專題03平面向量及其應(yīng)用（難點）

專題03平面向量及其應(yīng)用（難點）一、單選題1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知菱形ABCD的邊長為2，設(shè)，若恒成立，則向量在方向上投影的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由恒成立解得向量與的夾角的取值范圍，再去求向量在方向上投影的取值范圍即可.【解析】設(shè)向量與的夾角為由，可得，即，即關(guān)于恒成立則，即故向量在方向上投影故選：A2．（2021·浙江·高三專題練習(xí)）如圖，某人在垂直于水平地面的墻面前的點處進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知點到墻面的距離為，某目標(biāo)點沿墻面上的射線移動，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點，需計算由點觀察點的仰角的大小，若，則的最大值是（

）.（仰角為直線與平面所成的角）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題可得，，過作，交于，連接，則，設(shè)，分類討論，若在線段上，則，可求出和，從而可得出，利用函數(shù)的單調(diào)性，可得出時，取得最大值；若在的延長線上，同理求出和，可得出，可得當(dāng)時，函數(shù)取得最大值；結(jié)合兩種情況的結(jié)果，即可得出結(jié)論．【解析】解：，，由勾股定理知，，過點作交于，連結(jié)，則，設(shè)，若在線段上，則，由，得，在直角中，，，令，則函數(shù)在，單調(diào)遞減，時，取得最大值為；若在的延長線上，，在直角中，，，令，則可得時，函數(shù)取得最大值.故答案為：．3．（2021·浙江·高一期末）在中，設(shè)，那么動點的軌跡必通過的（

）A．垂心 B．內(nèi)心 C．外心 D．重心【答案】C【分析】設(shè)的中點是，根據(jù)題意化簡可得，即可確定的軌跡.【解析】設(shè)的中點是，，即，所以，所以動點在線段的中垂線上，故動點的軌跡必通過的外心，故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查向量的運算法則，熟練掌握向量的運算法則，數(shù)量積與垂直的關(guān)系，三角形的外心定義是解題的關(guān)鍵，屬于較難題.4．（2020·浙江·溫州中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，在等腰梯形中，，，，點，分別為，的中點.如果對于常數(shù)，在等腰梯形的四條邊上，有且只有8個不同的點使得成立，那么的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)的坐標(biāo)，根據(jù)得到關(guān)于的方程，根據(jù)的位置分四種情況討論方程解得情況．【解析】解：以所在直線為軸，的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則梯形的高為，，，，，，．（1）當(dāng)在上時，設(shè)，，則，．于是，當(dāng)時，方程有一解，當(dāng)時，有兩解；（2）當(dāng)在上時，設(shè)，，則，．于是，當(dāng)時，方程有一解，當(dāng)時，有兩解；（3）當(dāng)在上時，直線方程為，設(shè)，，則，．于是．當(dāng)或時，方程有一解，當(dāng)時，方程有兩解；（4）當(dāng)在上時，直線的方程為，設(shè)，，則，．于是．當(dāng)或時，方程有一解，當(dāng)時，方程有兩解；綜上，若使梯形上有8個不同的點滿足成立，則的取值范圍是，，，，，．故選：．5．（2021·浙江溫州·高一期末）已知平面向量，，（與不共線），滿足，，設(shè)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，由已知條件判斷出，即是等腰直角三角形，以為坐標(biāo)原點，所在的邊為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，得，再由得，設(shè)，求出范圍可得答案【解析】設(shè)，則，，所以，即是等腰直角三角形，以為坐標(biāo)原點，所在的邊為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，，因為，所以，因為，所以，所以，，兩式相加得，所以，因為，所以設(shè)，所以，因為不共線，所以不共線，所以，所以，，，所以，故選：A.6．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）半徑為1的扇形AOB中，∠AOB=120°，C為弧上的動點，已知，記，則（

