2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期中模擬考試數(shù)學(xué)試題（天津?qū)Ｓ脺y(cè)試范圍：人教版必修第一冊(cè)第一-三章）（全解全析）

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷（天津）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測(cè)試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)第一章~第三章

5.難度系數(shù)：0.6。

第I卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符

合題目要求的.

2

1.空間四邊形。13c中，=OB=b，OC=c，點(diǎn)M在3上，點(diǎn)N為的中點(diǎn)，

則MN=（）

上-2"；

A.B.——a+—b+—c

232322

221

C.D.—a+—b——c

222332

【答案】B

211

【解析】如圖，連結(jié)QV,因0M點(diǎn)N為5c的中點(diǎn)，則QN=5（O3+OC）=5S+C）,

__.]_2?11

于是，MN=ON-OM=-(b+c)——a=——Q+'+i.故選B.

23322

o

2.過(guò)點(diǎn)（0,1）且與直線(xiàn)2%-y-1=0平行的直線(xiàn)方程是（）

A.2%—y+l=0B.2x—y—2=0

C.2%+y—1—0D.2%+y—2=0

【答案】A

【解析】與直線(xiàn)2x-y-l=0平行的直線(xiàn)方程可設(shè)為2元一y+〃2=0（〃?w—l）,

因?yàn)辄c(diǎn)（0,1）在直線(xiàn)2x-y+租=0上，

所以2x0—l+〃z=0n〃2=l,

即過(guò)點(diǎn)（0,1）且與直線(xiàn)2無(wú)-y-1=0平行的直線(xiàn)方程是2元-y+1=0,

故選A

3.拋物線(xiàn)y=2x2的準(zhǔn)線(xiàn)方程為（）

A.x=~—B.x=~—C.y=~—D.y=

4248

【答案】D

【解析】拋物線(xiàn)y=2Y的標(biāo)準(zhǔn)形式為則2p=；,解得p=5,

即拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為y=故選D.

8

4.在平行六面體ABCD-A4GA中，其中AB=BC=8B]="ABB、=/ABC=NB^BC=g,則題1=(

A.12B.2石C.6D.2A/6

【答案】D

【解析】根據(jù)條件，以54，BC，8片作為一組基底，

因?yàn)锽*=BC+CD+DR=BC+BA+BB],

所以2D：MIBA+BC+B與丫，

.2.2-2'2??.

即BQ=BA+BC+BB]+2BABC+2BABBl+2BCBB],

所以忸?！?網(wǎng)2+1+網(wǎng)2+2阿,qcos/ABC+2網(wǎng)阿kos/A網(wǎng)+2]叫|區(qū)“cosNB[BC,

TT

因?yàn)锳B=BC=BB\=2/ABBi=ZABC=ZB,BC=~,

所以IB。#=4+4+4+2x2x2cos—+2x2x2cos—+2x2x2cos—=24,

11333

所以忸R|=2".故選D.

5.已知圓尤？+V+4x—2y—4=0與圓龍2+y?—12x+10y+61—"~=。（。>0）相交，則。的取值范圍為（）

A.（7,13）B.（7,12）

C.（6,11）D.（6,10）

【答案】A

【解析】圓爐+丁+4x_2y-4=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程得（x+2）2+（y-l）2=9,

則其圓心￡（-2,1）,半徑13,

圓％2—i2x+10y+61—a?=0（a>0）化為標(biāo)準(zhǔn)方程得（*-6）2+（y+5）2=a2,

則其圓心。2（6,-5）,半徑4=。，

因?yàn)閮蓤A相交，所以作一目<|GC2k4+4，

即|3-a|<J（-2-6y+（l+5）2<3+a,解得7<a<13,

所以。的取值范圍為（7,13）.

故選A.

