2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：正弦定理和余弦定理的應(yīng)用（含新定義解答題）（學(xué)生版+解析）

第05講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用（分層精練）

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1.（23-24高二上?遼寧葫蘆島?期末）我國遼代著名的前衛(wèi)斜塔（又名瑞州古塔）位于葫蘆

島市綏中縣.現(xiàn)存塔身已經(jīng)傾斜且與地面夾角60。，若將塔身看做直線，從塔的第三層地面到

第三層頂可看做線段，且在地面的射影為1m,則該塔第三層地面到第三層頂?shù)木嚯x是（）

A.-^-mB.C.6mD.2m

2.（23-24高三上,山東聊城,階段練習(xí)）泰姬陵于1631年開始建造，用時(shí)22年，距今已有

366年歷史.如圖所示，為了估算泰姬陵的高度，現(xiàn)在泰姬陵的正東方向找一參照物A3,高

約為50m,在它們之間的地面上的點(diǎn)。（8,Q,。三點(diǎn)共線）處測得A處、泰姬陵頂端C處

的仰角分別是45。和60。，在A處測得泰姬陵頂端C處的仰角為15。，則估算泰姬陵的高度CD

為（）

A.75mB.500mC.25訪nD.80m

3.（21-22高一?全國?課后作業(yè)）某人在山外一點(diǎn)測得山頂?shù)难鼋菫?2。，沿水平面退后30

米，又測得山頂?shù)难鼋菫?9°,則山高為C）（sin42°=0.6691,sin39°=0.6293,sin3°=0.0523）

A.180米B.214米C.242米D.266米

4.（22-23高一下?河北邯鄲?期末）武靈叢臺(tái)位于邯鄲市叢臺(tái)公園中心處，為園內(nèi)的主體建

筑，是邯鄲古城的象征.某校數(shù)學(xué)興趣小組為了測量其高度A8,在地面上共線的三點(diǎn)C,D,

E處分別測得點(diǎn)A的仰角為30。，45°,60°,且CD=DE=22m,則武靈叢臺(tái)的高度A3約

為（）

（參考數(shù)據(jù)：A/6?2,449）

A

A.22mB.27mC.30mD.33m

5.（22-23高一下?河南信陽?階段練習(xí)）青島五四廣場主題鋼雕塑（如圖1）以單純簡練的

造型元素排列組合成旋轉(zhuǎn)騰空的"風(fēng)"，通體火紅，害意五四運(yùn)動(dòng)是點(diǎn)燃新民主主義革命的“火

種”及青島與五四運(yùn)動(dòng)的淵源.某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組為了估算該鋼雕塑的高度，選取了與鋼

雕塑底部。在同一水平面上的A8兩點(diǎn)（如圖2）,在A點(diǎn)和8點(diǎn)測得鋼雕塑頂端C點(diǎn)的仰

角分別為60。和45。，測得AB=10萬'米，=150°,則鋼雕塑的高度為（）

圖1

6.（23-24高一下?重慶?階段練習(xí)）碧津塔是著名景點(diǎn)?某同學(xué)為了瀏量碧津塔ED的高，他

在山下A處測得塔尖。的仰角為45。，再沿AC方向前進(jìn)24.4米到達(dá)山腳點(diǎn)8,測得塔尖點(diǎn)

。的仰角為60。，塔底點(diǎn)E的仰角為30。，那么碧津塔高約為（6“7,5/2?1,4）（）

A.37.54B.38.23C.39.53D.40.52

7.（23-24高一下?山東?階段練習(xí)）某課外興趣小組研究發(fā)現(xiàn)，人們曾用三角測量法對珠穆

朗瑪峰高度進(jìn)行測量，其方法為：首先在同一水平面上選定兩個(gè)點(diǎn)并測量兩點(diǎn)間的距離，然

后分別測量其中一個(gè)點(diǎn)相對另一點(diǎn)以及珠峰頂點(diǎn)的張角，再在其中一點(diǎn)處測量珠峰頂點(diǎn)的仰

角，最后計(jì)算得到珠峰高度.該興趣小組運(yùn)用這一方法測量學(xué)校旗桿的高度，已知該旗桿MC

10.（20-21高一下?湖北荊州?階段練習(xí)）某貨輪在A處看燈塔5在貨輪北偏東75。，距離為

12\/6nmile；在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30。，距離8j9nmile.貨輪由A處向正北航

行到。處時(shí)，再看燈塔5在南偏東60。，則下列說法正確的是（）

A.A處與。處之間的距離是24nmile；B.燈塔C與D處之間的距離是16nmile；

C.燈塔C在。處的西偏南60。；D.。在燈塔8的北偏西30。.

