第17講 三角函數(shù)的圖像與性質（學生版） 備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學一輪復習考點幫（天津專用）

PAGE1第17講三角函數(shù)的圖像與性質（10類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析2024年天津卷，第7題,5分求含正弦(型)函數(shù)的值域和最值由正弦(型)函數(shù)的周期性求值2023年天津卷，第6題,5分求正弦(型)函數(shù)的最小正周期求正弦(型)函數(shù)的對稱軸及對稱中心求含cosx的函數(shù)的最小正周期求cosx(型)函數(shù)的對稱軸及對稱中心2022年天津卷，第9題,5分求sinx型三角函數(shù)的單調性，求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值，求正弦(型)函數(shù)的最小正周期，描述正(余)弦型函數(shù)圖象的變換過程2020年天津卷，第8題,5分結合三角函數(shù)的圖象變換求三角函數(shù)的性質2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，設題穩(wěn)定，難度中檔，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握三角函數(shù)的圖像與性質，能夠利用圖像解決三角函數(shù)的定義域與值域問題2.能掌握三角函數(shù)的奇偶性與對稱性問題3.具備數(shù)形結合的思想意識，會借助三角函數(shù)圖像，解決平移與伸縮變換問題4.會解三角函數(shù)解析式，會根據(jù)三角函數(shù)的圖像特征解決三角函數(shù)含參問題【命題預測】本節(jié)內容是天津高考卷的必考內容，一般考查三角函數(shù)圖像特征與三角函數(shù)的周期性與對稱性問題。知識講解知識點一.三角函數(shù)的圖像1．五點法作圖用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖：(1)在正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函數(shù)y＝cosx，x∈[0，2π]的圖象中，五個關鍵點是：(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RReq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))))，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(k∈Z))值域[－1，1][－1，1]R奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)函數(shù)的最值最大值1，當且僅當x＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z時取得；最小值－1，當且僅當x＝2kπ－eq\f(π,2)，k∈Z時取得最大值1，當且僅當x＝2kπ，k∈Z時取得；最小值－1，當且僅當x＝2kπ－π，k∈Z時取得無最大值和最小值單調性增區(qū)間：[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z)；減區(qū)間：[2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(3π,2)](k∈Z)增區(qū)間：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；減區(qū)間：[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)增區(qū)間(kπ－eq\f(π,2)，kπ＋eq\f(π,2))(k∈Z)周期性周期為2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期為2π周期為2kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期為2π周期為kπ，k≠0，k∈Z，最小正周期為π對稱性對稱中心(kπ，0)，k∈Zeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Zeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z對稱軸x＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Zx＝kπ，k∈Z無對稱軸零點kπ，k∈Zkπ＋eq\f(π,2)，k∈Zkπ，k∈Z3.常用結論（1）函數(shù)y＝sinx與y＝cosx的對稱軸分別是經過其圖象的最高點或最低點且垂直于x軸的直線．（2）正弦曲線、余弦曲線相鄰的兩個對稱中心、相鄰的兩條對稱軸之間的距離是半個周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是eq\f(1,4)個周期．正切曲線相鄰兩個對稱中心之間的距離是半個周期．（3）三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，偶函數(shù)一般可化為y＝Acosωx＋b的形式．