人教A版數(shù)學(xué)(選擇性必修一講義)第07講拓展一：異面直線所成角(學(xué)生版+解析)

第07講拓展一：異面直線所成角（傳統(tǒng)法與向量法）一、知識(shí)點(diǎn)歸納1、（傳統(tǒng)法）核心技巧：平移使相交具體操作，通過(guò)平移一條（或2條），使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，然后在三角形中利用余弦定理求角2、（向量法）用向量運(yùn)算求兩條直線所成角已知，為兩異面直線，，與，分別是，上的任意兩點(diǎn)，，所成的角為，則①②.二、題型精講題型01求異面直線所成角（定值）(傳統(tǒng)法）【典例1】（2023春·河北保定·高一定州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平行六面體中，底面是菱形，，與底面垂直，，分別在和上，且，，，，則異面直與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【典例2】（2023春·河北張家口·高一河北省尚義縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與夾角的余弦值為（

）A．0 B． C． D．【典例3】（2023春·河南開(kāi)封·高一河南省杞縣高中?？茧A段練習(xí)）正方體中，是的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為_(kāi)_____．

【變式1】（2023春·吉林四平·高一?？茧A段練習(xí)）在三棱柱中，平面，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·河南鄭州·高一河南省新鄭市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，是半圓柱底面的直徑，是半圓柱的高，是上一點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)_______．

題型02求異面直線所成角（定值）(向量法）【典例1】（2023春·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，平面平面，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在多面體中，四邊形為菱形，，，，且平面，四邊形是正方形，則______；異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)_____．【變式1】（2023春·上海寶山·高二上海市吳淞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，已知正方體，，分別是正方形和的中心，則和所成的角是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023春·福建莆田·高二莆田華僑中學(xué)?？计谥校┤鐖D，圓柱的軸截面為矩形，點(diǎn)，分別在上、下底面圓上，，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【變式3】（2023春·浙江·高一期中）已知直三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，，分別是和的中點(diǎn)，那么異面直線和所成角的余弦值等于________．題型03易錯(cuò)題型求異面直線所成角忽略角的取值范圍【典例1】（2023春·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱的中點(diǎn)，=λ，若異面直線和所成角的余弦值為，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【典例2】（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考階段練習(xí)）正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【變式1】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）如圖，將的菱形沿對(duì)角線折起，使得平面平面，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023秋·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）在四面體中，為正三角形，平面，且，若，，則異面直線和所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．題型04求異面直線所成角（最值或范圍）【典例1】（2023·遼寧大連·?？寄M預(yù)測(cè)）有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長(zhǎng)為的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得.若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為（

）A． B． C． D．【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，2，，動(dòng)點(diǎn)在上底面上，且滿足三棱錐的體積等于1，則直線與所成角的正切值的最小值為_(kāi)________.【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正四面體內(nèi)接于半徑為的球中，在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最小值是______；直線與直線所成角的取值范圍為_(kāi)_____.【變式1】（2023春·江蘇南京·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，四邊形中，．現(xiàn)將沿折起，當(dāng)二面角處于過(guò)程中，直線與所成角的余弦值取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·湖南衡陽(yáng)·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，正方體中，點(diǎn)為底面的中心，點(diǎn)在側(cè)面的邊界及其內(nèi)部移動(dòng)，若，則異面直線與所成角的余弦值的最大值為（）A． B． C． D．【變式3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）三棱錐中，兩兩垂直，，點(diǎn)為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，記直線與直線的所成角的余弦值的取值范圍為_(kāi)____________．題型05已知線線角求參數(shù)【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱柱中，底面，且底面為菱形，，，，為的中點(diǎn)，在上，在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（不與重合），且平面，異面直線與所成角的余弦值為，則的最大值為_(kāi)__________.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.（1）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（2）點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所成的角最小時(shí)，求線段的長(zhǎng).【變式2】（2022春·四川綿陽(yáng)·高二四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，分別是，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)在上是否存在一點(diǎn)，使得與所成角為60°？若存在，求出點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

第07講拓展一：異面直線所成角（傳統(tǒng)法與向量法）一、知識(shí)點(diǎn)歸納1、（傳統(tǒng)法）核心技巧：平移使相交具體操作，通過(guò)平移一條（或2條），使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，然后在三角形中利用余弦定理求角2、（向量法）用向量運(yùn)算求兩條直線所成角已知，為兩異面直線，，與，分別是，上的任意兩點(diǎn)，，所成的角為，則①②.二、題型精講題型01求異面直線所成角（定值）(傳統(tǒng)法）【典例1】（2023春·河北保定·高一定州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平行六面體中，底面是菱形，，與底面垂直，，分別在和上，且，，，，則異面直與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】取DM中點(diǎn)K，連接、，

因?yàn)?，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以異面直線與所成角為或其補(bǔ)角.因?yàn)榈酌媸橇庑?，，，所以在中，利用余弦定理得，又，，在中，利用余弦定理得，所以異面直與所成角的余弦值為.故選：B.【典例2】（2023春·河北張家口·高一河北省尚義縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在正方體中，為棱的中點(diǎn)，則異面直線與夾角的余弦值為（

