310零點(diǎn)定理（精講）

3.10零點(diǎn)定理（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見(jiàn)考法常見(jiàn)考法考點(diǎn)一求零點(diǎn)【例1】（2020·福鼎市第二中學(xué)高三學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的零點(diǎn)為（）A．0 B． C．2 D．【答案】C【解析】令，解得，故選：C【一隅三反】1．（2021·河南高三月考）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下面不是的零點(diǎn)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，所以代入選項(xiàng)驗(yàn)證可知.都是函數(shù)的零點(diǎn)，不是函數(shù)的零點(diǎn)，故選：C.2．（2021·上海高三二模）函數(shù)的零點(diǎn)為_(kāi)__________．【答案】【解析】令，得，兩邊平方得：，解得，所以函數(shù)的零點(diǎn)為1.故答案為：1.3．（2021·黑龍江大慶市）函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)是______.【答案】【解析】由奇函數(shù)知：，∴當(dāng)時(shí)，則，故，∴，令，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故答案為：.考點(diǎn)二零點(diǎn)區(qū)間【例2】（2021·北京清華附中高三）函數(shù)的零點(diǎn)一定位于區(qū)間（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得為連續(xù)函數(shù)，且在單調(diào)遞增，，，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，，所以零點(diǎn)一定位于區(qū)間.故選：C【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點(diǎn)．(2)數(shù)形結(jié)合法：通過(guò)畫(huà)函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點(diǎn)來(lái)判斷【一隅三反】1．（2021·寧夏高三）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由為增函數(shù)，為增函數(shù)，故為增函數(shù)，由，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得使得，故選：B.2．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在上連續(xù)，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，，，因此，函?shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：C.3．（2021·新疆高三三模）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】在上是增函數(shù)，，，，，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，零點(diǎn)在區(qū)間.故選：C.4．（2021·陜西西安市·西安中學(xué)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】：函數(shù)，畫(huà)出與的圖象，如下圖：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是．故選：D．考點(diǎn)三零點(diǎn)個(gè)數(shù)【例3】（1）（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)，且在區(qū)間[2，4)上則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6(2)（2021·上海市控江中學(xué)高三三模）方程在區(qū)間上的解的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】（1）C（2）C【解析】（1）因?yàn)閒(x＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期為4的奇函數(shù)，先畫(huà)出函數(shù)f(x)在區(qū)間[2，4)上的圖象，根據(jù)奇函數(shù)和周期為4，可以畫(huà)出f(x)在R上的圖象，由y＝f(x)－log5|x|＝0，得f(x)＝log5|x|，分別畫(huà)出y＝f(x)和y＝log5|x|的圖象，如下圖，由f(5)＝f(1)＝1，而log55＝1，f(－3)＝f(1)＝1，log5|－3|<1，而f(－7)＝f(1)＝1，而log5|－7|＝log57>1，可以得到兩個(gè)圖象有5個(gè)交點(diǎn)，所以零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5.故選：C（2）原方程化為，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)圖象與直線，如圖：觀察圖象知：在時(shí)函數(shù)的圖象與直線有8個(gè)公共點(diǎn)，所以方程在區(qū)間上8個(gè)解.故選：C【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法(1)直接求零點(diǎn)，令f(x)＝0，有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)；(2)零點(diǎn)存在性定理，要求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)利用圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出兩函數(shù)圖象，觀察其交點(diǎn)個(gè)數(shù)即得零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【一隅三反】1．（2021·全國(guó)高三）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】由，得，作出函數(shù)與的圖形如圖，由圖可知，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2．故選：C．2．（2021·山東煙臺(tái)市·高三二模）已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則方程根的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】要求方程根的個(gè)數(shù)，即為求與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由題設(shè)知，在上的圖象如下圖示，∴由圖知：有3個(gè)交點(diǎn)，又由在上是偶函數(shù)，∴在上也有3個(gè)交點(diǎn)，故一共有6個(gè)交點(diǎn).故選：D.3．（2021·遼寧高三月考）已知的定義域?yàn)椋覞M足，若，則在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，以此類推，當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且，因此，在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：B.4．（2021·北京市大興區(qū)精華培訓(xùn)學(xué)校高三三模）已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù).當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，而函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，故，又為R上的奇函數(shù)，故在與時(shí)零點(diǎn)個(gè)數(shù)相同，故只需研究時(shí)的情形，對(duì)，,在同一直角坐標(biāo)系中作出與的圖象，由圖可知，時(shí)，函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，所以總共有個(gè)零點(diǎn)故選：C考點(diǎn)四零點(diǎn)之和【例4】（1）（2021·全國(guó)高三）函數(shù)在上的所有零點(diǎn)之和為（）A． B． C． D．（2）（2021·黑龍江哈爾濱市·哈九中高三月考）已知函數(shù)，若函數(shù)與的圖像相交于，兩點(diǎn)，且，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】（1）B（2）D【解析】（1）令，得．分別畫(huà)出函數(shù)的圖象，由圖可知，的對(duì)稱軸為，的對(duì)稱軸為．所以所有零點(diǎn)之和為．故選：B．（2）作出函數(shù)，的圖象如圖，不妨設(shè)，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，聯(lián)立得，所以；因?yàn)榕c的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，而與垂直，所以，且.令，且，則易知為增函數(shù)，所以，因?yàn)?，所?故選：D.【一隅三反】1．