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認(rèn)證類型：個(gè)人認(rèn)證

認(rèn)證主體：李**（實(shí)名認(rèn)證）

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IP屬地：河北 上傳時(shí)間：2024-11-10 格式：DOCX 頁數(shù)：28 大?。?49.94KB 積分：6 舉報(bào) 版權(quán)申訴

PAGE1第21講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（4類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析2024年天津卷，第14題,5分平面向量基本定理的應(yīng)用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示數(shù)量積的運(yùn)算律數(shù)量積的坐標(biāo)表示2023年天津卷，第14題,5分余弦定理解三角形用基底表示向量用定義求向量的數(shù)量積基本不等式求積的最大值2022年天津卷，第14題,5分用基底表示向量向量夾角的計(jì)算2021年天津卷，第15題,5分?jǐn)?shù)量積的運(yùn)算律2020年天津卷，第15題,5分已知向量共線(平行)求參數(shù)用定義求向量的數(shù)量積數(shù)量積的坐標(biāo)表示2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中檔，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握平面向量的基本定理2.能掌握空間直角坐標(biāo)系的點(diǎn)坐標(biāo)的運(yùn)算3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識，會建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)坐標(biāo)解決向量共線問題4.會利用向量點(diǎn)坐標(biāo)的公式求解向量共線以及加減數(shù)乘問題【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出圖形，求解向量的線性表示與模長數(shù)量積問題。知識講解知識點(diǎn)一．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底．知識點(diǎn)二．平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．知識點(diǎn)三．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).2.向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).知識點(diǎn)四．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0知識點(diǎn)五．平面向量基本定理的推論1.設(shè)a＝λ1e1＋λ2e2，b＝λ3e1＋λ4e2(λ1，λ2，λ3，λ4∈R)，且e1，e2不共線，若a＝b，則λ1＝λ3且λ2＝λ4.2.若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.3.平面向量基本定理的推論：①已知平面上點(diǎn)O是直線l外一點(diǎn)，A，B是直線l上給定的兩點(diǎn)，則平面內(nèi)任意一點(diǎn)P在直線l上的充要條件是：存在實(shí)數(shù)t，使得eq\o(OP,\s\up15(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up15(→))＋teq\o(OB,\s\up15(→)).特別地，當(dāng)t＝eq\f(1,2)時(shí)，點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)．②對于平面內(nèi)任意一點(diǎn)O，有P，A，B三點(diǎn)共線?存在唯一的一對實(shí)數(shù)λ，μ，使得eq\o(OP,\s\up15(→))＝λeq\o(OA,\s\up15(→))＋μeq\o(OB,\s\up15(→))，且λ＋μ＝1.4.常用結(jié)論：已知△ABC的頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，△ABC的重心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).考點(diǎn)一、平面向量基本定理的應(yīng)用1.（2022·天津·高考真題）在△ABC中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足CB=2BE.記CA=a,CB=b，用a,b表示【答案】32b【分析】法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出DE，以a,b為基底，表示出AB,DE，由法二：以點(diǎn)E為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，由AB⊥DE可得點(diǎn)A的軌跡為以M(?1,0)為圓心，以r=2為半徑的圓，方程為(x+1)2+y2=4，即可根據(jù)幾何性質(zhì)可知，當(dāng)且僅當(dāng)CA【詳解】方法一：DE=CE?CD3b2+a2=4a?b故答案為：32b?方法二：如圖所示，建立坐標(biāo)系：E(0,0),B(1,0),C(3,0),A(x,y)，DE=(?x+3DE⊥AB?(x+32)(x?1)+y22=0?(x+1)2+y2故答案為：32b?2.