2022屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)-第4章-三角函數(shù)解三角形-第7節(jié)-正弦定理余弦定理的綜合應(yīng)用教案

2022屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第4章三角函數(shù)、解三角形第7節(jié)正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用教案理新人教版2022屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第4章三角函數(shù)、解三角形第7節(jié)正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用教案理新人教版PAGE2022屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第4章三角函數(shù)、解三角形第7節(jié)正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用教案理新人教版2022屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第4章三角函數(shù)、解三角形第7節(jié)正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用教案理新人教版年級：姓名：正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用[考試要求]能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題．測量中的幾個(gè)常用術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角，方位角θ的范圍是[0°，360°)方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：坡角與坡度坡面與水平面所成銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平寬度之比叫坡度(坡比)，即i＝eq\f(h,l)＝tanθ提醒：涉及到角時(shí)，一定要弄清此角的始邊和終邊所在位置．如方位角135°的始邊是指北方向線，始邊順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)135°得到終邊；方向角南偏西30°的始邊是指南方向線，向西旋轉(zhuǎn)30°得到終邊．一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)東北方向就是北偏東45°的方向． ()(2)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°. ()(3)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系． ()(4)方位角大小的范圍是[0,2π)，方向角大小的范圍一般是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))). ()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√二、教材習(xí)題衍生1．點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏東60°，則點(diǎn)B在點(diǎn)A的()A．北偏西60° B．南偏東30°C．南偏西60° D．北偏西30°C[如圖所示，點(diǎn)B在點(diǎn)A的南偏西60°，故選C．]2.如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為()A．50eq\r(2)mB．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)mD．eq\f(25\r(2),2)mA[由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sinB)，又∵B＝30°，∴AB＝eq\f(ACsin∠ACB,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．]3.如圖所示，D，C，B三點(diǎn)在地面的同一條直線上，DC＝a，從C，D兩點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角分別為60°，30°，則A點(diǎn)離地面的高度AB＝.eq\f(\r(3),2)a[由已知得∠DAC＝30°，△ADC為等腰三角形，所以AC＝a，所以在Rt△ACB中，AB＝AC·sin∠ACB＝eq\f(\r(3),2)a.]4．在一幢10m高的房屋頂測得對面一塔頂?shù)难鼋菫?0°，塔基的俯角為30°，假定房屋與塔基在同一水平地面上，則塔的高度為m.40[如圖所示，BD＝10m，則AB＝20m，AD＝20cos30°＝10eq\在△ACD中，CD＝10eq\r(3)·tan60°＝30m，所以塔的高度CB＝30＋10＝40m．]考點(diǎn)一解三角形的實(shí)際應(yīng)用利用正、余弦定理解決實(shí)際問題的一般步驟[典例1](1)(2020·宜賓模擬)海上一艘輪船以60nmile/h的速度向正東方向航行，在A處測得小島C在北偏西30°的方向上，小島D在北偏東30°的方向上，航行20min后到達(dá)B處測得小島C在北偏西60°的方向上，小島D在北偏西15°的方向上，則兩個(gè)小島間的距離CD＝nmile.(2)如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，則cosθ的值為．