第二十五章 銳角的三角比（單元重點綜合測試）

第二十五章銳角的三角比單元重點綜合測試注意事項：本試卷滿分100分，考試時間120分鐘，試題共25題。答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（6小題，每小題2分，共12分）1．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）在中，各邊的長度都縮小4倍，那么銳角A的余切值（

）A．擴大4倍 B．保持不變 C．縮小2倍 D．縮小4倍2．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）在中，，已知，，那么的余弦值為（）A． B． C． D．3．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）在中，，、、所對的邊分別是a、b、c．則下列各式中，正確的是（

）A． B． C． D．4．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，已知在中，，，垂足為點，那么下列線段的比值不一定等于的是（）A． B． C． D．5．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，在中，，DE垂直平分AB，分別交AB，BC于點D，E，連接CD，若，，則的面積為（

）．

A．5 B．8 C．10 D．166．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標桿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標桿垂直的長尺（稱為“圭”），當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上．圖2是一個根據(jù)某市地理位置設計的圭表平面示意圖，表垂直圭．已知該市冬至正午太陽高度角（即）為，夏至正午太陽高度角（即）為，若表的長為，則圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即的長）為（

）

A． B． C． D．二、填空題（12小題，每小題2分，共24分）7．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）計算：．8．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）已知是銳角，且，那么．9．（2023·上?！ひ荒＃┬》荚跇窍曼cD處看到樓上點E處的小紅的仰角是34度，那么點E處的小紅看點D處的小芳的俯角等于度．10．（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠DCB＝，AC＝12，則BC=．11．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）已知α為銳角，且，則°．12．（2023秋·上海靜安·九年級上海市市北初級中學?？计谀┤鐖D，已知將沿角平分線所在直線翻折，點恰好落在邊的中點處，且，那么的余弦值為.

13．（2023秋·上海靜安·九年級上海市市北初級中學?？计谀┠郴┻\動員沿著坡比的斜坡向下滑行了200米，則運動員下降的垂直高度為米．14．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，斜坡的坡度，現(xiàn)需要在不改變坡高的情況下將坡度變緩，調(diào)整后的斜坡的坡度，已知斜坡米，那么斜坡米．

15．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，和都是等邊三角形，點D是的重心，那么．16．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）如圖，將矩形紙片沿對角線折疊，點B落在點E處，與邊相交于點F．如果，那么的正弦值等于．17．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）某班學生開展綜合實踐活動，測量太陽能路燈電池板離地面的高度．如圖，已知測傾器的高度為米，在測點A處安置測傾器，測得點M的仰角，在與點A相距米的測點D處安置測傾器，測得點M的仰角（點A，D與N在一條直線上），則電池板離地面的高度的長為米．（結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：，，）18．（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，已知在中，，，，點P是斜邊上一點，過點P作交邊于點M，過點P作的平行線，與過點M作的平行線交于點Q．如果直線，那么的長為．

三、解答題（9小題，共64分）19．（2023·九年級單元測試）計算：．20．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）如圖，在中，，，垂足為點Q．

(1)．(2)______，______．（用正切或余切表示）21．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）已知，在中，，，求的值．22．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）已知，在中，，，．求：(1)的長；(2)的值．23．（2023·上海嘉定·模擬預測）某校數(shù)學實踐小組利用所學數(shù)學知識測量某塔的高度．下面是兩個方案及測量數(shù)據(jù)：項目測量某塔的高度方案方案一：借助太陽光線構成相似三角形．測量：標桿長CD，影長ED，塔影長DB.方案二：利用銳角三角函數(shù)，測量：距離CD，仰角α，仰角β.測量示意圖

測量項目第一次第二次平均值測量項目第一次第二次平均值測量數(shù)據(jù)CD1.61m1.59m1.6mβ26.4°26.6°26.5°ED1.18m1.22m1.2mα37.1°36.9°37°DB38.9m39.1m39mCD34.8m35.2m35m(1)根據(jù)“方案一”的測量數(shù)據(jù)，直接寫出塔的高度為m；(2)根據(jù)“方案二”的測量數(shù)據(jù)，求出塔的高度；（參考數(shù)據(jù)：）24．（2023秋·上海靜安·九年級上海市市北初級中學?？计谀┤鐖D，矩形中，，點是邊上的一個動點，聯(lián)結，過點作，垂足為點.