）A．若m+n=3，則M的最小值為3B．若m+n=3，則有唯一C點使M取最小值C．若m·n=3，則M的最小值為3D．若m·n=3，則有唯一C點使M取最小值【答案】A【分析】設(shè)，以為原點，以、與所在直線垂直的直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式，可解決此題．【解析】：設(shè)，如圖：以為原點，以、與所在直線垂直的直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．①若，取，，則，，，，，,，此時，、兩點重合，所以正確；取，，則，當(dāng)時取最小值，此時、兩點重合，所以點不唯一，故B錯誤；②若，取，則，當(dāng)時，，故C錯誤；取，時，則，當(dāng)時，取最小值，點不唯一，故D錯誤.故選：A．【點睛】本題考查平面向量的線性運算的意義和模的意義，涉及與圓有關(guān)的最值問題，關(guān)鍵是題目中的參數(shù)較多，故而應(yīng)當(dāng)想到直接解決困難較大，應(yīng)用特值排除的方法解決較為方便，這是在解決一些選擇題是常常需要用到的思想方法.7．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知在中，，，動點位于線段上，當(dāng)取得最小值時，向量與的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C由已知得，再由向量數(shù)量積的定義表示，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得其最值，再由向量夾角公式可得選項.【解析】因為在中，，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此在中，所以向量與的夾角的余弦值為，故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)已知向量建立關(guān)于向量的模的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)確定取得最值時，的值.8．（2020·浙江衢州·高一期末）已知的面積為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將原式分離常數(shù)，然后利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，化簡為對勾函數(shù)，利用不等式求最值即可.【解析】解：，又，==，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故選：B.【點睛】本題考查利用正弦定理邊角互化，考查利用基本不等式求最值，考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.9．（2019·浙江浙江·二模）已知，，是平面內(nèi)三個單位向量，若，則的最小值（

）A． B． C． D．5【答案】A由于，且為單位向量，所以可令，，再設(shè)出單位向量的坐標(biāo)，再將坐標(biāo)代入中，利用兩點間的距離的幾何意義可求出結(jié)果．【解析】解：設(shè)，，，則，從而，等號可取到．故選：A【點睛】此題考查的是平面向量的坐標(biāo)、模的運算，利用整體代換，再結(jié)合距離公式求解，屬于難題．10．（2019·浙江·高一期中）已知平面向量滿足，，且的最小值，則的最小值為（

）A． B．1 C．2 D．1或2【答案】B【分析】設(shè)，，則，由的最小值為，得，且，解得或，然后分2種情況考慮的最小值，即可得到本題答案.【解析】設(shè)，，則因為的最小值，所以的最小值為，則，且，解得或，當(dāng)，即時，，所以的最小值為2；當(dāng)，即時，，所以的最小值為1，綜上，的最小值為1.故選：B【點睛】本題主要考查向量的模的計算與二次函數(shù)值域的綜合問題，考查學(xué)生的推理分析能力和計算能力.11．（2018·浙江·效實中學(xué)高三期中）已知，，，(m，).存在，，對于任意實數(shù)m，n，不等式恒成立，則實數(shù)T的取值范圍為A． B． C． D．【答案】A不等式恒成立，即求最小值，利用三角不等式放縮，轉(zhuǎn)化即求最小值，再轉(zhuǎn)化為等邊三角形的邊的中點和一條直線上動點的距離最小值.當(dāng)運動到時且反向時，取得最小值得解.【解析】，,易得設(shè)，中點為，中點為則在單位圓上運動，且三角形是等邊三角形,，所在直線方程為因為恒成立，,(當(dāng)且僅當(dāng)與共線同向，即與共線反向時等號成立)即求最小值.三角形是等邊三角形，在單位圓上運動，是中點，的軌跡是以原點為圓心，半徑為的一個圓.又在直線方程為上運動，當(dāng)運動到時且反向時，取得最小值此時到直線的距離故選：A【點睛】本題考查平面向量與幾何綜合問題解決向量三角不等式恒成立.平面向量與幾何綜合問題的求解坐標(biāo)法：把問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形的研究，再把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決．12．（2020·浙江紹興·模擬預(yù)測）設(shè)正數(shù)，，滿足，，，是以為圓心的單位圓上的個點，且.若是圓所在平面上任意一點，則的最小值是A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量積及建立不等式，即可求出最小值.【解析】是以為圓心的單位圓上的個點,,故而，，，故，當(dāng)且僅當(dāng)點與點重合時等號成立，即的最小值是,故選：B【點睛】本題主要考查了數(shù)量積的性質(zhì)，考查了分析推理能力，入手困難，屬于難題.二、多選題13．（2021·浙江湖州·高一期末）如圖，△，△，△是全等的等腰直角三角形（，處為直角頂點），且，，，四點共線.若點，，分別是邊，，上的動點（包含端點），記，，，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，寫出、、、、、的坐標(biāo)，由，，分別是邊，，上可得且、且、且，再應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求、、即可.【解析】構(gòu)建下圖示的平面直角坐標(biāo)系，∴，，，，，，∴，，由在，若且，由在，若且，由在，若且，∴，，，∴，，，故A錯誤，B、C、D正確.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，并確定、、、、、、、、的坐標(biāo)，再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求、、.14．（2021·浙江·高一期末）下列說法正確的是（