(1)10eq\r(6)(2)eq\f(\r(21),14)[(1)∵△ABC中，由題意可得：∠CAB＝120°，∠BCA＝30°，AB＝60×eq\f(1,3)＝20，∴由正弦定理eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin∠BCA)，∴BC＝eq\f(AB·sin∠CAB,sin∠BCA)＝eq\f(20×\f(\r(3),2),\f(1,2))＝20eq\r(3).∵在△ABD中，由于∠DAB＝60°，∠ADB＝45°，由正弦定理可得：eq\f(BD,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，可得：BD＝eq\f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq\f(20×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝10eq\r(6)，∴△BCD中，由余弦定理可得CD2＝(10eq\r(6))2＋(20eq\r(3))2－2×10eq\r(6)×20eq\r(3)×cos45°，∴解得：CD＝10eq\r(6).即兩個(gè)小島之間的距離CD為10eq\r(6)nmile.(2)在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，得BC＝20eq\r(7).由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，即sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq\f(\r(21),7).由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，則cos∠ACB＝eq\f(2\r(7),7).由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝eq\f(\r(21),14).]點(diǎn)評：解答此類問題的關(guān)鍵是正確理解題意，包括所涉及的方向角、方位角及仰角、俯角等，依據(jù)題意畫出示意圖．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．(2020·開封模擬)國慶閱兵式上舉行升旗儀式，在坡度為15°的觀禮臺上，某一列座位與旗桿在同一個(gè)垂直于地面的平面上，某同學(xué)在該列的第一排和最后一排測得旗桿頂端的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為25米，則旗桿的高度約為()A．17米B．22米C．31米D．35米C[如圖所示，依題意可知∠ADC＝45°，∠ACD＝180°－60°－15°＝105°，∴∠DAC＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理可知eq\f(CD,sin∠DAC)＝eq\f(AC,sin∠CDA)，∴AC＝eq\f(CD·sin∠CDA,sin∠DAC)＝25eq\r(2)米．∴在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝25eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(25\r(6),2)≈31米．∴旗桿的高度約為31米，故選C．]2．(2020·宜昌模擬)如圖所示，為了測量A，B兩座島嶼間的距離，小船從初始位置C出發(fā)，已知A在C的北偏西45°的方向上，B在C的北偏東15°的方向上，現(xiàn)在船往東開2百海里到達(dá)E處，此時(shí)測得B在E的北偏西30°的方向上，再開回C處，由C向西開2eq\r(6)百海里到達(dá)D處，測得A在D的北偏東22.5°的方向上，則A，B兩座島嶼間的距離為()A．3百海里 B．3eq\r(2)百海里C．4百海里 D．4eq\r(2)百海里B[如圖所示，根據(jù)題意知：∠ADC＝∠DAC＝67.5°，∠ACB＝60°，DC＝2eq\r(6)，CE＝2，∠BCE＝75°，∠CBE＝45°，∠CEB＝60°.所以在△BCE中，利用正弦定理eq\f(CB,sin∠CEB)＝eq\f(CE,sin∠CBE)，解得BC＝eq\r(6)，在△ADC中，∠ADC＝∠DAC＝67.5°，所以DC＝AC＝2eq\r(6)，則在△ACB中，利用余弦定理AB2＝AC2＋CB2－2AC·CB·cos60°，解得AB＝3eq\r(2)，故選B．]考點(diǎn)二平面幾何中的解三角形問題與平面圖形有關(guān)的解三角形問題的關(guān)鍵及思路求解平面圖形中的計(jì)算問題，關(guān)鍵是梳理?xiàng)l件和所求問題的類型，然后將數(shù)據(jù)化歸到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的關(guān)系．具體解題思路如下：(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解；(2)尋找各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結(jié)果．[典例2]如圖，在平面四邊形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝eq\r(7)，EA＝2，∠ADC＝eq\f(2π,3)，且∠CBE，∠BEC，∠BCE成等差數(shù)列．(1)求sin∠CED；(2)求BE的長．[解]設(shè)∠CED＝α.因?yàn)椤螩BE，∠BEC，∠BCE成等差數(shù)列，所以2∠BEC＝∠CBE＋∠BCE，又∠CBE＋∠BEC＋∠BCE＝π，所以∠BEC＝eq\f(π,3).(1)在△CDE中，由余弦定理得EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC，即7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0，解得CD＝2(CD＝－3舍去)．