三、填空題

11.（23-24高一下?河南?階段練習(xí)）石家莊電視塔坐落于石家莊世紀(jì)公園內(nèi)，為全鋼構(gòu)架.

電視塔以“寶石”為創(chuàng)造母體，上、下塔樓由九層塔身相連接，寓意登九天，象征豐厚的古文

明孕育出燦爛的現(xiàn)代文明.如圖，選取了與石家莊電視塔塔底。在同一平面內(nèi)的三個(gè)測量基

點(diǎn)A,良C,且在4民C處測得該塔頂點(diǎn)p的仰角分別為9；，二,AB=BC=型^米，則

6433

石家莊電視塔的塔高OP為米.

12.（23-24高一下?山西大同?階段練習(xí)）如圖，用無人機(jī)測量一座小山的海拔與該山最高

處的古塔的塔高，無人機(jī)的航線與塔A3在同一鉛直平面內(nèi)，無人機(jī)飛行的海拔高度為

500m,在C處測得塔底A（即小山的最高處）的俯角為45。，塔頂8的俯角為30。，向山頂

方向沿水平線CE飛行50m到達(dá)。處時(shí)，測得塔底A的俯角為75。，則該座小山的海拔為—

m;古塔AB的塔iW］為m.

E

四、解答題

13.（23-24高一下?陜西西安?階段練習(xí)）在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45。方向，距離A處

（塢-的8處有一艘走私船，在A處北偏西75。的方向，距離A處2nmile的C處的緝

私船奉命以106nmile/h的速度追截走私船.此時(shí)，走私船正以10nmile/h的速度從8處向北

偏東30。方向逃竄.

D

⑴求線段5c的長度；

⑵求/ACS的大小；

⑶問緝私船沿北偏東多少度的方向能最快追上走私船?最快需要多長時(shí)間?參考數(shù)值:

.巫-母[qo^6+V2

sin15°=----------，cos15°=------------

44

14.（23-24高二下?云南?開學(xué)考試）如圖，為了測量某塔的高度，無人機(jī)在與塔底3位于

同一水平面的。點(diǎn)測得塔頂A的仰角為45°,無人機(jī)沿著仰角<a<g）的方向靠近塔,

42

飛行了衛(wèi)述m后到達(dá)。點(diǎn)，在。點(diǎn)測得塔頂A的仰角為26。,塔底B的俯角為45。，且A,

3

B,C,。四點(diǎn)在同一平面上，求該塔的高度.（參考數(shù)據(jù):取tan26。=：,cos56。=1）

乙9

B能力提升

1.（20-21高二下?四川成者B?期中）在銳角AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,S

為A/RC的面積，且2s=片一S-c）2,則一12-+17g的取值范圍為（）.

''4/一12反+13,2

2寸

A.4'37)

2.（多選）（23-24高一下?江蘇南通?階段練習(xí)）長江某段南北兩岸平行，如圖，江面寬度

d=lkm.一艘游船從南岸碼頭A點(diǎn)出發(fā)航行到北岸.已知游船在靜水中的航行速度匕的大

小為IVj|=20km/h,水流速度v2的大小為Iv21=4km/h.設(shè)匕和匕的夾角為0°＜。＜180。），

則（）.

