專題08 一元一次不等式的認識與解法（解析版）2022-2023學年七年級數(shù)學下學期期中期末考點大串講（蘇科版）

專題08元一次不等式的認識與解法

思維導圖

生活中的不等式——不宜一用不等號表示不等關系的式子

r不等式的解一能使不等式成立的未蹦的值

不等云工將美一-不等式的解集------個含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個不等式的解的集合

一元一次不等式的認識與解法（解不等式一求不等式解集的過程

性質1—不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變

性質2—不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù),不等號的方向不變；如果是負數(shù)，則改變

一元一次不等式一都只含有T未瞰，并且未知數(shù)的燭都是1,系數(shù)不等于0.

一、生活中的不等式

一般地，用“<”、或“2”表示大小關系的式子，叫做不等式.用

表示不等關系的式子也是不等式.

要點詮釋：

（1）不等號“V”或“〉”表示不等關系，它們具有方向性，不等號的開口所對

的數(shù)較大.

⑵五種不等號的讀法及其意義：

符號讀法意義

它說明兩個量之間的關系是不相等的，但不能

“#，，讀作“不等于”

確定哪個大，哪個小

“v，，讀作“小于”表示左邊的量比右邊的量小

“〉，，讀作“大于”表示左邊的量比右邊的量大

讀作“小于或等即“不大于”，表示左邊的量不大于右邊的量

于“

讀作“大于或等即“不小于”，表示左邊的量不小于右邊的量

于“

⑶有些不等式中不含未知數(shù)，如3V4,-l>-2；有些不等式中含有未知數(shù)，如

2x>5中，x表示未知數(shù)，對于含有未知數(shù)的不等式，當未知數(shù)取某些值時，不

等式的左、右兩邊符合不等號所表示的大小關系，我們說不等式成立，否則，不

等式不成立.

二、不等式的解及解集

不等式的解是具體的未知數(shù)的值，不是一個范圍

是一個集合，是一個范圍.

其含義：（1）證集中的每一個數(shù)值都能使不等式成立

不等式的解

集②能夠使不等式成立的所有數(shù)值都在解集

中

不等式的解集的表示方法

（1）用最簡的不等式表示:一般地，一個含有未知數(shù)的不等式有無數(shù)個解，其解

集是一個范圍，這個范圍可用最簡單的不等式來表示.如：不等式X-2W6的解

集為xW8.

（2）用數(shù)軸表示:不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來，形象地表明不等

式的無限個解.如圖所示：

xNax<a

i>i>

借助數(shù)軸可以將不老式的解集直觀地表祭出來，在應用數(shù)軸表示不等式的解

集時，要注意兩個“確定”：一是確定“邊界點”，二是確定方向.（1）確定“邊

界點”：若邊界點是不等式的解，則用實心圓點，若邊界點不是不等式的解，則

用空心圓圈；（2）確定“方向三對邊界點a而言，x>a或x》a向右畫；對邊界

點a而言，xVa或xWa向左畫.

注意：在表示a的點上畫空心圓圈，表示不包括這一點.

三、不等式的基本性質

不等式的基本性質1：用式子表示：如果a>b,那么a土c>b土c.

不等式的基本性質2：用式子表示：如果a>b,c>0,那么ac>bc（或q>2）.

cc

不等式的基本性質3：用式子表示：如果a>b,c<0,那么acVbc（或0<2）.

cc

不等式的基本性質的掌握注意以下幾點：

（1）不等式的基本性質是對不等式變形的重要依據(jù)，是學習不等式的基礎，它與

等式的兩條性質既有聯(lián)系，又有區(qū)別，注意總結、比較、體會.

（2）運用不等式的性質對不等式進行變形時，要特別注意性質2和性質3的區(qū)別，

在乘（或除以）同一個數(shù)時，必須先弄清這個數(shù)是正數(shù)還是負數(shù)，如果是負數(shù)，不

等號的方向要改變.

四、解一元一次不等式

（1）一元一次不等式滿足的條件：①左右兩邊都是整式（單項式或多項式）；

②只含有一個未知數(shù)；

③未知數(shù)的最高次數(shù)為1.

（2）一元一次不等式與一元一次方程既有區(qū)別又有聯(lián)系：

相同點：二者都是只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1,“左邊”和“右邊”

都是整式.

不同點：一元一次不等式表示不等關系，由不等號或

連接，不等號有方向；一元一次方程表示相等關系，由等號“=”連接，等號沒

有方向.

一元一次不等式的解法

與一元一次方程的解法類似，其根據(jù)是不等式的基本性質，將不等式逐步化

為：x<a（或x〉a）的形式，解一元一次不等式的一般步驟為：（1）去分母；

⑵去括號；⑶移項；（4）化為公>8（或?<。）的形式（其中。工0）；（5）兩

邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得到不等式的解集.