）A．若非零向量，且，則為等邊三角形B．已知，且四邊形為平行四邊形，則C．已知正三角形的邊長為，圓O是該三角形的內(nèi)切圓，P是圓O上的任意一點，則的最大值為1D．已知向量，則與夾角的范圍是【答案】AC【分析】利用單位向量以及向量數(shù)量積的定義可判斷A；利用向量的加法運算可判斷B；利用向量的加、減運算可判斷C；由題意可得點在以為圓心，為半徑的圓上，由向量夾角定義可判斷D.【解析】A，因為非零向量，所以的平分線與垂直，為等腰三角形，又，所以，所以為等邊三角形，故A正確；B，,，在平行四邊形中，有，所以原式，故B錯誤；C，設(shè)正三角形內(nèi)切圓半徑，由面積相等可得，解得，令的中點為，從而,則，,兩式平方作差可得,即，若要使最大，只需最大由于為的中點，也為圓與的切點，所以的最大值為，所以，故C正確；D，設(shè)，，所以，，所以，即在以為圓心，為半徑的圓上，如圖：，所以，當(dāng)與圓在下方相切時，與夾角最小，此時為，當(dāng)與圓在上方相切時，與夾角最大，此時為，所以與夾角的范圍是，故D錯誤.故選：AC【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了向量的數(shù)量積定義、向量的加減法以及向量的夾角，解題的關(guān)鍵是是將向量問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，利用圓的性質(zhì)求解，考查了轉(zhuǎn)化思想、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模，此題是向量的綜合題目.15．（2021·江蘇省天一中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)，為單位向量，滿足，，，則，的夾角為，則的可能取值為（

）A． B． C． D．1【答案】CD【分析】設(shè)單位向量，的夾角為，根據(jù)已知條件，求出，然后利用夾角公式可將表示成關(guān)于的函數(shù)，利用不等式的性質(zhì)求出其值域即可.【解析】設(shè)單位向量，的夾角為，由，兩邊平方得，解得，又，，，同理且，令，則，，所以，即的取值范圍為故選：CD【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查向量的數(shù)量積的性質(zhì)，運算及夾角公式，及利用不等式的性質(zhì)求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是將表示成關(guān)于的函數(shù)，再利用不等式的性質(zhì)求值域，對運算要求很高，屬于難題.16．（2021·江蘇省江陰市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）點是平面上一定點，，，是平面上的三個頂點，，分別是邊，的對角.以下幾個命題正確的是（