A.當(dāng)船的航行時(shí)間最短時(shí)，。=90。B.當(dāng)船的航行距離最短時(shí)，cos6=

C.當(dāng)6=30。時(shí)，船的航行時(shí)間為12分鐘D.當(dāng)6=120?時(shí)，船的航行距離為五km

2

3.（23-24高三上?山東青島?開學(xué)考試）海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為"地球

給人類保留宇宙秘密的遺產(chǎn)"，若要測量如圖所示某藍(lán)洞口邊緣A,8兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在

珊瑚群島上取兩點(diǎn)C,D,測得CO=8海里，ZADB=135°,ZBDC=ZDCA=15°,

ZACB=120°,則A,8兩點(diǎn)的距離為海里.

C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）

1.（22-23高一下?廣東韶關(guān)?期末）"費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一

個(gè)問題.該問題是："在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小

意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)AABC的三個(gè)內(nèi)角均小于莖時(shí)，使得

2冗27r

ZAOB=NBOC=ZCOA=可的點(diǎn)。即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)AABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于工■時(shí)，

最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).已知AABC中內(nèi)角A氏C所對的邊分別為。，瓦c,且

cos2B+cos2C—cos2A=1.

（1）求角A的值；

⑵若點(diǎn)P為AABC的費(fèi)馬點(diǎn)，|尸國+|尸。=4以］,求實(shí)數(shù)f的最小值.

第05講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用（分層精練）

A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）

A夯實(shí)基礎(chǔ)

一、單選題

1.（23-24高二上?遼寧葫蘆島?期末）我國遼代著名的前衛(wèi)斜塔（又名瑞州古塔）位于葫蘆

島市綏中縣.現(xiàn)存塔身已經(jīng)傾斜且與地面夾角60。，若將塔身看做直線，從塔的第三層地面到

第三層頂可看做線段，且在地面的射影為1m,則該塔第三層地面到第三層頂?shù)木嚯x是（）

A.^-mB.亞mC.6mD.2m

【答案】D

【分析】

應(yīng)用特殊三角函數(shù)值及已知、線段間的關(guān)系求該塔第三層地面到第三層頂?shù)木嚯x.

【詳解】由題設(shè)，如下圖中該塔第三層地面到第三層頂?shù)木嚯x/=AB=」^=2m.

cos60

2.（23-24高三上?山東聊城,階段練習(xí)）泰姬陵于1631年開始建造，用時(shí)22年，距今已有

366年歷史.如圖所示，為了估算泰姬陵的高度，現(xiàn)在泰姬陵的正東方向找一參照物A3,高

約為50m,在它們之間的地面上的點(diǎn)。（8,Q,。三點(diǎn)共線）處測得A處、泰姬陵頂端C處

的仰角分別是45。和60。，在A處測得泰姬陵頂端C處的仰角為15。，則估算泰姬陵的高度CD

為（）

A.75mD.80m

【答案】A

【分析】作出輔助線,得到各角度及AQ=50正，在A4CQ中利用正弦定理得到CQ=5073，

進(jìn)而得到8.

【詳解】由題設(shè)4。8=45。,4。。=60。且他=50,

過點(diǎn)A作4/平行于3D,則NC4H=15。，ZHAQ=45°,

故ZAQC=180。-ZAQB-NCQD=75。，

所以ZCAQ=ZCAH+ZHAQ=60°,ZACQ=180。—ZAQC-ZCAQ=45°,

在△口、中，由勾股定理可得AQ=50底，

CQAQ即CQ=50五

在△AC。中，由正弦定理得,=

ZCAQ~ZACQsin60o-sin45o

所以二，故CD=CQsin600=75m.

~T

故選：A

3.(21-22高一?全國?課后作業(yè))某人在山外一點(diǎn)測得山頂?shù)难鼋菫?2。，沿水平面退后30

米，又測得山頂?shù)难鼋菫?9°,則山高為()(sin42°=0.6691,sin39°=0.6293,sin3°=0.0523)

A.180米B.214米C.242米D.266米

【答案】C

【分析】利用正弦定理求得8C,進(jìn)而求得也即是求得山高.