22

6.已知雙曲線(xiàn)=1（“>0,分>0）的左，右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn),過(guò)F2作一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為A,

ab2

延長(zhǎng)&A與另一條漸近線(xiàn)交于點(diǎn)B,若SB*=3SAOB（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線(xiàn)的離心率為（）

A.y/3B.2C.#D.76

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、求雙曲線(xiàn)的離心率或離心率的取值范圍

【分析】利用已知條件求出A點(diǎn)坐標(biāo)，求出點(diǎn)耳（-。,0）到漸近線(xiàn)了=-：尤的距離d,結(jié)合SB",=3SA°B

bd.

可以得到點(diǎn)A到漸近線(xiàn)y=-2X的距離為T(mén),進(jìn)而利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出a與c的關(guān)系，然后求

a3

解雙曲線(xiàn)的離心率.

hb

【解析】由題意知，雙曲線(xiàn)E的兩條漸近線(xiàn)方程分別為y=y=

aa

過(guò)點(diǎn)F且與漸近線(xiàn)v=垂直的直線(xiàn)方程為y=（x-c）,

2ab

be

d

點(diǎn)耳（-c,0）到漸近線(xiàn)y=--x的距離=I:2=b,

“rbJ

bh

因?yàn)镾EOF,=3SAOB，所以點(diǎn)A到漸近線(xiàn)，=X的距離為刀,

a3

321

7.如圖所示,ABC。一EEGH為邊長(zhǎng)等于1的正方體，若尸點(diǎn)在正方體的內(nèi)部且滿(mǎn)足AP=-AB+-AD+-AE,

則尸點(diǎn)到直線(xiàn)BC的距離為（）

AB.—d

-i4-4

【答案】B

【解析】如圖,以Z）為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線(xiàn)分別為尤，y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則40,0,0）,0（0,0,0）,5（1,1,0）,E（1.0,l）,C（0,l,0）

UUU

所以AB=（0,l,0）,A￡>=（-1,0,0）,AE=（0,0,1）,

uun3uun9UUUI1uun23j_]_3j_

QAP=—AB+—AO+—AE=，.二p

4323^239492

uur211UL1U

...BP=,BC=(-1,0,0),

342

故選B.

8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓弓：(彳-1)2+(丁-4)2=/(廠(chǎng)＞0)上存在點(diǎn)?，且點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)x+y-l=0

22

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。在圓C2:x+(y+4)=9±,則r的取值范圍是()

A.(2,+oo)B.[2,+oo)C.(2,8)D.[2,8]

【答案】D

【解析】G:(x—l)2+(y_4『=心圓心坐標(biāo)G(1,4),

設(shè)(1,4)關(guān)于直線(xiàn)x+y-1=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(a,b),

a+1b+4

+-----1=0

2a=-3

由“,可得

b-4b=0

=1

、a—1

所以圓￡:(x-丁+(y-4)2=/關(guān)于直線(xiàn)無(wú)+y-1=0對(duì)稱(chēng)圓的方程為C。：(x+3)2+產(chǎn)=產(chǎn),

則條件等價(jià)為：G:"+3)2+/=r與C?:尤?+(y+弁=9有交點(diǎn)即可，

兩圓圓心為G(-3,0),G(0，Y),半徑分別為『，3,

則圓心距|C°G|=3-+(0+4)2=5,

貝||有|r-3區(qū)5Wr+3,

由，-3歸5得-2WrW8,由廠(chǎng)+325得廠(chǎng)22,

綜上：2<r<8,

所以廠(chǎng)的取值范圍是[2,8],

故選D.

22_

9.已知雙曲線(xiàn)3=1(。>0)的右焦點(diǎn)到其一條漸近線(xiàn)的距離等于及，拋物線(xiàn)y2=2p%(p>0)的焦點(diǎn)與

雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)重合，則拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)M到直線(xiàn)4：4x-3y+8=0和3兀=-3的距離之和的最小值為

()

人11「14-16-21

A.—B.—C.—D.—

5555

【答案】D

22

【解析】雙曲線(xiàn)與嘖=1(Z?>0)的漸近線(xiàn)=0,右焦點(diǎn)/(也+加,0)，

依題意，=72,解得6=夜，因此拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為尸(2,0),方程為y2=8x,其準(zhǔn)線(xiàn)為》=—2,