（1）在解一元一次不等式時，每個步驟并不一定都要用到，可根據(jù)具體問題靈

活運用.

(2)解不等式應注意：

①去分母時，每一項都要乘同一個數(shù)，尤其不要漏乘常數(shù)項；

②移項時不要忘記變號；

③去括號時，若括號前面是負號，括號里的每一項都要變號；

④在不等式兩邊都乘(或除以)同一個負數(shù)時，不等號的方向要改變.

不等式的解集在數(shù)軸上表示：

在數(shù)軸上可以直觀地把不等式的解集表示出來，能形象地說明不等式有無限

多個解，它對以后正確確定一元一次不等式組的解集有很大幫助.

在用數(shù)軸表示不等式的解集時，要確定邊界和方向：

(1)邊界：有等號的是實心圓點，無等號的是空心圓圈；

(2)方向：大向右，小向左.

(2023春?全國?七年級專題練習)若實數(shù)3是不等式1+2機<-3的一個解，則用可取的最大

整數(shù)是()

A.-1B.2C.-3D.3

【答案】C

【分析】解不等式可得x<-6，〃-9,結合題意"實數(shù)3是不等式鼻+2加<-3的一個解"，可得

-6m-9>3,解該不等式即可獲得答案.

【詳解】解：由不等式鼻+2〃?<-3,得x<-6m—9,

回實數(shù)3是不等式《+2相<-3的一個解，

0-6/72-9>3,

解得“<-2,

回”?可取的最大整數(shù)為-3.

故本題選：C.

【點睛】本題主要考查了一元一次不等式的應用以及解一元一次不等式，結合題意得到不等

式-6機-9>3是解題關鍵.

【融會貫通】

1.(2023春?全國?七年級專題練習)不等式4xW10+x的所有正整數(shù)解的和為_.

【答案】6

【分析】解不等式，求得不等式的所有正整數(shù)解，即可獲得答案.

【詳解】解：4x<10+x,

移項，得4x—xV10,

合并同類項，得3x410,

系數(shù)化為1,得X〈與，

回不等式的所有正整數(shù)解為1,2,3,

則不等式的所有正整數(shù)解的和是1+2+3=6.

故答案為：6.

【點睛】本題主要考查了求不等式的整數(shù)解，熟練掌握解一元一次不等式的方法是解題關鍵.

2.(2023春?全國?七年級專題練習)若不等式2。+1)-5<3。-1)+4的最小整數(shù)解是關于》的

方程gx—g=5的解，求式子加2—2加+2023的值.

【答案】2023

【分析】求出不等式2(x+l)-5<3(x-l)+4的解集，在解集中找出最小的整數(shù)解，將最小的

整數(shù)解代入方程中，得到關于”的方程，求出方程的解得到的值，將，”的值代入所求代

數(shù)式中計算，即可求出值.

【詳解】解：不等式2(x+l)-5<3(x-l)+4,

去括號得：2x+2-5<3x-3+4,

移項合并得：-x<4,

解得：x>-4,

則不等式最小的整數(shù)解為-3,

又不等式最小整數(shù)解是方程;x-/nr=5的解，

將x=—3代入方程得：—1+3m=5,

解得：m=2,

則w2-2m+2023=22-2x2+2023=2023.

【點睛】此題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，代數(shù)式的求值，以及一元一次方程的解，找

出不等式的最小整數(shù)解是解本題的關鍵.

3.(2023春?全國?七年級專題練習)求一元一次不等式1-誓4^的負整數(shù)解.

【答案】—2,-1

【分析】求出不等式的解集，可得結論.

【詳解】去分母，得6-2(8+x)W3x,

去括號,得6-16-2xW3x,

移項、合并同類項，得-5xW10,

系數(shù)化為1,得xN—2,

回負整數(shù)解為-2,7.

【點睛】本題主要考查一元一次不等式的整數(shù)解，解題的關鍵是掌握一元一次不等式的解法.

Qr+8Y

4.(2023春?全國?七年級專題練習)解不等式：=丫并寫出該不等式的最小整

63

數(shù)解.

【答案】X2-2,最小整數(shù)解是-2

【分析】根據(jù)解一元一次不等式的方法，可以求得該不等式的解集，然后寫出最小整數(shù)解即

可.

【詳解】解：怨*-經(jīng)-1,

63

去分母，得：9x+8-2x>-6,

移項及合并同類項，得：7x2-14,

系數(shù)化為1，得：x>-2,

回該不等式的最小整數(shù)解是-2.

【點睛】本題考查解一元一次不等式、一元一次不等式的整數(shù)解，解答本題的關鍵是明確解

一元一次不等式的方法.

類型二、一元一次不等式中最值

【解惑】

(2023秋?四川綿陽?八年級統(tǒng)考期末)已知n為正整數(shù),若一個三角形的三邊邊長分別是小

〃+2、w+5,則滿足條件的三角形中周長最短的為()

A.13B.16C.19D.22

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形三邊關系列出不等式組，求得〃的最小整數(shù)解為4,即可求解.

