高等數(shù)學(xué)（第三版）課件：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)微分中值定理一、羅爾定理二、拉格朗日中值定理定理1

設(shè)函數(shù)f(x)滿足(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),(3)f(a)=f(b),注意：羅爾中值定理的條件有三個，如果缺少其中任何一個條件，定理將不成立.一、羅爾中值定理羅爾中值定理幾何意義：

若曲線弧在[a,b]上為連續(xù)弧段，在(a,b)內(nèi)曲線弧上每點(diǎn)都有不平行于y軸的切線，且曲線弧段在兩個端點(diǎn)處的縱坐標(biāo)相同，那么曲線弧段上至少有一點(diǎn)，過該點(diǎn)的切線必定平行于x軸.定理2

設(shè)函數(shù)f(x)滿足(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；則至少存在一點(diǎn)

分析與羅爾定理相比，拉格朗日中值定理中缺少條件是f(a)=f(b).如果能由f(x)構(gòu)造一個新函數(shù)使在[a,b]上滿足羅爾定理?xiàng)l件，且由能導(dǎo)出則問題可解決.二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理的幾何意義：

如果在[a,b]上的連續(xù)曲線，除端點(diǎn)外處處有不垂直于x軸的切線，那么在曲線弧上至少有一點(diǎn)使曲線在該點(diǎn)處的切線平行于過曲線弧兩端點(diǎn)的弦線.弦線的方程為作輔助函數(shù)即可.的幾何意義為：曲線的縱坐標(biāo)與曲線弧兩端點(diǎn)連線對應(yīng)的縱坐標(biāo)之差.推論1

若在(a,b)內(nèi)恒等于零，則f(x)在(a,b)內(nèi)必為某常數(shù).事實(shí)上，對于(a,b)內(nèi)的任意兩點(diǎn)，由拉格朗日中值定理可得由拉格朗日中值定理可以得出積分學(xué)中有用的推論：

位于x1，x2之間，故有f(x1)=f(x2).由x1，x2的任意性可知f(x)在(a,b)內(nèi)恒為某常數(shù).推論2

若在(a,b)內(nèi)恒有，則有其中C為某常數(shù).由推論1可知f(x)－g(x)=C，即f(x)=g(x)+C.f(x)=g(x)+C,事實(shí)上，由已知條件及導(dǎo)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得例１試證對于所給不等式，可以認(rèn)定為函數(shù)的增量與自變量的增量之間的關(guān)系.因此可以設(shè)f(x)=arctanx.證設(shè)f(x)=arctanx,不妨設(shè)a<b.由于arctanx在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).可知必定存在一點(diǎn),使得由于因此arctanx在[a,b]上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件.由于，因此從而有例２當(dāng)x>0時(shí),試證不等式分析取f(t)=ln(1+t)，a=0，b=x.則f(t)=ln(1+t)在區(qū)間[0,x]上滿足拉格朗日中值定理，因此必有一點(diǎn)使得.說明本例中，若令y=lnt，a=1，b=1+x，亦可利用拉格朗日中值定理證明所給不等式.這表明證明不等式時(shí)，f(x)與[a,b]的選取不是惟一的.即進(jìn)而知第二節(jié)洛必達(dá)法則

如果函數(shù)，其分子、分母都趨于零或都趨于無窮大.

那么，極限可能存在，也可能不存在.通常稱這種極限為未定型.

并分別簡記為.這節(jié)將介紹一種計(jì)算未定型極限的有效方法——洛必達(dá)法則.

一、定理１如果f(x)和g(x)滿足下列條件：那么

定理２如果f(x)和g(x)滿足下列條件：那么例1為型，由洛必達(dá)法則有解例2為型，由洛必達(dá)法則有解例3為型，由洛必達(dá)法則有解例4為型，由洛必達(dá)法則有解

二、定理３如果函數(shù)f(x)，g(x)滿足下列條件：那么定理4

如果函數(shù)f(x)，g(x)滿足下列條件：那么例5為型，由洛必達(dá)法則有解例6為型，由洛必達(dá)法則有解

三、可化為型或型極限

1.如果，則稱對于型，先將函數(shù)變型化為型或.再由洛必達(dá)法則求之.如或2.如果例7解例8解應(yīng)該單獨(dú)求極限，不要參與洛必達(dá)法則運(yùn)算，可以簡化運(yùn)算.例9為型，可以由洛必達(dá)法則求之.如果注意到解說明如果型或型極限中含有非零因子，如果引入等價(jià)無窮小代換，則例10解所給極限為型，可以由洛必達(dá)法則求之.注意極限過程為但是注意到所求極限的函數(shù)中含有因子，且，因此極限不為零的因子不必參加洛必達(dá)法則運(yùn)算.例11又當(dāng)時(shí)，，故所給極限為型，可以考慮使用洛必達(dá)法則.解第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性，極值和最值一、函數(shù)的單調(diào)性二、函數(shù)的極值三、函數(shù)的最大值和最小值如果函數(shù)f(x)在某區(qū)間上單調(diào)增加，則它的圖形是隨x的增大而上升的曲線.如果所給曲線上每點(diǎn)處都存在非鉛直的切線，則曲線上各點(diǎn)處的切線斜率非負(fù)，即.