）A．0 B． C． D．【答案】D【詳解】取中點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，則，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，所以是異面直線與夾角或其補(bǔ)角，

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則，在中，，在中，，在中，由余弦定理得，，所以異面直線與夾角的余弦值為.故選：D【典例3】（2023春·河南開(kāi)封·高一河南省杞縣高中?？茧A段練習(xí)）正方體中，是的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為_(kāi)_____．

【答案】/【詳解】在正方體右側(cè)作出一個(gè)全等的正方體，連接，如圖，

易知，所以四邊形是平行四邊形，則，所以是與所成角的平面角或補(bǔ)角，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則在正方體中，，在中，，在中，，所以在中，，所以與所成角的余弦值為.故答案為：.【變式1】（2023春·吉林四平·高一校考階段練習(xí)）在三棱柱中，平面，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】在三棱柱中，平面，，將三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體，設(shè)，則，

因?yàn)榍遥仕倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，且，故與所成角為或其補(bǔ)角，在中，，，，由余弦定理可得，因此，直線與所成角的余弦值為.故選：D.【變式2】（2023春·河南鄭州·高一河南省新鄭市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是半圓柱底面的直徑，是半圓柱的高，是上一點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)_______．

【答案】/【詳解】設(shè)，如圖，取PC的中點(diǎn)E，連接DE，AE，可得，所以異面直線AD與BC所成的角為（或其補(bǔ)角）．又因?yàn)槠矫?，平面，則，且，，平面PAC，所以平面PAC．且平面PAC，則，所以．因?yàn)?，所以在中，．故答案為?

題型02求異面直線所成角（定值）(向量法）【典例1】（2023春·湖北武漢·高二校聯(lián)考期中）如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，則，，所以，，所以，所以，異面直線與所成角的余弦值為.故選：B.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，平面平面，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解法一

如圖，設(shè)O，C，D分別為線段，，的中點(diǎn)，連接，，，則，，，，∴是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角.∵，為的中點(diǎn)，∴，，∵平面平面，平面平面，∴平面.設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，則平面，，，，∴，連接，易得，，∴在中，，∴，∴，∴異面直線與所成角的余弦值為.故選：D.解法二

如圖，設(shè)為線段的中點(diǎn)，連接，，∵，∴，，∵平面平面，平面平面，∴平面，∵，∴，，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，∴，M（0，0，3），，，∴，，∴，∴異面直線與所成角的余弦值為.故選:D.【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在多面體中，四邊形為菱形，，，，且平面，四邊形是正方形，則______；異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)_____．【答案】/【詳解】由四邊形為菱形，，可得為正三角形，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，所以．又，因此．又平面，故以為原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖設(shè)，，則，，，，由題意，則平面，平面，設(shè)，，從而，因?yàn)樗倪呅蜝EFG是正方形，所以，所以，即，解得，所以，，設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以，即，所以，所以；設(shè)異面直線AG與DE所成角為，又，所以，所以異面直線AG與DE所成角的余弦值為.故答案為：；【變式1】（2023春·上海寶山·高二上海市吳淞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，已知正方體，，分別是正方形和的中心，則和所成的角是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令正方體的棱長(zhǎng)為，則，，，，所以，，設(shè)和所成的角為，則，因?yàn)?，所?故選：B【變式2】（2023春·福建莆田·高二莆田華僑中學(xué)校考期中）如圖，圓柱的軸截面為矩形，點(diǎn)，分別在上、下底面圓上，，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】方法一

如圖（1），在上取點(diǎn)，使，連接，，，，．易知四邊形為矩形，則，且．連接，．因?yàn)?，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，且．連接，則，且，所以四邊形為平行四邊形，則，所以或其補(bǔ)角是異面直線與所成的角．在中，，，所以．在中，，，所以．又，所以．故選：D．方法二

如圖（2），在上取點(diǎn)，使，連接，，，．易知四邊形為矩形，，．連接．由已知條件，得為圓柱的一條母線．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線，，為軸、軸、軸建立如圖（2）的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，則，所以異面直線與所成角的余弦值為．故選：D．【變式3】（2023春·浙江·高一期中）已知直三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，，分別是和的中點(diǎn)，那么異面直線和所成角的余弦值等于________．【答案】/0.7【詳解】因?yàn)橹比庵膫?cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，所以為等邊三角形，取的中點(diǎn)，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫云矫?，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)橹比庵膫?cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，設(shè)，則，，，，，，設(shè)異面直線和所成角為，所以，即異面直線和所成角的余弦值為.故答案為：.題型03易錯(cuò)題型求異面直線所成角忽略角的取值范圍【典例1】（2023春·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱的中點(diǎn)，=λ，若異面直線和所成角的余弦值為，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，則A1（2，0，2），D1（0，0，2），E（0，2，1），A（2，0，0）.所以，又所以，整理得到，解得（舍去）,所以，,所以，故cosθ=，