【詳解】解：團(〃+5)—(〃+2)<〃<(〃+5)+(w+2)

即3<〃<2〃+7

回〃的最小整數(shù)解為4,

回三角形三邊分別為4,6,9,周長為4+6+9=19,

故選：C.

【點睛】本題考查了求不等式組的整數(shù)解，三角形的三邊關系，熟練掌握三角形的三邊關系

是解題的關鍵.

【融會貫通】

1.(2023春?全國?七年級專題練習)若x+y=3,x>0,yNO,則2x+3y的最小值為()

A.0B.3C.6D.9

【答案】C

【分析】把問題轉化為2x+3y=6-2y+3y=6+y,利用不等式的性質解決最值問題.

【詳解】解：.x+y=3,

:.x=3-y,

Ul2x+3y=6-2y+3y=6+y,

,x>0,

.--3-y>0,即y43,

0<y<3,

.\6<j+6<9,

即642x+3y49,

y=0時,2x+3y的值最小,最小值為6.

故選：C.

【點睛】本題考查代入消元法、不等式的性質，靈活運用所學知識解決問題是解題的關鍵.

2.(2022?全國?七年級專題練習)已知(|x+l|+|x+3|)+(|y-2|+|y+3|)=20,則x+y的最大

值與最小值的差為.

【答案】20

【分析】利用絕對值的性質得出(|x+l|+|x+3|)+(|y-2|+|y+3|以x+l+x+3+y-2+y+3|,

進一步列出不等式，并化簡，即可求得x+y的最大值和最小值.

【詳解】解:(|x+l|+|x+3|)+(|y-2|+|y+3|)Rx+l+x+3+y-2+y+3|

|x+l+x+3+y-2+y+3歸20,化簡得：

|2x+2y+5]420

|2(x+y)+5|<20

-20<2(x+y)+5<20

25,/5

-------sx+ys—

22

???x+y的最大值為：?IS，x+y的最小值為：-?胃5

22

1525

比+丁最大值與最小值的差為：y-(-y)=20.

故答案為：20.

【點睛】本題主要考查絕對值的性質和不等式的化簡，熟練絕對值的性質并懂得化簡不等式

是解題的關鍵.

3.（2023春?全國?七年級專題練習）已知非負數(shù)x,八z滿足?=中=9，設

M=3x-2y+z.則M的最大值與最小值的和為

【答案】-6

【分析】首先設芋=與=彳=&，再根據(jù)蒼丫是非負數(shù)求得A的取值范圍，進而求得

拉的取值范圍即可解答.

【詳解】解：設言=弓2=個=無，

則x=-2A+3,y=3k-2tz=4k-5,

x,y,z均為非負實數(shù)，

-2）l+3>0

??.<3"2N0,

4*-5>0

53

解得：

團M=3x-2），+z=3（-2Z+3）-2（3%-2）+（4"5）=-8%+8,

35

/.-8x—4-8<-Sk+8<-8x—+8,

24

即TWMW-2.

..A/的最大值是-2,最小值是-4,

??.M的最大值與最小值的和為-6,

故答案為：-6.

【點睛】本題考查了最值問題，設個=乎=9=々求出火的取值范圍是解題的關鍵.

4.（2023春?全國?八年級專題練習）已知不等式xN2,x的最小值是a；x<-6,x的最大

值是8,貝Q+6=.

【答案】-4

【分析】解答此題要理解〃“〃〈〃的意義，判斷出〃和〃的最值即可解答.

【詳解】解：因為xN2的最小值是〃，。=2；

x<-6的最大值是力，則力=-6；

則。+/?=2—6=Y,

所以a+b=-4.

故答案為：-4.

【點睛】本題考查了不等式的定義，解答此題要明確，XN2時，x可以等于2；xW-6時，

x可以等于-6.

5.（2023春,七年級單元測試）若4、b、c、d是正整數(shù)，且a+b=22,a+c=26,a+d=28,

則a+6+c+4的最小值為.

【答案】34

【分析】先將3個等式變形為6=22-a,c=26-a,4=28-a,進而得到

a+8+c+d=76-2a,然后根據(jù)它們都是正整數(shù),可求出。的取值范圍，進而可得。+6+c+d

的最小值.

【詳解】解：由題意可得6=22—a,c=26—a,d=28—a,

Sa+b+c+d=76-2a.

函、b、c、d都是正整數(shù)，

a>\

b=22-a>\

0'c=26-a>\'

J=28-a>l

解得：I4a?21,且a為整數(shù)，

E134<76-2?<74,

3a+b+c+d的最小值為34.

故答案為：34.

【點睛】本題考查一元一次不等式組的應用，根據(jù)題意用a表示出a+b+c+d,并求出取

值范圍是解題的關鍵.

