第14講圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（教師版）高二數(shù)學(xué)講義（人教A版2019選擇性）

第14講圓的標(biāo)準(zhǔn)方程目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1．理解圓的定義及確定圓的幾何要素，理解與掌握平面直角坐標(biāo)系中圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.會根據(jù)相關(guān)條件寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及圓的圓心，半徑.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，了解與掌握確定圓的位置，大小的幾何要素，能根據(jù)相關(guān)條件求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能解決與圓有關(guān)的問題.知識精講知識精講知識點(diǎn)01圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識圓的標(biāo)準(zhǔn)方程基本要素當(dāng)圓心的位置與半徑的大小確定后，圓就唯一確定了，因此，確定一個(gè)圓的基本要素是圓心和半徑.標(biāo)準(zhǔn)方程圓心為，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.圖示說明若點(diǎn)在圓上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程；反之，若點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程，則點(diǎn)M在圓上.【微點(diǎn)撥】【即學(xué)即練1】若直線y＝ax＋b通過第一、二、四象限，則圓(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圓心位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】(－a，－b)為圓的圓心，由直線經(jīng)過第一、二、四象限，得到a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，再由各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)得解，D正確．【即學(xué)即練2】．圓（x＋1）2＋（y－2）2＝4的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）A．（－1，2），2 B．（1，－2），2C．（－1，2），4 D．（1，－2），4【答案】A【解析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，圓（x＋1）2＋（y－2）2＝4的圓心坐標(biāo)為（－1，2），半徑r＝2，故選A．知識點(diǎn)02圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)如圖，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，半徑長為r(其中a,b,r都是常數(shù)，r>0).設(shè)為該圓上任意一點(diǎn)，那么圓心為C的圓就是集合.由兩點(diǎn)間的距離公式，得圓上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y)滿足的關(guān)系式為①，①式兩邊平方，得.【即學(xué)即練3】圓關(guān)于直線對稱的圓的方程是（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．【答案】C【解析】將整理成標(biāo)準(zhǔn)式可得：，可得圓的圓心坐標(biāo)為（1，0）半徑為，關(guān)于直線對稱的圓的圓心坐標(biāo)為（3，2），所以所求圓的方程為.【即學(xué)即練4】已知A（3，－2），B（－5，4），則以AB為直徑的圓的方程是()A．（x－1）2＋（y＋1）2＝25 B．（x＋1）2＋（y－1）2＝25 C．（x－1）2＋（y＋1）2＝100 D．（x＋1）2＋（y－1）2＝100【答案】B【解析】由題意可得圓心為（－1，1），半徑為，由圓心和半徑可得圓的方程為（x＋1）2＋（y－1）2＝25，故選B．【即學(xué)即練5】圓心在x軸上，半徑長為，且過點(diǎn)（－2，1）的圓的方程為（）A．（x＋1）2＋y2＝2 B．x2＋（y＋2）2＝2C．（x＋3）2＋y2＝2 D．（x＋1）2＋y2＝2或（x＋3）2＋y2＝2【答案】D【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為則由題意知，解得或，故圓的方程為（或．故選D．知識點(diǎn)03點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓C：，其圓心為，半徑為，點(diǎn)，設(shè).位置關(guān)系與的大小圖示點(diǎn)P的坐標(biāo)的特點(diǎn)點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓內(nèi)【微點(diǎn)撥】判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系主要是根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離與半徑做比較.【即學(xué)即練6】已知點(diǎn)（2，0）和（x–2）2+（y+1）2=3，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（）A．在圓內(nèi) B．在圓上C．在圓外 D．不確定【答案】A【解析】由于（2–2）2+（0+1）2<3，故點(diǎn)在圓內(nèi)．【即學(xué)即練7】若點(diǎn)P(5a＋1,12a)在圓(x－1)2＋y2＝1的外部，則a的取值范圍為________．【答案】a>eq\f(1,13)或a<－eq\f(1,13)【解析】∵P在圓外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1,169a2>1，a2>eq\f(1,169)，∴|a|>eq\f(1,13)，即a>eq\f(1,13)或a<－eq\f(1,13).能力拓展能力拓展考法011．求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法包括幾何法和待定系數(shù)法．（1）由圓的幾何性質(zhì)易得圓心坐標(biāo)和半徑長時(shí)，用幾何法可以簡化運(yùn)算．