（4）對于y＝tanx不能認為其在定義域上為增函數(shù)，而是在每個開區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)內為增函數(shù)．知識點二.三角函數(shù)的平移與伸縮變換1．用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)一個周期內的簡圖時，要找五個特征點x－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02.函數(shù)y＝sinx的圖象經變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的圖象的兩種途徑3.兩種變換的區(qū)別（1）先相位變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|φ|個單位長度；②先周期變換(伸縮變換)再相位變換，平移的量是eq\f(|φ|,ω)(ω＞0)個單位長度．(2)變換的注意點無論哪種變換，每一個變換總是針對自變量x而言的，即圖象變換要看“自變量x”發(fā)生多大變化，而不是看角“ωx＋φ”的變化．4.兩種變換的注意點（1）函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k圖象平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”．（2）由y＝sinωx到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的變換：向左平移eq\f(φ,ω)個單位長度而非φ個單位長度．（3）函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的對稱軸由ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)確定；對稱中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)確定其橫坐標．5．簡諧運動的有關概念與規(guī)律（1）相關概念y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x≥0振幅周期頻率相位初相AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φφ（2）函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k圖象平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”．（3）由y＝sinωx到y(tǒng)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的變換：向左平移eq\f(φ,ω)個單位長度而非φ個單位長度．考點一、三角函數(shù)的定義域1.（2024·浙江金華·模擬預測）若集合A=xsinx+π6A．A B．B C．? D．A∪B2.（2022高三上·河南·專題練習）函數(shù)fxA．(1,π2)∪(π2,4) B．(1,1.（22-23高三·全國·對口高考）函數(shù)y=16?A．[?4,4] B．?4,C．[?4,?π)∪(0,π2.（20-21高三上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）函數(shù)y=lnA．π6,1 B．?1,π6 C．3.（2022高三·全國·專題練習）函數(shù)fxA．0,3 B．xx<3且C．0,π2∪π24.（2024高三·全國·專題練習）函數(shù)y＝sinx?2sinx?5.（2020高三·全國·專題練習）函數(shù)y=lnsinx考點二、三角函數(shù)的值域與最值問題1.（2024高三·全國·專題練習）若x，y滿足x24+y22.（2024·江蘇·模擬預測）在梯形ABCD中，AB//CD,DA=DB=DC=1，則該梯形周長的最大值為1.（2020·山東·高考真題）小明同學用“五點法”作某個正弦型函數(shù)y=Asinx?ππ7π5πωx+φ0ππ3π2πA030-30根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求：（1）實數(shù)A，ω，φ的值；（2）該函數(shù)在區(qū)間3π42.（2021·浙江·高考真題）設函數(shù)fx（1）求函數(shù)y=f（2）求函數(shù)y=f(x)fx?π4考點三、三角函數(shù)的值域與最值求參數(shù)1.（21-22高三上·遼寧大連·階段練習）已知y=fx是奇函數(shù)，當x<0時，fx=cosx+sinx+a2.（2024·山東濟寧·三模）已知函數(shù)f(x)=(3sinx+cosx)cosx?12A．[π6,π2) B．[1.（2023·四川自貢·一模）函數(shù)fx=a?3A．5π12 B．π3 C．π2.（2024·河北石家莊·二模）已知函數(shù)y=2sin(x?π4)在區(qū)間[0,a],[0,a+π3.（2023·四川成都·模擬預測）當x∈π6,m時，函數(shù)f(x)=A．π9,7C．π9,54.（2024·山東·模擬預測）若函數(shù)fx=cosx?φ+sinx+5.（23-24高三上·廣東肇慶·階段練習）已知函數(shù)fx=cosx+φφ>0在區(qū)間0,φ上的值域為?1,考點四、三角函數(shù)的周期性1.（2024·上?！じ呖颊骖}）下列函數(shù)fx的最小正周期是2A．sinx+cosxC．