專項24-弧、弦、角、距的關(guān)系-重難點題型

弧、弦、角、距的關(guān)系-重難點題型【知識點1弧、弦、角、距的概念】（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．

（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．

說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣弧．

（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．

【題型1弧、弦、角、距的概念】【例1】（浦東新區(qū)模擬）下列四個命題：①同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等；②同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等；③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等；④同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等．真命題的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-1】（西林縣期末）下列說法中，正確的是（）A．等弦所對的弧相等 B．在同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等 C．圓心角相等，所對的弦相等 D．弦相等所對的圓心角相等【變式1-2】在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦三組量之間，如果有一組量相等，那么，它們所對應(yīng)的其它量也相等．如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦①若AB＝CD，則有＝，＝②若弧AB＝弧CD，則有＝，＝③若∠AOB＝∠COD，則有＝，＝．【變式1-3】如圖，PO是直徑所在的直線，且PO平分∠BPD，OE垂直AB，OF垂直CD，則：①AB＝CD；②弧AB等于弧CD；③PO＝PE；④弧BG等于弧DG；⑤PB＝PD；其中結(jié)論正確的是（填序號）【題型2由弧、弦、角、距的關(guān)系求角度】【例2】（新化縣期末）如圖，AB為⊙O的直徑，點C、D是BE的三等分點，∠AOE＝60°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．40° B．60° C．80° D．120°【變式2-1】（項城市三模）如圖，圓O通過五邊形OABCD的四個頂點．若AD=150°，∠A＝75°，∠D＝60°，則BCA．25° B．40° C．50° D．60°【變式2-2】如圖，⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長相等，若∠A＝80°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．125° B．120° C．130° D．115°【變式2-3】（下城區(qū)一模）如圖，點A，點B，點C在⊙O上，分別連接AB，BC，OC．若AB＝BC，∠B＝40°，則∠OCB＝．【題型3由弧、弦、角、距的關(guān)系求線段】【例3】（思明區(qū)校級期中）如圖，在⊙O中，若AB=CD，且AD＝3，求【變式3-1】（濱海新區(qū)期中）如圖，MN是⊙O的直徑，點A是半圓上一個三等分點，點B是AN的中點，點B'是點B關(guān)于MN的對稱點，⊙O的半徑為1，則AB'的長等于（）A．1 B．2 C．3 D．2【變式3-2】（青浦區(qū)二模）如圖，在半徑為2的⊙O中，弦AB與弦CD相交于點M，如果AB＝CD＝23，∠AMC＝120°，那么OM的長為．【變式3-3】如圖，在半徑為4的⊙O中，AB和CD度數(shù)分別為36°和108°，弦CD與弦AB長度的差為．【題型4弧、弦、角、距中的比較問題】【例4】（莘縣期中）如圖，在同圓中，弧AB等于弧CD的2倍，試判斷AB與2CD的大小關(guān)系是（）A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．不能確定【變式4-1】（鼓樓區(qū)校級月考）如圖，在⊙O中，AC=2ABA．AB＝AC B．AC＝2AB C．AC＜2AB D．AC＞2AB【變式4-2】（睢寧縣校級月考）如圖所示，AB是⊙O直徑，CM是AO的垂直平分線，DN是OB的垂直平分線，則下列結(jié)論正確的是（）A．AC=CD=DB B．AC=DB【變式4-3】（順義區(qū)期末）如圖，在⊙O中，若AB=BC=CD，則AC與2CD的大小關(guān)系是：AC【題型5弧、弦、角、距中的證明問題】【例5】（秦淮區(qū)二模）如圖，⊙O的弦AB、CD相交于點P，且AB＝CD．求證PB＝PD．【變式5-1】（武漢模擬）如圖，在⊙O中，弦AB與弦CD相交于點E，且AB＝CD．求證：CE＝BE．【變式5-2】（硚口區(qū)模擬）如圖，⊙O中的弦AB＝CD，AB與CD相交于點E．求證：（1）AC＝BD；（2）CE＝BE．【變式5-3】（江都區(qū)月考）已知，如圖，AB是⊙O的直徑，M，N分別為AO、BO的中點，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分別為M，N．求證：AC＝BD．【題型6弧、弦、角、距中的綜合問題】【例6】（海豐縣模擬）如圖，A，B是⊙O上的點，∠AOB＝120°，C是AB的中點，若⊙O的半徑為5，則四邊形ACBO的面積為（）A．25 B．253 C．2534 【變式6-1】如圖所示，在⊙O中，C、D分別是OA、OB的中點，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列結(jié)論：①MC＝ND，②AM=MN=NB，③四邊形MCDN是正方形，④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式6-2】（長沙縣月考）已知銳角∠POQ，如圖，在射線OP上取一點A，以點O為圓心，OA長為半徑作MN，交射線OQ于點B，連接AB，分別以點A，B為圓心，AB長為半徑作弧，交MN于點E，F(xiàn)，連接OE，EF．（1）證明：∠EAO＝∠BAO；（2）若OE＝EF．求∠POQ的度數(shù)．【變式6-3】（海淀區(qū)期末）如圖，在⊙O中，AC=CB，CD⊥OA于點D，CE⊥OB于點（1）求證：CD＝CE；（2）若∠AOB＝120°，OA＝2，求四邊形DOEC的面積．