【詳解】依題意，如圖所示，ZBCA=42°,ZBDA=39°,則ND3C=3。，

在三角形3OC中，DC=30,

BC30sin39°

由正弦定理得兩所以3C=

-sin39°sin3°

30-sin390-sin42°

在RtZkABC中，A3=BCsin42o=°usm”電必-242米.

sin3°

故選：c

4.(22-23高一下?河北邯鄲?期末)武靈叢臺(tái)位于邯鄲市叢臺(tái)公園中心處，為園內(nèi)的主體建

筑，是邯鄲古城的象征.某校數(shù)學(xué)興趣小組為了測量其高度AB,在地面上共線的三點(diǎn)C,D,

E處分別測得點(diǎn)A的仰角為30。，45°,60°,且CD=OE=22m,則武靈叢臺(tái)的高度A3約

為（）

（參考數(shù)據(jù)：#*2.449）

A.22mB.27mC.30mD.33m

【答案】B

【分析】設(shè)=求出利用余弦定理在ABEC和△3DE中，表示出cosZBEC

和cos/BED,兩者相等即可解出答案.

【詳解】由題知，設(shè)=

則2C=——=V3x,BD=——=

tan30°tan45°tan6003

又CD=DE=22m,

-X23+442-3X2

BE?+EC?-BC?3____________

所以在△5EC中,cos/BEC==①

2BEEC2X^XX44

3

-X2+222-X2

BE?+ED?-BD?3___________

在△3DE中,cos/BEC==②

2BEED2x——xx22

3

聯(lián)立①②，解得X=11#Q26.939B27.

故選：B

5.（22-23高一下?河南信陽?階段練習(xí)）青島五四廣場主題鋼雕塑（如圖1）以單純簡練的

造型元素排列組合成旋轉(zhuǎn)騰空的"風(fēng)"，通體火紅，害意五四運(yùn)動(dòng)是點(diǎn)燃新民主主義革命的“火

種”及青島與五四運(yùn)動(dòng)的淵源.某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組為了估算該鋼雕塑的高度，選取了與鋼

雕塑底部。在同一水平面上的A3兩點(diǎn)（如圖2）,在A點(diǎn)和B點(diǎn)測得鋼雕塑頂端C點(diǎn)的仰

角分別為60°和451測得=米，ZADB=150。，則鋼雕塑的高度8為（）

c

A.25米28米C.30米D.32米

【答案】C

【分析】利用余弦定理即可解三角形.

【詳解】由題意得/C4D=60。，NCBD=45°,

所以AO=以CO,BD=CD,

3

設(shè)CD=x,則AO=也x,BD=x,

3

在△鈿￡）中，由余弦定理得,

AB2=AD2+BD2-2AD-BDcos/ADB，

即（10后了=；/+x2-2x^-xxxx

解得x=30,即CD=30米.

故選：C

6.（23-24高一下?重慶?階段練習(xí)）碧津塔是著名景點(diǎn)?某同學(xué)為了瀏量碧津塔ED的高，他

在山下A處測得塔尖。的仰角為45。，再沿AC方向前進(jìn)24.4米到達(dá)山腳點(diǎn)8,測得塔尖點(diǎn)

。的仰角為60。，塔底點(diǎn)E的仰角為30。，那么碧津塔高約為（百，1.7,后。1.4）（）

A.37.54B.38.23C.39.53D.40.52

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求出AD,再結(jié)合直角三角形邊角關(guān)系求解即得.

【詳解】在△ARD中，^BAD=45°,ZABD=120°,則ZADB=15。，AB=24.4,

是ABAB

ADAB24372+76

由正弦定理得貝IjAD=--AD

sin120。一sin15。sin(45°-30°)V2V3V21

-----x--------------x—

2222

在Rt^ACD中，DCVAC,則z>c=AC=^AB=^^A8,

22

在RtABCD中，ZCBE>=60°,則BC=*=避土IAB,又NCBE=30°,

tan6002

因此CE=8Ctan30°="近AB,DE=DC-CE=1±且AB~2±12x24.4?38.23,

633

所以碧津塔高約為38.23米.

