專題39函數(shù)的應(yīng)用（一）（精講精析篇）-新高考高中數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)全透視（原卷版）

專題3.9函數(shù)的應(yīng)用（一）（精講精析篇）一、核心素養(yǎng)1.利用給出的具體函數(shù)模型解決實(shí)際問題，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．2．給出具體實(shí)際問題，借助所學(xué)基本初等函數(shù)的特點(diǎn)，建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型解決實(shí)際問題，凸顯數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．二、考試要求構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題.三、主干知識(shí)梳理1．幾類常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)（較少考查）“對(duì)號(hào)”函數(shù)模型二、真題展示1.（2019·北京高考真題（理））李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為__________．2.（2021·江蘇高考真題）某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本萬元與年產(chǎn)量噸之間的函數(shù)關(guān)系可以近似地表示為，已知此生產(chǎn)線的年產(chǎn)量最小為60噸，最大為110噸.（1）年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低?并求最低平均成本;（2）若每噸產(chǎn)品的平均出廠價(jià)為24萬元，且產(chǎn)品能全部售出，則年產(chǎn)量為多少噸時(shí)，可以獲得最大利潤?并求最大利潤.考點(diǎn)01一次函數(shù)型【典例1】（2020·云南省高一期末）小張經(jīng)營某一消費(fèi)品專賣店，已知該消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件40元，該店每月銷售量（百件）與銷售單價(jià)x（元/件）之間的關(guān)系用下圖的一折線表示，職工每人每月工資為1000元，該店還應(yīng)交付的其它費(fèi)用為每月10000元.（1）把y表示為x的函數(shù)；（2）當(dāng)銷售價(jià)為每件50元時(shí)，該店正好收支平衡（即利潤為零），求該店的職工人數(shù)；（3）若該店只有20名職工，問銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該專賣店可獲得最大月利潤？（注：利潤=收入支出）【規(guī)律方法】解決函數(shù)應(yīng)用問題重點(diǎn)解決以下幾點(diǎn)：（1）閱讀理解、整理數(shù)據(jù)：通過分析快速弄清數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)的單位等等；（2）建立函數(shù)模型：關(guān)鍵是正確選擇自變量將問題表示為這個(gè)變量的函數(shù)，建立函數(shù)的模型的過程主要是抓住某些量之間的相等關(guān)系列出函數(shù)式，注意不要忘記函數(shù)的定義域；（3）求解函數(shù)模型：主要是研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域、最大(小)值；（4）回答實(shí)際問題結(jié)果：將函數(shù)問題的結(jié)論還原成實(shí)際問題，結(jié)果明確表述出來．考點(diǎn)02二次函數(shù)型【典例2】（2021·新蔡縣第一高級(jí)中學(xué)高一月考）某蛋糕廠生產(chǎn)某種蛋糕的成本為40元/個(gè)，出廠價(jià)為60元/個(gè)，日銷售量為1000個(gè)，為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高蛋糕檔次，適度增加成本．若每個(gè)蛋糕成本增加的百分率為x(0＜x＜1)，則每個(gè)蛋糕的出廠價(jià)相應(yīng)提高的百分率為0.5x，同時(shí)預(yù)計(jì)日銷售量增加的百分率為0.8x，（1）為使日利潤有所增加，求x的取值范圍；（2）當(dāng)每個(gè)蛋糕成本增加的百分率為多少時(shí)，日利潤最大，并求出最大日利潤.【規(guī)律方法】函數(shù)模型中，二次函數(shù)模型占有重要的地位．