＝eq\f(π,4)時，eq\i\in(0,a,)(cosx－sinx)dx取最大值eq\r(2)－1.答案：eq\f(π,4)5．給定直角邊為2的等腰直角三角形，繞一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周，得到一個圓錐體，求它的體積．解析：在平面直角坐標系中，直角邊為2的等腰直角三角形可以看成是由直線y＝x，x＝2以及x軸所圍成的平面圖形．則旋轉(zhuǎn)體的體積V＝πeq\i\in(0,2,)x2dx＝eq\f(π,3)x3|eq\o\al(2,0)＝eq\f(8π,3).6．如圖，直線y＝kx分拋物線y＝x－x2與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求k的值．解析：拋物線y＝x－x2與x軸兩交點的橫坐標分別為x1＝0，x2＝1，∴拋物線與x軸所圍圖形的面積為S＝eq\i\in(0,1,)(x－x2)dx＝(eq\f(x2,2)－eq\f(x3,3))|eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－x2，,y＝kx，))解得兩交點的橫坐標分別為x1′＝0，x2′＝1－k，∴