7.（23-24高一下?山東?階段練習(xí)）某課外興趣小組研究發(fā)現(xiàn)，人們曾用三角測量法對珠穆

朗瑪峰高度進(jìn)行測量，其方法為：首先在同一水平面上選定兩個(gè)點(diǎn)并測量兩點(diǎn)間的距離，然

后分別測量其中一個(gè)點(diǎn)相對另一點(diǎn)以及珠峰頂點(diǎn)的張角，再在其中一點(diǎn)處測量珠峰頂點(diǎn)的仰

角，最后計(jì)算得到珠峰高度.該興趣小組運(yùn)用這一方法測量學(xué)校旗桿的高度，已知該旗桿MC

（C在水平面）垂直于水平面，水平面上兩點(diǎn)A8的距離為萬m,測得

ZMBA=3,ZMAB=^-3,其中sind=：,在A點(diǎn)處測得旗桿頂點(diǎn)的仰角為°,cos。=［，

635

則該旗桿的高度為（單位：m）（）

A.9B.12C.15D.18

【答案】B

【分析】作出示意圖，在AABM中解出在RtAACW中解出眩1.

M

45兀1

在AARM中，AB=—,NAAfB=—,sinNMBA=—,

263

因?yàn)椤?———，

sinZAMBsinZMBA

所以M4=15,

4

在RtAACM中，MC-MAsinZMAC=15xsin^?=15x—=12.

故選：B.

8.（2024,湖南?模擬預(yù)測）湖南省衡陽市的來雁塔，始建于明萬歷十九年（1591年），因

鴻雁南北遷徙時(shí)常在境內(nèi)停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布為重點(diǎn)文物保護(hù)單位.

為測量來雁塔的高度，因地理?xiàng)l件的限制，分別選擇C點(diǎn)和一建筑物。E的樓頂E為測量觀

測點(diǎn)，已知點(diǎn)A為塔底，4CD在水平地面上，來雁塔和建筑物DE均垂直于地面（如

圖所示）.測得CD=18m,/⑦=15m,在C點(diǎn)處測得E點(diǎn)的仰角為30。，在E點(diǎn)處測得B點(diǎn)的

仰角為60。，則來雁塔A8的高度約為（）（6旬.732,精確到0.1m）

C.38.4mD.39.6m

【答案】B

【分析】現(xiàn)從四棱錐C-ABED中提取兩個(gè)直角三角形AECD和防的邊角關(guān)系，進(jìn)而分

別解出兩個(gè)三角形邊DE，8廠的長，求出來雁塔的高度即可.

【詳解】過點(diǎn)石作砂,9，交A3于點(diǎn)

在直角三角形AECD中，因?yàn)镹ECD=30。，

所以DE=CD?tan/OCE=18xtan30°=64，

在直角三角形△BE尸中，因?yàn)?3EF=60。，

所以8尸=EF?tan/FEB=15xtan60°=1573,

貝AB=族+AF=5尸+ED=156+6g=21g它36.4（m）.

故選：B.

B

二、多選題

9.（23-24高一下?河南?階段練習(xí)）初春時(shí)節(jié)，南部戰(zhàn)區(qū)海軍某登陸艦支隊(duì)多艘艦艇組成編

隊(duì)，奔赴多個(gè)海區(qū)開展實(shí)戰(zhàn)化海上訓(xùn)練.在一次海上訓(xùn)練中，雷達(dá)兵在尸處發(fā)現(xiàn)在北偏東50。

方向，相距30公里的水面Q處，有一艘A艦艇發(fā)出液貨補(bǔ)給需求，它正以每小時(shí)50公里

的速度沿南偏東70。方向前進(jìn)，這個(gè)雷達(dá)兵立馬協(xié)調(diào)在尸處的8艦艇以每小時(shí)70公里的速度,

沿北偏東50。+6方向與A艦艇對接并進(jìn)行橫向液貨補(bǔ)給.若8艦艇要在最短的時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)橫

向液貨補(bǔ)給，貝U（）

北

A.3艦艇所需的時(shí)間為1小時(shí)B.8艦艇所需的時(shí)間為2小時(shí)

「?.〃一5君

C.sin（7—-----D.sin8—-----

1414

【答案】AD

【分析】設(shè)出所需時(shí)間x,分別表示在APQM中利用余弦定理求出x,再利用正弦

定理求得sin。的值，即可判斷結(jié)果.