（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）在△ABC中，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足CE=2EA，若AB=λA．12 B．14 C．?1【答案】D【分析】利用平面向量基本定理根據(jù)題意將AB用AD,BE表示出來，從而可求出【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E滿足CE=2所以AD=12消去AC，得2AD所以AB=所以λ=12，μ=?3故選：D．1.（2024·上海浦東新·三模）給定平面上的一組向量e1、eA．2e1+e2和eC．3e1?e2和2【答案】C【分析】根據(jù)平面向量共線定理，結(jié)合選項(xiàng)，進(jìn)行逐一分析即可.【詳解】對A：不存在實(shí)數(shù)λ，使得2e故2e1+對B：不存在實(shí)數(shù)λ，使得e1故e1+3e對C：對3e1?e2且存在實(shí)數(shù)?2，使得2e故3e1?對D：不存在實(shí)數(shù)λ，使得e1=λe1+故選：C.2.（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）在△ABC中，DC=2BD,M為線段AD的中點(diǎn)，過M的直線分別與線段AB?AC交于P?QA．16 B．13 C．12【答案】B【分析】作出圖形，由DC=2BD,可推得AD=2【詳解】如圖，因DC=2BD,則AC又AM=12AD,AP=即AM=12AP+16λ故選：B.3.（2024·貴州六盤水·三模）已知點(diǎn)O為△ABC的重心，AC=λOA+μA．?3 B．?2 C．1 D．6【答案】A【分析】作出圖形，將OA,OB作為基底，先把AC用OA,OB,BC表示，再將BC也用【詳解】根據(jù)向量加法三角形運(yùn)算法知AC=AB+F為BC中點(diǎn)，則BC=2BF=2(BO點(diǎn)O為△ABC的重心，則OF=代入（??）得到，BC=2(代入（?）得到，AC=結(jié)合AC=λOA+μOB，可得故選：A.4.（23-24高三上·天津武清·階段練習(xí)）在△ABC中，BD=13BC，E是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），設(shè)A．10 B．4 C．7 D．13【答案】D【分析】由已知條件結(jié)合平面向量基本定理可得x+32y=1，x>0,y>0【詳解】因?yàn)锽D=13因?yàn)镃E=xCA+y因?yàn)锳,D,E三點(diǎn)共線，所以x+32y=12x+3y+xy=2x當(dāng)且僅當(dāng)2xy=9y故選：D.5.（23-24高三上·江蘇南京·期中）在△ABC中，已知點(diǎn)D滿足BC=λCD，若AD=3AC【答案】12/【分析】先根據(jù)BC=λCD得AD與AB、【詳解】由題可得AD=因?yàn)锳D=3所以?1λ=?2且故答案為：126.（23-24高三上·天津和平·期末）如圖，在△ABC中，BO=3OC，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點(diǎn)M,N，記AB=a,AC=b，用a,b表示AO=【答案】14a【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算、用基底表示向量，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】由題知，AO=AB即AO=由AO=34所以AO=因?yàn)镸、N、O三點(diǎn)共線，所以m4所以2=1當(dāng)且僅當(dāng)m4n=3n故答案為：14a考點(diǎn)二、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.（2024·河南·模擬預(yù)測）已知向量AB=2,?1，AC=A．?2,?1 B．0,5 C．2,?5 D．2,?1【答案】A【分析】由向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意得，CB=設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,y)，則CB=(x+1,y?2)=(?1,?3)，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(?2,?1)故選：A.2.（22-23高三·全國·對口高考）已知向量a=(3,1),b=(0,?2)．若實(shí)數(shù)k與向量cA．(3,?1) C．(?3,?1) 【答案】D【分析】設(shè)c=x,y，先求出a+2b的坐標(biāo)，利用【詳解】設(shè)c=因?yàn)橄蛄縜=(所以a+2又a+2所以3,?3k=0時(shí)不成立，所以k≠0，所以y=?3選項(xiàng)A，c=(3,?1)選項(xiàng)B，c=(?1,?3)選項(xiàng)C，c=(?3,?1)選項(xiàng)D，c=(?1,3)故選：D.1.（2024·湖北武漢·二模）已知點(diǎn)A,B,C,D為平面內(nèi)不同的四點(diǎn)，若BD=2DA?3DC，且【答案】(?6,3)【分析】利用向量的線性運(yùn)算，即可得解.【詳解】由BD=2DA?3DC得：又因?yàn)锳C=(?2,1)，所以AB故答案為：?6,3.2.（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）菱形ABCD中，AB=1,t，BD=2,2，則【答案】-3【分析】根據(jù)菱形的對角線互相垂直，向量的數(shù)量積為0，列方程求出t的值．【詳解】由題意，在菱形ABCD中，AB=1,t，可得BC=AC=∴AC?解得：t=?3．故答案為：-3．3.（2023·內(nèi)蒙古赤峰·三模）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=120°，∠DAC=30°，AB=1，AC=3，AD=2，AC=xAB+y