6.（2023春?江蘇?七年級專題練習）（1）①比較4"?與川+4的大?。海ㄓ?lt;"或"="填

充）

當m=3時，nr+44w；當m=2時，nr+44m；當〃?=-3時，nr+44/w；

②觀察并歸納①中的規(guī)律，無論加取什么值，川+4—4m（用">"、"<"、（"2"或""），

并說明理由.

（2）利用上題的結論回答：

①當〃2=_時，+4有最小值，最小值是_；

②猜想：/+不的最小值是_

X

【答案】（1）①>；=;>:②2；（2）①0,4；②6

【分析】（1）①當，〃=3時，當,〃=2時，當團=-3時，分別代入計算，再進行比較即可；②

根據(jù)（小+4）-4〃?=（〃?-2）220,即可得出答案；

QQQ

（2）①根據(jù)題意即可得到結論；②把原式配方得至IJX2+《=（X-±）2+6,于是得至?。莓攛=2

XXX

時，/十馬O的值最小，即可得到結論.

X

【詳解】解：（1）①當加=3時,4/??=12,trr+4=13,則>+4>4機，

當機=2時，4/?2=8,ni2+4=8,貝I」加2+4=4/〃，

當昨-3時，47n=12,m2+4=13,則療+4>4加,

故答案為：>,二，>;

②團（療+4）—4m=（772-2）2>0,

團無論取什么值，總有>+4之4加；

故答案為：2;

（2）①當機=0時，〃，+4有最小值，最小值是4,

故答案為：0,4；

②團/+==工2-2.%.—+（—）2+6=（%--）2+6,

XXXX

39

0當x=—，即Y=3時，f+r的值最小，

XX

Q

回當V=3時，x?+r的最小值是6,

x

故答案為：6.

【點睛】本題考查了配方法的應用，不等式的性質，用到的知識點是不等式的性質、完全平

方公式、非負數(shù)的性質，關鍵是根據(jù)兩個式子的差比較出數(shù)的大小.

類型三、一元一次不等式中特殊不等式

【解惑】

（2020秋?黑龍江大慶?九年級統(tǒng)考期末）當x時，|x-2|=2-x.

【答案】42

【分析】由題意可知x-2為負數(shù)或0,進而解出不等式即可得出答案.

【詳解】解：由|x-2|=2-x,可得x-2<0,解得：x<2.

故答案為：42.

【點睛】本題考查絕對值性質和解不等式，熟練掌握絕對值性質和解不等式相關知識是解題

的關鍵.

【融會貫通】

1.（2023春?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱工業(yè)大學附屬中學校校考階段練習）【問題提出】

*1|+|°-2|+卜-3|+…+|a-2021|的最小值是多少?

【閱讀理解】

為了解決這個問題，我們先從最簡單的情況入手.利的幾何意義是〃這個數(shù)在數(shù)軸上對應的

點到原點的距離，那么可以看作。這個數(shù)在數(shù)軸上對應的點到1的距離；+就

可以看作。這個數(shù)在數(shù)軸上對應的點到1和2兩個點的距離之和.下面我們結合數(shù)軸研究

+的最小值.

我們先看。表示的點可能的3種情況，如圖所示：

(1)如圖①，“在1的左邊，從圖中很明顯可以看出“到1和2的距離之和大于1.

(2)如圖②，。在1和2之間(包括在1,2上)，可以看出。到1和2的距離之和等于1.

(3)如圖③，”在2的右邊，從圖中很明顯可以看出。到1和2的距離之和大于1.

Il.lIIII>IIIl.lII.

-2-la01234-2-101。234

圖①圖②

IIIIII.Iy

-2-10123a4

圖③

所以“到1和2的距離之和最小值是1.

?1II!I1》IIIIIIIIII1

-2-101234-5-4-3-2-1012345

圖④圖⑤

【問題解決】

⑴|a-3|+|a-6|的幾何意義是；請你結合數(shù)軸探究：|a-3|+|a-6|的最小值是

⑵請你結合圖④探究：|。-1|+|。-2|+卜-3|的最小值是,此時“為；

(3)|a-l|+|a-2|+|a-3|+|a-4|+|a-5|+|a-6|的最小值為；

⑷打一1|+打一2|+卜一3|+--卜一101|的最小值為_____.

【拓展應用】

⑸如圖⑤，已知。到-1,2的距離之和小于4,請寫出。的范圍為.

【答案】(1)。這個數(shù)在數(shù)軸上對應的點到3和6兩個點的距離之和；3；

(2)2；2；

(3)9；

⑷2550；

(5)-1.5<a<2.5.

