2024-2025學年新教材高中數(shù)學第3章函數(shù)3.1.3第1課時奇偶性的概念課后素養(yǎng)落實含解析新人教B版必修第一冊

PAGE課后素養(yǎng)落實(二十三)奇偶性的概念(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．下列說法中錯誤的個數(shù)為()①圖像關(guān)于坐標原點對稱的函數(shù)是奇函數(shù)；②圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)是偶函數(shù)；③奇函數(shù)的圖像肯定過坐標原點；④偶函數(shù)的圖像肯定與y軸相交．A．4B．3C．2D．1C[由奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)，知①②說法正確；對于③，如f(x)＝eq\f(1,x)，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是奇函數(shù)，但它的圖像不過原點，所以③說法錯誤；對于④，如f(x)＝eq\f(1,x2)，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是偶函數(shù)，但它的圖像不與y軸相交，所以④說法錯誤．故選C．]2．設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≤0時，f(x)＝x2－eq\f(1,2)x，則f(1)＝()A．－eq\f(3,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(3,2) D．eq\f(1,2)A[因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(1)＝－f(－1)＝－eq\f(3,2).故選A．]3．若函數(shù)f(x)(f(x)≠0)為奇函數(shù)，則必有()A．f(x)f(－x)>0 B．f(x)f(－x)<0C．f(x)<f(－x) D．f(x)>f(－x)B[∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x)≠0，∴f(x)f(－x)＝－[f(x)]2<0.故選B．]4．(多選題)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()A．y＝－|x| B．y＝2－xC．y＝eq\f(1,x3) D．y＝－x2＋8AD[A、D兩項，函數(shù)均為偶函數(shù)，B項中函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，而C項中函數(shù)為奇函數(shù)．故選AD．]5．若函數(shù)f(x)＝eq\f(x,2x＋1x－a)為奇函數(shù)，則a＝()A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,4) D．1A[因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，即eq\f(－x,－2x＋1－x－a)＝－eq\f(x,2x＋1x－a)，化簡得2x2(2a－1)＝0，解得a＝eq\f(1,2).]二、填空題6．已知f(x)＝x3＋2x，則f(a)＋f(－a)的值為________．0[∵f(－x)＝－x3－2x＝－f(x)，∴f(－x)＋f(x)＝0，∴f(a)＋f(－a)＝0.]7．若函數(shù)f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)為偶函數(shù)，則m2[∵f(x)為偶函數(shù)，故m－2＝0，∴m＝2.]8．設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)＝x2＋1，則f(－2)＋f(0)＝________.－5[由題意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.]三、解答題9．定義在[－3，－1]∪[1,3]上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其部分圖像如圖所示．(1)請在坐標系中補全函數(shù)f(x)的圖像；(2)比較f(1)與f(3)的大小．[解](1)由于f(x)是奇函數(shù)，則其圖像關(guān)于原點對稱，其圖像如圖所示．(2)視察圖像，知f(3)<f(1)．10．已知函數(shù)f(x)＝1－eq\f(2,x).(1)若g(x)＝f(x)－a為奇函數(shù)，求a的值．(2)試推斷f(x)在(0，＋∞)內(nèi)的單調(diào)性，并用定義證明．[解](1)由已知g(x)＝f(x)－a，得g(x)＝1－a－eq\f(2,x).因為g(x)是奇函數(shù)，所以g(－x)＝－g(x)，即1－a－eq\f(2,－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－a－\f(2,x)))，解得a＝1．(2)函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，證明如下：設0<x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝1－eq\f(2,x1)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,x2)))＝eq\f(2x1－x2,x1x2).由于x1－x2<0，x1x2>0，從而eq\f(2x1－x2,x1x2)<0，即f(x1)<f(x2)．所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)．1．(多選題)下列四個選項中不正確的是()A．偶函數(shù)的圖像肯定與y軸相交B．奇函數(shù)的圖像在[a，b]，[－b，－a]上的單調(diào)性肯定相同C．偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱D．奇函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖像必過(－a，f(a))AD[偶函數(shù)的圖像肯定關(guān)于y軸對稱，但不肯定與y軸相交，例如，函數(shù)f(x)＝x0，其定義域為{x|x≠0}，故其圖像與y軸不相交，但f(x)＝x0＝1(x≠0)是偶函數(shù)，從而可知A是錯誤的，C是正確的．奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，若在[a，b]內(nèi)單調(diào)遞增(單調(diào)遞減)，則在[－b，－a]內(nèi)也為單調(diào)遞增(單調(diào)遞減)，故B正確．若點(a，f(a))在奇函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖像上，則點(－a，－f(a))也在其圖像上，故D是錯誤的．]2．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常數(shù))，且f(－3)＝5，則f(3)＝()A．21 B．－21C．26 D．－26B[設g(x)＝x5＋ax3＋bx，則g(x)為奇函數(shù)，由題設可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，求得g(－3)＝13.又g(x)為奇函數(shù)，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21．故選B．]3．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝2x－c，則c＝________，f(－2)＝________.1－3[函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x≥0時，f(x)＝2x－c，所以f(0)＝1－c＝0，所以c＝1，又當x≥0時，f(x)＝2x－1，所以f(2)＝3，又由函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(－2)＝－f(2)＝－3.]4．設奇函數(shù)f(x)的定義域為[－6,6]，當x∈[0,6]時f(x)的圖像如圖所示，不等式f(x)<0的解集用區(qū)間表示為________．[－6，－3)∪(0,3)[由f(x)在[0,6]上的圖像知，滿意f(x)<0的不等式的解集為(0,3)．又f(x)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，所以在[－6,0)上，不等式f(x)<0的解集為[－6，－3)．綜上可知，不等式f(x)<0的解集為[－6，－3)∪(0,3)．]已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ax2＋1,bx＋c)是奇函數(shù)，且f(1)＝3，f(2)＝5，求a，b，c的值．[解]因為函數(shù)f(x)＝eq\f(ax2＋1,bx＋c)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，故eq\f(a－x2＋1,b－x＋c)＝－eq\f(ax2＋1,bx＋c)，即eq\f(ax2＋1,－bx＋c)＝－eq\f(ax2＋1,bx＋c)，所以－bx＋c＝－(bx＋c)，即c＝－c，解得c＝0.所以f(x)＝eq\f(ax2＋1,bx).而f(1)＝eq\f(a×12＋1,b×1)＝eq\f(a＋1,b)＝3，所以a＋1＝3b. ①由f(2)＝5，即eq\f(