人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)學(xué)案：習(xí)題課 圓錐曲線的離心率

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)PAGEPAGE1習(xí)題課圓錐曲線的離心率學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握?qǐng)A錐曲線的離心率的求法.2.會(huì)求圓錐曲線的離心率的最值及范圍問題．一、定義法例1直線y＝－eq\r(3)x與橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)交于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，則橢圓C的離心率為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3)－1,2)C.eq\r(3)－1D．4－2eq\r(3)〖答案〗C〖解析〗以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，也必過橢圓的左焦點(diǎn)，過這兩個(gè)焦點(diǎn)及A，B兩點(diǎn)可作一個(gè)矩形，直線y＝－eq\r(3)x的傾斜角為120°，所以矩形的寬是c，長是eq\r(3)c，由橢圓定義知矩形的長寬之和等于2a，即c＋eq\r(3)c＝2a，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3)＋1)＝eq\r(3)－1.反思感悟根據(jù)橢圓或雙曲線的定義，求出a，c或列出關(guān)于a，c的等式，得到關(guān)于e的方程，進(jìn)而求出e.跟蹤訓(xùn)練1設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝eq\f(9,4)ab，則該雙曲線的離心率為__________．〖答案〗eq\f(5,3)〖解析〗不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.根據(jù)雙曲線的定義，得r1－r2＝2a，又r1＋r2＝3b，故r1＝eq\f(3b＋2a,2)，r2＝eq\f(3b－2a,2).又r1·r2＝eq\f(9,4)ab，所以eq\f(3b＋2a,2)·eq\f(3b－2a,2)＝eq\f(9,4)ab，解得eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)(負(fù)值舍去)，故e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(a2＋b2,a2))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＋1)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))2＋1)＝eq\f(5,3).二、幾何法例2設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，∠PF1F2＝30°，則橢圓的離心率為()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(3),6)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,6)〖答案〗A〖解析〗如圖，設(shè)PF1的中點(diǎn)為M，連接PF2.因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)M為△PF1F2的中位線．所以O(shè)M∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.因?yàn)椤螾F1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|，|F1F2|＝eq\r(3)|PF2|.由橢圓定義得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，即a＝eq\f(3|PF2|,2)，2c＝|F1F2|＝eq\r(3)|PF2|，即c＝eq\f(\r(3)|PF2|,2)，則e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3)|PF2|,2)·eq\f(2,3|PF2|)＝eq\f(\r(3),3).反思感悟涉及到焦點(diǎn)三角形的題目往往利用圓錐曲線的定義及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等來求得eq\f(c,a)的值．跟蹤訓(xùn)練2設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)．若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小內(nèi)角為30°，則C的離心率為________．〖答案〗eq\r(3)〖解析〗根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝6a，,|PF1|－|PF2|＝2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＝4a，,|PF2|＝2a.))又∵|F1F2|＝2c，∴|PF2|最小．在△PF1F2中，由余弦定理，得eq\f(4a2＋4c2－4a2,2×4a×2c)＝cos30°，∴2eq\r(3)ac＝3a2＋c2.等式兩邊同除以a2，得e2－2eq\r(3)e＋3＝0，解得e＝eq\r(3).三、尋求齊次方程求離心率例3(1)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，且AB⊥BF，則橢圓的離心率為________．〖答案〗eq\f(\r(5)－1,2)〖解析〗在△ABF中，|AB|＝eq\r(a2＋b2)，|BF|＝a，|AF|＝a＋c.由AB⊥BF得|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，即a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，整理得a2＋b2＝c2＋2ac，將b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝eq\f(－1±\r(5),2).因?yàn)?<e<1，所以e＝eq\f(\r(5)－1,2).