在△CDE中，由正弦定理得eq\f(EC,sin∠EDC)＝eq\f(CD,sinα)，于是sinα＝eq\f(CD·sin\f(2π,3),EC)＝eq\f(2×\f(\r(3),2),\r(7))＝eq\f(\r(21),7)，即sin∠CED＝eq\f(\r(21),7).(2)由題設(shè)知0＜α＜eq\f(π,3)，由(1)知cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\f(21,49))＝eq\f(2\r(7),7)，又∠AEB＝π－∠BEC－α＝eq\f(2π,3)－α，所以cos∠AEB＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))＝coseq\f(2π,3)cosα＋sineq\f(2π,3)sinα＝－eq\f(1,2)×eq\f(2\r(7),7)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(21),7)＝eq\f(\r(7),14).在Rt△EAB中，cos∠AEB＝eq\f(EA,BE)＝eq\f(2,BE)＝eq\f(\r(7),14)，所以BE＝4eq\r(7).點(diǎn)評：做題過程中，要用到平面幾何中的一些知識點(diǎn)，如相似三角形的邊角關(guān)系、平行四邊形的一些性質(zhì)，要把這些性質(zhì)與正弦、余弦定理有機(jī)結(jié)合，才能順利解決問題．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])(2020·江蘇高考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知a＝3，c＝eq\r(2)，B＝45°.(1)求sinC的值；(2)在邊BC上取一點(diǎn)D，使得cos∠ADC＝－eq\f(4,5)，求tan∠DAC的值．[解](1)在△ABC中，因?yàn)閍＝3，c＝eq\r(2)，B＝45°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝9＋2－2×3×eq\r(2)cos45°＝5，所以b＝eq\r(5).在△ABC中，由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得eq\f(\r(5),sin45°)＝eq\f(\r(2),sinC)，所以sinC＝eq\f(\r(5),5).(2)在△ADC中，因?yàn)閏os∠ADC＝－eq\f(4,5)，所以∠ADC為鈍角．而∠ADC＋∠C＋∠CAD＝180°，所以∠C為銳角．故cosC＝eq\r(1－sin2C)＝eq\f(2\r(5),5)，則tanC＝eq\f(sinC,cosC)＝eq\f(1,2).因?yàn)閏os∠ADC＝－eq\f(4,5)，所以sin∠ADC＝eq\r(1－cos2∠ADC)＝eq\f(3,5)，所以tan∠ADC＝eq\f(sin∠ADC,cos∠ADC)＝－eq\f(3,4).從而tan∠DAC＝tan(180°－∠ADC－∠C)＝－tan(∠ADC＋∠C)＝－eq\f(tan∠ADC＋tanC,1－tan∠ADC×tanC)＝－eq\f(－\f(3,4)＋\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))×\f(1,2))＝eq\f(2,11).考點(diǎn)三與三角形有關(guān)的最值、范圍問題1．三角形中的最值、范圍問題的解題策略(1)定基本量：根據(jù)題意或幾何圖形厘清三角形中邊、角的關(guān)系，利用正、余弦定理求出相關(guān)的邊、角或邊角關(guān)系，并選擇相關(guān)的邊、角作為基本量，確定基本量的范圍．(2)構(gòu)建函數(shù)：根據(jù)正、余弦定理或三角恒等變換將待求范圍的變量用關(guān)于基本量的函數(shù)解析式表示．(3)求最值：利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性等求最值．2．求解三角形中的最值、范圍問題的注意點(diǎn)(1)涉及求范圍的問題，一定要搞清已知變量的范圍，利用已知的范圍進(jìn)行求解，已知邊的范圍求角的范圍時(shí)可以利用余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．(2)注意題目中的隱含條件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大邊對大角等．求角(函數(shù)值)的最值(范圍)[典例3－1](2020·浙江高考)在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知2bsinA－eq\r(3)a＝0.(1)求角B的大??；(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范圍．[解](1)由正弦定理，得2sinBsinA＝eq\r(3)sinA，故sinB＝eq\f(\r(3),2)，由題意得B＝eq\f(π,3).(2)由A＋B＋C＝π，得C＝eq\f(2π,3)－A．由△ABC是銳角三角形，得A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))).由cosC＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))＝－eq\f(1,2)cosA＋eq\f(\r(3),2)sinA，得cosA＋cosB＋cosC＝eq\f(\r(3),2)sinA＋eq\f(1,2)cosA＋eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)＋1,2)，\f(3,2))).