天津市紅橋區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

高二數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共100分，考試用時(shí)90分鐘．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼．答題時(shí)，務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無(wú)效．祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷注意率項(xiàng)：1．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．2．本卷共9題，每小題4分，共36分．一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出直線的斜率，根據(jù)公式即可求出傾斜角.【詳解】易知直線的斜率，所以，又因?yàn)椋?故選：B.2.過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得直線的斜率為，由垂直得垂直直線的斜率，然后由點(diǎn)斜式寫出直線方程，化為一般式可得結(jié)果．【詳解】解：由題意可得直線的斜率為，則過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的直線斜率為，直線方程為，化為一般式為．故選：A．3.圓的圓心坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把圓一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心坐標(biāo).【詳解】由.所以圓心坐標(biāo)：.故選：C4.若雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，焦距為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得，從而求得雙曲線的漸近線方程.【詳解】依題意，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A5.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x=﹣2，則拋物線的方程是A.y2=﹣8x B.y2=8x C.y2=﹣4x D.y2=4x【答案】B【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)準(zhǔn)線方程求得p，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得．解：∵準(zhǔn)線方程為x=﹣2∴=2∴p=4∴拋物線的方程為y2=8x故選B點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．考查了考生對(duì)拋物線基礎(chǔ)知識(shí)的掌握．6.橢圓上一點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為，則到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有，結(jié)合橢圓定義求到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離.【詳解】由橢圓方程知，根據(jù)橢圓定義，到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為.故選：D7.已知點(diǎn)則以線段AB為直徑圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直徑求出圓心、半徑即可得解【詳解】因?yàn)锳B為直徑，所以圓心為，半徑為，所以圓的方程為，故選：C8.過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，若(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則該雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知,在直角三角形中，利用三角函數(shù)即可求出，進(jìn)而得到雙曲線的離心率.【詳解】如圖：由題意知，根據(jù)雙曲線及圓的對(duì)稱性可知，直角三角形中，，所以，即，故選：B9.已知直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若,則k=A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】將y=k(x+2)代入y2=8x,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為xA,xB,則xA+xB=-4,①xA·xB=4.又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2,|FA|=2|FB|,∴2xB+4=xA+2.∴xA=2xB+2.②∴將②代入①得xB=-2,xA=-4+2=-2.故xA·xB==4.解之得k2=.而k>0,∴k=,滿足Δ>0.故選D.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分．10.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是_________________.【答案】2【解析】【詳解】焦點(diǎn)（1，0），準(zhǔn)線方程，∴焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2.11.點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)______【答案】【解析】【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式直接計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算可得.故答案為：12.在平面直角坐標(biāo)系中，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)______．【答案】2【解析】【分析】由三點(diǎn)共線可得向量共線，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示，即可求得答案.【詳解】由題意得，因?yàn)槿c(diǎn)共線，故共線，所以，故答案為：213.已知直線經(jīng)過(guò)，則該直線過(guò)定點(diǎn)_______．【答案】【解析】【分析】將直線化為，即可確定定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由可化為，即直線恒過(guò)點(diǎn).故答案為：14.已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)可求出圓心，繼而得出半徑求出方程.【詳解】因圓心在直線上，所以設(shè)圓心，因?yàn)辄c(diǎn)，是圓上兩點(diǎn)，所以，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，有，解得．所以，圓心，圓的半徑所以，所求圓的方程為，故答案為：.15.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是的焦點(diǎn)，若在雙曲線上存在點(diǎn)P，滿足∠F1PF2＝60°，|OP|＝a，則該雙曲線的離心率為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】假設(shè)，分別根據(jù)三角形中線定理和余弦定理建立等式求得，可得和的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率【詳解】解：不妨設(shè)在左支上，，則，因?yàn)槭侨切蔚闹芯€，所以根據(jù)三角形中線定理可得，整理得，由余弦定理得，，整理得，所以，化簡(jiǎn)得，所以，故答案為：三、解答題：本大題共4個(gè)小題，共40分．解答寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．16.已知、為直線上兩點(diǎn)，直線:.（1）求直線的方程；（2）若，求直線與之間的距離．【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）利用兩點(diǎn)式寫出直線的方程.（2）根據(jù)兩直線平行，利用兩平行線的距離公式求直線與之間的距離.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)、，所以直線的方程為：，即.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，也就是，又，所以直線與之間的距離為：.17.已知直線與圓C：相切與點(diǎn)P.（1）求切點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）過(guò)P點(diǎn)直線的與圓C值交于另一點(diǎn)Q，若線段PQ的長(zhǎng)度為2，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）過(guò)切點(diǎn)和圓心的直線與切線垂直，從而得到過(guò)切點(diǎn)和圓心的直線方程，兩直線交點(diǎn)即為切點(diǎn)；（2）討論斜率存在和不存在兩種情況，斜率不存在時(shí)得出直線方程聯(lián)立方程組求出另一個(gè)交點(diǎn)，驗(yàn)證兩點(diǎn)間距離是否為2，在下結(jié)論；斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，由垂徑定理建立方程求得斜率，寫出直線方程.【小問(wèn)1詳解】由題意得：，圓心，半徑，因?yàn)?，所以，所以，所以，即，?lián)立方程得，，所以.【小問(wèn)2詳解】直線斜率不存在時(shí)，，聯(lián)立方程得，或，所以，所以，所以；直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線，即，圓心到直線的距離，又因?yàn)椋?，所以，解得，所以；綜上，直線：或.18.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，長(zhǎng)軸為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線不與坐標(biāo)軸垂直，直線與橢圓相交于點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作射線與橢圓交于點(diǎn)，若四邊形為平行四邊形，求直線的斜率．【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）利用已知建立方程組聯(lián)立即可求解；（2）設(shè)出直線的方程以及點(diǎn)的坐標(biāo)，然后與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由向量的平行四邊形法則求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求出直線的斜率.【小問(wèn)1詳解】由已知可得，解得，所以橢圓的方程為;【小問(wèn)2詳解】由題意可知直線的斜率存在且不為0，可設(shè)直線的方程為,,聯(lián)立方程,消去整理可得：，則，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，在平行四邊形中，有，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得，所以直線的斜率為.19.已知橢圓的離心率為，橢圓C與y軸交于A，B兩點(diǎn)，且.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P在y軸右側(cè)，直線PA，PB與直線交于M，N兩點(diǎn)，若以MN為直徑的圓與x軸交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率求解，即得答案；（2）設(shè)，利用直線PA，PB的方程求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，從而求出以MN為直徑的圓的方程，根據(jù)該圓與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意知橢圓與y軸交于A，B兩點(diǎn)，且，故；橢圓離心率為，即，故橢圓方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，則直線PA的方程為，同理直線PB的方程為，故直線PA與直線的交點(diǎn)為，直線PB與直線的交點(diǎn)為，故線段MN的中點(diǎn)坐