(1)設，的余切值為，求關于的函數(shù)解析式；(2)若存在點，使得、與四邊形的面積比是，試求矩形的面積；(3)對（2）中求出的矩形，聯(lián)結，當?shù)拈L為多少時，是等腰三角形？25．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，在中，，，為邊上的中線.點E從點A出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿向終點C運動.同時點F從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿向終點A運動，連接，將線段繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，以、為邊作正方形.設點E運動的時間為t秒．

(1)的長為______；(2)求點E到的距離；（用含t的代數(shù)式表示）(3)當點G落在上時，求的長；(4)連接，當與平行或垂直時，直接寫出t的值．

第二十五章銳角的三角比單元重點綜合測試注意事項：本試卷滿分100分，考試時間120分鐘，試題共25題。答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（6小題，每小題2分，共12分）1．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）在Rt△ABC中，各邊的長度都縮小4倍，那么銳角A的余切值（A．擴大4倍 B．保持不變 C．縮小2倍 D．縮小4倍【答案】B【分析】根據(jù)題意可知∠A大小不變，即得出銳角A【詳解】解：∵在Rt△∴各角的大小不變，即∠A∵一個角的銳角三角函數(shù)值只與角的大小有關，∴銳角A的余切值保持不變．故選B．【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)．理解一個角的銳角三角函數(shù)值只與角的大小有關是解題關鍵．2．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）在△ABC中，∠C=90°，已知AC=3，AB=5，那么∠AA．34 B．43 C．35【答案】C【分析】利用銳角三角函數(shù)求出結果即可．【詳解】解：如圖，

在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，cosA故選C．【點睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角的對邊與斜邊的比叫做該銳角的正弦是解題的關鍵．3．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別是a、b、cA．sinA=ab B．sinA=【答案】C【分析】根據(jù)在直角三角形中，銳角的正弦等于對邊比斜邊求解即可．【詳解】解：如圖，∴sin故選C．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，銳角的正弦等于對邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；銳角的正切等于對邊比鄰邊．4．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=β，CD⊥AB垂足為點D，那么下列線段的比值不一定等于A．ADBD B．ACAB C．ADAC【答案】A【分析】根據(jù)sinα【詳解】A.，∴∠BCD+∠∵CD⊥AB∴∠∴sin由圖得：AC與BD不一定相等，∴sinβ不一定等于B.在Rt△ABC中，C.在Rt△ACD中，D.在Rt△BCD中，故選：A．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，理解銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．5．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，在△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，分別交AB，BC于點D，E，連接CD，若tan∠CDE=34，BC=8，則

A．5 B．8 C．10 D．16【答案】D【分析】過C作CF⊥DF于F，連接AE，由于DE垂直平分AB，故DE⊥AB,AD=BD,,因為D為AB中點，所以BD=DC，有CF⊥DF,DE⊥AB，可得CF∥AB，所以△FEC～△DEB，即CEBE=CFBD=CFDC,tan∠CDE=在Rt△ACE中，同時可得AC的值，故S△【詳解】解：過C作CF⊥DF于F，連接AE，如圖所示:

∵DE垂直平分AB，∴DE⊥AB,AD=BD,,∵△ABC為直角三角形，D為AB中點，∴BD=DC∵CF⊥DF,DE⊥∴CF∥∴∠FCE=∵∠FEC=∴△FEC～△DEB，即CEBE在Rt△CFD中，tan∠CDE=3CEBE∵BE+CE=BC=8，∴BE=AE=5，CE=3在Rt△ACE中，AC=5故S△故選：D．【點睛】本題考查了垂直平分線，相似三角形，三角函數(shù)，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應用是解此題的關鍵．6．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標桿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標桿垂直的長尺（稱為“圭”），當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上．圖2是一個根據(jù)某市地理位置設計的圭表平面示意圖，表AC垂直圭BC．已知該市冬至正午太陽高度角（即∠ABC）為α，夏至正午太陽高度角（即∠ADC）為β，若表AC的長為m，則圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】分別解Rt△ABC和Rt△ACD，求出【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=m，∴BC=AC在Rt△ACD中，∠C=90°，AC=m，∴DC=AC∴BD=BC?CD=m故選：B．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，是解題的關鍵．二、填空題（12小題，每小題2分，共24分）7．（2023·上海楊浦·統(tǒng)考一模）計算：cot30°=【答案】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接寫出即可．【詳解】解：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值知：cot3故答案為：．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解題時牢記特殊角的三角函數(shù)值是關鍵．8．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）已知α是銳角，且，那么α=．【答案】45°/45度【分析】直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答即可．【詳解】∵，∴α=45°．故答案為：45°．【點睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，記憶特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．9．（2023·上?！ひ荒＃┬》荚跇窍曼cD處看到樓上點E處的小紅的仰角是34度，那么點E處的小紅看點D處的小芳的俯角等于度．【答案】34【分析】根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可以求得點E處的小明看點D處的小杰的俯角的度數(shù)，本題得以解決．【詳解】解：由題意可得，∠EDO=34°∵CE∥∴∠EDO=∴∠CED=34°即點E處的小明看點D處的小杰的俯角等于34度，故答案為：34．【點睛】本題考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．10．（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠DCB＝34，AC＝12，則BC=【答案】9【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、同角的余角相等得到∠BCD=∠A，根據(jù)正切的定義計算即可【詳解】解：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠BCD=∠A，在Rt△ACB中，∵tanA=tan∠BCD=34=BC∴BC=34AC=3故答案為：9．【點睛】本題考查了解直角三角形：掌握正切的定義是解題的關鍵．11．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）已知α為銳角，且cos80°?α=12【答案】20【分析】根據(jù)cos60°=【詳解】解：∵α為銳角，且cos80°?α∴80°?α=60°，則α=20°，故答案為：20．【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解答的關鍵．12．（2023秋·上海靜安·九年級上海市市北初級中學?？计谀┤鐖D，已知將△ABC沿角平分線所在直線翻折，點A恰好落在邊BC的中點M處，且AM=BE，那么∠EBC的余弦值為.

【答案】3【分析】設AM與交點為D，過M作MF∥BE交AC于F，證出MF為△BCE的中位線，由三角形中位線定理得出MF=12BE，由翻折變換的性質(zhì)得出：AM⊥BE，AD=MD，同理由三角形中位線定理得出，設DE=a，則MF=2a，AM=BE=4a，得出BD=3a，MD=12【詳解】解：設AM與交點為D，過M作MF∥BE交AC于F，如圖所示：

為BC的中點，∴F為CE的中點，∴MF為△BCE∴MF=由翻折變換的性質(zhì)得：AM⊥BE，AD=MD，同理：DE是△AMF∴DE=設DE=a，則MF=2a，AM=BE=4a，∴BD=3a，MD=1∵∠∴BM=B∴cos故答案為：313【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)、三角函數(shù)；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，通過作輔助線由三角形中位線定理得出MF=12BE13．（2023秋·上海靜安·九年級上海市市北初級中學?？计谀┠郴┻\動員沿著坡比1:3的斜坡向下滑行了200米，則運動員下降的垂直高度為【答案】100【分析】設出垂直高度，表示出水平距離，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：設垂直高度下降了x米，則水平前進了3x根據(jù)勾股定理可得：．解得x=100，即它距離地面的垂直高度下降了100米．故答案為：100．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，難度不大，此題的關鍵是熟悉且會靈活應用公式：tanα（坡度）=垂直高度÷14．（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）如圖，斜坡AB的坡度i1=1:3，現(xiàn)需要在不改變坡高AH的情況下將坡度變緩，調(diào)整后的斜坡AC的坡度，已知斜坡AB=10米，那么斜坡AC=