（2021·廣東佛山市·高三其他模擬）函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和為（）A．0 B． C． D．【答案】D【解析】由得，作出和的圖象，如圖，它們關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，由圖象可知它們?cè)谏嫌?個(gè)交點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，每對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和為，所以8個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為．故選：D．2．（2021·貴州貴陽(yáng)市）函數(shù)在區(qū)間上所有零點(diǎn)的和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】，令，則，則函數(shù)的零點(diǎn)就是和交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可得和的函數(shù)圖象都關(guān)于對(duì)稱，則交點(diǎn)也關(guān)于對(duì)稱，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察圖象可知，和在有8個(gè)交點(diǎn)，即有8個(gè)零點(diǎn)，且關(guān)于對(duì)稱，故所有零點(diǎn)的和為.故選：D.3．（2021·全國(guó)高三）已知關(guān)于的方程有三個(gè)不同的根，分別為，則＝（）A．3 B．5 C． D．【答案】B【解析】令，如圖所示：令，要使有不同的零點(diǎn)，則有2個(gè)不同的根，則或，或，或，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故關(guān)于的方程的其中1個(gè)根必須為2或﹣2，此時(shí)直線或直線時(shí)剛好與函數(shù)相切，當(dāng)時(shí)，不合題意，由，得，若，則該方程無(wú)解，不合題意，由，得：，當(dāng)，此時(shí)，不合題意，當(dāng)，此時(shí)，解得：，由，當(dāng)，解得：，當(dāng)，整理得，故，故，故選：B．4．（2021·全國(guó)高三）已知函數(shù)則方程的所有實(shí)根之和為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．顯然不是方程的根，當(dāng)時(shí)，原方程可變?yōu)椋?huà)出函數(shù)和的圖象(如圖所示)，由圖知，二者僅有兩個(gè)公共點(diǎn)設(shè)為，因?yàn)楹瘮?shù)和的圖象都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，即故選：A考點(diǎn)五已知零點(diǎn)求參數(shù)【例5】（2021·浙江臺(tái)州市·高三二模）若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于方程在上有兩個(gè)不同的解，即在上有兩個(gè)不同的解.此問(wèn)題等價(jià)于與有兩個(gè)不同的交點(diǎn).由下圖可得.故選：D.【一隅三反】1．（2021·湖北黃岡市·黃岡中學(xué)高三其他模擬）若函數(shù)在區(qū)間（－1，1）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C．（2，＋∞） D．（0，2）【答案】B【解析】因?yàn)闉殚_(kāi)口向上的拋物線，且對(duì)稱軸為，在區(qū)間（－1，1）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，即，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B2．（2021·河南高三月考）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】畫(huà)出的函數(shù)圖象，設(shè)，該直線恒過(guò)點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，可知若方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則且直線與曲線，，有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，所以在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，令，實(shí)數(shù)滿足，解得，又，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.3．（2021·河南新鄉(xiāng)市·高三三模））已知函數(shù).若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，故不是方程的根，當(dāng)時(shí)，由得，，方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)根等價(jià)于直線y=a與函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)的大致圖像如圖所示，由圖可知，或.故選：C.4（2021·江西師大附中高三三模）已知同時(shí)滿足以下條件：①當(dāng)時(shí)，最小值為；②；若在有2個(gè)不同實(shí)根m，n，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)，的最大值為2，最小值為.當(dāng)時(shí)，則分別在取得最大值和最小值.所以的最小值為，∴，函數(shù)．由，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故有，即，．由，則，函數(shù)．在有2個(gè)不同實(shí)根，，且，設(shè)，則在有2個(gè)不同實(shí)根則，由，則作出在的圖象，如圖.，且所以當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)即方程有兩個(gè)不等實(shí)根，且.所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不等實(shí)根，，且所以，故選：D．考點(diǎn)六二分法【例6】（2021·六盤山高級(jí)中學(xué)）用二分法求函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)參考數(shù)據(jù)，可得函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)的近似解（精確到0.1）為（）（參考數(shù)據(jù)：，，，，）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知：，，又因?yàn)楹瘮?shù)在上連續(xù)，所以函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，約為故選：C.【一隅三反】1．（2020·長(zhǎng)沙市·湖南師大附中）用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)，要求精確度為0.01時(shí)，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】根據(jù)題意，原來(lái)區(qū)間的長(zhǎng)度等于1，每經(jīng)過(guò)二分法的一次操作，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，則經(jīng)過(guò)n次操作后，區(qū)間的長(zhǎng)度為，若，即.故選：B．2．（2020·?？谑械谒闹袑W(xué)高三期中）用二分法求方程的近似解時(shí)，可以取的一個(gè)區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，在上單調(diào)遞增.∵，.∴根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理得出：的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)；方程的解所在的區(qū)間為，故選：B.3．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）如圖是函數(shù)f(x)的圖象，它與x軸有4個(gè)不同的公共點(diǎn).給出的下列四個(gè)區(qū)間之中，存在不能用二分法求出的零點(diǎn)，該零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A．[－2.1，－1] B．[4.1，5]C．[1.9，2.3] D．[5，6.1]【答案】C【解析】結(jié)合圖象可得：ABD選項(xiàng)每個(gè)區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，可以用二分法求出零點(diǎn)，C選項(xiàng)區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)函數(shù)值同號(hào)，不能用二分法求零點(diǎn).故選：C4．（2020·湖北黃岡市·高三）求下列函數(shù)的零點(diǎn)，可以采用二分法的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】不是單調(diào)函數(shù)，，不能用二分法求零點(diǎn)；是單調(diào)函數(shù)，，能用二