【詳解】

北

如圖，設(shè)8艦艇經(jīng)過了小時(shí)后在M處與A艦艇匯合，貝l）MQ=50x,MP=70x,/PQW=120。.

3

根據(jù)余弦定理得（70》）2=302+（50彳）2-3000.*8$120',解得x=l或二（舍去）,

故MQ=50,=70.由正弦定理得器=,解得sin0=5°$吊120。=巫

sin。sin1207014

故選：AD.

10.（20-21高一下?湖北荊州?階段練習(xí)）某貨輪在A處看燈塔5在貨輪北偏東75。，距離為

12A/6IImile；在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30。，距離8A/5nmile.貨輪由A處向正北航

行到。處時(shí)，再看燈塔8在南偏東60。，則下列說法正確的是（）

A.A處與。處之間的距離是24nmile；B.燈塔C與。處之間的距離是16nmile；

C.燈塔C在。處的西偏南60。；D.。在燈塔8的北偏西30。.

【答案】AC

【分析】根據(jù)題意作出圖形，然后在△ABO中，結(jié)合正弦定理得求出AD,在AACD中，由

余弦定理得CD,然后求出相關(guān)角度，進(jìn)而逐項(xiàng)分析即可.

由題意可知NADB=60°,ZBAD=15°,ZCAD=30°,所以=180°-60°-75°=45°,

AB=12瓜AC=84,

12限也

在△川￡＞中，由正弦定理得招先=所以-彳［=24（”?濃），故A正

SillZ—DSillZ_r\LJD

了

確；

在AACD中,由余弦定理得CD=\IAC2+AD2-2ACADCOSZCAD，

即CD=/（84y+242-2+86x24x*=8A（nmile），故B錯(cuò)誤；

因?yàn)镃D=AC,所以NCD4=NG4D=30。，所以燈塔C在。處的西偏南60。，故C正確；

由/AD5=60°,。在燈塔3的北偏西60。處，故D錯(cuò)誤.

故選：AC

三、填空題

11.（23-24高一下?河南?階段練習(xí)）石家莊電視塔坐落于石家莊世紀(jì)公園內(nèi)，為全鋼構(gòu)架.

電視塔以"寶石"為創(chuàng)造母體，上、下塔樓由九層塔身相連接，寓意登九天，象征豐厚的古文

明孕育出燦爛的現(xiàn)代文明.如圖，選取了與石家莊電視塔塔底。在同一平面內(nèi)的三個(gè)測量基

點(diǎn)A“，且在A“處測得該塔頂點(diǎn)P的仰角分別為若==￥米，則

石家莊電視塔的塔高0P為米.

【答案】280

【分析】設(shè)出塔高。P=h,分別在Rt△上40,RaPBO,Rt^PCO中表示出OA,。氏OC,在AABO

和ABCO中就NO3ANOBC運(yùn)用余弦定理建立方程，計(jì)算即得.

_OP=^3h,OB=-^-=h,OC=-^-=—h

【詳解】設(shè)0P=9>。，則°A=—71713

tan—tan—tan—

643

由Z.OBC+AOBA=7t,得cosZOBC=-cosZOBA,

2

/+［_［包］臚j280邛一網(wǎng)2

33

由余弦定理得—<><>=_____I3J,解得力=280米，即0P

0280#,0280?,

2x---------x〃2x--------xn

33

為280米.

故答案為：280.

12.（23-24高一下?山西大同?階段練習(xí)）如圖，用無人機(jī)測量一座小山的海拔與該山最高

處的古塔A3的塔高，無人機(jī)的航線與塔A3在同一鉛直平面內(nèi)，無人機(jī)飛行的海拔高度為

500m,在C處測得塔底A（即小山的最高處）的俯角為45。，塔頂8的俯角為30。，向山頂

方向沿水平線CE飛行50m到達(dá)。處時(shí)，測得塔底A的俯角為75。，則該座小山的海拔為—

m；古塔AB的塔高為?.

【答案】475-25.乎/三百

【分析】在“8，根據(jù)條件，利用正弦定理得到AC=25(癡+0),延長A8交CE于H,

則AH=25(石+1),即可求出小山的海拔；在URC,根據(jù)條件，利用正弦定理，即可求出

塔高.

