人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊學(xué)案3：§8 2　一元線性回歸模型及其應(yīng)用

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE1§8.2一元線性回歸模型及其應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合實(shí)例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計意義.2.了解最小二乘原理，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計方法.3.針對實(shí)際問題，會用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測．知識梳理知識點(diǎn)一一元線性回歸模型稱eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e，,E(e)＝0，D(e)＝σ2))為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型．其中Y稱為或，x稱為或，稱為截距參數(shù)，稱為斜率參數(shù)；e是與之間的隨機(jī)誤差，如果e＝，那么Y與x之間的關(guān)系就可以用一元線性函數(shù)模型來描述．知識點(diǎn)二最小二乘法將eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線，這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估計，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\i\su(i＝1,n,)(xi－\x\to(x))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝.思考1經(jīng)驗(yàn)回歸方程一定過成對樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的某一點(diǎn)嗎？思考2點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上嗎？知識點(diǎn)三殘差與殘差分析1．殘差對于響應(yīng)變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱為，減去稱為殘差．2．殘差分析是隨機(jī)誤差的估計結(jié)果，通過對的分析可以判斷模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱為殘差分析．知識點(diǎn)四對模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析1．殘差圖法在殘差圖中，如果殘差比較均勻地集中在以，則說明經(jīng)驗(yàn)回歸方程較好地刻畫了兩個變量的關(guān)系．2．殘差平方和法殘差平方和eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2越小，模型的擬合效果越好．3．R2法可以用R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)來比較兩個模型的擬合效果，R2越，模型擬合效果越好，R2越，模型擬合效果越差．思考利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程求得的函數(shù)值一定是真實(shí)值嗎？題型探究探究一求經(jīng)驗(yàn)回歸方程例1.某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出x與銷售額Y(單位：百萬元)之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：x24568Y3040605070(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)求經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程．反思感悟求經(jīng)驗(yàn)回歸方程可分如下四步來完成(1)列：列表表示xi，yi，xeq\o\al(2,i)，xiyi.(2)算：計算eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi.(3)代：代入公式計算，的值．(4)寫：寫出經(jīng)驗(yàn)回歸方程．跟蹤訓(xùn)練1.假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用Y(萬元)，有如下資料：使用年限x23456維修費(fèi)用Y2.23.85.56.57.0由散點(diǎn)圖(圖略)知Y與x是線性相關(guān)的，試求(1)經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程＝x＋的，；(2)估計使用年限為10年時，維修費(fèi)用為多少？探究二線性回歸分析例2.為研究拉力x(N)對彈簧長度Y(cm)的影響，對不同拉力的6根彈簧進(jìn)行測量，測得如下表中的數(shù)據(jù)：x51015202530Y7.258.128.959.910.911.8(1)畫出散點(diǎn)圖；(2)如果散點(diǎn)圖中的各點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，求y與x之間的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程．反思感悟刻畫回歸效果的三種方法(1)殘差圖法，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用的模型比較合適．(2)殘差平方和法：殘差平方和eq\i\su(i＝1,n,)(yi－i)2越小，模型的擬合效果越好．(3)R2法：R2＝1－越接近1，表明模型的擬合效果越好．跟蹤訓(xùn)練2.假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x(年)和所支出的維修費(fèi)用y(萬元)有如下的統(tǒng)計資料：x23456y2.23.85.56.57.0若由數(shù)據(jù)可知，y對x呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系．(1)求線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)估計使用年限為10年時，維修費(fèi)用是多少？探究三非線性回歸例3.有一個測量水流量的實(shí)驗(yàn)裝置，測得試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：i1234567水深h(厘米)0.71.12.54.98.110.213.5流量Q(升/分鐘)0.0820.251.811.237.566.5134根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立Q與h之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．反思感悟非線性回歸問題的處理方法(1)指數(shù)函數(shù)型y＝ebx＋a①函數(shù)y＝ebx＋a的圖象，如圖所示；②處理方法：兩邊取對數(shù)得lny＝lnebx＋a，即lny＝bx＋a.令z＝lny，把原始數(shù)據(jù)(x，y)轉(zhuǎn)化為(x，z)，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.(2)對數(shù)函數(shù)型y＝blnx＋a①函數(shù)y＝blnx＋a的圖象，如圖所示；②處理方法：設(shè)x′＝lnx，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.(3)y＝bx2＋a型處理方法：設(shè)x′＝x2，原方程可化為y＝bx′＋a，再根據(jù)線性回歸模型的方法求出a，b.跟蹤訓(xùn)練3.在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的5個樣本點(diǎn)，數(shù)值如下表：x0.250.5124Y1612521試建立Y與x之間的回歸方程．課堂小結(jié)1．知識清單：(1)一元線性回歸模型．(2)最小二乘法、經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求法．(3)對模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析：殘差圖法、殘差平方和法和R2法．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸．3．常見誤區(qū)：不判斷變量間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，盲目求解經(jīng)驗(yàn)回歸方程致誤．當(dāng)堂檢測1.下表是x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則y關(guān)于x的線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程必過點(diǎn)()x1234y1357A．