專題06奔馳定理及四心的識別（原卷版）-2021-2022學年高一數學常考題專練（人教A版2019）

專題06奔馳定理與三角形四心的識別題型一奔馳定理證明：已知是內的一點，的面積分別為，，，求證：【解答】如圖，延長與邊相交于點則______________________推論:是平面內的一點，且，則 ②【例題】1、已知點是所在平面內一點，滿足，則與面積之比是2、已知點是所在平面內一點，滿足，，則_______【練習】點M在△ABC內部，滿足，則____________．設為所在平面上一點，且滿足．若的面積為8，則的面積為___________．

題型二三角形四心的識別【四心的概念介紹】(1)重心：中線的交點，重心將中線長度分成2：1；(2)垂心：高線的交點，高線與對應邊垂直；(3)內心：角平分線的交點（內切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；(4)外心：中垂線的交點（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點的距離相等?！局匦摹浚喝鬙為△ABC重心（1）；（2）；（3）動點滿足，，則的軌跡一定通過的重心（4）動點P滿足，，則動點P的軌跡一定通過△ABC的重心（5）重心坐標為：.

【垂心】：若O為△ABC垂心（1）（2）（3）動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的垂心（4）（5）.

【內心】：若O為△ABC內心（1）（2）（3）動點P滿足，則P的軌跡一定通過△ABC的內心（4）

【外心】：若O為△ABC外心（1）；（2）動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的外心；（3）若，則是的外心；（4）；（5）.【奔馳定理與三角形四心向量式】1、是的重心2、是的內心3、是的外心4、是的垂心證明：如圖為三角形的垂心，同理得，奔馳定理是三角形四心向量式的完美統(tǒng)一

【四心的識別相關訓練】已知點O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，則P的軌跡一定通過△ABC的()A.外心B．內心C．重心D．垂心若O在△ABC所在的平面內，a，b，c是△ABC的三邊，滿足以下條件,則O是△ABC的（）A．垂心 B．重心 C．內心 D．外心若O在△ABC所在的平面內,且滿足以下條件,則O是△ABC的（）A．垂心 B．重心 C．內心 D．外心【四心之垂心】已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則動點的軌跡一定通過的()．A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心是所在平面上一點，若，則是的()A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心若為所在平面內一點，且則點是的()A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心【四心之重心】已知是所在平面上的一點，若，則是的()．A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則的軌跡一定通過的().A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心O是△ABC所在平面內一點，動點P滿足，，則動點P的軌跡一定通過△ABC的（）A．內心 B．重心 C．外心 D．垂心【四心之外心】已知是所在平面上一點，若，則是的()．A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心已知是平面上的一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，