高等數(shù)學(xué)教程　上冊　第4版 習(xí)題及答案 P202 第8章 無窮級數(shù)

第8章無窮級數(shù)習(xí)題8.11.根據(jù)級數(shù)收斂與發(fā)散的定義判別下列級數(shù)的收斂性:(1)解：因為所以，級數(shù)發(fā)散。(2)解：因為所以，級數(shù)發(fā)散。(3)解：因為所以，級數(shù)收斂。（4）解：因為所以，級數(shù)收斂。2.已知級數(shù)的部分和，試求該級數(shù)的通項，并說明該級數(shù)的斂散性。解：所以，該級數(shù)收斂。3．判別下列級數(shù)的收斂性:(1)解：級數(shù)由調(diào)和級數(shù)發(fā)散及級數(shù)的性質(zhì)知該級數(shù)也發(fā)散。(2)解：是公比為的等比級數(shù)，而，所以，該級數(shù)收斂。(3)解：該級數(shù)的通項的極限不存在，所以，該級數(shù)也發(fā)散。(4)解：該級數(shù)的通項的極限，所以，該級數(shù)也發(fā)散。(5)解：該級數(shù)的通項的極限，所以，該級數(shù)也發(fā)散。(6)解：是公比為的等比級數(shù)，而，所以，該級數(shù)收斂。習(xí)題8.21.用比較判別法，判定下列級數(shù)的斂散性：(1)解：因為且發(fā)散，所以由比較判別法得，原級數(shù)發(fā)散。(2)解：因為而級數(shù)收斂，所以由比較判別法得，原級數(shù)收斂。(3)解：因為而級數(shù)收斂，所以由比較判別法得，原級數(shù)收斂。(4)解：因為而級數(shù)是公比為的等比級數(shù)，收斂，所以由比較判別法得，原級數(shù)收斂。2.用比值判別法判別下列級數(shù)的收斂性:(1)解：由比值判別法得，原級數(shù)發(fā)散。(2)解：由比值判別法得，原級數(shù)發(fā)散。(3)解：由比值判別法得，原級數(shù)收斂。(4)解：由比值判別法得，原級數(shù)收斂。(5)解：由比值判別法得，原級數(shù)收斂。(6解：由比值判別法得，原級數(shù)收斂。(7)解：由比值判別法得，原級數(shù)發(fā)散。(8)解：由比值判別法得，原級數(shù)發(fā)散。3.判定下列級數(shù)是否收斂？如果收斂，是絕對收斂還是條件收斂？(1)解：，而級數(shù)收斂，（它是的級數(shù)）所以，原級數(shù)絕對收斂。(2)解：因為，所以，級數(shù)收斂，原級數(shù)絕對收斂。(3)解：該級數(shù)的通項的極限，故該級數(shù)發(fā)散。(4)解：而級數(shù)是發(fā)散的，（它是的級數(shù)）故該級數(shù)非絕對收斂的。又因為數(shù)列滿足：所以，由萊布尼茲判別法得該級數(shù)是條件收斂的。(5)解：，而級數(shù)是公比為的等比級數(shù)，收斂，故原級數(shù)絕對收斂。（6）解：，由于，級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)也發(fā)散，因而原級數(shù)非絕對收斂的。又因為數(shù)列滿足：所以，由萊布尼茲判別法得原級數(shù)是條件收斂的。（7）解：先考察級數(shù)，因為所以，級數(shù)是收斂的，故原級數(shù)絕對收斂。（8）解：而級數(shù)發(fā)散，（它是的級數(shù)）故該級數(shù)非絕對收斂的。又因為數(shù)列滿足：所以，由萊布尼茲判別法得原級數(shù)是條件收斂的。設(shè)正項級數(shù)收斂，證明級數(shù)也收斂。證明：因為是正項級數(shù)，故，又正項級數(shù)收斂，由比較判別法得級數(shù)也收斂。習(xí)題8.31.求下列冪級數(shù)的收斂域：(1)解:因為所以，收斂半徑。當時，原級數(shù)收斂；當，原級數(shù)為發(fā)散；當，原級數(shù)為發(fā)散；所以，原級數(shù)的收斂域為。(2)解:因為所以，收斂半徑。當時，原級數(shù)收斂；當，原級數(shù)為收斂；當，原級數(shù)為收斂；所以，原級數(shù)的收斂域為。(3)解:因為所以，收斂半徑。原級數(shù)的收斂域為。(4)解：因為所以，收斂半徑。當時，原級數(shù)收斂；當，原級數(shù)為收斂；當，原級數(shù)為發(fā)散；所以，原級數(shù)的收斂域為。(5)解：因為所以，收斂半徑。