揚(yáng)+2

[4x-3y+8=0c°—

22

由2o消去x并整理得：y-6j+16=0,A=6-4X16<0,即直線(xiàn)4與拋物線(xiàn)丁=8尤相離，

b=8x

過(guò)點(diǎn)尸作儀上4于點(diǎn)尸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)M,過(guò)M作于點(diǎn)。交直線(xiàn)x=-2于點(diǎn)N,

4x2+821

則有|MP|+|MQ|=|MP|+|MAq+|NQ|=|MP|+|Mr|+l=|FP|+l=(3)2+1=：，

在拋物線(xiàn)丁=8x上任取點(diǎn)力，過(guò)M'作M'P'14于點(diǎn)p,作M'Q'112于點(diǎn)Q',交準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)N，連MRFP,

如圖，

顯然1Mpl+|"。'|=|"「'|+|'''|+|乂。|=函尸|+|川力|+1才/7叫習(xí)尸產(chǎn)|,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)"與點(diǎn)"重合

時(shí)取等號(hào)，

21

所以?huà)佄锞€(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)M到直線(xiàn)乙：4x-3>+8=0和4:無(wú)=-3的距離之和的最小值為?.

故選D

第n卷

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.

10.直線(xiàn)〃a一,一2=0被圓/+(,+1)2=4截得的弦長(zhǎng)的最小值為.

【答案】2月

【解析】直線(xiàn)如一＞一2=0恒過(guò)定點(diǎn)P(0,-2),

而圓尤2+0+1)2=4的圓心為C(0,-1),半徑r為2,

可得P在圓C內(nèi)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P與線(xiàn)段CP垂直的弦的長(zhǎng)度最短，

此時(shí)弦長(zhǎng)為2〃2-|CPF=2"萬(wàn)=2A/3.

故答案為：24.

11.如圖，正四棱柱ABC。-AqGR中，設(shè)4。=1?？?3,點(diǎn)尸在線(xiàn)段CQ上，且￡尸=2尸C,則直線(xiàn)吊尸

與平面PBD所成角的正弦值是.

【答案】巫昌叵

33

【解析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4,OC,OR所在直線(xiàn)分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(1,0,3),尸(0,1,1),3(l,l,0),D(0,0,0),

設(shè)平面PBD的法向量為加=(X,y,Z),

m-DP=(x,y,z)(O,l,l)=y+z=0

則

m-DB=(^x,y,z)(l,l,0)=x+y=0

令y=i,則％=z=-i,故m=(一1,1,一1),

設(shè)直線(xiàn)A/與平面PH。所成角大小為e,

則sin6=卜os(m，4P，=

Vl+l+lxVl+1+4-V3xV6-3

故答案為：巫

3

12.已知直線(xiàn)/：x-y+3=0被圓C：（x-q）2+（y-2）2=4g>0）截得的弦長(zhǎng)為20，則。的值為.

【答案】1

【解析】依題意可得圓心C（a,2）,半徑r=2,

,一2+3|Id：+11

則圓心到直線(xiàn)的距離d="+（_］）2=~7r，

由勾股定理可知，屋+［當(dāng)J=/，代入化簡(jiǎn)可得,+1|=2,

且。>0,解得a—\.

故答案為：1.

13.在平面直角坐標(biāo)系X0y中，動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)￡（-2,0）和耳（2,0）連線(xiàn)的斜率之積等于;，記點(diǎn)P的軌

跡為曲線(xiàn)E,直線(xiàn)/：、=人（》-3）與后交于人，B兩點(diǎn)，則E的方程為;若|AB|=4則直線(xiàn)

/的斜率為.