弧、弦、角、距的關(guān)系-重難點題型（解析版）【知識點1弧、弦、角、矩的概念】（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．

（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．

說明：同一條弦對應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?/p>

（3）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系

三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對的弧相等，③所對的弦相等，三項“知一推二”，一項相等，其余二項皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．

【題型1弧、弦、角、矩的概念】【例1】（浦東新區(qū)模擬）下列四個命題：①同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等；②同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等；③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等；④同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等．真命題的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解題思路】利用圓的有關(guān)性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項．【解答過程】解：①同圓或等圓中，相等的弦所對的弧相等，錯誤，是假命題，不符合題意；②同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等，正確，是真命題，符合題意；③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等，正確，是真命題，符合題意；④同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等，正確，是真命題，符合題意，真命題有3個，故選：C．【變式1-1】（西林縣期末）下列說法中，正確的是（）A．等弦所對的弧相等 B．在同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等 C．圓心角相等，所對的弦相等 D．弦相等所對的圓心角相等【解題思路】根據(jù)題意畫出符合已知條件的圖形，再逐個判斷即可．【解答過程】解：A．如圖，弦AB＝弦AB，但是所對的兩段弧不相等，故本選項不符合題意；B．在同圓或等圓中，相等的弧所對的弦相等，故本選項符合題意；C．如圖，∠AOB＝∠COD，但是弦AB和弦CD不相等，故本選項不符合題意；D．如圖，弦AB＝弦AB，但是圓心角∠ADB和∠ACB不相等，故本選項不符合題意；故選：B．【變式1-2】在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦三組量之間，如果有一組量相等，那么，它們所對應(yīng)的其它量也相等．如圖，AB、CD是⊙O的兩條弦①若AB＝CD，則有＝，＝②若弧AB＝弧CD，則有＝，＝③若∠AOB＝∠COD，則有＝，＝．【解題思路】在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦三組量之間，如果有一組量相等，那么，它們所對應(yīng)的其它量也相等．再將文字語言在轉(zhuǎn)化成符號語言即可．【解答過程】解：①若AB＝CD，則有AB=CD，∠AOB＝∠②若AB=CD，則有AB＝CD，∠AOB＝∠③若∠AOB＝∠COD，則有AB=CD，AB＝【變式1-3】如圖，PO是直徑所在的直線，且PO平分∠BPD，OE垂直AB，OF垂直CD，則：①AB＝CD；②弧AB等于弧CD；③PO＝PE；④弧BG等于弧DG；⑤PB＝PD；其中結(jié)論正確的是（填序號）【解題思路】利用“弧、弦、弦心距之間的關(guān)系”再細心一點，即可找到全部正確答案．