故選：B.【典例2】（2023春·福建漳州·高二漳州三中?？茧A段練習(xí)）正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，建立空間直接坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，易知，A(2，0，0)，E(0，1，2)，C(0，2，0)，F(xiàn)(2，2，1)，所以，，所以<>=.因?yàn)楫惷嬷本€AE與FC所成角為銳角.所以異面直線AE與FC所成角的余弦值為.故A，B，C錯(cuò)誤.故選：D.【變式1】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期中）如圖，將的菱形沿對(duì)角線折起，使得平面平面，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，取BD中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，令，，，，，則，，，，所成角的余弦值為.故選：.【變式2】（2023秋·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）在四面體中，為正三角形，平面，且，若，，則異面直線和所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)槠矫?，為正三角形，故以為原點(diǎn)，以為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，由，，可得，所以，所以，所以異面直線和所成角的余弦值等于.故選：A.題型04求異面直線所成角（最值或范圍）【典例1】（2023·遼寧大連·校考模擬預(yù)測(cè)）有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24，棱長(zhǎng)為的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得.若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】將半正多面體補(bǔ)成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)榘胝嗝骟w的棱長(zhǎng)為，故正方體的棱長(zhǎng)為所以，.設(shè)，則.所以.令，則，因?yàn)?，所?故直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為.故選：C【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，2，，動(dòng)點(diǎn)在上底面上，且滿足三棱錐的體積等于1，則直線與所成角的正切值的最小值為_(kāi)________.【答案】【詳解】解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，，則，，，設(shè)平面的法向量為則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量因?yàn)樗渣c(diǎn)P到平面BFE的距離因?yàn)椋栽诘妊?，到的高為，所以因?yàn)?，所以所以?舍去)，設(shè)直線與所成的角為，則，所以，所以的最大值為，此時(shí)最小，此時(shí)最小，因?yàn)?，且，所以，所以，即直線CP與所成角的正切值的最小值為，故答案為：【典例3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正四面體內(nèi)接于半徑為的球中，在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最小值是______；直線與直線所成角的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【詳解】在正四面體中，設(shè)A在面內(nèi)的投影為E，故E為三角形的中心，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為x，球O的半徑為R，則，依題意正四面體內(nèi)接于半徑為的球中，故球心O在上，設(shè)球的半徑為R,則，即，解得，（舍去），則，，又，故P的軌跡為平面內(nèi)以E為圓心，為半徑的圓，而，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，且P在之間時(shí)，最小，最小值是；以E為圓心，所在直線為x軸，在底面內(nèi)過(guò)點(diǎn)E作的垂線為y軸，為z軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則,,,，設(shè)，，故，,設(shè)直線與直線所成角為，,因?yàn)椋?，故，又，故，故，故答案為?【變式1】（2023春·江蘇南京·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）如圖，四邊形中，．現(xiàn)將沿折起，當(dāng)二面角處于過(guò)程中，直線與所成角的余弦值取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)向量與所成角為，二面角的平面角大小為，因?yàn)?，所以，又，所以?，則，所以，取中點(diǎn)E，連接，則，，,,在中，，即，所以，即，又因?yàn)?，所以，因?yàn)橹本€夾角范圍為，所以直線與所成角的余弦值范圍是．故選：D．【變式2】（2023·湖南衡陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖所示，正方體中，點(diǎn)為底面的中心，點(diǎn)在側(cè)面的邊界及其內(nèi)部移動(dòng)，若，則異面直線與所成角的余弦值的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，，，設(shè)，因?yàn)椋?，則在側(cè)面內(nèi)取一點(diǎn)，使得，則易知三角形為直角三角形，則設(shè)，對(duì)稱軸為，則即故選：C【變式3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）三棱錐中，兩兩垂直，，點(diǎn)為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，記直線與直線的所成角的余弦值的取值范圍為_(kāi)____________．【答案】【詳解】因?yàn)閮蓛纱怪?，且，所以由勾股定理可知，所以三棱錐為正三棱錐，記在底面內(nèi)的投影為，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以的軌跡是以為圓心半徑為的圓，取中點(diǎn)，連接，可知經(jīng)過(guò)點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：設(shè)，，，所以，所以，設(shè)直線與直線的所成角為.所以故答案為：.題型05已知線線角求參數(shù)【典例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱柱中，底面，且底面為菱形，，，，為的中點(diǎn)，在上，在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（不與重合），且平面，異面直線與所成角的余弦值為，則的最大值為_(kāi)__________.【答案】/【詳解】連接交于點(diǎn)，平面，平面，則，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則，，、平面，平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、，易知平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)槠矫?，所以，，設(shè)點(diǎn)，其中，則，由已知可得，因?yàn)?，解得，即點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)椋瑒t，可得，且，可得，所以，點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，、平面，，，且，所以?故答案為：.【典例2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，.（1）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（2）點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與所