專題十一 四邊形 考點卡片-2021年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

考點卡片

1.規(guī)律型：圖形的變化類

圖形的變化類的規(guī)律題

首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變

化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解.探尋規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來解決這類問

題.

2.坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

1、點到坐標(biāo)軸的距離與這個點的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個方面：①到x軸的距離與縱

坐標(biāo)有關(guān)，到j(luò)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距

離求坐標(biāo)時，需要加上恰當(dāng)?shù)姆?

2、有圖形中一些點的坐標(biāo)求面積時，過已知點向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長，

是解決這類問題的基本方法和規(guī)律.

3、若坐標(biāo)系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標(biāo)軸的輔助線用“割、補”法去

解決問題.

3.垂線段最短

垂線段：從直線外一點引一條直線的垂線，這點和垂足之間的線段叫做垂線段.

垂線段的性質(zhì)：垂線段最短.

正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短.它是

相對于這點與直線上其他各點的連線而言.

實際問題中涉及線路最短問題時，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點之間，線段最短”和“垂線段最

短”這兩個中去選擇.

4.點到直線的距離

點到直線的距離：直線外一點到直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離.

點到直線的距離是一個長度，而不是一個圖形，也就是垂線段的長度，而不是垂線段.它

只能量出或求出，而不能說畫出，畫出的是垂線段這個圖形.

5.平行線的性質(zhì)

1、平行線性質(zhì)定理

定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位

角相等.

定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補..簡單說成：兩直線平行，同

旁內(nèi)角互補.

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等.簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯

角相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

6.三角形內(nèi)角和定理

三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個

內(nèi)角均大于0°且小于180°.

三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

三角形內(nèi)角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平

角.在轉(zhuǎn)化中借助平行線.

三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

主要用在求三角形中角的度數(shù).①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)

系，用代數(shù)方法求三個角：③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳

角.

7.三角形的外角性質(zhì)

三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對.

三角形的外角性質(zhì)：

①三角形的外角和為360°.

②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角.

若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個三角形中去.

探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的

外角.

8,全等三角形的判定

判定定理I：SSS--三條邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

判定定理3：兩角及其夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

判定定理4：/MS--兩角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.

判定定理5：HL--斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，

若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若己知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組

對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一

組對應(yīng)鄰邊.

9,全等三角形的判定與性質(zhì)

全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形

全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線

構(gòu)造三角形.

10.角平分線的性質(zhì)

角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段

相等的依據(jù)，有時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角

平分線的性質(zhì)語言：如圖，在NZO8的平分線上，CEYOB：.CD=CE

11.線段垂直平分線的性質(zhì)

定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線

垂直平分線，簡稱“中垂線”.

性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.—②垂直平分線上任意一點，到線段

兩端點的距離相等.一③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并

且這一點到三個頂點的距離相等.

12.等腰三角形的性質(zhì)

等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等.【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個元素中，從中任

意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論.

13.直角三角形的性質(zhì)

有一個角為90°的三角形，叫做直角三角形.

直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性

質(zhì)：

性質(zhì)1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

性質(zhì)2：在直角三角形中，兩個銳角互余.

性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

性質(zhì)4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積.性質(zhì)5：在直角三角

形中，如果有一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；

在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于

30°.

14.直角三角形斜邊上的中線

性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

定理：一個三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是以這條邊為

斜邊的直角三角形.

該定理可一用來判定直角三角形.

15.勾股定理

勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么/+b2=c2.

勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

22

勾股定理公式。2+廿=。2的變形有：a=^c2_b2,b=,c2_a2及c=7a+b-

由于/+/=。2>“2,所以c>“，同理c>6,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每

一條直角邊.

16.勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,h,C滿足/+必=/,那么這個三角形就是直

角三角形.

說明：

①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形.必須滿足

較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷.

運用勾股定理的逆定理解決問題的實質(zhì)就是判斷一個角是不是直角.然后進一步結(jié)合其他

已知條件來解決問題.

注意：要判斷一個角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的

兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是.

17.等腰直角三角形

兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.

等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角

三角形的所有性質(zhì).即：兩個銳角都是45°,斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線

合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R,而高又為內(nèi)切圓的直徑；

若設(shè)等腰直角三角形內(nèi)切圓的半徑「=1,則外接圓的半徑尺=&+1,所以r：R=LV2

+1.

18.三角形中位線定理

三角形中位線定理：

三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.

幾何語言：

如圖，?.?點。、E分別是“8、4C的中點

：.DE//BC,DE=—BC.

19.多邊形

多邊形的概念：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.

正多邊形的概念：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.