【答案】13【分析】根據(jù)斜坡AB的坡度i1=1:3與AB的值先求出AH，再根據(jù)斜坡AC的坡度，求得【詳解】解：∵i1∴tan∠∴∠ABH=30°∴AH=1∵，∴tan∠∵AH=5，∴CH=12，在Rt△ACH中，故答案為：13．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用，坡度問題，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關鍵．15．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）如圖，△ABC和△ADE都是等邊三角形，點D是△ABC的重心，那么S△ADE【答案】【分析】如圖，延長AD交BC于F，由題意得AD=23AF，AF=AB?sinB=3【詳解】解：如圖，延長AD交BC于F，∵點D是△ABC∴AD=2∵△ABC∴AF=AB?∴AD=3∵△ADE和△ABC∴△ADE∴S△故答案為：．【點睛】本題考查了重心，等邊三角形的性質(zhì)，正弦函數(shù)，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．16．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，將矩形ABCD紙片沿對角線AC折疊，點B落在點E處，與邊AD相交于點F．如果AD=2AB，那么∠DCF的正弦值等于．【答案】35【分析】通過證明△AEF≌△CDFAAS得到EF=DF，AF=CF，在Rt【詳解】解：依題意畫圖如下：∵AD=2AB，∴設AB=a,AD=2a，∵△AEC由△ABC沿AC折疊得到，∴AE=AB=CD=a，∠E=在△AEF和△CDF∠E=∴△AEF∴EF=DF，AF=CF，設EF=DF=b，則AF=CF=AD?DF=2a?b，在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理可得：即a2+b∴CF=2a?b=5∴sin∠故答案為：35【點睛】本題主要考查了矩形的折疊問題，求正弦函數(shù)值，解題的關鍵是掌握矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理．17．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）某班學生開展綜合實踐活動，測量太陽能路燈電池板離地面的高度．如圖，已知測傾器的高度為1.6米，在測點A處安置測傾器，測得點M的仰角∠MBC=33°，在與點A相距3.5米的測點D處安置測傾器，測得點M的仰角∠MEC=45°（點A，D與N在一條直線上），則電池板離地面的高度MN的長為米．（結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.54，cos3【答案】8【分析】延長交MN于點F，設MF=x米，先說明四邊形FNDE，四邊形DEBA，四邊形FNAB均為矩形，得出NF=DE=AB=1.6米，EF=ND，BE=AD=3.5，根據(jù)∠MEF=45°，得出EF=MF=x（米），BF=x+3.5（米）利用銳角三角函數(shù)得出tan∠MBF=MFBF【詳解】解：延長交MN于點F，如圖，設MF=x米，∵MN⊥AN，ED⊥AN，AB⊥AN，BE∥∴∠FND=∴四邊形FNDE，四邊形DEBA，四邊形FNAB均為矩形，∴NF=DE=AB=1.6米，EF=ND，BE=AD=3.5，∵∠MEF=45°，∠MFE=90°∴EF=MF=x（米），BF=x+3.5（米），在Rt△MBF中，tan∠解得x≈6.5（米），

∴MN=x+1.6≈8.1米即電池板離地面的高度MN約為8米，故答案為：8．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，仰角問題，矩形判定與性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，掌握解直角三角形的應用方法，仰角問題，矩形判定與性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)是解題關鍵．18．（2023·上海·一模）如圖，已知在△ABC中，∠C=90°，BC=8，cosB=45，點P是斜邊AB上一點，過點P作PM⊥AB交邊AC于點M，過點P作AC的平行線，與過點M作AB的平行線交于點Q．如果直線CQ⊥AB，那么

【答案】9【分析】如圖，設AP=m．證明AP=MQ=m，根據(jù)cosA【詳解】解：如圖，設AP=m．

∵PQ∥AC，MQ∥∴四邊形APQM是平行四邊形，∠A=∴AP=MQ=m，在在△ABC中，∠C=90°，BC=8，cosB∴AB=BCcosB∵PM⊥∴AM=PA÷cos∴CM=AC?AM=6?5∵CQ⊥AB，MN∥∴CQ⊥∴cosA∴m6?∴m=9經(jīng)檢驗m=9∴AP=9故答案為：95【點睛】本題考查直解直角三角形，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題．三、解答題（9小題，共64分）19．（2023·九年級單元測試）計算：2cos【答案】1+【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可．【詳解】解：2=2×12【點睛】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解題的關鍵是熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值．20．（2023·上?！ぞ拍昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，在Rt△MNP中，∠MPN=90°，PQ