根據(jù)實(shí)際情況，列出函數(shù)解析式，可利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問題中的最大、最小等問題．,考點(diǎn)03“對(duì)號(hào)”函數(shù)型【典例3】（湖北高考真題）圍建一個(gè)面積為360m2的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m，新墻的造價(jià)為180元/m，設(shè)利用的舊墻的長度為x（單位：元）．設(shè)修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用為y.（Ⅰ）將y表示為x的函數(shù)；（Ⅱ）試確定x，使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用．【典例4】（2021·安徽省亳州市第一中學(xué)高三月考（文））2021年某城市一家圖書生產(chǎn)企業(yè)計(jì)劃出版一套數(shù)學(xué)新教輔書，通過市場(chǎng)分析，全年需投入固定成本30萬元，印刷（萬本），需另投入成本萬元，且由市場(chǎng)調(diào)研知，每本書售價(jià)為60元，且全年內(nèi)印刷的書當(dāng)年能全部銷售完.（1）求出2021年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（萬本）的函數(shù)關(guān)系式；（2）2021年年產(chǎn)量為多少本時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大？求出最大利潤.【規(guī)律方法】(1)“對(duì)號(hào)”型函數(shù)模型在實(shí)際問題中會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)．解決此類問題，關(guān)鍵是利用已知條件，建立函數(shù)模型，然后化簡整理函數(shù)解析式，必要時(shí)通過配湊得到“對(duì)號(hào)”型函數(shù)模型．(2)求函數(shù)解析式時(shí)要先確定函數(shù)的定義域．對(duì)于類型的函數(shù)最值問題，要特別注意定義域和基本不等式中等號(hào)成立的條件，如果在定義域內(nèi)滿足“一正、二定、三相等”，可考慮用基本不等式求最值，否則要考慮函數(shù)的單調(diào)性，此時(shí)也可借用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性．考點(diǎn)04分段函數(shù)型【典例5】（2020·北京高一期末）下表為北京市居民用水階梯水價(jià)表(單位：元/立方米).階梯戶年用水量（立方米）水價(jià)其中自來水費(fèi)水資源費(fèi)污水處理費(fèi)第一階梯0180（含）5.002.071.571.36第二階梯181260（含）7.004.07第三階梯260以上9.006.07（Ⅰ）試寫出水費(fèi)(元)與用水量(立方米)之間的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）若某戶居民年交水費(fèi)1040元，求其中自來水費(fèi)、水資源費(fèi)及污水處理費(fèi)各是多少？【典例6】（2022·上海高三專題練習(xí)）某供應(yīng)商為華為公司提供芯片，由以往的經(jīng)驗(yàn)表明，不考慮其他因素，該芯片次品率與日產(chǎn)量（萬枚）間的關(guān)系為：，已知每生產(chǎn)1枚合格芯片供應(yīng)商可盈利元，每出現(xiàn)1件次品虧損15元.（1）將日盈利額（萬元）表示為日常量（萬枚）的函數(shù)；（2）為使日盈利額最大，日產(chǎn)量應(yīng)為多少萬枚？【總結(jié)提升】1.分段函數(shù)型問題主要有各段均為一次函數(shù)、一二次數(shù)混合構(gòu)成、一二次數(shù)與分式函數(shù)混合型，處理問題的方法靈活多樣，可利用函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性）、利用函數(shù)的圖象、利用基本不等式等.2.構(gòu)建分段函數(shù)時(shí)，要力求準(zhǔn)確、簡捷，做到分段合理、不重不漏．3.分段函數(shù)的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．【易錯(cuò)警示】用函數(shù)的性質(zhì)解題時(shí)，易忽略函數(shù)的定義域及不同單調(diào)區(qū)間的討論.鞏固提升1．（2020·全國高考真題（理））在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（）A．10名 B．18名 C．24名 D．32名2．