廣東省部分學校2024-2025學年高二上學期11月期中聯(lián)考數(shù)學試題

2024—2025學年度高二年級11月聯(lián)考數(shù)學試題本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，，則（）A.11 B.10 C.9 D.82.已知直線：，：，且，則（）A.1 B.-2 C.2 D.33.經(jīng)過，兩點的直線的一個方向向量為，則（）A.-2 B.1 C.3 D.44.已知，，三點不共線，點不在平面內(nèi)，（，），若，，，四點共面，則的最大值為（）A. B. C.1 D.25.已知集合，，則集合的非空真子集個數(shù)為（）A.32 B.62 C.64 D.306.直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，，為線段的中點，為棱上靠近點的三等分點，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.7.設函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.8.棱長為2的正方體中，其內(nèi)部和表面上存在一點滿足，則的取值范圍為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)（）的最小正周期為，則的零點可以為（）A. B. C. D.10.已知復數(shù)，則（）A.的虛部為B.C.在復平面內(nèi)的對應點位于直線上D.為方程的一個根11.三棱錐中，，，，，平面與平面的夾角為，則的長度可以為（）A.5 B. C. D.6三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.寫出一個過和的直線的兩點式方程______.13.已知平面的一個法向量為，，，，則點到平面的距離為______.14.中，角，，所對的邊分別為，，，記的面積為，若，則的最大值為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）（1）已知點，，求線段垂直平分線的斜截式方程；（2）已知傾斜角為的直線經(jīng)過點，求的截距式方程.16.（本小題滿分15分）已知，.（1）求在方向上投影向量的坐標；（2）求以，為鄰邊的平行四邊形的面積.17.（本小題滿分15分）如圖，在棱長均為2的正四棱柱中，，，，，用空間向量法解決下列三個問題：（1）證明：；（2）求異面直線與夾角的余弦值；（3）求的長度.18.（本小題滿分17分）現(xiàn)定義：在平面直角坐標系中，在坐標軸正半軸上的點稱為“正直點”，橫縱坐標均為整數(shù)的點稱為“整數(shù)點”，已知，均為“正直點”.（1）求的取值范圍；（2）求的面積取得最小值時對應的周長；（3）若，也為“整數(shù)點”，求直線的一般式方程.19.（本小題滿分17分）在空間立體幾何中，球面往往是重要的研究對象，同時，它與平面幾何中的圓息息相關.而對于幾何體的研究中，幾何重心的選取顯得尤為重要.古希臘著名數(shù)學家巴普斯（Pappus）在研究過程中發(fā)現(xiàn)了一個性質(zhì)：平面內(nèi)任一面積為的區(qū)域沿著垂直于該區(qū)域的平面運動得到體積為的立體，若記為此區(qū)域的幾何重心運動的軌跡長度，則有.（1）已知半圓面的幾何重心在其對稱軸上，求半徑為3的半圓面的幾何重心到圓心的距離（試著考慮繞直徑旋轉(zhuǎn)一周得到球體）；（2）建立空間直角坐標系，取球心為，且半徑為1的球體，點為其表面上一點.若、，，球體在點處的切面截坐標系的三軸組成平面三角形，求面積的最小值.提示：①球面方程：，其中點為球心坐標，為球的半徑；②平面方程的點法式：，其中平面過點，其法向量.

2024—2025學年度高二年級11月聯(lián)考數(shù)學參考答案及解析一、選擇題1.A【解析】.故選A.2.C【解析】由題意可得，故，解得.故選C.3.C【解析】由題干條件可得，解得3.故選C.4.B【解析】因為，，，四點共面，所以，所以，當且僅當時取“＝”.故選B.5.B【解析】由題意可得，，故，故集合的非空真子集個數(shù)為.故選B.6.C【解析】如圖，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，則，，故，因為軸平面，則可取平面的一個法向量為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.故選C.7.B【解析】因為函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上也是單調(diào)遞增，因為二次函數(shù)的對稱軸為，所以有，即.故選B.8.B【解析】建立如圖所示空間直角坐標系，設，、、，則有、、，設中點為，中點為，則有，即，又，同理可得，即，即，即，故有，且，，，，故，由可得，故，故.故選B.二、選擇題9.ABD【解析】易知，其最小正周期為，所以，即，令（），解得（）.故選ABD.10.BCD【解析】對于A，，故，其虛部為，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，由復數(shù)的幾何意義可知在復平面內(nèi)的對應點位于直線上，故C正確；對于D，易得，故D正確.故選BCD.11.BC【解析】三棱錐中，由可得，，則是二面角的平面角，如圖，，而，，，，因為平面與平面的夾角為，則當時，，當時，，所以的長度可以為，.故選BC.三、填空題12.（答案不唯一，四種形式寫出一種即可）.【解析】經(jīng)過點和點直線兩點式方程是：.故答案為.13.【解析】由題可知平面的一個法向量為，又，故點到平面的距離為.故答案為.14.【解析】由，可得，即，所以，所以，故.令，，則，，所以，等號成立條件為.故答案為.四、解答題15.解：（1）由題意可得，，所以線段的中點為，，所以直線的垂直平分線的斜率為，故線段垂直平分線的斜截式方程為，即.（2）設直線的截距式方程為，則①，.由①②解得，，，故直線的截距式方程為.16.解：（1）因為，，所以，，所以在方向上投影向量為.（2）因為，，，所以，又，所以，故以，為鄰邊的平行四邊形的面積為17.解：（1）證明：以為坐標原點，、、所在直線為、、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則由題意得，，，，，，因為，，所以，所以，所以.（2）由（1）可得，，所以.故異面直線與夾角的余弦值為.（3）由（1）可得，故.18.解：（1）由題意可得，解得.（2）由（1），，則，當且僅當，即時等號成立，此時，，所以的周長為.（3）由題意可知，均為整數(shù)，所以均為整數(shù)，又因為，，，.所以，即.所以，，0或2，所以直線的一般式方程為或或或.1