【詳解】如圖，在AACD,CD=50,AACD=45°,AADC=105°,ACAD=30°,

上十ACCDAD

由正弦定理--------=---------=---------，

sinZADCsinZCADsinZACD

T7?1八:O-?//ICO.QnOA6661n+3

乂sinl05°=sin75°=sin(45°+30°)=——x——+——x—=-----------------------，

22224

“_50V6+V2__

所以丁義一4—，即AC=25(遍+8)m,

2

延長AB交CE于H,則AH=ACsinZACD=25(76+V2)x—=25(g+l)m,

2

又無人機(jī)飛行的海拔高度為500m,所以該座小山的海拔為500-25(73+1)=475-25名,

在A/WC中，ZAC5=45?！?0o=15o,ZABC=120。，

V?/,//icoqco、_亞G61_痛一血

sin/ACB=sin(45—30)=----x------------------------x—=-----------------------，

22224

.“4R_25(#+0)A/6-V2_50V3

由正弦定理有一7募=.I)。，得到A/343111，

sin15sin120—

2

故答案為：475-25A，笠8.

四、解答題

13.（23-24高一下?陜西西安?階段練習(xí)）在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45。方向，距離A處

（若-l）nmile的8處有一艘走私船，在A處北偏西75。的方向，距離A處2nmile的C處的緝

私船奉命以10指nmile/h的速度追截走私船.此時(shí)，走私船正以10nmile/h的速度從8處向北

偏東30。方向逃竄.

D

⑴求線段5c的長度；

⑵求/ACS的大?。?/p>

⑶問緝私船沿北偏東多少度的方向能最快追上走私船?最快需要多長時(shí)間?參考數(shù)值：

sin15°=-----------，cos15°=------------

44

【答案】⑴#

(2)15°

⑶緝私船沿北偏東60。方向能最快追上走私船，最快需要逅h.

10

【分析】(1)在AA8C中，NCA8=120。由余弦定理可求得線段8c的長度；

(2)在△ABC中，由正弦定理，可求得sin/ACB；

(3)設(shè)緝私船用他在。處追上走私船，CD=105,BD=10t,在AABC中，可求得NCBD

=120°,再在ABC。中，由正弦定理可求得sinNBCQ,從而可求得答案.

【詳解】(1)在△ABC中，N042=45。+75。=120。，

由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosZCAB

=(5/3-1)2+22-2(A/3-1)X2X^-1^=6,

所以，BC=y/6.

，口ABBC

(2)在△ABC中，由正弦定理,得--------=-------

sinZACBsinl20°

g"./“nAB-sinl20°73-1#-0

所以，smZACB=---------------=——==-------------.

BC204

又0°<ZACB<60°,

ZACB=15°.

(3)設(shè)緝私船用〃7在。處追上走私船，如圖,

則有CD=10后,BD=Wt.

在△ABC中，

又NCBD=90°+30°=120°,

在ABC。中，由正弦定理，得

sinZBCD=BDsmNCBD

CD

_10/-sinl2001

10后一了

/.ZBCD=30°,

所以角度為北偏東90。-30。=60。，即緝私船沿北偏東60。方向能最快追上走私船.

又/。=180°-120?！?0°=30°=Z8CD,故=BC=#=10f,解得r=逅，

10

14.（23-24高二下?云南?開學(xué)考試）如圖，為了測量某塔的高度，無人機(jī)在與塔底8位于

同一水平面的C點(diǎn)測得塔頂A的仰角為45。,無人機(jī)沿著仰角a^<a<與）的方向靠近塔，

飛行了必述m后到達(dá)。點(diǎn)，在。點(diǎn)測得塔頂A的仰角為26。,塔底B的俯角為45。,且A,

3

B,C,。四點(diǎn)在同一平面上，求該塔的高度.（參考數(shù)據(jù):取tan26o=J,COS56、1）

/9

【答案】326m

【分析】設(shè)AB=xm,根據(jù)條件得到AABC是等腰直角三角形,所以AB=3C=x,同理ABDE

是等腰直角三角形，得BE=DE,進(jìn)而得B￡>=逑x,然后根據(jù)余弦定理列方程求解可得

3

【詳解】因?yàn)锳、B、C、。四點(diǎn)在一個(gè)平面上

如圖，過點(diǎn)。作DEIAB,垂足為E.