【分析】(1)根據(jù)題干絕對值的幾何意義，再結合數(shù)軸即可得到答案；

(2)由數(shù)軸可知，取中間值2時絕對值之和最小，求解即可得到答案;

(3)由數(shù)軸可知，取中間值3和4之間(包括在3,4上)，絕對值之和最小，利用。=3進

行計算即可得到答案；

(4)由數(shù)軸可知，取中間值50時絕對值之和最小，求解即可得到答案；

(5)由已知得分三種情況討論：①此2時；②-/<"2時；③aW-1

時，求解絕對值不等式即可得到答案.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意可知，|"-3|+k-6|的幾何意義是“這個數(shù)在數(shù)軸上對應的點到3

和6兩個點的距離之和，

當。在3的左邊，可以看出“到3和6的距離之和大于3；

a

I1A.I111I

-2-I01234s6

當。在3和6之間(包括在3,6上)，可以得到。到3和6的距離之和等于3；

a

IAAi11A.AAA

-2-1()123456

當〃在6的右邊，從圖中很明顯可以看出〃到3和6的距離之和大于3；

a

11:111311.1，

2101234s67

所以。到3和6的距離之和最小值是3,

故答案為：”這個數(shù)在數(shù)軸上對應的點到3和6兩個點的距離之和；3；

(2)解：如圖所示，當a取中間數(shù)時，絕對值之和最小，

即a=2時，|"1|+|。-2|+|。一3|的最小值是1+0+1=2,

故答案為：2；2；

a

，1I，11■a

-2-1012345

(3)解：當“在3和4之間(包括在3,4上)，絕對值之和最??；

當a=3時,|a-l|+|a-2|+|a-3|+|a—4|+|a—5|+|a—6|=2+]+0+]+2+3=9,

故答案為：9;

(4)解：1,2,3,4,5……101的中間數(shù)為：51,

???當。取中間數(shù)51時，絕對值之和最小，

.?"1|+,―2|+|〃_3|+…+卜―101|

=50+49+48+47+…+1+0+1+2+3…M7+48+49+50

=(l+50)XyX2

=51x50

=2550,

故答案為：50；

（5）解：。至IJ-1,2的距離之和小于4,

卜-（-1）|+,-<4,

①當a22時，a-（-1）+a-2<4,

解得：”2.5,

.\2<^<2.5；

②當一/V”2時，?-（-1）+[-（?-2）]=3<4,

—1vav2；

③當1時，叨+0（"2）]v4,

解得：a>—1.5,

—1.5<a41

綜上可知，當。到T,2的距離之和小于4時，a的范圍為-1.5<a<2.5.

【點睛】本題考查/絕對值的幾何意義與性質，解不等式求解集，利用數(shù)形結合與分類討論

的思想，熟練掌握絕對值的性質，理解絕對值的幾何意義是解題關鍵.

2.（2023春?全國?八年級專題練習）（1）【閱讀理解】"同"的幾何意義是：數(shù)。在數(shù)軸上對

應的點到原點的距離，所以"問*2"可理解為：數(shù)。在數(shù)軸上對應的點到原點的距離不小于2,

則：

①"同<2"可理解為」

②請列舉兩個符號不同的整數(shù)，使不等式成立，列舉的。的值為一和

我們定義:形如"I*區(qū)m,|x|>/n,\x\<m,Ix|>旭”（加為非負數(shù)）的不等式叫做絕對值不

等式，能使一個絕對值不等式成立的所有未知數(shù)的值稱為絕對值不等式的解集.

（2）【理解應用】根據(jù)絕對值的幾何意義可以解一些絕對值不等式.

_|---1----\----1----1----1----1---------------1----1----1----1----1---------

-3-2-101234-3-2-101234

由上圖可以得出：絕對值不等式兇>1的解集是x<-1或x>l,

絕對值不等式IX《3的解集是-3MxM3.則：

①不等式W24的解集是

②不等式lgx|<2的解集是一.

（3）【拓展應用】解不等式|x+U+|x-3]>4,并畫圖說明.

【答案】（1）①數(shù)“在數(shù)軸上對應的點到原點的距離小于2；0-3；3；

（2）①xWY或x24；②T<x<4；（3）x<-l或x>3,見解析.

【分析】（1）①類比題目所給的信息即可解答；②寫出符合題意的兩個整數(shù)即可（答案不

唯一）；

（2）①類比題目中的解題方法即可解答：②類比題目中的解題方法即可解答：

（3）根據(jù)絕對值的幾何意義可知，不等式上+1|+氏-3|>4的解集，就是數(shù)軸上表示數(shù)x的

點到表示-1與3的點的距離之大于4的所有x的值，由此即可確定不等式k+"+|x-3|>4的

解集.

【詳解】（1）①由題意可得，"同<2"可理解為數(shù)〃在數(shù)軸上對應的點到原點的距離小于2.

故答案為：數(shù)。在數(shù)軸上對應的點到原點的距離小于2；

②時>2

令Ia|=3,

a=±3

使不等式"I"l>2”成立的整數(shù)為-3,3,

故答案為：-3,3.