）A．動點滿足，則的重心一定在滿足條件的點集合中；B．動點滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的點集合中；C．動點滿足，則的垂心一定在滿足條件的點集合中；D．動點滿足，則的外心一定在滿足條件的點集合中.【答案】ABC【分析】根據(jù)三角形的重心、內(nèi)心、垂心、外心的相關(guān)性質(zhì)及向量的幾何意義對各選項逐一分析判斷即得.【解析】對于A，過點A作AD⊥BC于D，則有，于是得時，，而的BC邊上中線向量為，即與BC邊上中線向量為共線，則的重心一定在滿足條件的點集合中，A正確；對于B，是兩個單位向量的和，與的平分線所在向量共線，，即與的平分線所在向量共線，則的內(nèi)心一定在滿足條件的點集合中，B正確；對于C，，，即，則的垂心一定在滿足條件的點集合中，C正確；對于D，取邊BC的中點E，連PE，，于是得P是的重心，D不正確.故選：ABC三、填空題17．（2022·浙江·高三開學(xué)考試）已知非零平面向量，夾角為，且，若，則的最小值為_______________．【答案】【分析】利用向量線性運算的幾何意義可求諸模之和的最小值.【解析】如圖，設(shè)，，，，則，且，要求的最小值即求的最小值.作出關(guān)于的對稱點，再作出關(guān)于的對稱點，連接，設(shè)與射線交于，連接，與射線交于，則，且，設(shè)，則，而，故，所以.則，當(dāng)且僅當(dāng)重合，重合時等號成立，故答案為：.【點睛】思路點睛：向量的模的最值問題，如果代數(shù)轉(zhuǎn)化比較困難，則可以考慮向量背后的幾何意義，從而把最值問題轉(zhuǎn)化為對稱問題來處理.18．（2022·浙江嘉興·高三期末）已知非零平面向量，，滿足，且，若與的夾角為，且，則的模取值范圍是___________.【答案】【分析】以向量幾何意義去解題，數(shù)形結(jié)合的方法可以簡化解題過程.【解析】如圖1，令，，，則，取AB中點M.由，可得，，所以，即C在以M為圓心、為半徑的圓上.由，當(dāng)O、M、C三點共線時（M在線段OC上），.由于O在以AB為弦的圓弧上，設(shè)圓心為G，由正弦定理可知，即，當(dāng)時，圓G半徑取得最大值.當(dāng)O、M、G三點共線（G在線段OM上），且時，取得最大值，此時，所以.如圖2，顯然當(dāng)O、M、C三點共線（點C在線段OM上），當(dāng)時，圓G半徑取得最小值.，即M、G兩點重合.取得最小值為2.則時，.故向量的模取值范圍是故答案為：19．（2020·浙江·溫州中學(xué)高三階段練習(xí)）已知平面向量滿足，則的最小值是________．【答案】由已知得，且，然后由，兩邊分別點乘，，把用向量的數(shù)量積表示出來．條件變形為，代入，用圖形表示出向量，這樣利用向量和數(shù)量積的結(jié)論得出直線與直線間的位置關(guān)系，把用線段長表示后，可用基本不等式得最小值．【解析】∵，∴，且，則，同理，由，，又，于是，如圖，設(shè)，則，若，則，則共圓，，等號在時取到．【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是用數(shù)量積表示出參數(shù)，用幾何圖形表示出向量，結(jié)合幾何圖形可用線段的長表示求值式．20．（2021·浙江·高三競賽）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，，，，則點集所表示的區(qū)域面積為______.【答案】【分析】利用平面向量的加法的幾何意義，分，0，分別研究區(qū)域面積，然后求和即得.【解析】由已知得，，當(dāng)時，由得，所以，設(shè)，由，可得，又∵，∴，∴，且，∴P所在的區(qū)域為三角形ABC及其內(nèi)部，面積為；當(dāng)時，由得，所以，設(shè)，由，可得，又∵，∴，∴，且，∴P所在的區(qū)域為如圖所示的陰影部分（其中是關(guān)于原點的對稱點），面積為；綜上所述，P點所在的區(qū)域的面積為.故答案為：.21．（2020·浙江·臺州市書生中學(xué)高二開學(xué)考試）若向量滿足，，且，則的最小值是____________.【答案】2設(shè)，由條件可知，畫出圖形，由向量加減法及性質(zhì)可得，利用兩邊之和不小于第三邊求解.【解析】設(shè),因為，所以,即,所以,取中點,如圖，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取等號.故答案為：2【點睛】本題主要考查了向量的加減法運算，向量加法的幾何意義，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.22．（2020·浙江金華·模擬預(yù)測）已知單位向量，，滿足，則的最小值為________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件可得向量，的夾角，然后利用向量，是單位向量，設(shè)出向量，的坐標(biāo)，.然后利用三角不等式可消去，轉(zhuǎn)化為，再利用坐標(biāo)表示模，可得最小值.【解析】，設(shè)向量，的夾角為，又向量，是單位向量，，如圖，設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)即時“”成立.故答案為:【點睛】本題主要考查了向量模最值的求解，涉及了向量和向量模的坐標(biāo)表示，三角不等式等，屬于難題.四、解答題23．（2020·浙江溫州·高一期末）中，為的中點，為外心，點滿足.（1）證明：；（2）若，設(shè)與相交于點，關(guān)于點對稱，且，求的取值范圍.【答案】（1）見解析（2）（1）根據(jù)平面向量的加法與減法運算,化簡即可求解.（2）根據(jù)題意,可得.而為的中點,與重合,為的重心,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),,寫出各個點的坐標(biāo),表示出與,即可根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義用三角函數(shù)式表示出來.利用輔助角公式,即可求得的取值范圍.【解析】（1）證明:為的中點,為外心,點滿足根據(jù)平面向量的減法運算可得而則代入可得即（2）由,兩邊同時平方,展開化簡可得所以.此時為的中點,與重合,為的重心,如圖建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),則,且設(shè),則,則有,,且.設(shè)∴.由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,即【點睛】本題考查了平面向量的線性運算,利用坐標(biāo)研究平面向量的數(shù)量積形式,三角函數(shù)式的化簡,利用輔助角公式求三角函數(shù)的最值,屬于中檔題.24．（2020·全國·高三專題練習(xí)）已知為的內(nèi)角的對邊，滿足，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.證明：；（2）若，證明為等邊三角形．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】試題分析：（1）通過已知表達(dá)式，去分母化簡，利用兩角和與差的三角函數(shù)，化簡表達(dá)式通過正弦定理直接推出（2）利用函數(shù)的周期求出，通過求出的值，利用余弦定理說明三角形是正三角形，即可．試題解析：,,所以（2）由題意知：由題意知：，解得：，