如果函數(shù)f(x)在某區(qū)間上單調(diào)減少，則它的圖形是隨x的增大而下降的曲線.如果所給曲線上每點(diǎn)處都存在非鉛直的切線，則曲線上各點(diǎn)處的切線斜率非正，即.一、函數(shù)的單調(diào)性定理１設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).則有(1)如果在(a,b)內(nèi)，那么，函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)增加.(2)如果在(a,b)內(nèi)，那么，函數(shù)f(x)在[a,b]上單調(diào)減少.例1解在(－2,1)內(nèi)所給的函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)減少.由此可知，在及內(nèi)，所給函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)增加，例2解例3解為了研究函數(shù)的單調(diào)性，我們只關(guān)心在上述四個子區(qū)間內(nèi)的符號，這三個點(diǎn)x=－1，0，1將y的定義域分為四個子區(qū)間.表中第一欄由小至大標(biāo)出函數(shù)的定義域被三個特殊點(diǎn)劃分的四個區(qū)間.第二欄標(biāo)出在各子區(qū)間內(nèi)的符號.第三欄為函數(shù)的增減性.如本例可列表：x－１01－0+不存在－0+y可知所給函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)增加區(qū)間為.嚴(yán)格單調(diào)減少區(qū)間為.如果F(x)滿足下面的條件：F(x)=f(x)－g(x)往往可以利用單調(diào)性證明不等式.其基本方法是：例4解在實(shí)際問題中經(jīng)常遇到需要解決在一定條件下的最大、最小、最遠(yuǎn)、最近、最好、最優(yōu)等問題，這類問題在數(shù)學(xué)上?？梢詺w結(jié)為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值或最小值問題，這里統(tǒng)稱為最值問題.本節(jié)將介紹函數(shù)的極值問題與最值問題.

二、函數(shù)的極值定義１設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，如果對于該鄰域內(nèi)任何異于x0的x都有

(1)成立，則稱為f(x)的極大值，稱為f(x)的極大值點(diǎn)；(2)成立，則稱為f(x)的極小值，稱為f(x)的極小值點(diǎn).極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn).定理２(極值的必要條件)

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且x0為f(x)的極值點(diǎn)，則注意：可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn).但是需要注意，函數(shù)的駐點(diǎn)并不一定是函數(shù)的極值點(diǎn).

例如為其駐點(diǎn)，但是x=0不是的極值點(diǎn).還要指出，有些函數(shù)的不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是其極值點(diǎn).由上述可知，欲求函數(shù)的極值點(diǎn)，先要求出其駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，然后再用下面的充分條件判別:定理３(判定極值的第一充分條件)

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)，且在x0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)(點(diǎn)x0可除外).如果在該鄰域內(nèi)

如果f(x)在x0的兩側(cè)保持相同符號，則x0不是f(x)的極值點(diǎn).因此可知x0為f(x)的極大值點(diǎn).對于情形(2)也可以進(jìn)行類似分析.分析對于情形(1)，由函數(shù)單調(diào)性的判別定理可知，當(dāng)時(shí)，f(x)單調(diào)增加；當(dāng)時(shí)，f(x)單調(diào)減少，(3)判定每個駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)兩側(cè)(在xi較小的鄰域內(nèi))的符號，依定理３判定xi是否為f(x)的極值點(diǎn).由定理判定函數(shù)極值一般步驟為：令，得函數(shù)的兩個駐點(diǎn)：x1=–1，x2=2.

內(nèi)存在，函數(shù)的兩個駐點(diǎn)x1=–1，x2=2把分成三個子區(qū)間.例1所給函數(shù)的定義域?yàn)?解x–1(–1,2)2+0–0+y極大值極小值–10可知x=0為y的極小值點(diǎn)，極小值為0.例2所給的函數(shù)定義域?yàn)?解非極值極小0y+0+0–1(0,1)0x例3所給的函數(shù)定義域?yàn)?解x–1(–1,0)0(0,1)1–0+不存在–0+y極小值極大值０極小值定理4

(判定極值的第二充分條件)