多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，辨別凸多邊形可用兩種方法：①畫多邊形任何一邊所

在的直線整個多邊形都在此直線的同一側(cè).②每個內(nèi)角的度數(shù)均小于180°,通常所說的

多邊形指凸多邊形.

重心的定義：平面圖形中，多邊形的重心是當(dāng)支撐或懸掛時圖形能在水平面處于平穩(wěn)狀態(tài),

此時的支撐點或者懸掛點叫做平衡點，或重心.

常見圖形的重心線段：中點平行四邊形：對角線的交點三角形：三邊中線的交點任意

多邊形.

20.多邊形的對角線

多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.

〃邊形從一個頂點出發(fā)可引出條對角線.從〃個頂點出發(fā)引出條，而每條重復(fù)一次，所以〃

邊形對角線的總條數(shù)為：”2

對多邊形對角線條數(shù)公：n2的理解：〃邊形的一個頂點不能與它本身及左右兩個鄰點相連

成對角線，故可連出條.共有〃個頂點，應(yīng)為〃條，這樣算出的數(shù)，正好多出了一倍，所以

再除以2.

利用以上公式，求對角線條數(shù)時，直接代入邊數(shù)n的值計算，而計算邊數(shù)時，需利用方程

思想，解方程求〃.

21.多邊形內(nèi)角與外角

多邊形內(nèi)角和定理：780°

此公式推導(dǎo)的基本方法是從〃邊形的一個頂點出發(fā)引出條對角線，將〃邊形分割為個三角形,

這個三角形的所有內(nèi)角之和正好是n邊形的內(nèi)角和.除此方法之和還有其他幾種方法，但

這些方法的基本思想是一樣的.即將多邊形轉(zhuǎn)化為三角形，這也是研究多邊形問題常用的

方法.

多邊形的外角和等于360°.

①多邊形的外角和指每個頂點處取一個外角，則〃邊形取〃個外角，無論邊數(shù)是幾，其外

角和永遠(yuǎn)為360°.

②借助內(nèi)角和和鄰補角概念共同推出以下結(jié)論:外角和=180°個-780°=360°.

22.平面鑲嵌

平面圖形鑲嵌的定義：用形狀，大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接.彼此之間

不留空隙，不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌.

正多邊形鑲嵌有三個條件限制：①邊長相等；②頂點公共；③在一個頂點處各正多邊形

的內(nèi)角之和為360°.

判斷一種或幾種圖形是否能夠鑲嵌，只要看一看拼在同一頂點處的幾個角能否構(gòu)成周角，

若能構(gòu)成360。，則說明能夠進行平面鑲嵌，反之則不能.

單一正多邊形的鑲嵌：正三角形，正四邊形，正六邊形.

兩種正多邊形的鑲嵌：3個正三角形和2個正方形、四個正三角形和1個正六邊形、2個正

三角形和2個正六邊形、1個正三角形和2個正十二邊形、1個正方形和2個正八邊形等.

用任意的同一種三角形或四邊形能鑲嵌成一個平面圖案.

23.平行四邊形的性質(zhì)

平行四邊形的概念：有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.

平行四邊形的性質(zhì)：

①邊：平行四邊形的對邊相等.

②角：平行四邊形的對角相等.

③對角線：平行四邊形的對角線互相平分.

平行線間的距離處處相等.

平行四邊形的面積：

①平行四邊形的面積等于它的底和這個底上的高的積.

②同底同高的平行四邊形面積相等.

24.平行四邊形的判定

兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.符號語言：8c.?.四邊行

ABCD是平行四邊形.

兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.符號語言：???/8=OC,4O=8C...四邊行

是平行四邊形.

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

符號語言：/8=。（7；.四邊行/8。。是平行四邊形.

兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.

符號語言：VZABC=AADC,四邊行/BCD是平行四邊形.

對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.符號語言：???O/=OC,。8=。。；.四邊行48。。

A

D

O

是平行四邊形.src

25.平行四邊形的判定與性質(zhì)

平行四邊形的判定與性質(zhì)的作用

平行四邊形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對角線互相平分及它的判定，是我們證明直線的平

行、線段相等、角相等的重要方法，若要證明兩直線平行和兩線段相等、兩角相等，可考

慮將要證的直線、線段、角、分別置于一個四邊形的對邊或?qū)堑奈恢蒙?，通過證明四邊

形是平行四邊形達(dá)到上述目的.

運用定義，也可以判定某個圖形是平行四邊形，這是常用的方法，不要忘記平行四邊形的

定義，有時用定義判定比用其他判定定理還簡單.

凡是可以用平行四邊形知識證明的問題，不要再回到用三角形全等證明，應(yīng)直接運用平行

四邊形的性質(zhì)和判定去解決問題.

26.菱形的性質(zhì)

菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.