故cosA＋cosB＋cosC的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)＋1,2)，\f(3,2))).點(diǎn)評：求角(函數(shù)值)的最值(范圍)問題一般先將邊轉(zhuǎn)化為角表示，再根據(jù)三角恒等變換及三角形內(nèi)角和定理轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)表示，然后求解．求邊(周長)的最值(范圍)[典例3－2](2020·全國卷Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinB(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周長的最大值．[解](1)由正弦定理和已知條件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB． ①由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA． 由①②得cosA＝－eq\f(1,2).因?yàn)?＜A＜π，所以A＝eq\f(2π,3).(2)由正弦定理及(1)得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)＝2eq\r(3)，從而AC＝2eq\r(3)sinB，AB＝2eq\r(3)sin(π－A－B)＝3cosB－eq\r(3)sinB．故BC＋AC＋AB＝3＋eq\r(3)sinB＋3cosB＝3＋2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,3))).又0＜B＜eq\f(π,3)，所以當(dāng)B＝eq\f(π,6)時(shí)，△ABC周長取得最大值3＋2eq\r(3).點(diǎn)評：求邊(周長)的最值(范圍)問題一般通過三角中的正、余弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)值，再結(jié)合角的范圍求解，有時(shí)也可將角轉(zhuǎn)化為邊，利用均值不等式或函數(shù)最值求解．求三角形面積的最值(范圍)[典例3－3](2019·全國卷Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知asineq\f(A＋C,2)＝bsinA．(1)求B；(2)若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍．[解](1)由題設(shè)及正弦定理得sinAsineq\f(A＋C,2)＝sinBsinA．因?yàn)閟inA≠0，所以sineq\f(A＋C,2)＝sinB．由A＋B＋C＝180°，可得sineq\f(A＋C,2)＝coseq\f(B,2)，故coseq\f(B,2)＝2sineq\f(B,2)coseq\f(B,2).因?yàn)閏oseq\f(B,2)≠0，故sineq\f(B,2)＝eq\f(1,2)，所以B＝60°.(2)由題設(shè)及(1)知△ABC的面積S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a.由正弦定理得a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(sin120°－C,sinC)＝eq\f(\r(3),2tanC)＋eq\f(1,2).由于△ABC為銳角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由(1)知A＋C＝120°，所以30°＜C<90°，故eq\f(1,2)＜a＜2，從而eq\f(\r(3),8)＜S△ABC＜eq\f(\r(3),2).因此，△ABC面積的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),8)，\f(\r(3),2))).點(diǎn)評：求三角形面積的最值(范圍)的兩種思路(1)將三角形面積表示為邊或角的函數(shù)，再根據(jù)條件求范圍．(2)若已知三角形的一個(gè)內(nèi)角(不妨設(shè)為A)，及其對邊，則可根據(jù)余弦定理，利用基本不等式求bc的最值從而求出三角形面積的最值．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．在鈍角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，B為鈍角，若acosA＝bsinA，則sinA＋sinC的最大值為()A．eq\r(2)B．eq\f(9,8)C．1D．eq\f(7,8)B[∵acosA＝bsinA，由正弦定理可得，sinAcosA＝sinBsinA，∵sinA≠0，∴cosA＝sinB，又B為鈍角，∴B＝A＋eq\f(π,2)，sinA＋sinC＝sinA＋sin(A＋B)＝sinA＋cos2A＝sinA＋1－2sin2A＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinA－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(9,8)，∴sinA＋sinC的最大值為eq\f(9,8).]2．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若角A，B，C成等差數(shù)列，且b＝eq\f(\r(3),2).(1)求△ABC的外接圓直徑；(2)求a＋c的取值范圍．[解](1)因?yàn)榻茿，B，C成等差數(shù)列，所以2B＝A＋C，又因?yàn)锳＋B＋C＝π，所以B＝eq\f(π,3).根據(jù)正弦定理得，△ABC的外接圓直徑2R＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(\f(\r(3),2),sin\f(π,3))＝1.(2)由B＝eq\f(π,3)，知A＋C＝eq\f(2π