對于幾何法，常用到圓的以下幾何性質(zhì)：①圓中任意弦的垂直平分線必過圓心；②圓內(nèi)的任意兩條弦的垂直平分線的交點(diǎn)一定是圓心．（2）由于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個(gè)參數(shù)a，b，r，運(yùn)用待定系數(shù)法時(shí)，必須具備三個(gè)獨(dú)立的條件才能確定圓的方程．這三個(gè)參數(shù)反映了圓的幾何性質(zhì)，其中圓心（a，b）是圓的定位條件，半徑r是圓的定形條件．【典例1】寫出下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1）圓心在原點(diǎn)，半徑長為2；（2）圓心是直線與的交點(diǎn)，半徑長為．【解析】（1）∵圓心在原點(diǎn)，半徑長為2，即，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意知圓心是兩直線的交點(diǎn)，由，得．∴圓心為，又∵半徑長為，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【典例2】過點(diǎn)且圓心在直線上的圓的方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解法1：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知條件，知，解此方程組，得，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．解法2：設(shè)點(diǎn)為圓心，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．又因?yàn)樵搱A經(jīng)過兩點(diǎn)，所以所以，解得．所以．所以圓心坐標(biāo)為，半徑．故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．解法3：由已知可得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以弦的垂直平分線的斜率為，所以的垂直平分線的方程為，即．則圓心是直線與的交點(diǎn)，由得，即圓心，圓的半徑，故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【名師點(diǎn)睛】確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就是設(shè)法確定圓心C(a，b)及半徑r，其求解的方法：一是待定系數(shù)法，如解法1，建立關(guān)于a，b，r的方程組，進(jìn)而求得圓的方程；二是借助圓的幾何性質(zhì)直接求得圓心坐標(biāo)和半徑，如解法2、3．一般地，在解決有關(guān)圓的問題時(shí)，有時(shí)利用圓的幾何性質(zhì)作轉(zhuǎn)化較為簡捷．【即學(xué)即練8】經(jīng)過點(diǎn)（2，2），圓心為C（1，1）的圓的方程是__________．【答案】【解析】由題意，∴圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．【即學(xué)即練9】以為直徑兩端點(diǎn)的圓的方程是__________．【答案】【解析】由題意圓心為，半徑為，∴圓方程為．【即學(xué)即練10】過點(diǎn)A（1，－1）、B（－1，1），且圓心在直線上的圓的方程是__________．【答案】【解析】因?yàn)閳A心在直線上，所以可令圓心．又因?yàn)閳A過點(diǎn)A（1，－1）、B（－1，1），所以圓的半徑．由兩點(diǎn)距離公式得，，解得．所以，圓心，半徑．因而，圓的方程是．考法02會判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法：（1）幾何法：利用圓心到該點(diǎn)的距離與圓的半徑比較；（2）代數(shù)法：直接利用下面的不等式判定：①，點(diǎn)在圓外；②，點(diǎn)在圓上；③，點(diǎn)在圓內(nèi)．【典例3】已知點(diǎn)A（1，2）和圓C：（x–a）2+（y+a）2=2a2，試求滿足下列條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍．（1）點(diǎn)A在圓C的內(nèi)部；（2）點(diǎn)A在圓C上；（3）點(diǎn)A在圓C的外部．【解析】（1）∵點(diǎn)A在圓C的內(nèi)部，∴（1–a）2+（2+a）2<2a2，即2a+5<0，解得a<．故a的取值范圍是{a|a<}．（2）將點(diǎn)A（1，2）的坐標(biāo)代入圓C的方程，得（1–a）2+（2+a）2=2a2，解得a=，故a的值為．（3）∵點(diǎn)A在圓C的外部，∴（1–a）2+（2+a）2>2a2，即2a+5>0，解得a>．故a的取值范圍是{a|a>}．【即學(xué)即練11】兩個(gè)點(diǎn)、與圓的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓外B．點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓內(nèi)C．點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓內(nèi)D．點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外【答案】D【分析】本題可將點(diǎn)、代入方程左邊，通過得出的值與的大小關(guān)系即可判斷出結(jié)果.【詳解】將代入方程左邊得，則點(diǎn)在圓內(nèi)，將代入方程左邊得，則點(diǎn)在圓外，故選：D.分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．已知圓，則其圓心的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直接求圓心坐標(biāo).【詳解】圓，則其圓心的坐標(biāo)為.故選：C2．在平面直角坐標(biāo)系中，圓心在原點(diǎn)半徑為3的圓的方程是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓心坐標(biāo)和半徑直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】解：因?yàn)閳A的圓心在原點(diǎn)半徑為3，所以圓的方程是.故選：C.3．以點(diǎn)為圓心，與軸相切的圓的方程是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓與軸相切得出半徑，再根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】由題知，圓心為，因?yàn)閳A與軸相切，所以圓的半徑，所求圓的方程為.故選：C.4．