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)，且則當(dāng)二階導(dǎo)數(shù)易求，且駐點(diǎn)x0處的二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，利用判定極值的第二充分條件判定駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)比較方便.例4所給的函數(shù)定義域?yàn)?解上述求函數(shù)極值與極值點(diǎn)的方法可總結(jié)為:欲求連續(xù)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，需(1)求出f(x)的定義域.(4)如果函數(shù)在駐點(diǎn)處的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)易求，可以利用判定極值第二充分條件判定其是否為極值點(diǎn).(2)求出.在f(x)的定義域內(nèi)求出f(x)的全部駐點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).(3)判定在上述點(diǎn)兩側(cè)的符號，利用判定極值第一充分條件判定其是否為極值點(diǎn).由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值最小值定理可知，如果f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上必定能取得最大值與最小值.如何求出連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值、最小值是本段的基本問題.三、函數(shù)的最大值和最小值求[a,b]上連續(xù)函數(shù)的最大值、最小值的步驟：(1)求出f(x)的所有位于(a,b)內(nèi)的駐點(diǎn)(2)求出f(x)在(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)(3)比較導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)的y值及f(a)和f(b).其中最大的值即為最大值，最小的值即為最小值，相應(yīng)的點(diǎn)為最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn).由上述分析可以看出，最大值與最小值是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的整體性質(zhì)，而極大值與極小值是函數(shù)f(x)在某點(diǎn)鄰域內(nèi)的局部性質(zhì).例5由于所給函數(shù)為[–1,2]上的連續(xù)函數(shù).解可知f(x)在[0,3]上的最大值點(diǎn)為x=2，最大值為f(2)=1.例6所給函數(shù)為[0,3]上的連續(xù)函數(shù).解最小值點(diǎn)為x=0，最小值為由隱函數(shù)求導(dǎo)法則可以得出過M點(diǎn)的切線斜率例7任取上的點(diǎn)M(x,y)，且x>0，y>0.解因而過M(x,y)的切線方程為可知切線與兩個坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為但是S最小當(dāng)且僅當(dāng)其分母最大.令X=0，得切線在y軸上的截距.令Y=0，得切線在x軸上的截距.而且所求的駐點(diǎn)唯一，因此點(diǎn)為所求最小值點(diǎn)，最小面積為ab.由問題實(shí)際意義知，所圍三角形面積存在最小值，

如果目標(biāo)函數(shù)可導(dǎo)，其駐點(diǎn)唯一，且實(shí)際意義表明函數(shù)的最大(小)值存在(且不在定義區(qū)間的端點(diǎn)上達(dá)到)，那么所求駐點(diǎn)就是函數(shù)的最大(小)值點(diǎn).

有必要指出，對于在實(shí)際的問題中求其最大(小)值，首先應(yīng)該建立目標(biāo)函數(shù).然后求出目標(biāo)函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)的駐點(diǎn).

如果駐點(diǎn)有多個，且函數(shù)既存在最大值也存在最小值，只需比較這幾個駐點(diǎn)處的函數(shù)值，其中最大值即為所求最大值，其中最小值即為所求最小值.例8欲圍一個面積為150平方米的矩形場地，所用材料的造價(jià)其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元.問場地的長、寬為多少米時(shí)，才能使所用材料費(fèi)最少？設(shè)所圍矩形場地正面長為xm，另一邊長為ym，則矩形場地面積為xy=150，.解設(shè)四面圍墻的高相同，都為h，則四面圍墻所使用材料的費(fèi)用f(x)為由于駐點(diǎn)唯一，由實(shí)際意義可知，問題的最小值存在，因此當(dāng)正面長為10米，側(cè)面長為15米時(shí)，所用材料費(fèi)最少.第四節(jié)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)一、曲線的凹凸性二、曲線的拐點(diǎn)對于任意的，曲線弧y=f(x)過點(diǎn)的切線總位于曲線弧y=f(x)的下方，則稱曲線弧y=f(x)在[a,b]上為凹的.定義１設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo).(2)若對于任意的，曲線弧y=f(x)過點(diǎn)的切線總位于曲線弧y=f(x)的上方，則稱曲線弧y=f(x)在[a,b]上為凸的.一、曲線的凹凸性

如果y=f(x)在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)，則可以利用二階導(dǎo)數(shù)的符號來判定曲線的凹凸性.定理(曲線凹凸的判定法)