因為,,所以

由余弦定理知：,所以因為，所以，即：所以,又，所以為等邊三角形.25．（2021·浙江省杭州第二中學(xué)高一期中）杭州市為迎接2022年亞運會，規(guī)劃修建公路自行車比賽賽道，該賽道的平面示意圖為如圖的五邊形ABCDE，運動員的公路自行車比賽中如出現(xiàn)故障，可以從本隊的器材車、公共器材車上或收容車上獲得幫助．比賽期間，修理或更換車輪或賽車等，也可在固定修車點上進(jìn)行．還需要運送一些補給物品，例如食物、飲料，工具和配件．所以項目設(shè)計需要預(yù)留出BD，BE為賽道內(nèi)的兩條服務(wù)通道（不考慮寬度），ED，DC，CB，BA，AE為賽道，．（1）從以下兩個條件中任選一個條件，求服務(wù)通道BE的長度；①；②（2）在（1）條件下，應(yīng)該如何設(shè)計，才能使折線段賽道BAE最長（即最大），最長值為多少？【答案】（1）答案見解析；（2）．【分析】(1)在中，利用正弦定理，可求得BD=6.選①：先由三角形的內(nèi)角和可得∠BDC=，從而知為直角三角形，然后由勾股定理，得解;選②：在中，由余弦定理可得關(guān)于BE的方程，解之即可.(2)在中，結(jié)合余弦定理和基本不等式，即可得解.【解析】（1）在中，由正弦定理知，，解得，選①：，，，在中，；若選②，在中，由余弦定理知，，化簡得，解得或（舍負(fù)），故服務(wù)通道BE的長度；（2）在中，由余弦定理知，，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時，的最大值為．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查解三角形的實際應(yīng)用，還涉及利用基本不等式解決最值問題，熟練掌握正弦定理、余弦定理是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.26．（2021·云南省玉溪第一中學(xué)高二期中（文））為響應(yīng)國家“鄉(xiāng)村振興”號召，農(nóng)民老王擬將自家一塊直角三角形地按如圖規(guī)劃成3個功能區(qū)：區(qū)域為荔枝林和放養(yǎng)走地雞，區(qū)域規(guī)劃為“民宿”供游客住宿及餐飲，區(qū)域規(guī)劃為小型魚塘養(yǎng)魚供休閑垂釣．為安全起見，在魚塘周圍筑起護(hù)欄．已知，，，．(1)若，求護(hù)欄的長度（的周長）；(2)若魚塘的面積是“民宿”的面積的倍，求；(3)當(dāng)為何值時，魚塘的面積最小，最小面積是多少？【答案】(1)(2)(3)時，的面積取最小值為【分析】（1）先根據(jù)題干條件得到，，利用余弦定理求出，用勾股定理逆定理得到，進(jìn)而求出CN，MN，求出護(hù)欄的長度；（2）設(shè)，利用和的面積關(guān)系和正弦定理得到CN的兩種表達(dá)，列出方程，求出；（3）結(jié)合第二問的求解，利用正弦定理和面積公式得到面積關(guān)于的關(guān)系式，求出最小值.(1)∵，，，∴，∴，∴，∴，在中，由余弦定理可得：，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴護(hù)欄的長度（的周長）為；(2)設(shè)（），因為魚塘的面積是“民宿”的面積的倍，所以，即，，中，由三角形外角定理可得，在中，由，得，從而，即，由，得，所以，即；(3)設(shè)（），由（2）知，，中，由外角定理可得，又在中，由，得，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時，的面積取最小值為.27．（2022·江蘇省鄭梁梅高級中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖所示，是的一條中線，點滿足，過點的直線分別與射線，射線交于，兩點.(1)求證：；(2)設(shè)，，，，求的值；(3)如果是邊長為的等邊三角形，求的取值范圍.