（2020·全國高一專題練習(xí)）國家規(guī)定個(gè)人稿費(fèi)納稅辦法為：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4000元的按超過800元的14％納稅；超過4000元的按全稿酬的11％納稅.某人出版了一書共納稅420元，這個(gè)人的稿費(fèi)為＿＿＿＿元.3.（北京高考真題））顧客請(qǐng)一位工藝師把、兩件玉石原料各制成一件工藝品，工藝師帶一位徒弟完成這項(xiàng)任務(wù)，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工藝師進(jìn)行精加工完成制作，兩件工藝品都完成后交付顧客，兩件原料每道工序所需時(shí)間（單位：工作日）如下：工序時(shí)間原料粗加工精加工原料原料則最短交貨期為工作日.4.（2020·福建三明一中高一期中）某在校大學(xué)生提前創(chuàng)業(yè)，想開一家服裝專賣店，經(jīng)過預(yù)算，店面裝修費(fèi)為10000元，每天需要房租水電等費(fèi)用100元，受營銷方法、經(jīng)營信譽(yù)度等因素的影響，專賣店銷售總收入與店面經(jīng)營天數(shù)的關(guān)系是，則總利潤最大時(shí)店面經(jīng)營天數(shù)是__________，最大總利潤是__________．5．（2020·北京市魯迅中學(xué)高二月考）現(xiàn)行的個(gè)稅法修正案規(guī)定：個(gè)稅免征額由原來的2000元提高到3500元，并給出了新的個(gè)人所得稅稅率表：全月應(yīng)納稅所得額稅率不超過1500元的部分3%超過1500元至4500元的部分10%超過4500元至9000元的部分20%超過9000元至35000元的部分25%………例如某人的月工資收入為5000元，那么他應(yīng)納個(gè)人所得稅為：（元）.（Ⅰ）若甲的月工資收入為6000元，求甲應(yīng)納的個(gè)人收的稅；（Ⅱ）設(shè)乙的月工資收入為元，應(yīng)納個(gè)人所得稅為元，求關(guān)于的函數(shù)；（Ⅲ）若丙某月應(yīng)納的個(gè)人所得稅為1000元，給出丙的月工資收入.（結(jié)論不要求證明）6.（2020·全國高一專題練習(xí)）在扶貧活動(dòng)中，為了盡快脫貧（無債務(wù)）致富，企業(yè)甲將經(jīng)營情況良好的某種消費(fèi)品專賣店以萬元的優(yōu)惠價(jià)轉(zhuǎn)讓給了尚有萬元無息貸款沒有償還的小型企業(yè)乙，并約定從該店經(jīng)營的利潤中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費(fèi)的開支元后，逐步償還轉(zhuǎn)讓費(fèi)（不計(jì)息）．在甲提供的資料中有：①這種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件元；②該店月銷量（百件）與銷售價(jià)格（元）的關(guān)系如圖所示；③每月需各種開支元．（1）當(dāng)商品的價(jià)格為每件多少元時(shí)，月利潤扣除職工最低生活費(fèi)的余額最大？并求最大余額；（2）企業(yè)乙只依靠該店，最早可望在幾年后脫貧？7．（2020·上海高一課時(shí)練習(xí)）某種商品每件成本80元，每件售價(jià)100元，每天售出100件，已知售價(jià)降低x成（1成），售出商品的數(shù)量就增加成.如果要求該商品的一天營業(yè)額至少是10260元，又不能虧本，求x的取值范圍.8．（2020·邯鄲市永年區(qū)第二中學(xué)高一期中）投資商到一開發(fā)區(qū)投資72萬元建起一座蔬菜加工廠，經(jīng)營中，第一年支出12萬元，以后每年支出增加4萬元，從第一年起每年蔬菜銷售收入50萬元，設(shè)fn表示前n年的純利潤總和（fn=前n年總收入前n年的總支出（Ⅰ）該廠從第幾年開始盈利？（Ⅱ）該廠第幾年平均純利潤達(dá)到最大？并求出年平均純利潤的最大值.9.（2020·江西省靖安中學(xué)高一月考）甲乙兩地相距海里，某貨輪勻速行駛從甲地運(yùn)輸貨物到乙地，運(yùn)輸成本包括燃料費(fèi)用和其他費(fèi)用．已知該貨輪每小時(shí)的燃料費(fèi)與其速度的平方成正比，比例系數(shù)為，其他費(fèi)用為每小時(shí)元，且該貨輪的最大航行速度為海里/小時(shí)．（）請(qǐng)將該貨輪從甲地到乙地的運(yùn)輸成本表示為航行速度（海里/小時(shí)）的函數(shù)．（）要使從甲地到乙地的運(yùn)輸成本最少，該貨輪應(yīng)以多大的航行速度行駛？10．（2020·進(jìn)賢縣第一中學(xué)高一月考（理））機(jī)床廠今年年初用98萬元購進(jìn)一臺(tái)數(shù)控機(jī)床，并立即投入生產(chǎn)