菱形的性質(zhì)

①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；

②菱形的四條邊都相等；

③菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；

④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線所在直線.

菱形的面積計算

①利用平行四邊形的面積公式.

②菱形面積=/附.

27.菱形的判定

①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；

②四條邊都相等的四邊形是菱形.

幾何語言：四邊形ABCD是菱形；

③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

幾何語言：四邊形是平行四邊形???平行四邊形N88是菱形

A

D

0

ff'C

28.菱形的判定與性質(zhì)

依次連接四邊形各邊中點所得的四邊形稱為中點四邊形.不管原四邊形的形狀怎樣改變，

中點四邊形的形狀始終是平行四邊形.

菱形的中點四邊形是矩形—菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形,

但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的

性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法.

正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四邊相等的圖形不只是

正方形.

29.矩形的性質(zhì)

矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

矩形的性質(zhì)

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；

②角：矩形的四個角都是直角；

③邊：鄰邊垂直；

④對角線：矩形的對角線相等；

⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所

在的直線；對稱中心是兩條對角線的交點.

由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊

的一半.

30.矩形的判定

矩形的判定：

①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；

②有三個角是直角的四邊形是矩形；

③對角線相等的平行四邊形是矩形

①證明一個四邊形是矩形，若題設(shè)條件與這個四邊形的對角線有關(guān)，通常證這個四邊形的

對角線相等.

②題設(shè)中出現(xiàn)多個直角或垂直時，常采用“三個角是直角的四邊形是矩形”來判定矩形.

31.矩形的判定與性質(zhì)

關(guān)于矩形，應(yīng)從平行四邊形的內(nèi)角的變化上認(rèn)識其特殊性：一個內(nèi)角是直角的平行四邊形,

進一步研究其特有的性質(zhì)：是軸對稱圖形、內(nèi)角都是直角、對角線相等.同時平行四邊形

的性質(zhì)矩形也都具有.

在處理許多幾何問題中，若能靈活運用矩形的這些性質(zhì)，則可以簡捷地解決與角、線段等

有關(guān)的問題.

下面的結(jié)論對于證題也是有用的：①△0/8、/XOBC都是等腰三角形；②NOAB=/OBA,

N0CB=N0BC；③點。到三個頂點的距離都相等.

32.正方形的性質(zhì)

正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.

正方形的性質(zhì)

①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；

②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；

③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì).

④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形,

有四條對稱軸.

33.正方形的判定

正方形的判定方法：

①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；

②先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形有一個角為直角.

③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定.

34.正方形的判定與性質(zhì)

正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的所有性質(zhì).

正方形的判定沒有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定.

35.梯形

梯形的定義：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形.

梯形中平行的兩邊叫梯形的底，其中較短的底叫上底，不平行的兩邊叫梯形的腰，兩底的

距離叫梯形的高.

等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形.

直角梯形：有一個角是直角的梯形叫做直角梯形.

性質(zhì)：

①等腰梯形是軸對稱圖形，它的對稱軸是經(jīng)過上下底的中點的直線；

②等腰梯形同一底上的兩個角相等；

③等腰梯形的兩條對角線相等.

由等腰梯形的性質(zhì)可知，如果過上底的兩個頂點分別作下底的兩條高，可把等腰梯形分成

矩形和兩個全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是軸對稱圖形，而一般的梯形不具備這

中點四邊形.

38.四邊形綜合題

四邊形綜合題.

39.作圖一基本作圖

基本作圖有：

作一條線段等于已知線段.

作一個角等于已知角.作己知線段的垂直平分線.作已知角的角平分線.過

一點作已知直線的垂線.

40.軸對稱圖形

軸對稱圖形的概念：

如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形,

這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線對稱.

軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部

分沿著對稱軸折疊時，互相重合；軸對稱圖形的對稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無

數(shù)條.

常見的軸對稱圖形：

等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等.

41.翻折變換

1、翻折變換實質(zhì)上就是軸對稱變換.

2、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，

位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.

3、在解決實際問題時，對于折疊較為復(fù)雜的問題可以實際操作圖形的折疊，這樣便于找到

圖形間的關(guān)系.

首先清楚折疊和軸對稱能夠提供給我們隱含的并且可利用的條件.解題時，我們常常設(shè)要

求的線段長為x,然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇

適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案.我們運用方程解決時，應(yīng)認(rèn)真審題,

設(shè)出正確的未知數(shù).

42.平移的性質(zhì)

平移的條件

平移的方向、平移的距離

平移的性質(zhì)

①把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和

大小完全相同.—②新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩

個點是對應(yīng)點.連接各組對應(yīng)點的線段平行且相等.

43.坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)

關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)

PnP

旋轉(zhuǎn)圖形的坐標(biāo)

圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求