sin2x+cos2.（2024·江蘇鹽城·一模）函數(shù)fxA．6π B．3π C．2π31.（23-24高三下·陜西西安·階段練習）函數(shù)fxA．π2 B．π C．2π 2.（2024高三·全國·專題練習）下列函數(shù)中，最小正周期為π的奇函數(shù)是（）A．y=sin2x+πC．y=sin2x+cos3.（2024·湖北荊州·三模）函數(shù)f(x)=tanA．π B．π2 C．π3 4.（2023·廣東·一模）已知函數(shù)f(x)=tanaa2+1x+φ(a>0)5.（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)fn=2sinA．2025 B．2025+C．2026+2 D．考點五、三角函數(shù)的單調性1.（2024·福建泉州·一模）已知函數(shù)f(x)的周期為π，且在區(qū)間π6,πA．f(x)=sinx?πC．f(x)=sin2x?π2.（2024·全國·模擬預測）函數(shù)fxA．kπ?πC．kπ?71.（2024高三·全國·專題練習）下列函數(shù)中，以π為周期，且在區(qū)間(πA．y=sinx B．y=cos2x C．2.（2024·全國·二模）已知函數(shù)fx=cos2π3?2x，3.（2024·四川成都·模擬預測）若函數(shù)f(x)=sin(ωx)(ω>0)在0,πA．0,12 B．(0,2) C．0,14.（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數(shù)f(x)=sinωx+π6(ω>0)A．(1,2] B．23,43 C．5.（2024·湖北武漢·模擬預測）若函數(shù)fx=sin2x+φ（0<φ<π）向左正移φA．π3 B．π2 C．π6考點六、函數(shù)的奇偶性與對稱性1.（2024·河北承德·二模）函數(shù)fxA．x=π3+C．x=5π122.（2024·陜西·模擬預測）已知函數(shù)f(x)=2cosx?cosA．關于直線x=2π3對稱 C．關于(π12,121.（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知函數(shù)f(x)=2sinπ3?2ωx(ω>0)的最小正周期為π2.（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù)Fx=sinx+φ3.（2024·湖北·三模）設函數(shù)f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)對任意的x(x∈R)均滿足4.（2024·四川眉山·三模）若fx=2cosx+φ+5.（23-24高三下·吉林通化·期中）已知三角函數(shù)fx=sinωx+φω>0,φ∈0,π2的圖象關于6.（2024·江西鷹潭·模擬預測）已知函數(shù)fx=cos2x?φ，則“φ=πA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件考點七、三角函數(shù)比較大小1.（2024·山東日照·三模）已知a=22sin14°+cos14°，b=sin61°，A．a<c<b B．c<a<b C．a<b<c D．b<a<c2.（2024·河南·三模）設a=?lnsinA．a<c<b B．c<b<a C．a<b<c D．c<a<b1.（2024·云南·模擬預測）已知函數(shù)fx為R上的偶函數(shù)，且當x1,x2∈?A．c<b<a B．b<c<aC．a<b<c D．c<a<b2.（2024·山東臨沂·二模）若實數(shù)a，b，c滿足a=2sinπ12，bA．a<b<c B．b<c<a C．a<c<b D．b<a<c3.（2024高三·全國·專題練習）已知α，β為銳角，且α+A．sinα>sinβ B．cosα<sinβ4.（2024·全國·模擬預測）已知a=sin815，b=ln3A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>b>a5.（2024·安徽馬鞍山·三模）已知角α∈0,π4A．sinα B．cos(π?α) C．考點八、由圖像確定三角函數(shù)的解析式1.（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)ω>0,0<φ<π2的部分圖象如圖所示，若?x∈RA．1 B．2 C．3 D．42.（2024·四川·模擬預測）已知函數(shù)fxA．當x∈2π3,B．fx在區(qū)間πC．fx的最小正周期為D．fx的圖象關于直線x=1.（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)fx的圖象向左平移π

A．π6,π3 B．3π22.（23-24高三下·天津南開·階段練習）已知函數(shù)fx=2sinωx+φω>0,①函數(shù)fx的最小正周期是π②函數(shù)fx在3③函數(shù)fx的圖象關于直線x=④將函數(shù)fx的圖象向右平移π24個單位長度后關于⑤當x∈π,5A．0 B．1 C．2 D．33.（2024·廣東汕頭·三模）已知A，B，C是直線y=m與函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)（ω>0，0<φ<π）的圖象的三個交點，如圖所示．其中，點A(0,2)A．φ=π4 C．f(x)的圖象關于(π,0)中心對稱 D．f(x)在4.（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）已知函數(shù)f(x)=4sin(ωx+φ)(ω>0)的圖象如圖，點Aπ6,2，B在fx的圖象上，過A，B分別作x軸的垂線，垂足分別為C，D，若四邊形ACBD為平行四邊形，且面積為2π3，則ω=5.（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)fx=2sinωx+φω>0,0<φ<