【解答過程】解：PO平分∠BPD，OE垂直AB，OF垂直CD，則OE＝OF，即弦AB，CD的弦心距相等，因而AB＝CD，弧AB等于弧CD，則弧EG等于弧DG，則弧BG等于弧DG；故①、②、④正確；易證△PEO≌△PFO，則PE＝PF，根據(jù)AB＝CD，得到BE＝DF，則PB＝PD，故⑤正確．【題型2由弧、弦、角、矩的關(guān)系求角度】【例2】（新化縣期末）如圖，AB為⊙O的直徑，點C、D是BE的三等分點，∠AOE＝60°，則∠BOD的度數(shù)為（）A．40° B．60° C．80° D．120°【解題思路】先求出∠BOE＝120°，根據(jù)點C、D是BE的三等分點求出BD的度數(shù)是80°，再求出答案即可．【解答過程】解：∵∠AOE＝60°，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝120°，∴BE的度數(shù)是120°，∵點C、D是BE的三等分點，∴BD的度數(shù)是23∴∠BOD＝80°，故選：C．【變式2-1】（項城市三模）如圖，圓O通過五邊形OABCD的四個頂點．若AD=150°，∠A＝75°，∠D＝60°，則BCA．25° B．40° C．50° D．60°【解題思路】連接OB，OC，由半徑相等得到△OAB，△OBC，△OCD都為等腰三角形，根據(jù)∠A＝75°，∠D＝60°，求出∠1與∠2的度數(shù)，根據(jù)AD的度數(shù)確定出∠AOD度數(shù)，進而求出∠3的度數(shù)，即可確定出BC的度數(shù)．【解答過程】解：連接OB、OC，∵OA＝OB＝OC＝OD，∴△OAB、△OBC、△OCD，皆為等腰三角形，∵∠A＝75°，∠D＝60°，∴∠1＝180°﹣2∠A＝180°﹣2×75°＝30°，∠2＝180°﹣2∠D＝180°﹣2×60°＝60°，∵AD=∴∠AOD＝150°，∴∠3＝∠AOD﹣∠1﹣∠2＝150°﹣30°﹣60°＝60°，則BC的度數(shù)為60°．故選：D．【變式2-2】如圖，⊙O截△ABC的三條邊所得的弦長相等，若∠A＝80°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．125° B．120° C．130° D．115°【解題思路】過點O作OE⊥AB于E，OD⊥BC于D，OF⊥AC于F，根據(jù)心角、弧、弦的關(guān)系定理得到OD＝OE＝OF，根據(jù)角平分線的判定定理、三角形內(nèi)角和定理計算，得到答案．【解答過程】解：過點O作OE⊥AB于E，OD⊥BC于D，OF⊥AC于F，∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，由題意得，HG＝PQ＝MN，∴OD＝OE＝OF，∵OE⊥AB，OD⊥BC，OF⊥AC，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=1∴∠OBC+∠OCB=12×（∠ABC∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°，故選：C．【變式2-3】（下城區(qū)一模）如圖，點A，點B，點C在⊙O上，分別連接AB，BC，OC．若AB＝BC，∠B＝40°，則∠OCB＝．【解題思路】首先連接AO，BO，然后根據(jù)等弦對等圓心角得到∠BOC＝∠AOB，再根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠OBA＝∠OBC，再由∠ABC＝40°，OB＝OC，即可得到結(jié)果．【解答過程】解：如圖，連接AO，BO，∴OA＝OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∠OAB＝∠OBA，∵AB＝BC，∴∠BOC＝∠AOB，∴∠OBA=12（180°﹣∠AOB）=12（180°﹣∠∵∠ABC＝40°，OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝20°．故答案為：20°．【題型3由弧、弦、角、矩的關(guān)系求線段】【例3】（思明區(qū)校級期中）如圖，在⊙O中，若AB=CD，且AD＝3，求【解題思路】根據(jù)AB=CD，得到BC=AD，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理得到【解答過程】解：∵AB=∴AB?AC=∴CB＝AD＝3．