（2）①由題意可知，

不等式岡24的解集是或x"，

故答案為：4或xN4；

②由題意可知，不等式l；x|<2的解集為：

—2<—x<2,

2

BR-4<x<4,

故答案為：—4<x<4；

（3）根據(jù)絕對值的幾何意義可知，不等式|x+l|+|x-3|>4的解集就是數(shù)軸上表示數(shù)x的點，

到表示-1與3的點的距離之和大于4的所有x的值，

如下圖所示，

-3-2-101234

可知不等式|X+1HX-3|>4的解集是x<—l或x>3.

【點睛】本題考查了絕對值的幾何意義，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵.

3.（2023春?江蘇?七年級專題練習）閱讀求絕對值不等式子國<3解集的過程：因為岡<3,

從如圖所示的數(shù)軸上看：大于-3而小于3的數(shù)的絕對值是小于3的，所以兇<3的解集是

-3<x<3,解答下面的問題:

-3<x<3

—?------?----6-----?-_1------------1-------------1-----------6------------1-------------L

-5-4-3-2012345

⑴不等式W<“(4>0)的解集為.

(2)求卜-5|<3的解集實質上是求不等式組.的解集，求卜-5|<3的解集.

［答案］⑴_〃<x<a；

x—5〉-3

⑵），2Vx<8.

x-5<3

【分析】(1)根據(jù)題中所給出的例子進行解答即可；

(2)根據(jù)題中所給的實例列出關于元的不等式組，求出其解集即可.

【詳解】(1)解：用<3的解集是-3<x<3,

，不等式|x|<a(a>0)的解集為：-a<X<a.

故答案為：-a<x<a.

(2)解：岡<3的解集是-3<x<3,

求|x-51V3的解集是一3<x-5<3,

fx—5>—3

—3<x—5<3可化為｛,,,

[x-5<3

fx-5>-3

???求lx-5|v3的解集實質上是求不等式組,

[工一5<3

解得2vxv8.

故答案為：\[x—5〉-3.

[x-5<3

【點睛】本題考查的是解一元一次不等式，根據(jù)題意利用數(shù)形結合求?元一次不等式的解集

是解答此題的關鍵.

4.(2020秋,四川涼山,九年級階段練習)先閱讀理解下面的例題，再按要求解決問題.

例題：解一元二次不等式f一9>0.

解：回f—9=(x+3)(x—3),

團(x+3)(x-3)>0.

由有理數(shù)的乘法法則〃兩數(shù)相乘，同號得正〃，有

Ix+3>0

①r-3>0解不等式組①，得光>3

|x+3<0…

②，c解不等式組②，得x<-3,

故原不等式的解集為x>3或x<-3,

即一元二次不等式》2-9>0的解集為x>3或x<—3.

問題：（1）求關于x的兩個多項式的商組成的不等式R<0的解集.

2x-9

（2）若“，匕是（1）中解集x的整數(shù)解，以a,b,c為ABC為邊長，c是ABC中的最長

的邊長，①求c的取值范圍：②若c為整數(shù)，求這個等腰二ABC的周長.

7Q

【答案】（1）（2）①3VcV6或4VcV8或4VcV8；②10或11或13或14或

15.

3r-7-j3x—7>0f3x-7<0

【分析】（1）利用不等式J<0得到①o0八，②。八，進而求出即可；

2x-9[2x-9<0[2]一9>0

（2）根據(jù)（1）中所求，得出a,b的值，再求c,進而求出這個等腰包ABC的周長即可.

【詳解】（1）回三<0，

2x-9

團由〃兩數(shù)相除，異號得負〃，有：

八f3x-7>0乙-x79

①*解不等式組①得：T<X<-；

ILX—V<UjL

②解不等式組②得：無解；

回原不等式的解集為7:9

32

7g

（2）①a,b的解集的整數(shù)解,

Ela=3,b=3；a=3,b=4；a=4,b=4.

0c是ISABC的最大邊，

當a=3,b=3時，3<c<6；

當a=3,b=4時，4<c<7；

當a=4,b=4時>4<c<8；

②當a=3,b=3時,3<c<6,

0c=4或5,

13CABC=10或11;

當a=3,b=4時,4<c<7,

Elc=4,

因CABC=11；

當a=4,b=4時

04<c<8,

0c=5,6,7,

回CABC=13或14或15.

【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組的應用和三角形三邊關系等知識，利用已知得出

分式中分子與分母的關系是解題關鍵.解第（2）問時注意分類討論.

5.（2023春?江蘇?七年級專題練習）解不等式：|x-l|+|x-3|>4.

【答案】x<0或x>4

【詳解】試題分析：此題是一個帶絕對值的復合不等式，應分為xU,1<XS3,x>3,三種

情況，再根據(jù)絕對值的性質化簡原式，解不等式即可.

