廣東省潮州市2024屆高三下學期第一次聯(lián)合數(shù)學試題試卷

廣東省潮州市2024屆高三下學期第一次聯(lián)合數(shù)學試題試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，則p是q的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．若為虛數(shù)單位，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，圖中復平面內(nèi)點表示復數(shù)，則表示復數(shù)的點是（）A．E B．F C．G D．H3．高三珠海一模中，經(jīng)抽樣分析，全市理科數(shù)學成績X近似服從正態(tài)分布，且．從中隨機抽取參加此次考試的學生500名，估計理科數(shù)學成績不低于110分的學生人數(shù)約為（）A．40 B．60 C．80 D．1004．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．5．若復數(shù)為虛數(shù)單位在復平面內(nèi)所對應的點在虛軸上，則實數(shù)a為（）A． B．2 C． D．6．已知某超市2018年12個月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示：根據(jù)該折線圖可知，下列說法錯誤的是（）A．該超市2018年的12個月中的7月份的收益最高B．該超市2018年的12個月中的4月份的收益最低C．該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D．該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長了90萬元7．函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則a的值為（）A．3 B．－3 C．2 D．－28．已知正方體的棱長為1，平面與此正方體相交.對于實數(shù)，如果正方體的八個頂點中恰好有個點到平面的距離等于，那么下列結論中，一定正確的是A． B．C． D．9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值是（）A．8 B．32 C．64 D．12810．已知命題若，則，則下列說法正確的是（）A．命題是真命題B．命題的逆命題是真命題C．命題的否命題是“若，則”D．命題的逆否命題是“若，則”11．已知函數(shù)的導函數(shù)為，記，，…，N.若，則（）A． B． C． D．12．已知為虛數(shù)單位，若復數(shù)，則A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則_____。14．直線是曲線的一條切線為自然對數(shù)的底數(shù))，則實數(shù)__________.15．直線是圓：與圓：的公切線，并且分別與軸正半軸，軸正半軸相交于，兩點，則的面積為_________16．已知正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2，點P是上底面三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為提供市民的健身素質，某市把四個籃球館全部轉為免費民用（1）在一次全民健身活動中，四個籃球館的使用場數(shù)如圖，用分層抽樣的方法從四場館的使用場數(shù)中依次抽取共25場，在中隨機取兩數(shù)，求這兩數(shù)和的分布列和數(shù)學期望；（2）設四個籃球館一個月內(nèi)各館使用次數(shù)之和為，其相應維修費用為元，根據(jù)統(tǒng)計，得到如下表的數(shù)據(jù)：x10152025303540y100001176113010139801477115440160202.993.494.054.504.995.495.99①用最小二乘法求與的回歸直線方程；②叫做籃球館月惠值，根據(jù)①的結論，試估計這四個籃球館月惠值最大時的值參考數(shù)據(jù)和公式：，18．（12分）在極坐標系中，已知曲線C的方程為（），直線l的方程為.設直線l與曲線C相交于A，B兩點，且，求r的值.19．（12分）已知數(shù)列的前項和和通項滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的前項和.20．（12分）在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的直角坐標方程和曲線的參數(shù)方程；（2）設曲線與曲線在第二象限的交點為，曲線與軸的交點為，點，求的周長的最大值．21．（12分）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）當時，證明：對任意恒成立.22．（10分）已知直線：與拋物線切于點，直線：過定點Q，且拋物線上的點到點Q的距離與其到準線距離之和的最小值為.（1）求拋物線的方程及點的坐標；（2）設直線與拋物線交于(異于點P)兩個不同的點A、B，直線PA，PB的斜率分別為，那么是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)誘導公式化簡再分析即可.【詳解】因為,所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分條件.故選：B【點睛】本題考查充分與必要條件的判定以及誘導公式的運用,屬于基礎題.2、C【解析】