【變式3-1】（濱海新區(qū)期中）如圖，MN是⊙O的直徑，點A是半圓上一個三等分點，點B是AN的中點，點B'是點B關(guān)于MN的對稱點，⊙O的半徑為1，則AB'的長等于（）A．1 B．2 C．3 D．2【解題思路】連接OB、OB′，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理得到∠AOB′＝90°，根據(jù)勾股定理計算，得到答案．【解答過程】解：連接OB、OB′，∵點A是半圓上一個三等分點，∴∠AON＝60°，∵點B是AN的中點，∴∠BON＝30°，∵點B'是點B關(guān)于MN的對稱點，∴∠B′ON＝30°，∴∠AOB′＝90°，∴AB′=1故選：B．【變式3-2】（青浦區(qū)二模）如圖，在半徑為2的⊙O中，弦AB與弦CD相交于點M，如果AB＝CD＝23，∠AMC＝120°，那么OM的長為．【解題思路】根據(jù)圓心角、弦、弧、弦心距之間的關(guān)系以及勾股定理可求出OE、OF，再利用全等三角形可求出∠OME＝60°，進而利用直角三角形的邊角關(guān)系求解即可．【解答過程】解：如圖，過點O作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足為E、F，連接OA，則AE＝BE=12AB=3，CF＝DF=在Rt△AOE中，∵OA＝2，AE=3∴OE=O∵AB＝CD，∴OE＝OF＝1，又∵OM＝OM，∴Rt△OEM≌Rt△OFM（HL），∴∠OME＝∠OMF=12∠∴OM=OE故答案為：23【變式3-3】如圖，在半徑為4的⊙O中，AB和CD度數(shù)分別為36°和108°，弦CD與弦AB長度的差為．【解題思路】連接OA、OB、OC、OD，在CD上取一點E，使得CE＝OC，連接OE，構(gòu)造三個等腰三角形△OAB，△OCD與△OCE；證明△COE≌△OAB，則有OE＝AB；利用等腰三角形性質(zhì)證明DE＝OE，因此CD﹣AB＝CD﹣DE＝CE＝4．【解答過程】解：如圖，連接OA、OB，則△OAB為等腰三角形，頂角為36°，底角為72°；連接OC、OD，則△OCD為等腰三角形，頂角為108°，底角為36°．在CD上取一點E，使得CE＝OC，連接OE，則△OCE為等腰三角形，頂角為36°，底角為72°．在△COE與△OAB中，∵CO=OA=4∠OCE=∠AOB=36°∴△COE≌△OAB（SAS），∴OE＝AB．∵∠EOD＝∠OEC﹣∠ODC＝72°﹣36°＝36°，∴∠EOD＝∠ODE，∴DE＝OE，∴CD﹣AB＝CD﹣OE＝CD﹣DE＝CE＝4．故答案為：4．【題型4弧、弦、角、矩中的比較問題】【例4】（莘縣期中）如圖，在同圓中，弧AB等于弧CD的2倍，試判斷AB與2CD的大小關(guān)系是（）A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．不能確定【解題思路】取AB的中點E，連接AE、BE，如圖，易得CD=AE=BE，利用圓心角、弧、弦的關(guān)系得到CD＝AE＝BE，然后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系可得到【解答過程】解：取AB的中點E，連接AE、BE，如圖，∵弧AB等于弧CD的2倍，而AE=∴CD=∴CD＝AE＝BE，∵AE+BE＞AB，∴2CD＞AB．故選：B．【變式4-1】（鼓樓區(qū)校級月考）如圖，在⊙O中，AC=2ABA．AB＝AC B．AC＝2AB C．AC＜2AB D．AC＞2AB【解題思路】如圖連接BC，首先證明AB＝BC，利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問題．【解答過程】解：如圖．連接BC．∵AC=2AB∴AB=∴AB＝BC，∴AB+BC＞AC，∴2AB＞AC，故選：C．【變式4-2】（睢寧縣校級月考）如圖所示，AB是⊙O直徑，CM是AO的垂直平分線，DN是OB的垂直平分線，則下列結(jié)論正確的是（）A．AC=CD=DB B．AC=DB【解題思路】連接AC，OC，OD，BD，根據(jù)CM是AO的垂直平分線，DN是OB的垂直平分線，得到AC＝OC，BD＝OD，推出△AOC，△BOD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠AOC＝∠BOD＝60°，求得∠COD＝60°，即可得到結(jié)論．