【答案】戶(hù)±2）土耳

【解析】令尸（x，V），由題意得：-^--^-=7-即得三一/=1（%#±2）,

x+2x-244

"=1

設(shè)直線(xiàn)/與曲線(xiàn)E的交點(diǎn)4%，X）,8（X2，%）,聯(lián)立曲線(xiàn)E與直線(xiàn)/的方程4,一，整理得:

y=k（x-3）

2222

(4女2-l)x-24kx+36k2+4=0,4fc-1^0,A=16(5fc+1)>0,

24k236^+44A/1+N，I+522

,而MM=\/l+k2|%/1=4,代入整理：|AB\==4,

\4k2-l\

即行/=《或產(chǎn)=0（舍去），故心土耳.

>^54

故答案為：=l(xw±2)；k=+

11

14.如圖，在平行六面體ABCD-ASG2中，=ZAAB=ABAD=60°,例=AB=AD=3,點(diǎn)E為

線(xiàn)段82上靠近于點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，設(shè)AB=a,AD=b，A4,=c,則AE=(用含有a>b，

工的表達(dá)式表示)；若點(diǎn)G為棱cq上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則EG-RG的最小值為

【答案】L+4+L

3334

【解析】由題意得AEnAB+BEua+g1BOi=0+3(40+9一筋)=0+；(6+)-a)

333

設(shè)QG=XC1C,04X41,則RG=RG+^QC=a-A,c,

2122

EG—ED】+D[G=—(/?+(?—CL)+a-Ac=—tz+—Z7+(——A)c,

19

由題意可知4.8=〃.0=。為=3乂3乂_=一,

22

122

EG,D]G-[—<2+—Z?+(——X)c],(a-Ac)

=-a--Aa-c+-b-a--Ab-c+(^-A)c-a-(^-A)Ac

333333

3-12x2+2x9_2Ax92_92_

323232323

=9A2-152+9=9(2--)2+—,0<A<l,

64

當(dāng)2=|時(shí)，9("|)2+9取得最小值?，

即則EGDXG的最小值為?,

_LLg*、r21,111

故答案為：-a+-b+-c-—

15.若對(duì)圓(x-3)2+(y-2)2=l上任意一點(diǎn)P(x,y),|3x-4y+a|+|3x-4y-9］的取值與x,y無(wú)關(guān)，則實(shí)數(shù)

的取值范圍是

【答案】［4,田)

|3.X-4^+A||3x-4j-9p

【解析】設(shè)z=|3尤一4y+a|+|3尤一4y-9|=5

.A/32+4￡6+4、

貝lJ|3x-4y+d+|3x—4y-9|可以看作點(diǎn)P(x,y)至lJ直線(xiàn)加:3x-4y+。=(),

與至1J直線(xiàn)/：3萬(wàn)一4丫一9=。的總巨離之和的5倍.

因?yàn)閨3x—4y+a|+|3x—4y—9]的取值與無(wú)關(guān),

所以上述距離之和與點(diǎn)P在圓上的位置無(wú)關(guān).

如圖，當(dāng)直線(xiàn)相平移時(shí)，點(diǎn)尸到直線(xiàn)相，/的距離之和均為冽與/間的距離,

即此時(shí)圓在兩直線(xiàn)之間.

當(dāng)直線(xiàn)機(jī)與圓(尤-3)2+(y-2)2=1相切時(shí),

13x3-4x2+4]

化簡(jiǎn)得|。+1|=5,

解得。=4或。=-6(舍去).

所以即ae［4,+e).故答案為：［4,a)

三、解答題：本題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

16.(14分)

已知VABC的三個(gè)頂點(diǎn)4-5,0),3(3,-3),C(0,2).

(1)求邊A3所在直線(xiàn)的方程；

(2)求邊A3上的高所在直線(xiàn)的方程.

【解析】(1)直線(xiàn)的斜率為人==^=-之，

—J-JO

3

直線(xiàn)AB的方程為y-0=-++5),

O

即3x+8y+15=O.(7分)

3

(2)由(1)知直線(xiàn)A3的斜率為2=-三，

O

Q

所以由垂直關(guān)系可得邊高線(xiàn)的斜率為1,

因?yàn)锳3上的高過(guò)點(diǎn)C（0,2）,

Q

所以45上的高線(xiàn)方程為=

化為一般式可得：8x-3y+6=o.（14分）

17.（15分）

己知。=（1,5,-1）,b=（-2,3,5）.