考點九、三角函數(shù)的平移與伸縮變換1.（2024·內蒙古呼和浩特·二模）已知函數(shù)fxA．函數(shù)fx的最小正周期是B．函數(shù)fx在區(qū)間πC．函數(shù)fx的圖象關于點?D．函數(shù)f(x)的圖象可由函數(shù)y=2sin2x2.（2024·陜西安康·模擬預測）將函數(shù)f(x)=4sinx+3cosx的圖象向右平移φ個單位長度得到函數(shù)A．35 B．45 C．?31.（2024·福建泉州·模擬預測）已知函數(shù)fx=3sinx+cosx的圖象向左平移φ個單位長度得到2.（2020·天津·高考真題）已知函數(shù)f(x)=sin①f(x)的最小正周期為2π；②fπ2是③把函數(shù)y=sinx的圖象上所有點向左平移π3其中所有正確結論的序號是（

）A．① B．①③ C．②③ D．①②③3.（2022·天津·高考真題）已知f(x)=1①f(x)的最小正周期為2π；②f(x)在[?π③當x∈?π6,π④f(x)的圖象可由g(x)=12sin以上四個說法中，正確的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．44.（2022·浙江·高考真題）為了得到函數(shù)y=2sin3x的圖象，只要把函數(shù)A．向左平移π5個單位長度 B．向右平移πC．向左平移π15個單位長度 D．向右平移π5.（2021·全國·高考真題）把函數(shù)y=f(x)圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的12倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移π3個單位長度，得到函數(shù)y=sinA．sinx2?C．sin2x?7π12考點十、三角函數(shù)的平移與伸縮變換求參1.（2024·重慶·模擬預測）已知函數(shù)f(x)=sin(4x+φ)|φ|<π2，先將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π12個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，即可得到函數(shù)A．12 B．?12 C．32.（2024·四川攀枝花·三模）將函數(shù)y=sin2x?A．2+π12 B．2+π6 C．1.（2024·湖北黃岡·模擬預測）函數(shù)fx=cosωx+φω>0的圖象向左平移π2個單位后得到gxA．π6 B．π4 C．π32.（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）函數(shù)fx=cosωxx∈R在0,π內恰有兩個對稱中心，fπ=1，將函數(shù)fxA．725 B．1625 C．?93.（23-24高三下·河南·階段練習）已知函數(shù)f(x)=3sin2x?π3?4cos2x?π3，將f(x)的圖象向左平移π6個單位長度后，得到函數(shù)g(x)的圖象．若A．?35 B．35 C．?4.（2024·陜西西安·模擬預測）已知函數(shù)f(x)=sinωx+π3+cosωx?π6(ω>0)，將f(x)圖象上所有的點的橫坐標縮短到原來的A．1 B．3 C．5 D．75.（2024·上?！と＃┰Oa>0，已知函數(shù)fx=lnx2+ax+2的兩個不同的零點x1、x2，滿足1．（2024·云南·二模）函數(shù)f(x)=sinA．π B．π2 C．π3 2．（2024·河北保定·三模）將函數(shù)fx=sin2x?π3的圖象向左平移A．sin2x B．?sin2x C．sin3．（2024·廣西·二模）把函數(shù)fx=cosA．y=cos5x+1 C．y=cos5x?1 4．（2024·上?！と＃┤艉瘮?shù)fx=asinx?3cos5．（2024·上?！と＃┖瘮?shù)y=tan(?x+π6．（2024·青海西寧·模擬預測）將函數(shù)y=4sin9x的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的3倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=fx的圖象，則fx7．（2024高三·全國·專題練習）設函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常數(shù)，A>0,ω>0)．若f(x)在區(qū)間π6,π2上具有單調性，且1．（2024·四川成都·三模）在物理學中，把物體受到的力（總是指向平衡位置）正比于它離開平衡位置的距離的運動稱為“簡諧運動”.在平面直角坐標系下，某個簡諧運動可以用函數(shù)fx=Asinωx+φ（A>0，①函數(shù)fx的圖象關于點π②函數(shù)fx的解析式可以為f③函數(shù)fx在π12,④若把fx圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的23倍，縱坐標不變，再向右平移πA．①③