已知點(diǎn)，，則以線段為直徑的圓的方程是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出圓的直徑式方程后再將其化簡為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而可得正確的選項(xiàng)，我們也可以求出圓心和半徑，從而得到圓的方程.【詳解】法1：以線段為直徑的圓的直徑式方程為，整理得到：，故選：D.法2：因?yàn)閳A以為直徑，故圓心為的中點(diǎn)，又，故圓的半徑為5，故以線段為直徑的圓的方程為：.故選：D.5．圓的圓心關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出圓心，進(jìn)而結(jié)合點(diǎn)對稱即可求出結(jié)果.【詳解】圓的圓心為，關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，故選：C.6．已知從點(diǎn)發(fā)出的一束光線，經(jīng)軸反射后，反射光線恰好平分圓：的圓周，則反射光線所在的直線方程為（）A．B．C．D．【答案】C【分析】反射光線過圓心，而點(diǎn)與圓心連線與軸平行，由對稱性可得入射光線與的交點(diǎn)（即反射點(diǎn)），由交點(diǎn)坐標(biāo)和圓心坐標(biāo)可得反射光線所在直線方程．【詳解】由題意反射光線過圓心，又點(diǎn)與圓心連線與軸平行，所以入射光線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即入射光線與軸交點(diǎn)為．所以反射光線所在的直線方程為，即．故選：C．7．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則線段的垂直平分線的方程是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由圓的平面幾何性質(zhì)可知，過圓心與垂直的直線即為所求，根據(jù)垂直關(guān)系求出AB中垂線斜率即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€AB：的斜率為，可知垂直平分線的斜率為，又圓的圓心為，所以弦AB的垂直平分線方程為，化簡得，故選：D8．已知直線與圓交于，兩點(diǎn)，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用圓的性質(zhì)及勾股定理得到圓心到直線的距離，再利用點(diǎn)到直線的距離公式建立方程，解方程即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓心到直線的距離為，則根據(jù)題意得，由點(diǎn)到直線的距離公式得，解得.故選：C.9．已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則x的最大值是（）A．3 B．2 C．1 D．3【答案】C【分析】首先確定圓的圓心和半徑，再確定的最大值.【詳解】方程變形為，圓心，半徑，則的最大值是.故選：C10．若P(2，－1)為圓(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程是（）A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0【答案】A【分析】利用圓的垂徑定理，結(jié)合互相垂直兩直線的斜率之間的關(guān)系，進(jìn)行求解即可.【詳解】圓(x－1)2＋y2＝25的圓心為M(1，0)．因?yàn)橹本€MP與AB垂直，所以kAB＝－＝－＝1.又因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)P(2，－1)，所以直線AB方程為y＋1＝x－2，即x－y－3＝0.故選：A11.圓的圓心C的坐標(biāo)為（）A．（1，0） B．（－1，0） C．（2，0） D．（－2，0）【答案】B【分析】圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.【詳解】由圓可得，故圓心坐標(biāo)為,故選：B12．過點(diǎn)A（1，1），B（3，5），且圓心在直線上的圓的半徑是（）A．2 B．3 C． D．10【答案】C【分析】用待定系數(shù)法設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意構(gòu)建關(guān)系的方程組，求解即可得到答案【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)閳A過點(diǎn)A（1，1），B（3，5），且圓心在直線上，則有，解得，所以圓的半徑是故選：C13．圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別是（）A．(1，0)，3 B．(1，0)，3C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直接進(jìn)行判斷即可.【詳解】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，的圓心坐標(biāo)為，半徑為，故選：D.14.．過點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求得線段AB的中垂線的方程，再根據(jù)圓心又在直線上求得圓心，圓心到點(diǎn)A的距離為半徑，可得圓的方程.【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)，，所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以線段AB的中垂線的斜率為，所以線段AB的中垂線的方程為，又因?yàn)閳A心在直線上，所以，解得，所以圓心為，.所以圓的方程為.故選：C題組B能力提升練1.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，若直線：上有且只有一個(gè)點(diǎn)滿足：過點(diǎn)作圓C的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，且使得四邊形PMCN為正方形，則正實(shí)數(shù)m的值為（）A．1 B． C．3 D．7【答案】C【分析】根據(jù)四邊形PMCN為正方形可得，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離為可求得結(jié)果.【詳解】由可知圓心，半徑為，因?yàn)樗倪呅蜳MCN為正方形，且邊長為圓的半徑，所以，所以直線：上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得，即，所以圓心到直線的距離為，所以，解得或（舍）.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將題意轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離為是解題關(guān)鍵.2.