A．23 B．2 C．3 【答案】A【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求得相關(guān)向量的坐標(biāo)，根據(jù)AC=x【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AD為x軸，過點(diǎn)A作AD的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

則A(0,0),B(?1故AC=(則由AC=xAB+y即33故x+y=23故選：A4.（2023·江西·模擬預(yù)測）在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC,AC⊥CD,AB=BC=CD，若AC=λAB+μA．43 B．2 C．32【答案】B【分析】設(shè)AB=2，建立以AC所在直線為x軸，AC的垂直平分線為y【詳解】設(shè)AB=2如圖，以AC所在直線為x軸，AC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(?1,0),B0,?1,C1,0因?yàn)锳C=λAB+μ所以λ+2μ=2?λ+解得λ=22?2,μ=2?2故選：B5.（2024·北京·三模）已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c=λ【答案】?4【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系，然后表示出a,b,c的坐標(biāo)，代入【詳解】根據(jù)題意建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則a=(0,4)?(1,6)=(?1,?2)，b=(7,2)?(1,6)=(6,?4)，所以λa因?yàn)閏=λ所以(?5,?2)=(?λ+6μ,?2λ?4μ)，所以?λ+6μ=?5?2λ?4μ=?2，解得λ=2，μ=?所以λμ故答案為：?4考點(diǎn)三、利用向量共線求參數(shù)1.（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）已知向量a=1,?1，b=m+1,2m?4，若A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算與向量平行定義計(jì)算即可得.【詳解】由a=1,?1，則a+b=由a+b//即6?6m=0，故m=1.故選：D.2.（2024·陜西渭南·二模）已知向量a=t?3,?1，b=2,t，則“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算得到方程，求出t=1或2，從而結(jié)合充分條件、必要條件判斷出結(jié)論.【詳解】若a∥b，則tt?3故“t=2”是“a∥故選：A1.（2024·江西南昌·模擬預(yù)測）已知a=(1,2),b=(?1,3)，若(ka+【答案】?2【分析】借助向量坐標(biāo)運(yùn)算與向量平行的坐標(biāo)表示計(jì)算即可得.【詳解】因?yàn)閍=(1,2),b=(?1,3)，所以2由(ka+b)//(2a故答案為：?22.（23-24高三上·江西·期中）已知平面向量a→=1,m，b→=?2,1，c→=【答案】?2【分析】根據(jù)向量平行和垂直的坐標(biāo)表示得出參數(shù)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)閍→=1,m因?yàn)閏→=n,2所以m+n=2?4=?2.故答案為：?2.考點(diǎn)四、利用向量共線求向量與點(diǎn)坐標(biāo)1.（·上海·高考真題）已知點(diǎn)A1,?2，若向量AB與a=2,3同向，AB=213，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為【答案】（5，4）【分析】設(shè)Bx,y，則AB=λa，λ>0，則x?1,y+2=2λ,3λ【詳解】設(shè)Bx,y，則AB=λa，λ>0，則x?1,y+2AB=λa=λ13=2故答案為：5,4.【點(diǎn)睛】本題考查了向量平行，向量的模，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.2.（2024·全國·模擬預(yù)測）已知M4,?2，N?6,?4，且MP=?A．1,1 B．9,?1 C．?2,2 D．2,?1【答案】B【分析】由M,N的坐標(biāo)得出?12MN，設(shè)點(diǎn)Px,y，得出【詳解】因?yàn)镸4,?2，N所以?1設(shè)Px,y，則MP又MP=?所以x?4=5y+2=1，解得x=9所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為9,?1．故選：B．1.（2024·陜西寶雞·三模）已知向量a=(m,2)與b=(?2,?4)共線，則A．(10,8) B．(4,8) C．(0,0) D．(1,2)【答案】B【分析】根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示即可求解【詳解】因?yàn)閍→所以?4m=?4，解得m=1，所以a→所以2a故選：B2.（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）拋物線E：y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線AB，CD過F分別交拋物線E于點(diǎn)A，B，C，D，且直線AD，BC交x軸于N，M，其中N2,0，則M【答案】(12【分析】設(shè)出直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，用點(diǎn)B的坐標(biāo)表示點(diǎn)A的坐標(biāo)，同理用點(diǎn)C的坐標(biāo)表示點(diǎn)D的坐標(biāo)，再利用共線向量的坐標(biāo)表示求解即得.【詳解】依題意，F(xiàn)(1,0)，顯然直線AB不垂直于y軸，設(shè)直線AB的方程為x=ty+1，由x=ty+1y2=4x消去x得：y2?4ty?4=0，設(shè)A(于是點(diǎn)A(4y02,?4y顯然NA//ND，則?4y2設(shè)M(m,0)，則MB=(y0因此?2y0(y解得m=12，所以M故答案為：(