試題解析：當X41時，原式可變形為

1—x+3—x=4—2x>4,解得x<0.

當1<XV3時，原式可變形為

X—1+3—x>4,得2>4,不合題意.

當x>3時，原式可變形為

x—1+x—3=2x—4>4,解得x>4.

0x<O或x>4.

點睛：此題主要考查了帶絕對值的復合不等式的解法，解題關鍵是要根據(jù)絕對值的性質，分

情況討論，然后根據(jù)絕對值的性質求解不等式既能解決，解題時注意不等式的基本性質的應

用.

6.（2022?全國?七年級專題練習）對于不等式a*>〃（a>0且aR1）,當時，x>y，當

0<。<1時，X。

請根據(jù)以上信息，解答下列問題：

⑴解關于x的不等式：>2^+,

（2）解關于x的不等式其解集中無正整數(shù)解，求左的取值范圍

【答案】⑴x>l;

（2）k<4.

【分析】（1）根據(jù)題意列出一元一次不等式求解即可；

（2）根據(jù)題意列出一元一次不等式求解，并根據(jù)解集中無正整數(shù)解求出k的取值范圍即可.

【詳解】（1）解:025'-1>23X+I>2>1,

團5x—1>3x+l,

移項得：5x-3x>\+\

合并同類項得：2x>2

系數(shù)化為1得：x>\

⑵哈廣成,。<六，

>5x-2,

移項合并得：（fc-5）x>-l；

當A-5>0,即4>5時，解得：x>-丁］（可以取遍所有正整數(shù)，不合題意）；

K-J

當％-5=0,即％=5時，化簡得0>-1（恒成立，可以取遍所有正整數(shù)，不合題意）;

當么一5<0,即&<5時，解得：%<一~—,

k-5

回解集中無正整數(shù)解，

去分母得：-1"-5,Ck-5<0,不等號改變方向）

解得：氏44.

【點睛】本題考查解一元一次不等式與不等式的性質，掌握解一元一次不等式的一般步驟與

不等式的性質是解題的關鍵.

7.（2023春?江蘇?七年級專題練習）【閱讀理解】

我們在分析解決某些數(shù)學問題時.，經(jīng)常要比較兩個數(shù)或代數(shù)式的大小，解決此類問題時一般

要進行轉化，其中“作差法"就是常用的方法之一.其依據(jù)是不等式（或等式）的性質：若

x—y>0,則x>y；若x_y=0,則工=^；若x-y<0,則

例：已知機=〃+"，n=3ab-b2,其中b.求證：m>n.證明：

m—n=cr+ab—3ab+b2=a2—2ab+b2=（a—Z7）'.

13alb,

叫>0.

0/7?>n.

【新知應用】

（1）比較大?。簒-12+x.

（2）甲、乙兩個長方形的長和寬如圖所示（〃?為正整數(shù)），其面積分別為5、邑.試比較5、

邑的大小關系.

m+7〃?+4

6+1甲加+2乙

【實際應用】

(3)請用"作差法”解決下列問題：

某游泳館在暑假期間對學生優(yōu)惠開放，有A、B兩種方案可供選擇，A方案：每次按原價打

八五折；B方案：第一次按照原價，從第二次起每次打八折.請問游泳的同學選擇哪種方案

更合算？

【拓展提升】

(4)已知x、y、z滿足x+2y-5z=-7,x-y+z=2,比較代數(shù)式――產(chǎn)與？z2的大小.

【答案】(1)<;(2)St>S2(3)當0<x<4時，A方案合算；當x=4時，此時兩個方案

的總價相同；當x>4時，B方案合算：(4)x2-y2<2z2

【分析】(1)做片1與2+x的差，再根據(jù)差的正負性即可判斷；

(2)分別用，〃表示5、S2,然后計算$2的差的正負性，即可得到答案；

(3)根據(jù)題意分別寫出表示兩種方案的總價的代數(shù)式，然后作差，再分情況討論即可；

(4)先將z看作常數(shù)，解關于X、)，的二元一次方程組，然后帶入并作差，根據(jù)差的正負性

即可得到答案；

【詳解】解：(1)根據(jù)材料得，x-l-(2+x)=-3<0

團x—1<2+x

故填<;

(2)由圖知：，=(6+7)(m+1)=Tn?+8〃z+7

2

S2=(rn+4)(/〃+2)=m+6m+8

回S|-S?=m2+8/n+7-(w2+6m+8)=2zn-1

回機是正整數(shù)

Sm>l

02/n-l>l>O

團耳>S2

(3)設原價為“(a>0),去的次數(shù)為x(x為正整數(shù))，總價分別為叫、叫

根據(jù)題意可知：w*=0.85ax,/=a+0.8x“x(x-l)

W

WA~B=0.85ar-[tz+0.8xax(x-l)]=0.05a(x-4)