圓關(guān)于直線對稱的圓的方程是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出圓心關(guān)于直線對稱的圓的圓心，即可求解.【詳解】圓的圓心為，半徑，則不妨設(shè)圓心關(guān)于直線對稱的圓的圓心為，半徑為，則由，解得，故所求圓的方程為.故選：D3.過點(diǎn)、且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)圓心的坐標(biāo)為，根據(jù)圓心到點(diǎn)、的距離相等可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，求出的值，可得出圓心的坐標(biāo)，并求出圓的半徑，由此可得出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)圓心為，由可得，整理可得，解得，所以圓心，所求圓的半徑為，因此，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓的方程常見的思路與方法如下：（1）求圓的軌跡方程，直接設(shè)出動點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于、的方程即可；（2）根據(jù)幾何意義直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，即可寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）待定系數(shù)法，可以根據(jù)題意設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程，再根據(jù)所給條件求出參數(shù)即可.4.圓（x－2）2＋y2＝4關(guān)于直線y＝x對稱的圓的方程是（）A．（x－）2＋（y－1）2＝4B．（x－1）2＋（y－）2＝4C．x2＋（y－2）2＝4D．（x－）2＋（y－）2＝4【答案】B【分析】設(shè)圓（x－2）2＋y2＝4的圓心關(guān)于直線y＝x對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A（a，b），解方程得a,b的值，即得對稱的圓的方程.【詳解】設(shè)圓（x－2）2＋y2＝4的圓心關(guān)于直線y＝x對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為A（a，b），則,所以a＝1，b＝，所以A（1，），從而所求圓的方程為（x－1）2＋（y－）2＝4.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程的求法，考查點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.5.已知點(diǎn)在動直線上的投影為點(diǎn)，若點(diǎn)，那么的最小值為A．2 B． C．1 D．【答案】D【分析】先分析得到動直線經(jīng)過定點(diǎn)Q（1,3），從而得到點(diǎn)M的軌跡，再利用數(shù)形結(jié)合分析得到|MN|的最小值.【詳解】因?yàn)閯又本€，所以該直線過定點(diǎn)Q（1,3），所以動點(diǎn)M在以PQ為直徑的圓上，所以圓的半徑為圓心的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)N到圓心的距離為，所以的最小值為.故答案為D【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和圓，考查動點(diǎn)的軌跡和最值，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力.解答本題的關(guān)鍵是找到動點(diǎn)M的軌跡.6.若集合，，且，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等價(jià)于，可轉(zhuǎn)化為當(dāng)對應(yīng)的圓的半徑小于等于2時(shí)，符合題意，特別注意集合為空集的情況.【詳解】等價(jià)于．當(dāng)時(shí)，集合和中的點(diǎn)的集合分別代表圓和圓的內(nèi)部，當(dāng)對應(yīng)的圓的半徑小于等于2時(shí)，符合題意．由，得．當(dāng)時(shí)，集合為空集，也滿足，所以當(dāng)時(shí)符合題意．【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的子集，圓的方程，分類討論的思想，屬于中檔題.7.設(shè)有一組圓，下列命題正確的是（）．A．不論如何變化，圓心始終在一條直線上B．所有圓均不經(jīng)過點(diǎn)C．經(jīng)過點(diǎn)的圓有且只有一個(gè)D．所有圓的面積均為【答案】ABD【分析】求出圓心坐標(biāo)和半徑后可判斷A、D的正誤，將B、C選項(xiàng)中的點(diǎn)代入圓的方程得到關(guān)于的方程，通過方程的有解與否可判斷B、C的正誤，【詳解】圓心坐標(biāo)為，在直線上，A正確；令，化簡得，∵，∴，無實(shí)數(shù)根，∴B正確；由，化簡得，∵，有兩不等實(shí)根，∴經(jīng)過點(diǎn)的圓有兩個(gè)，C錯(cuò)誤；由圓的半徑為2，得圓的面積為，D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】本題考查動圓的性質(zhì)，注意動圓中隱含的確定關(guān)系，另外判斷動圓是否過確定的點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為方程是否有解來討論，本題屬于中檔題.8.已知C為圓：上一動點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，則的最小值為_________．【答案】【分析】設(shè)圓心為，由圓的方程得到圓心和半徑，取，可證得，得到，可知，利用兩點(diǎn)間距離公式可求得最小值.【詳解】設(shè)圓：的圓心為，則，半徑，取，，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且在線段上時(shí)取等號），，，即的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查圓部分的最值問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠利用三角形相似將問題轉(zhuǎn)化為三角形兩邊之和大于第三邊的問題，由此確定三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值.9.已知過和且與軸相切的圓有且只有一個(gè)，則的值為___________.