由于在復平面內(nèi)點的坐標為，所以，然后將代入化簡后可找到其對應的點.【詳解】由，所以，對應點.故選：C【點睛】此題考查的是復數(shù)與復平面內(nèi)點的對就關系，復數(shù)的運算，屬于基礎題.3、D【解析】

由正態(tài)分布的性質，根據(jù)題意，得到，求出概率，再由題中數(shù)據(jù)，即可求出結果.【詳解】由題意，成績X近似服從正態(tài)分布，則正態(tài)分布曲線的對稱軸為，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，求得，所以該市某校有500人中，估計該校數(shù)學成績不低于110分的人數(shù)為人，故選:.【點睛】本題考查正態(tài)分布的圖象和性質,考查學生分析問題的能力,難度容易.4、A【解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，排除錯誤選項，從而得出正確選項.【詳解】因為，所以是偶函數(shù)，排除C和D.當時，，，令，得，即在上遞減；令，得，即在上遞增.所以在處取得極小值，排除B.故選：A【點睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的識別，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，屬于中檔題.5、D【解析】

利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由實部為求得值．【詳解】解：在復平面內(nèi)所對應的點在虛軸上，，即．故選D．【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎題．6、D【解析】

用收入減去支出，求得每月收益，然后對選項逐一分析，由此判斷出說法錯誤的選項.【詳解】用收入減去支出，求得每月收益（萬元），如下表所示：月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高，A選項說法正確；月收益最低，B選項說法正確；月總收益萬元，月總收益萬元，所以前個月收益低于后六個月收益，C選項說法正確，后個月收益比前個月收益增長萬元，所以D選項說法錯誤.故選D.【點睛】本小題主要考查圖表分析，考查收益的計算方法，屬于基礎題.7、A【解析】

求出，對分類討論，求出單調(diào)區(qū)間和極值點，結合三次函數(shù)的圖像特征，即可求解.【詳解】，若，，在單調(diào)遞增，且，在不存在零點；若，，在內(nèi)有且只有一個零點，.故選:A.【點睛】本題考查函數(shù)的零點、導數(shù)的應用，考查分類討論思想，熟練掌握函數(shù)圖像和性質是解題的關鍵，屬于中檔題.8、B【解析】

此題畫出正方體模型即可快速判斷m的取值.【詳解】如圖（1）恰好有3個點到平面的距離為；如圖（2）恰好有4個點到平面的距離為；如圖（3）恰好有6個點到平面的距離為.所以本題答案為B.【點睛】本題以空間幾何體為載體考查點，面的位置關系，考查空間想象能力，考查了學生靈活應用知識分析解決問題的能力和知識方法的遷移能力，屬于難題.9、C【解析】

根據(jù)給定的程序框圖，逐次計算，結合判斷條件，即可求解.【詳解】由題意，執(zhí)行上述程序框圖，可得第1次循環(huán)，滿足判斷條件，；第2次循環(huán)，滿足判斷條件，；第3次循環(huán)，滿足判斷條件，；第4次循環(huán)，滿足判斷條件，；不滿足判斷條件，輸出.故選：C.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖的計算與輸出，其中解答中認真審題，逐次計算，結合判斷條件求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.10、B【解析】

解不等式，可判斷A選項的正誤；寫出原命題的逆命題并判斷其真假，可判斷B選項的正誤；利用原命題與否命題、逆否命題的關系可判斷C、D選項的正誤.綜合可得出結論.【詳解】解不等式，解得，則命題為假命題，A選項錯誤；命題的逆命題是“若，則”，該命題為真命題，B選項正確；命題的否命題是“若，則”，C選項錯誤；命題的逆否命題是“若，則”，D選項錯誤．故選：B．【點睛】本題考查四種命題的關系，考查推理能力，屬于基礎題.11、D【解析】

通過計算，可得，最后計算可得結果.【詳解】由題可知：所以所以猜想可知：由所以所以故選：D【點睛】本題考查導數(shù)的計算以及不完全歸納法的應用，選擇題、填空題可以使用取特殊值，歸納猜想等方法的使用，屬中檔題.12、B【解析】