【解答過程】解：連接AC，OC，OD，BD，∵CM是AO的垂直平分線，DN是OB的垂直平分線，∴AC＝OC，BD＝OD，∵OC＝OD＝OA＝OB，∴△AOC，△BOD是等邊三角形，∴∠AOC＝∠BOD＝60°，∵AB是⊙O直徑，∴∠COD＝60°，∴AC=故選：A．【變式4-3】（順義區(qū)期末）如圖，在⊙O中，若AB=BC=CD，則AC與2CD的大小關(guān)系是：AC【解題思路】如圖，連接AB、BC，根據(jù)題意知，AB＝BC＝CD，又由三角形三邊關(guān)系得到AB+BC＞AC得到：AC＜2CD．【解答過程】解：如圖，連接AB、BC，在⊙O中，若AB=∴AB＝BC＝CD，在△ABC中，AB+BC＞AC．∴AC＜2CD．故答案是：＜．【題型5弧、弦、角、矩中的證明問題】【例5】（秦淮區(qū)二模）如圖，⊙O的弦AB、CD相交于點P，且AB＝CD．求證PB＝PD．【解題思路】連接BD，利用圓心角、弧、弦的關(guān)系、等腰三角形的判定定理解答即可．【解答過程】證明：連接BD．∵AB＝CD，∴AB∴AB?AC=∴∠B＝∠D，∴PB＝PD．【變式5-1】（武漢模擬）如圖，在⊙O中，弦AB與弦CD相交于點E，且AB＝CD．求證：CE＝BE．【解題思路】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理的推論得到AB=CD，結(jié)合圖形得到AC=BD，進而得到∠【解答過程】證明：∵AB＝CD，∴AB=∴AB?CB=∴∠C＝∠B，∴CE＝BE．【變式5-2】（硚口區(qū)模擬）如圖，⊙O中的弦AB＝CD，AB與CD相交于點E．求證：（1）AC＝BD；（2）CE＝BE．【解題思路】（1）由AB＝CD得到AB=CD，則∴（2）根據(jù)圓周角定理，由AC=BD得到∠ADC＝∠DAB，則EA＝ED，然后利用AB＝CD得到CE＝【解答過程】證明：（1）∵AB＝CD，∴AB=即AD+∴AC=∴AC＝BD；（2）∵AC=∴∠ADC＝∠DAB，∴EA＝ED，∵AB＝CD，即AE+BE＝CE+DE，∴CE＝BE．【變式5-3】（江都區(qū)月考）已知，如圖，AB是⊙O的直徑，M，N分別為AO、BO的中點，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分別為M，N．求證：AC＝BD．【解題思路】連接OC、OD，根據(jù)已知條件，易證△OCM≌△ODN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知，∠AOC＝∠BOD，根據(jù)圓心角、弦、弧之間的關(guān)系定理可知，AC＝BD．【解答過程】證明：連接OC、OD，∵AB是⊙O的直徑，∴AO＝BO，∵M，N分別為AO、BO的中點，∴OM＝ON，∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°，∴△OCM與△ODN都是直角三角形，又∵OC＝OD，∴△OCM≌△ODN（HL），∴∠AOC＝∠BOD，∴AC＝BD．【題型6弧、弦、角、矩中的綜合問題】【例6】（海豐縣模擬）如圖，A，B是⊙O上的點，∠AOB＝120°，C是AB的中點，若⊙O的半徑為5，則四邊形ACBO的面積為（）A．25 B．253 C．2534 【解題思路】根據(jù)在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等邊三角形，即可解決問題．【解答過程】解：連OC，如圖，∵C是AB的中點，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°，又∵OA＝OC＝OB，∴△OAC和△OBC都是等邊三角形，∴S四邊形AOBC＝2×1故選：D．【變式6-1】如圖所示，在⊙O中，C、D分別是OA、OB的中點，MC⊥AB、ND⊥AB，M、N在⊙O上．下列結(jié)論：①MC＝ND，②AM=MN=NB，③四邊形MCDN是正方形，④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解題思路】連接OM、ON，如圖，利用OC＝OD=12OM=12ON，則∠OMC＝∠OND＝30°，則利用∠COM＝∠DON＝∠MON＝60°可判斷AM=MN=BN；通過證明【解答過程】解：連接OM、ON，如圖，∵MC⊥AB、ND⊥AB，∴∠OCM＝∠ODN