設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo).(1)若在(a,b)內(nèi)，則曲線弧y=f(x)在[a,b]上為凹的.(2)若在(a,b)內(nèi)，則曲線弧y=f(x)在[a,b]上為凸的.判定曲線弧y=xarctanx的凹凸性.故y=xarctanx在內(nèi)為凹的.例1所給曲線在內(nèi)為連續(xù)曲線弧.由于解判定曲線弧的凹凸性.因此當(dāng)x<0時(shí)，，可知曲線弧為凸的.當(dāng)x>0時(shí)，，可知曲線弧為凹的.例2所給曲線在內(nèi)為連續(xù)曲線弧.由于解定義連續(xù)曲線弧上的凹弧與凸弧的分界點(diǎn)，稱為該曲線弧的拐點(diǎn).二、曲線的拐點(diǎn)試判定點(diǎn)M(0,0)是否為下列曲線弧的拐點(diǎn).例3分析從而知點(diǎn)(0,0)為曲線弧的拐點(diǎn).(1)在f(x)所定義的區(qū)間內(nèi)，求出二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn).(2)求出二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).判斷連續(xù)曲線弧拐點(diǎn)的步驟：(3)判定上述點(diǎn)兩側(cè)，是否異號.如果在的兩側(cè)異號，則為曲線弧的y=f(x)的拐點(diǎn).如果在的兩側(cè)同號，則不為曲線弧y=f(x)的拐點(diǎn).討論曲線弧的凹凸性，并求其拐點(diǎn).x1(1,2)2+0－0+y凹拐點(diǎn)(1,－3)凸拐點(diǎn)(2,6)凹例4所給函數(shù)內(nèi)連續(xù).解可知所給曲線弧在內(nèi)為凹的.在(1,2)為凸的.拐點(diǎn)為點(diǎn)(1,－3)與點(diǎn)(2,6).討論曲線的凹凸性，并求其拐點(diǎn).例5所給函數(shù)內(nèi)為連續(xù)函數(shù).解－0+不存在+y凸拐點(diǎn)凹非拐點(diǎn)凹可知所給曲線在為凸的.在內(nèi)為凹的.第五節(jié)函數(shù)圖形的描繪一、漸近線二、函數(shù)的作圖定義點(diǎn)M沿曲線y=f(x)無限遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，若點(diǎn)M與某定直線L之間的距離趨于零，則稱直線L為曲線y=f(x)的一條漸近線.

一、漸近線1.水平漸近線當(dāng)且僅當(dāng)下列三各情形之一成立時(shí)，直線y=c為曲線y=f(x)的水平漸近線：2.鉛直漸近線當(dāng)且僅當(dāng)下列三各情形之一成立時(shí)，直線為曲線y=f(x)的鉛直漸近線：可知y=0所給曲線的水平漸近線.例1解可知x=–1為所給曲線的鉛直漸近線(在x=–1的兩側(cè)f(x)的趨向不同！)可知x=3為所給曲線的鉛直漸近線(在x=3的兩側(cè)f(x)的趨向不同！)例2所給的函數(shù)的定義域?yàn)榻?/p>

二、函數(shù)的作圖

利用導(dǎo)數(shù)描繪圖形的一般步驟如下：(1)確定函數(shù)的定義域及函數(shù)所具有的某些特性(如奇偶性、周期性等)，并求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；(2)求出一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)在函數(shù)定義域內(nèi)的全部零點(diǎn)，并求出函數(shù)的間斷點(diǎn)及和不存在的點(diǎn)，用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義域劃分成幾個部分區(qū)間;(4)

確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線以及其他變化趨勢；(3)確定在這些部分區(qū)間內(nèi)和的符號，并由此確定函數(shù)圖形的升降和凹凸、極值點(diǎn)和拐點(diǎn)；(5)算出和的零點(diǎn)以及不存在的點(diǎn)所對應(yīng)的函數(shù)值，定出圖形上相應(yīng)的點(diǎn).為了把圖形描繪得準(zhǔn)確些，有時(shí)還需要補(bǔ)充一些點(diǎn)，然后結(jié)合(3)、(4)中得到的結(jié)果，聯(lián)結(jié)這些點(diǎn)畫出函數(shù)的圖形.是連續(xù)的非奇非偶函數(shù)，非周期函數(shù).例3解所給函數(shù)的定義域?yàn)?，x1(1,2)2(2,3)3+0––0+––0++y凸極大2凸

拐點(diǎn)

(2,0)凹極小–2凹所給函數(shù)圖形無漸近線.再補(bǔ)充點(diǎn)(0,–2).函數(shù)為奇函數(shù)，只需研究內(nèi)函數(shù)的情形可知y=0為該曲線的水平漸近線.該曲線沒有鉛直漸近線.例4所給函數(shù)的定義域?yàn)?解由于x(0,1)1+0–––––0+y凸極大凸

拐點(diǎn)

凹列表分析：故在x<0的鄰域內(nèi)，曲線是凹的.所以點(diǎn)(0,0)為拐點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)為連續(xù)的奇函數(shù)，在x>0的鄰域內(nèi)，曲線是凸的，可知y=0為該曲線的水平漸近線.函數(shù)為偶函數(shù)，因此其圖形關(guān)于y軸對稱.該曲線沒有鉛直漸近線.例5所給函數(shù)的定義域?yàn)?解x0++0–––+0––++y凹

拐點(diǎn)

凹極大值1

凸拐