3.（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知向量a=3，b=1,2，且a//b【答案】355,【分析】設(shè)a=(x,y)【詳解】設(shè)a=(x,y)因?yàn)橄蛄縜=3，b=1,2所以x2+y2于是a=35故答案為：355,4.（22-23高三·全國·對口高考）已知點(diǎn)A(1,?2)，若AB與a=(2,3)的夾角是180°，|AB【答案】?3,?8【分析】由向量AB與a=(2,3)的夾角是180°，知向量AB與a方向相反，設(shè)Bx,y，則AB=λa，λ<0，則x?1,y+2【詳解】由向量AB與a=(2,3)的夾角是180所以向量AB與a方向相反，設(shè)Bx,y，則AB=λa則x?1,y+2=故x=2λ+1y=3λ?2所以AB=故λ=2?λ=±2，由λ<0所以λ=?2，故x=?3y=?8故答案為：?3,?8.1．（23-24高三上·天津·期中）與向量a=3,?1和A．255B．55,C．255D．55,?【答案】A【分析】根據(jù)題意可得a=b，故所求向量與【詳解】設(shè)所求向量為c，因?yàn)閍=10=b，又c與a，b的夾角均相等，由平行四邊形法則可得設(shè)c=λa+b=λ4,2，則c=2故c=25故選：A.2．（23-24高三上·湖南長沙·階段練習(xí)）在△ABC中，M是AC邊上一點(diǎn)，且AM=2MC，若BM=xA．?13 B．13 C．?【答案】D【分析】根據(jù)圖形的特征，則向量的線性運(yùn)算，把BM用BA,BC表示，得到【詳解】△ABC中，M是AC邊上一點(diǎn)，且AM=2

則BM=所以y的值為23故選：D3．（20-21高三上·天津紅橋·期中）設(shè)0<θ<π2，向量a=sin2θ,cosθA．1 B．13 C．2 D．【答案】D【解析】由a//b可得sin2θ=cos2【詳解】∵a//b，∴∵0<θ<π2，∴2sinθ=cos故選：D.4．（23-24高三上·天津靜?！るA段練習(xí)）已知平面內(nèi)三個(gè)向量a=(3,2)，b=(?1,2)，c=(4,1)，若(【答案】?【分析】先表示出a+k【詳解】因?yàn)閍=(3,2)，b=(?1,2)，a+k2b因?yàn)?a+kc所以13k+16=0，解得：k=?16故答案為：?5．（21-22高三上·天津·期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB=2，AC=23，AD=12，∠CAB=π6，AD?AB=?12【答案】06【分析】根據(jù)題意和余弦定理求得BC=2，利用平面向量的數(shù)量積求出∠BAD=2π3，進(jìn)而可得∠CAD=π2，即AD?AC=0；以A為原點(diǎn)，以AB為x軸，y軸⊥AB【詳解】因?yàn)锳B=2，所以BC所以BC=2，又AD?所以AD?得cos∠BAD=?12所以∠CAD=∠BAD?∠CAB=2π則AD⊥AC，即以A為原點(diǎn)，以AB為x軸，y軸⊥AB建立如圖平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，所以AB=(2,0)，AC又AC=m所以3=2m?n43=3故答案為：0；6.6．（21-22高三上·全國·階段練習(xí)）在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E為CD的中點(diǎn)，若EF=2FB，AF=λAB+μ【答案】7【分析】建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，由平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示可得AF的坐標(biāo)，由AF=6λ,4μ，列方程組，解方程組可得λ和【詳解】建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系，