由題意得ZADE=26°,ZBDE=ZACB=ZCBD=45°.

在AABC中，又塔底3與C位于同一水平面，所以BC7DE,所以NABC=90。，

又ZACB=45。，所以AABC是等腰直角三角形，所以AB=3C,

在△3DE中，DEJ.AB,又NBDE=45。,所以是等腰直角三角形，

所以=

設(shè)AB=xm,則BC=xm,DE=BE,AE=DEtan26°=gDE,

1?

又AE+BE=ABn5BE+BE=x,所以3石=§xm,

所以BD=^—=應(yīng)BE=4ixZx=^^xm.

sin45033

在△BCD中，由余弦定理得CD?=302+302—23。.B/ZCOSNCBD，

得x=326,即該塔的高度為326m.

B能力提升

1.（20-21高二下?四川成者B?期中）在銳角AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,S

為AABC的面積，且2S=/一伍一）2,則4戶―126c+17c：的取值范圍為（）.

''4/-126c+13c2

2到（2819

A.4'37）B-liii'sC.

【答案】D

°4

【分析】利用2S=/—9—。2,三角形面積公式和余弦定理可得sinA=y,故可得到

34043

2=+tanA="然后利用正弦定理可得不由+丁利用換元法即可求解

【詳解】AABC中，由余弦定理得，a2=b2+c2-2Z?ccosA,

12

且AABC的面積為S=50csinA,由2s="—（。一0）,得仇^皿人二必^-必以儂人，

化簡得sinA+2cosA=2；又AE［。,,1,sin2A+cos2A=l,所以sinA+241-sin2A=21

4

化簡得5sin2A-4sinA=0,解得sinA=（或sinA=0（不合題意，舍去）；

因?yàn)锳s（。,烏］,所以cosA=J1-sin2A=」,tanA=--

<2J5cosA3

.bsinBsin(A+C)sinAcosC+cosAsinC43

所CC以H_=---------------+-,

sinCsinCsinC5tanC5

由B+C=TT—A,JLBef0,—j,兀

7i—AE.2，n

14所以235

e0,G

tanC3c5,3r

4Z72-12Z>C+17C2

所以y=

4/一126c+13/

=4"⑵+17=]+4=]+4

22

4Z-12/+134/-12?+13"(3丫+4，

又|<9<|，所以舊時(shí)，y取得最大值為9=2,

3.28173口28173

/=一時(shí)，y=—'時(shí)，

518137'18137?

即破m+W281.

所以"的取值范圍是

4/一⑵c+13,21815'

故選：D

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題,

與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，

常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；

②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，

或其他的限制，通常采用這種方法；

③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值

2.（多選）（23-24高一下?江蘇南通?階段練習(xí)）長江某段南北兩岸平行，如圖，江面寬度

d=lkm.一艘游船從南岸碼頭4點(diǎn)出發(fā)航行到北岸.已知游船在靜水中的航行速度匕的大

小為I匕卜=20km/h,水流速度v2的大小為Iv21=4km/h.設(shè)匕和v2的夾角為*0°＜。＜180。）,

則（）.

給人類保留宇宙秘密的遺產(chǎn)"，若要測量如圖所示某藍(lán)洞口邊緣A,8兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在

珊瑚群島上取兩點(diǎn)C,D,測得CD=8海里，ZADB=135°,ZBDC=ZDCA=15°,

ZACB=120°,則A,5兩點(diǎn)的距離為海里.

【答案】86

【分析】先求的AD,利用余弦定理求得AC,利用正弦定理求得BC,再由余弦定理求得A3.

【詳解】在三角形ACD中，

ZDCA=15°,ZADC=135。+15。=150°,ZCAD=180°-150°-15°=15°,

所以AD=CD=8,所以AC=〈64+6