【答案】(1)見詳解(2)3(3)【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合向量加減法運算，即可證明；（2）根據(jù)題意，用和表示，結(jié)合，，三點共線，即可求解；（3）根據(jù)題意，結(jié)合（1）（2）用和分別表示出和，進(jìn)而可以表示出，再結(jié)合均值不等式與二次函數(shù)的最值，即可求解.(1)證明：因，所以，又因為的中點，所以，所以.(2)因，，，，所以，，又因，所以，又因，，三點共線，所以，即.(3)設(shè)，，，，由（1）（2）可知，，即.因，，所以，又因是邊長為的等邊三角形，所以，令，因，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以.因此，又因，所以，所以.28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）隨著生活水平的不斷提高，人們更加關(guān)注健康，重視鍛煉，“日行一萬步，健康一輩子”.通過“小步道”，走出“大健康”，健康步道成為引領(lǐng)健康生活的一道亮麗風(fēng)景線.如圖，為某市的一條健康步道，，為線段，是以為直徑的半圓，，，.（1）求的長度；（2）為滿足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居環(huán)境，現(xiàn)計劃新增健康步道（，在兩側(cè)），，為線段.若，到健康步道的最短距離為，求到直線距離的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用余弦定理求出半徑，利用圓的周長公式可得結(jié)果；（2）先求出點的大致軌跡，再結(jié)合正弦定理、圓的幾何性質(zhì)求最點到直線距離的最值即可求解．【解析】（1）在中，由余弦定理可得，，．（2）的軌跡為外接圓的一部分，設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理，且滿足，由（1）得：，所以為直角，過作于，設(shè)所求距離為，①當(dāng)通過圓心時，達(dá)到最大，由幾何關(guān)系得，四邊形為矩形，所以，此時滿足，②當(dāng)無限接近時，此時，綜上：所求到直線距離的取值范圍為．【點睛】本題考查利用正、余弦定理解三角形，動點到定直線距離的最值問題，同時對學(xué)生推理分析，數(shù)形結(jié)合，運算求解的能力有一定的要求，屬于中檔題．29．（2021·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）在中，滿足：，M是的中點.（1）若，求向量與向量的夾角的余弦值；（2）若O是線段上任意一點，且，求的最小值：（3）若點P是內(nèi)一點，且，，，求的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用向量的數(shù)量積公式得到，利用向量的數(shù)量積公式展開，求出向量與向量的夾角的余弦值；（2）通過解三角形求出的長，設(shè)，則，利用向量的平行四邊形法則得到而，利用向量的數(shù)量積公式將表示成關(guān)于的二次函數(shù)，通過求二次函數(shù)的最值求出最小值；（3）設(shè)，將已知條件利用向量的數(shù)量積公式表示成關(guān)于的三角函數(shù)，將平方轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)，然后利用基本不等式求出其最小值．【解析】解：（1）設(shè)向量，與向量的夾角為，令，.（2），，設(shè)，則，而，，當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值是.（3）設(shè)，，，，，同理：，當(dāng)且僅當(dāng)時，所以.【點睛】本題考查向量的夾角和最值問題，利用了向量的數(shù)量積公式和兩向量的夾角公式，還運用二次函數(shù)和基本不等式求最值，是一道綜合題．30．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖：某公園改建一個三角形池塘，，百米，百米，現(xiàn)準(zhǔn)備養(yǎng)一批觀賞魚供游客觀賞.(1)若在內(nèi)部取一點，建造連廊供游客觀賞，如圖①，使得點是等腰三角形的頂點，且，求連廊