當時，原級數(shù)收斂；當，原級數(shù)為發(fā)散；當，原級數(shù)為發(fā)散。所以，原級數(shù)的收斂域為。(6)解:因為所以，收斂半徑。當，即時，原級數(shù)收斂；當，原級數(shù)為收斂；當，原級數(shù)為發(fā)散。所以，原級數(shù)的收斂域為 。(7)解:因為所以，收斂半徑。當，即時，原級數(shù)收斂；當，原級數(shù)為發(fā)散；當，原級數(shù)為發(fā)散。所以，原級數(shù)的收斂域為。(8)解:因為所以，收斂半徑。當，即時，原級數(shù)收斂；當，原級數(shù)為收斂；當，原級數(shù)為發(fā)散。所以，原級數(shù)的收斂域為 。2.求下列冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)：(1)解：因為級數(shù)的收斂半徑為1.容易知道在均發(fā)散，所以級數(shù)的收斂域為.設(shè)冪級數(shù)的和函數(shù)為，即，逐項積分，并注意到經(jīng)過逐項積分得到的新級數(shù)與原冪級數(shù)有相同的收斂半徑，有即兩端對求導(dǎo)，得，即，，(2)解：因為級數(shù)的收斂半徑為1.容易知道在收斂，在發(fā)散，所以級數(shù)的收斂域為.設(shè)冪級數(shù)的和函數(shù)為，即，逐項求導(dǎo)，（得到的新級數(shù)與原冪級數(shù)有相同的收斂半徑），有，對上式兩邊積分，得當時，顯然.又當時，原級數(shù)為，是收斂的，利用冪級數(shù)的和函數(shù)的連續(xù)性得到(3)解：由（1）題有，所以3.設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑是，求級數(shù)，的收斂區(qū)間。解：級數(shù)逐項求導(dǎo)得到級數(shù)，所以，級數(shù)和級數(shù)有相同的收斂半徑，級數(shù)的收斂半徑也是。級數(shù)的收斂區(qū)間是當時，級數(shù)收斂，級數(shù)收斂區(qū)間是。習(xí)題7.41.將下列函數(shù)展開為的冪級數(shù)，并確定收斂區(qū)間.(1)解：利用，(2)解：利用(3)解：利用(4)解：利用(5)解：利用(6)解：，，，2.將下列函數(shù)在指定點處展開為冪級數(shù)，并確定收斂區(qū)間.（1）解：當，即當時，（2）解：當，即當時，（3）解：3.利用級數(shù)展開法計算的近似值（要求誤差不超過）．解：取前三項作近似值，有4.利用，求的近似值，并估計誤差．解:，利用，5.計算下列積分的近似值（要求誤差不超過）．（1）解：先求積分的冪級數(shù)展開式。利用得所以=在上式中，令，得取前兩項作近似值，有（2）解：先求積分的冪級數(shù)展開式。利用，得在上式中，令，得取前兩項作近似值，有綜合習(xí)題8選擇或填空題（1）設(shè)級數(shù)是收斂的，則（B）。A級數(shù)必收斂B級數(shù)未必收斂CD級數(shù)發(fā)散（2）下列級數(shù)條件收斂的是（A）。ABCD（3）設(shè)，則級數(shù)（B）。A發(fā)散B條件收斂C絕對收斂D收斂性與值有關(guān)（4）冪級數(shù)的收斂域是（B）。ABCD二．計算或證明題1.判別下列級數(shù)的收斂性:(1)解：因為級數(shù)通項的極限，所以，級數(shù)發(fā)散。(2)解：因為又級數(shù)收斂，所以，原級數(shù)絕對收斂。(3)解：因為考察級數(shù)，由比值判別法易得該級數(shù)收斂，所以原級數(shù)絕對收斂。(4)解：當時，級數(shù)通項的極限，級數(shù)發(fā)散。當時，，級數(shù)發(fā)散。當時，，且收斂，故原級數(shù)收斂。(5)解：因為且級數(shù)和級數(shù)均收斂，所以，原級數(shù)收斂。(6)解：因為由比值判別法得該級數(shù)收斂。2.利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式求導(dǎo)數(shù)：（1）設(shè)，求解：，（2），求解：3．設(shè)級數(shù)收斂，試證明級數(shù)也收斂。證明：因為級數(shù)收斂，所以級數(shù)收斂，故級數(shù)也收斂。4．已知級數(shù)收斂，證明級數(shù)也收斂。證明：