(2)已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上，AB，CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn)，且2|AB|＝3|BC|，則E的離心率是________．〖答案〗2〖解析〗如圖，由題意知|AB|＝eq\f(2b2,a)，|BC|＝2c.又2|AB|＝3|BC|，∴2×eq\f(2b2,a)＝3×2c，即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，兩邊同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(負(fù)值舍去)．反思感悟利用定義以及圖形中的幾何關(guān)系來建立關(guān)于參數(shù)a，b，c的關(guān)系式，結(jié)合a，b，c之間的關(guān)系，化簡為參數(shù)a，c的關(guān)系式進(jìn)行求解．跟蹤訓(xùn)練3已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F恰好是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，且兩條曲線的交點(diǎn)的連線過點(diǎn)F，則該雙曲線的離心率為()A.eq\r(2) B．2C.eq\r(2)＋1 D.eq\r(2)－1〖答案〗C〖解析〗如圖所示，∵兩條曲線交點(diǎn)的連線過點(diǎn)F，∴兩條曲線交點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，±p))，代入雙曲線方程得eq\f(\f(p2,4),a2)－eq\f(p2,b2)＝1，又eq\f(p,2)＝c，∴eq\f(c2,a2)－4×eq\f(c2,b2)＝1，化簡得c4－6a2c2＋a4＝0，∴e4－6e2＋1＝0，∴e2＝3＋2eq\r(2)＝(1＋eq\r(2))2，∴e＝eq\r(2)＋1.四、求離心率的取值范圍例4已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)到其漸近線的距離不大于eq\f(2\r(5),5)a，則離心率e的取值范圍為()A．〖eq\r(3)，＋∞) B．〖eq\r(5)，＋∞)C．(1，eq\r(3)〗 D．(1，eq\r(5)〗〖答案〗D〖解析〗依題意得，點(diǎn)(a,0)到漸近線bx＋ay＝0的距離不大于eq\f(2\r(5),5)a，∴eq\f(|ba＋0|,\r(b2＋a2))≤eq\f(2\r(5),5)a，解得e≤eq\r(5).又e>1，∴1<e≤eq\r(5).反思感悟求離心率范圍的常用思路(1)通過幾何方法如點(diǎn)的坐標(biāo)、三角形中的不等關(guān)系等轉(zhuǎn)化為求離心率的取值范圍．(2)通過代數(shù)方法如基本不等式、函數(shù)最值求得離心率的取值范圍．跟蹤訓(xùn)練4已知F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝c2，則此橢圓離心率的取值范圍是________．〖答案〗eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))〖解析〗設(shè)P(x，y)，則eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，將y2＝b2－eq\f(b2,a2)x2代入上式，解得x2＝eq\f(2c2－b2a2,c2)＝eq\f(3c2－a2a2,c2).又x2∈〖0，a2〗，∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝eq\f(c,a)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))).1．知識(shí)清單：(1)圓錐曲線的離心率的求法．(2)圓錐曲線的離心率的范圍問題．2．方法歸納：定義法、數(shù)形結(jié)合．3．常見誤區(qū)：忽略離心率的范圍導(dǎo)致出錯(cuò)．1．已知雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1，則離心率等于()A．3B.eq\f(\r(6),2)C.eq\f(\r(5),2)D．2〖答案〗D〖解析〗由雙曲線方程可知c2＝4，所以e＝eq\f(c,a)＝2.2．(多選)已知雙曲線E的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，漸近線方程為y＝±2x，則雙曲線E的離心率為()A.eq\f(\r(5),2)B.eq\r(5)C.eq\f(5\r(3),3)D.eq\f(3\r(5),5)〖答案〗AB〖解析〗若雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，由漸近線方程為y＝±2x，得eq\f(b,a)＝2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(5)；若雙曲線焦點(diǎn)在y軸上，由漸近線方程為y＝±2x，得eq\f(a,b)＝2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(\r(5),2).3．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是x－y＋5＝0，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是M(－4,1)，則橢圓的離心率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(5),5)〖答案〗C〖解析〗設(shè)直線與橢圓交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，分別代入橢圓方程，由點(diǎn)差法可知yM＝－eq\f(b2,a2k)xM，代入k＝1，M(－4,1)，解得eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，e＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\f(\r(3),2).4．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c，P是橢圓C上一點(diǎn)(不在坐標(biāo)軸上)，Q是∠F1PF2的平分線與x軸的交點(diǎn)，若|QF2|＝2|OQ|，則橢圓離心率的取值范圍是________．〖答案〗eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))〖解析〗∵|QF2|＝2|OQ|，∴|Q