⑴當(dāng)（Xa+b）//（a-3b）時(shí)，求實(shí)數(shù)久的值；

（2）當(dāng)（Z-3加（虎+吩時(shí),求實(shí)數(shù)2的值.

【解析】⑴解：因?yàn)椤?（1,5,-1）,1=（-2,3,5）,

所以；la+6=（/-2,52+3,-2+5）,a-3b=（7,-4,-16）。

..丸—252+3—A+5A”/日,1/八、

.（X。+。）〃（。-3。），——=---=——,解得/=-=；（7分）

7-4-163

（2）因?yàn)?_3歷_1_（忘+石）,

所以（a-3bA（2a+b）=0,

所以7（4-2）-4（54+3）-16（-2+5）=0,

解得力=華.（15分）

18.（15分）

已知雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)尸（-3后L,4）,它的漸近線(xiàn)方程為y=±14x.

（1）求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)月和F?是這雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在這雙曲線(xiàn)上，且|尸耳卜歸閭=32,求/甲風(fēng)的大小.

【解析】（1）解：根據(jù)題意，雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為〉=土］%,

22

可設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為L(zhǎng)一上=2，2^0；

916

雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P（-30,4）,將尸的坐標(biāo)代入可得竽與="解得4=1,

916

則所求的雙曲線(xiàn)方程為片-亡=1；（7分）

916

（2）解：設(shè)|P7"=4，\PF2\=d2,則&&=32，

又由雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)知14-41=2〃=6,

4?+d;—24do=36即有d;+d：=36+241。=100,

又IEXI=2c=10,

2

二.|［苞「=100=d；+d；=1PFtI+\PF2^

所以，PEK是直角三角形，則/耳「瑞=90。.（15分）

19.（15分）

己知拋物線(xiàn)G：/=2Pxm°）與離心率為孝的橢圓C?：，+/=1（°>人>1）的一個(gè)交點(diǎn)為尸（L。，

點(diǎn)P到拋物線(xiàn)G的焦點(diǎn)的距離為2.

（I）求G與g的方程；

（II）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，在第一象限內(nèi)，橢圓G上是否存在點(diǎn)A,使過(guò)。作Q4的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)G于

點(diǎn)、B,直線(xiàn)A3交y軸于點(diǎn)E,且NOAE=/EOB?若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】解：（I）因?yàn)閽佄锞€(xiàn)方程為y2=2px（p>0）,則準(zhǔn)線(xiàn)方程為：x=-光，點(diǎn)尸（1,。到焦點(diǎn)的

距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，所以有1+1=2,解得：p=2,拋物線(xiàn)方程為：y2=4x.

則尸（1,2）或尸（1,-2）,且點(diǎn)p在橢圓上，有3+3=1,又橢圓離心率為電，即即與‘，

ab2a2a2

院=9x2j2i

聯(lián)立求解：，29，所以橢圓方程為99一1.（6分）

I22

（II）由題意，直線(xiàn)。4斜率存在且大于0,設(shè)直線(xiàn)的方程為：y=kx（k>0）,因?yàn)镼41.O3,則有

直線(xiàn)的方程為：>=-手，

k

3

x=-.-----=/

'，即A33k

3kA/1+2%2'+

y=i

y=kx

-.2_A,

x—4k2\

由＜i得：＜,即3（4嚴(yán)9,一左）.（10分）

y=—xy=-4k

設(shè)直線(xiàn)AB與％軸交于點(diǎn)。，因?yàn)樵诘谝幌笙迌?nèi)，滿(mǎn)足/OAE=/EOB,又NOAB=NEOD=90。,所以

有NQW=/DOA,ZDOB=ZDBO,所以