(1)tanM(2)PQQN=______，【答案】(1)PQ?；MP(2)tan【分析】（1）根據(jù)角的正切值可進行求解；（2）根據(jù)角的正切值可進行求解【詳解】（1）解：由題意得：tanM故答案為PQ?；MP；（2）解：由題意得：PQQN=tan故答案為tan【點睛】本題主要考查三角函數(shù)，熟練掌握“直角三角形中一個銳角A的對邊與鄰邊的比叫做這個銳角的正切（tanA21．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，sin【答案】5【分析】由題意可設BC=2kk≠0，則有AB=3k，AC=【詳解】解：在Rt△ABC中，設BC=2kk≠0，則AB=3k，AC=∴sinB【點睛】本題主要考查解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)是解題的關鍵．22．（2023·上海·九年級假期作業(yè)）已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9(1)AB的長；(2)的值．【答案】(1)AB=15(2)tan【分析】（1）先畫圖，再利用9AC=34，求解（2）直接利用銳角的正切的定義求解即可．【詳解】（1）解：如圖，

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9∴9AC∴AC=12．由勾股定理，得AB=A（2）tanB【點睛】本題考查銳角的正切值的基礎運用，學生需要利用已知的三角比來求解相關線段．23．（2023·上海嘉定·模擬預測）某校數(shù)學實踐小組利用所學數(shù)學知識測量某塔的高度．下面是兩個方案及測量數(shù)據(jù)：項目測量某塔的高度方案方案一：借助太陽光線構成相似三角形．測量：標桿長CD，影長ED，塔影長DB.方案二：利用銳角三角函數(shù)，測量：距離CD，仰角α，仰角β.測量示意圖

測量項目第一次第二次平均值測量項目第一次第二次平均值測量數(shù)據(jù)CD1.61m1.59m1.6mβ26.4°26.6°26.5°ED1.18m1.22m1.2mα37.1°36.9°37°DB38.9m39.1m39mCD34.8m35.2m35m(1)根據(jù)“方案一”的測量數(shù)據(jù)，直接寫出塔AB的高度為m；(2)根據(jù)“方案二”的測量數(shù)據(jù)，求出塔AB的高度；（參考數(shù)據(jù)：sin3【答案】(1)52(2)塔AB的高度約為52.5m【分析】（1）證△CED（2）分別在Rt△ABC和Rt△【詳解】（1）解：由題意得：∠CDE=∠∴∠CED=∴△CED∴ABCD∴AB1.6解得：AB=52，故答案為：52；（2）解：由題意得：AB⊥設BC=xm，∵CD=35m，∴BD=BC+CD=（x+35）m，在Rt△ABC中，∴AB=BC?tan在Rt△ABD中，∴AB=BD?tan∴0.75x=0.5（x+35），解得：x=70，∴AB=0.75x=52.5（m），∴塔AB的高度約為52.5m．【點睛】本題考查三角函數(shù)的實際應用．構造直角三角形是解題關鍵．24．（2023秋·上海靜安·九年級上海市市北初級中學校考期末）如圖，矩形ABCD中，AB=2，點E是BC邊上的一個動點，聯(lián)結AE，過點D作DF⊥AE

(1)設BE=x，∠ADF的余切值為y，求y關于x(2)若存在點E，使得△ABE、△ADF與四邊形CDFE的面積比是3:4:5，試求矩形(3)對（2）中求出的矩形ABCD，聯(lián)結CF，當?shù)拈L為多少時，△CDF是等腰三角形？【答案】(1)y=(2)2(3)2或2?2【分析】（1）根據(jù)已知條件矩形ABCD和DF⊥AE，得出∠DFA=∠B，∠DAE=∠AEB（2）假設存在，由題意△ABE、△ADF與四邊形CDFE的面積比是3:4:5，可得，設BE=x，證△（3）過點C作CM⊥DF，垂足為點M，判斷△CDF是等腰三角形，要分類討論，①CF=CD；②DF=DC；【詳解】（1）解：∵DF∴∠∵AD∴∠∵在矩形ABCD中，∠B=90°∴∠ADF=則cot∠∴y=（2）∵△ABE:△ADF：四邊形CDFES△ABE∴，設BE=x，則BC=2x，∵∠DFA=∠B∴△ABE∽△∴，∴，解得x=1，∴BC=2∴S矩形ABCD（3）①CF=CD時，過點C作CM⊥DF，垂足為點則CM∥AE，，延長CM交AD于點G

，∴CE=1∴當時，△CDF是等腰三角形；②DF=DC時，則DC=DF=2

∵DF⊥AE∴∠則BE=2∴