由已知得B6,0，D0,4，E3,4由EF=2FB得設(shè)Fx,y，則x?3,y?4可得x?3=2y?4=?83，解得x=5y=4又因?yàn)锳F=λ所以4μ=436λ=5，解得λ=56故答案為：767．（20-21高三上·天津·期末）如圖，在邊長1為正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點(diǎn)，則AM?AC=，若AC=λ【答案】32【解析】設(shè)向量AB=a,AD=b，根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，可求得【詳解】設(shè)向量AB=a,可得AM?λAM?+μ又因?yàn)锳C=a+b，可得λ?11．（2024·天津·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB=2，AC=5，cos∠CAB=35，D是邊BC上一點(diǎn)，且BD=2DC.若BP=34AD，記PD=λAB+μACλ,μ∈R，則【答案】?34/?0.753【分析】把BD=2DC兩邊用AD,AB,AC表示即可得解；利用共線向量建立BP，【詳解】BD=2∴AD?∴AD=則PD=?11又PD=λAB+μAC所以λ+μ=?3∵BP與AD共線，∴可設(shè)BP=xAD，∵AD=∴BP=∴PA=?=?xPC=PA+∴PA?PC=x∵AB=2,AC=5,cos∴AB2=4，AC2=25把②代入①并整理得：∴PA?∵PA⊥∴PA?∴1289解得：x1∴BPAD=x=故BPAD的值為34或故答案為：?34；342．（2024·天津·二模）在四邊形ABCD中，∠A=120°，AC=1，AB=2DC，M為AD中點(diǎn)．記AD=a,AB=【答案】12a【分析】利用給定的基底，利用向量的線性運(yùn)算求出BM；利用數(shù)量積的運(yùn)算律及定義，余弦定理、基本不等式求出最大值即得.【詳解】由M是AD中點(diǎn)，AD=a,在四邊形ABCD中，令A(yù)D=m,DC=n，由AB=2DC，得由∠BAD=120°，得∠ADC=60AC2=AD2由AN=14DC，得因此ND=1所以ND?BM的最大值為故答案為：12a3．（2024·天津南開·一模）平面四邊形ABCD中，AB=2，∠ABC=π3，AC⊥AB，E為BC的中點(diǎn)，用AB和AE表示AC=【答案】2AE?【分析】由向量的加減法運(yùn)算求解第一個(gè)空，利用平面向量定理結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算律求解第二個(gè)空.【詳解】因?yàn)?AE?=AB?∵AB=2，則AD=2×2cos若ED=2，則D在以E為圓心的圓上且在直線AC的左側(cè)部分運(yùn)動(dòng)，ED?ED?AB=2×2cosED,AB故AD?AB的最小值為故答案為：2AE??4．（2024·天津河?xùn)|·一模）已知△ABC，如圖所示，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)D滿足AD=13AB，記CA=a,CB=b，用

【答案】23【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可得ED；利用轉(zhuǎn)化法求a?【詳解】ED=由題意，△BCD為等腰三角形，則BC=2BE=2×1tan30所以a=2×23故答案為：235．（23-24高三上·天津?qū)幒印て谀┰谄叫兴倪呅蜛BCD中，∠ABC=60°，E是CD的中點(diǎn)，AF=2FE，若設(shè)BA=a,BC=b，則BF可用a，b表示為；若【答案】23a【分析】根據(jù)題意，利用平面向量的線性運(yùn)算法則，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算公式以及模的運(yùn)算公式，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】如圖所示，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得BF=設(shè)a=m,b=n，因?yàn)椤鰽DE的面積為32，可得又由BF=49(所以BF的最小值為43故答案為：23a+6．（23-24高三上·天津·階段練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中AB=2，∠BAD=60°，E、F分別為BC、CD上的點(diǎn)．CE=2EB，CF=2FD，點(diǎn)M在線段EF上，且滿足AM=12AB+56【答案】73[?3736【分析】根據(jù)模長公式即可由數(shù)量積的運(yùn)算律求解空1，用基底AB，AD表示AN，MN，然后求數(shù)量積，再由函數(shù)性質(zhì)得出取值范圍．【詳解】由AM=12所以AM=設(shè)DN=xDB，x∈[0,AB?所以AN=MN=所以AN=x(x?=4x(x?=4x因?yàn)閤∈[0,1]，所以AN?MN∈[?故答案為：73；[?37367．（23-24高三上·天津和平·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=2,AC=3,AB?AC=3，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，3AE=AC,BE交AD于點(diǎn)F，設(shè)BF=λAB+μACλ,μ∈R

【答案】?12/?0.5【分析】利用平面向量的基本定理計(jì)算即可得空一，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可得空二.【詳解】

設(shè)AF=m由題意可知AD=12則AF=因?yàn)锳B、AC不共線，所以有n3此時(shí)BF=可設(shè)BG=k則BF?=當(dāng)C、G重合時(shí)取得等號.故答案為：?12；1.（2022·全國·高考真題）在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD=2DA．記CA=m，A．3m?2n B．?2m+3n【答案】B【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB上，BD=2DA，所以BD=2DA，即所以CB=3CD?2故選：B．2.（2020·山東·高考真題）已知平行四邊形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)（如圖所示），設(shè)AB=a，AD=

A．12a+b B．12a【答案】A【分析】利用向量的線性運(yùn)算，即可得到答案；【詳解】連結(jié)AC，則AC為△ABC的中位線，∴EF=

故選：A3.（2024·天津·高考真題）在邊長為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E為線段CD的三等分點(diǎn)，CE=12DE,BE=λBA+μBC，則λ+μ=；F為線段BE上的動(dòng)點(diǎn)，【答案】43【分析】解法一：以BA,