0a>O,x為正整數(shù)，

回當0<x<4時，町-%<0,故叱此時A方案合算；

當x=4時，%一畋=0,故叱(=%，此時兩個方案的總價相同；

當x>4時，wA-wB>0,故叫>喙，此時B方案合算；

（4）由x+2y—5z=-7、x—y+z=2得x+2y=5z—7、x—y=2.—z,

fx=z—1

聯(lián)立方程組并解得cQ

[y-2z-3

0x2-r-2z2=（z-l）2-（2z-3）2-2z2=-5z2+lOz-8=-5（z-l）2-3<-3<O

3x2-y2<2z2

【點睛】本題是材料題，考查了對所給信息的獲取能力，涉及了二元一次方程組，不等式的

性質等相關知識,掌握所需知識，理解題意并根據(jù)題目所給方法做出結論是本題的解題關鍵.

類型四、一元一次不等式與二元一次方程中的取值范圍

【解惑】

（2023春?安徽合肥?七年級合肥市第四十二中學?？计谥校╆P于x,y的方程組

{2x—y=2k—3

：,的解滿足x+y的值不大于5,則氏的取值范圍為（）

[x-2y=K

A.k>SB.Z>8C.k&8D.k<8

【答案】C

【分析】根據(jù)方程組，得到x+y=4-3,再根據(jù)x+），的值不大于5,列出不等式求解即可

得到答案.

【詳解】解：方程組2x—/y—2，臺k—3①，

①-②得：x+y=k-3,

關于x,V的方程組的解滿足犬+了的值不大于5,

k—3K5,

:.k<8,

故選c.

【點睛】本題考查二元一次方程組、不等式，將兩式相減得到X與y的和是解題關鍵.

【融會貫通】

f3x—y=A:—3

L（2023?山東濱州?模擬預測）關于x,y的方程組-，的解，滿足x-y<4,則出

=3K-1

的取值范圍是（）

A.k>5B.k>5C.k<5D.k<5

【答案】C

【分析】將2個方程相加得出x-y=%-1,根據(jù)不等式的解集的情況，得出％-1<4,進而

即可求解.

【詳解】解：1[一3x-;y==3k-13?②

由①+②得：4x-4y=4k-4

E]x-y=左一1,

0x-y<4,

0*-1<4

解得：Z<5,

故選：C.

【點睛】本題考查的是解一元一次不等式，根據(jù)題意得出x-y的表達式是解答此題的關鍵.

2.（2023春?全國?七年級專題練習）關于X,），的方程組尸'二的解中x與y的和不

=K'

小于5,則％的取值范圍為.

【答案】k>8

【分析】把兩個方程相減，可得x+y=4-3,x與y的和不小于5,即可求出答案.

【詳解】把兩個方程相減，可得x+y=A-3

x與y的和不小于5

k-325

解得：k>8

.X的取值范圍為&28.

故答案為ZN8.

【點睛】本題考查了解一元一次不等式，解二元一次方程組，掌握解一元一次不等式知識點

是解題的關鍵.

（3x+y=a+l

3.（2023春?廣東中山?九年級?？茧A段練習）若方程組-。的解x、y滿足x+y>5,

[x+3y=3

則a的取值范圍為.

【答案】a>16

【分析】由題意解不等式組，用含a的式子表示x+y的值，再根據(jù)取值范圍求解即可.

3x+y=a+l①

【詳解】解:

x+3y=3②

①+②得：4x+4y=a+4,

_a+4

^x+y=——.

4

團工+y>5,

G+4

團>5,

4

解之得：4>16;

故答案為：a>16.

【點睛】本題考查了解一元一次不等式，解二元一次方程組用的加減法，觀察方程組及方程

組的解所滿足的條件，只要將方程組的兩個方程相加即可得到x+y的值，這是關鍵.

4.（2023春?福建漳州?七年級統(tǒng)考期中）已知關于x,y的方程組尸：'=的解滿足

[x+2y=4

x+y>5,求左的取值范圍.

【答案】Q4

【分析】由①+②得至IJ3（x+y）=3Z+3即x+y=々+l,結合x+y>5可得％+1>5,解不等式

即可.

2x+y=3&-l①

【詳解】解:

x+2y=4②

由①+②得：3（x+y）=3Z+3,

即x+y=k+1,

.x+y>5,

:,k+l>5,

解得：k>4.

【點睛】本題考查了二元一次方程組的特殊解法，解一元一次不等式；解題的關鍵是巧解方

程組得至iJx+y=R+i.

5.（2023春?黑龍江哈爾濱?八年級哈爾濱市第四十七中學?？茧A段練習）已知方程組

x+3y=-2m+i

是一個關于x,y的二元一次方程組，其中3x與2），的和是非負數(shù)，求相的

2x-y=m+3

取值范圍.

【答案】m<4

【分析】利用加減消元法求出x、y,然后列出不等式，再解關于加的一元一次不等式即可

得解.

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