(2,3) B．(1.5,4)C．(2.5,4) D．(2.5,5)2.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據(jù)上表可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))為9.4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費(fèi)用為6萬元時銷售額為()A．63.6萬元 B．65.5萬元C．67.7萬元 D．72.0萬元3.如圖所示，有5組(x，y)數(shù)據(jù)，去掉點(diǎn)________，剩下的4組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)最大．4.為了考查兩個變量Y與x的線性相關(guān)性，測量x，Y的13對數(shù)據(jù)，若Y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，則相關(guān)系數(shù)r絕對值的取值范圍是________．5.對于回歸分析，有下列敘述：(1)在回歸分析中，變量間的關(guān)系若是非確定性關(guān)系，則因變量不能自由變量惟一確定．(2)線性相關(guān)系數(shù)可以是正的或是負(fù)的．(3)回歸分析中，如果r2＝1或r＝±1，說明x與y之間完全線性相關(guān)．(4)樣本相關(guān)系數(shù)r∈(－∞，＋∞)．判斷其說法是否正確．6.一臺機(jī)器由于使用時間較長，但還可以使用，它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某機(jī)械零件有一些會有缺點(diǎn)，每小時生產(chǎn)有缺點(diǎn)的零件的多少，隨機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)的速度而變化，下表為抽樣試驗(yàn)的結(jié)果：轉(zhuǎn)速x(轉(zhuǎn)/秒)1614128每小時生產(chǎn)有缺點(diǎn)的零件數(shù)y(件)11985對變量y與x進(jìn)行線性相關(guān)性檢驗(yàn)．▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁知識梳理知識點(diǎn)一一元線性回歸模型因變量響應(yīng)變量自變量解釋變量abYbx＋a0知識點(diǎn)二最小二乘法eq\x\to(y)－eq\x\to(x)思考1〖答案〗不一定．思考2〖答案〗在．知識點(diǎn)三殘差與殘差分析1．殘差觀測值預(yù)測值觀測值預(yù)測值2．殘差分析殘差殘差知識點(diǎn)四對模型刻畫數(shù)據(jù)效果的分析1．殘差圖法橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)3．R2法大小思考〖答案〗不一定，他只是真實(shí)值的一個預(yù)測估計值．題型探究探究一求經(jīng)驗(yàn)回歸方程例1.解：(1)散點(diǎn)圖如圖．(2)列出下表，并用科學(xué)計算器進(jìn)行有關(guān)計算．序號xyx2xy1230460244016160356025300465036300587064560合計252501451380于是可得：x＝5，y＝50.＝－＝50－6.5×5＝17.5.于是所求的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程是＝6.5x＋17.5.跟蹤訓(xùn)練1.解：(1)＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，＝eq\f(2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.0,5)＝5，探究二線性回歸分析例2.解：(1)散點(diǎn)圖如圖所示．(2)將已知表中的數(shù)據(jù)列成下表：xi51015202530yi7.258.128.959.910.911.8xiyi36.2581.2134.25198272.5354xeq\o\al(2,i)25100225400625900eq\x\to(x)＝17.5，eq\x\to(y)≈9.49，eq\i\su(i＝1,6,x)iyi＝1076.2，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)＝2275.∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,6,x)iyi－6\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,6,x)\o\al(2,i)－6\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(1076.2－6×17.5×9.49,2275－6×17.52)≈0.18，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝9.49－0.18×17.5＝6.34，∴經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.18x＋6.34.跟蹤訓(xùn)練2.解：(1)列表如下：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.0xeq\o\al(2,i)49162536經(jīng)計算得：eq\x\to(x)＝4，eq\x\to(y)＝5，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝90，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝112.3，于是有eq\o(b,\s\up6(∧))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝1.23，eq\o(a,\s\up6(∧))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(∧))·eq\x\to(x)＝0.08，所以線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為eq\o(y,\s\up6(∧))＝eq\o(a,\s\up6(∧))＋eq\o(b,\s\up6(∧))x＝0.08＋1.23x.(2)當(dāng)x＝10時，eq\o(y,\s\up6(∧))＝0.08＋1.23×10＝12.38(萬元)，即若估計使用年限為10年時，維修費(fèi)用為12.38萬元．探究三非線性回歸例3.解：由表中測得的數(shù)據(jù)可以作出散點(diǎn)圖，如圖．觀察散點(diǎn)圖中樣本點(diǎn)的分布規(guī)律，可以判斷樣本點(diǎn)分布在某一條曲線附近，表示該曲線的函數(shù)模型是Q＝m·hn(m，n是正的常數(shù))．兩邊取常用對數(shù)，則lgQ＝lgm＋n·lgh，令y＝lgQ，x＝lgh，那么y＝nx＋lgm，即為線性函數(shù)模型y＝bx＋a的形式(其中b＝n，a＝lgm)．由下面的數(shù)據(jù)表，用最小二乘法可求得eq\o(b,\s\up6(^))≈2.5097，eq\o(a,\s\up6(^))＝－0.7077，所以n≈2.51，m≈0.196.ihiQixi＝lghiyi＝lgQixeq\o\al(2,i)xiyi10.70.082－0.1549－1.08620.0240.168321.10.250.0414－0.60210.0017－0.024932.51.80.39790.25530.15830.101644.911.20.69021.04920.47640.724258.137.50.90851.57400.82541.4300610.266.51.00861.82281.01731.8385713.51341.13032.12711.27762.4043∑41251.3324.0225.14013.78076.642于是所求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為Q＝0.196·h2.51.跟蹤訓(xùn)練3.解：由數(shù)值表可作散點(diǎn)圖如下：根據(jù)散點(diǎn)圖可知y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系，設(shè)y＝eq\f(k,x)，令t＝eq\f(1,x)，則y＝kt，原數(shù)據(jù)變?yōu)椋簍4210.50.25y1612521由置換后的數(shù)值表作散點(diǎn)圖如下：由散點(diǎn)圖可以看出y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系，列表如下：itiyitiyiteq\o\al(2,i)yeq\o\al(2,i)141664162562212244144315512540.5210.25450.2510.250.06251∑7.753694.2521.3125430所以＝1.55，＝7.2.＝－≈0.8.所以＝4.1344t＋0.8.所以y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是＝eq\f(4.1344,x)＋0.8.當(dāng)堂達(dá)標(biāo)1．〖答案〗C〖解