因為，所以，故選B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由已知求，再利用和角正切公式，求得，【詳解】因為所以cos因此.【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)基本關系式與和角的正切公式。14、【解析】

根據(jù)切線的斜率為，利用導數(shù)列方程，由此求得切點的坐標，進而求得切線方程，通過對比系數(shù)求得的值.【詳解】，則，所以切點為，故切線為，即，故.故答案為：【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)求解曲線的切線方程有關問題，屬于基礎題.15、【解析】

根據(jù)題意畫出圖形，設，利用三角形相似求得的值，代入三角形的面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，設，由與相似，可得，解得，再由與相似，可得，解得，由三角形的面積公式，可得的面積為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系的應用，以及三角形相似的應用，著重考查了數(shù)形結合思想，以及推理與運算能力，屬于基礎題.16、π.【解析】

設三棱錐P-ABC的外接球為球O'，分別取AC、A1C1的中點O、O1，先確定球心O'在線段AC和A1C1中點的連線上，先求出球O【詳解】如圖所示，設三棱錐P-ABC的外接球為球O'分別取AC、A1C1的中點O、O1由于正方體ABCD-A則△ABC的外接圓的半徑為OA=2設球O的半徑為R，則4πR2=所以，OO則O而點P在上底面A1B1由于O'P=R=41因此，點P所構成的圖形的面積為π×O【點睛】本題考查三棱錐的外接球的相關問題，根據(jù)立體幾何中的線段關系求動點的軌跡，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析，12.5（2）①②20【解析】

(1)運用分層抽樣，結合總場次為100，可求得的值，再運用古典概型的概率計算公式可求解果;(2)①由公式可計算的值，進而可求與的回歸直線方程；②求出，再對函數(shù)求導，結合單調(diào)性，可估計這四個籃球館月惠值最大時的值.【詳解】解：（1）抽樣比為，所以分別是，6，7，8，5所以兩數(shù)之和所有可能取值是：10，12，13，15，，，所以分布列為期望為（2）因為所以，，；②，設，所以當遞增，當遞減所以約惠值最大值時的值為20【點睛】本題考查直方圖的實際應用，涉及求概率，平均數(shù)、擬合直線和導數(shù)等問題，關鍵是要讀懂題意，屬于中檔題.18、【解析】

先將曲線C和直線l的極坐標方程化為直角坐標方程，可得圓心到直線的距離，再由勾股定理，計算即得.【詳解】以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，可得曲線C：（）的直角坐標方程為，表示以原點為圓心，半徑為r的圓.由直線l的方程，化簡得，則直線l的直角坐標方程方程為.記圓心到直線l的距離為d，則，又，即，所以.【點睛】本題考查曲線和直線的極坐標方程化為直角坐標方程，是基礎題.19、（1）；（2）【解析】

（1）當時，利用可得，故可利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項.（2）利用分組求和法可求數(shù)列的前項和.【詳解】（1）當時，，所以，當時，，①，②所以，即，又因為，故，所以，所以是首項，公比為的等比數(shù)列，故.（2）由得：數(shù)列為等差數(shù)列，公差，，，.【點睛】本題考查數(shù)列的通項與求和，注意數(shù)列求和關鍵看通項的結構形式，如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差，那么用裂項相消法；如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項求和法.20、（1）曲線的直角坐標方程為，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)（2）【解析】

（1）將代入，可得，所以曲線的直角坐標方程為．由可得，將，代入上式，可得，整理可得，所以曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)．（2）由題可設，，，所以，，，所以，因為，所以，所以當，即時，l取得最大值為，所以的周長的最大值為．21、（1）（2）見解析【解析】

（1）因為，可得，即可求得答案；（2）要證對任意恒成立，即證對任意恒成立.設，，當時，，即可求得答案.【詳解】（1），，，函數(shù)在處的切線方程為.（2）要證對任意恒成立.即證對任意恒成立.設，，當時，，，令，解得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.，，，當時，對任意恒成立，即當時，對任