【答案】或【分析】設(shè)所求圓的方程為，將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入圓的方程，整理可知關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)根，由此可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，進(jìn)而可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】設(shè)所求圓的方程為.由于點(diǎn)、都在該圓上，所以，，整理可得，由于滿足條件的圓有且只有一個(gè)，則關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)根，所以或，即或，解得或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓的方程，主要有兩種方法：（1）幾何法：具體過程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理．如：①圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線；（2）待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個(gè)獨(dú)立等式．10.方程表示的曲線是_________．【答案】兩個(gè)半圓【分析】方程兩邊平方得：，再分和兩種情況即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，將兩邊平方得：，且故當(dāng)時(shí)，方程為：，表示以為圓心，為半徑的半圓；當(dāng)時(shí)，方程為：，表示以為圓心，為半徑的半圓；故方程表示的曲線是兩個(gè)半圓.故答案為：兩個(gè)半圓【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查分類討論思想與方程思想，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于由已知得，，再分類討論求解.C培優(yōu)拔尖練1.如果三角形的頂點(diǎn)分別是，，，求它的內(nèi)切圓方程.【答案】【分析】利用截距式求得的方程為.設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，且，則半徑為后，求得的值，可得圓心和半徑，從而求得它的內(nèi)切圓方程.【詳解】利用截距式求得的方程為，即.∵為直角三角形，∴設(shè)內(nèi)切圓的圓心為，且，則半徑為，解得，∴圓心為，半徑為3，故內(nèi)切圓方程是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心和半徑，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.2.已知直線平行于直線，并且與兩坐標(biāo)軸圍成的的面積為24.（1）求直線的方程；（2）求的內(nèi)切圓的方程.【答案】（1）或；（2）或.【分析】（1）設(shè).求出它與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，由三角形面積求出參數(shù)的值，得直線方程；（2）利用直角三角形內(nèi)切圓半徑等于兩直角邊的和減去斜邊后除以2，即得圓心坐標(biāo)，從而得圓方程．【詳解】解：（1）設(shè).當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.∵直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為24，∴.∴.∴直線的方程為或.（2）∵直線的方程為，直角邊長為6和8，斜邊長為10，∴的內(nèi)切圓半徑，圓心或∴的內(nèi)切圓的方程為或．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求直線方程，考查求直角三角形內(nèi)切圓方程．解題關(guān)鍵是直角三角形內(nèi)切圓性質(zhì)：設(shè)直角三角形直角邊長為，斜邊長為，則內(nèi)切圓半徑為，然后由圓與三邊相切可得圓心坐標(biāo)．易得圓方程，解題時(shí)注意三角形有兩種位置．3.已知圓經(jīng)過點(diǎn)和，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）若直線過點(diǎn)且與圓心的距離為，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，設(shè)圓的方程為，根據(jù)已知條件得出關(guān)于、的方程，求出這兩個(gè)量的值，由此可得出圓的方程；（2）對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，利用點(diǎn)到直線的距離可求得的值，可得出直線的方程；在直線的斜率不存在時(shí)，檢驗(yàn)即可.綜合可得出直線的方程.【詳解】（1）由題意設(shè)圓心為，則圓的方程為，因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)和，，解得，即圓的方程為；（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則方程為.又圓的圓心為，由，解得.此時(shí)，直線的方程為，即；當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，的方程為，圓心到直線的距離也為.綜上，滿足題意的直線的方程為或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求圓的方程，主要有兩種方法：（1）幾何法：具體過程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理．如：①圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線；（2）待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個(gè)獨(dú)立等式．4.如圖，矩形的兩條對角線相交于點(diǎn)，邊所在直線的方程為，點(diǎn)在邊所在的直線上.（1）求邊所在直線的方程；（2）求矩形外接圓的方程.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)直線AB斜率確定，由垂直關(guān)系可求得直線AD斜率，又T在AD上，利用點(diǎn)斜式求直線AD方程；（2）由AD和AB的直線方程求得A點(diǎn)坐標(biāo)，以M為圓心，以AM為半徑的圓的方程即為所求.【詳解】（1）因?yàn)檫吽谥本€的方程為，且與垂直，所以直線的斜率為3.又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以邊所在直線的方程為，即.（2）由，解得點(diǎn)的坐