湖南省長(zhǎng)沙市百強(qiáng)校2025屆高三上學(xué)期月考（三）（11月）數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁湖南省長(zhǎng)沙市百強(qiáng)校2025屆高三上學(xué)期月考（三）（11月）數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z滿足1+iz=3?4i，則z=A.?55 B.25 C.?2.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2?2nA.12 B.15 C.18 D.213.拋物線y=4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(

)A.(1,0) B.(?1,0) C.(0,?116)4.如圖是函數(shù)y=sinωx+φ的部分圖象，則函數(shù)的解析式可為(

)

A.y=sinπ3?2xB.y=sinx+5.1903年，火箭專家、航天之父康斯坦丁·齊奧爾科夫斯基就提出單級(jí)火箭在不考慮空氣阻力和地球引力的理想情況下的最大速度v滿足公式：v=v0lnm1+m2m1，其中m1，m2分別為火箭結(jié)構(gòu)質(zhì)量和推進(jìn)劑的質(zhì)量，v0是發(fā)動(dòng)機(jī)的噴氣速度．已知某單級(jí)火箭結(jié)構(gòu)質(zhì)量是推進(jìn)劑質(zhì)量的2A.10?km/s B.20?km/s C.803km/s 6.若3cos?α+?10cos?β=85，3sin?α?A.??54 B.?54 7.如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)0出發(fā)，每隔一秒隨機(jī)向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，向左的概率為23，向右的概率為13，共移動(dòng)4次，則該質(zhì)點(diǎn)共兩次到達(dá)1的位置的概率為(

)

A.427 B.827 C.298.設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若an+an+1=2n+1，且存在k∈NA.?20,21 B.?20,20 C.?29,11 D.?20,19二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AA.直線EF與D1B1為異面直線 B.直線D1E與DC1所成的角為60°

10.已知P是圓O：x2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn)，直線l1：xcos?θ+ysin?θ=4與l2：A.l1⊥l2 B.直線l1與圓O相切

C.直線l2與圓O截得弦長(zhǎng)為11.已知三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+d有三個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2，x3xA.b2>3ac

B.若x1，x2，x3成等差數(shù)列，則x2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布Bn,p，若EX=3，DX=213.已知平面向量a，b滿足a=2，b=1，且b在a上的投影向量為?14a，則14.如圖，已知四面體ABCD的體積為32，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，G，H分別在CD，AD上，且G，H是靠近D點(diǎn)的四等分點(diǎn)，則多面體EFGHBD的體積為____．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asin?B??(1)求A；(2)若sin?B+sin?C=2sin?A，且△ABC的面積為?316.(本小題12分)設(shè)fx=x(1)若a=0，求f(x)在x=1處的切線方程；(2)若a∈R，試討論fx的單調(diào)性．17.(本小題12分)已知四棱錐PABCD，底面ABCD為菱形，PD=PB，H為PC上的點(diǎn)，過AH的平面分別交PB，PD于點(diǎn)M，N，且BD?//平面AMHN．(1)證明：MN⊥PC；2當(dāng)H為PC的中點(diǎn)，且PA=PC=?3AB，若PA與平面ABCD所成的角為60°，求銳二面角18.(本小題12分)已知雙曲線Γ：x2?y23=1的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，過F2(1)若AB⊥x軸，求線段AB的長(zhǎng)；(2)若直線l與雙曲線的左、右兩支相交，且直線AF1交y軸于點(diǎn)M，直線BF1交(i)若S△F1(ii)若F1，F(xiàn)2恒在以MN為直徑的圓內(nèi)部，求直線l19.(本小題12分)已知an是各項(xiàng)均為正整數(shù)的無窮遞增數(shù)列，對(duì)于k∈N???，設(shè)集合Bk={i∈N??|a1若an=n2，求b1，b2若an=2n，設(shè)bn的前n項(xiàng)和為S3若數(shù)列bn是等差數(shù)列，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式．參考答案1.C

2.B

3.D

4.A

5.B

6.C

7.A

8.A

9.ABD

10.ACD

11.ABD

12.9

13.314.11

15.解：(1)由正弦定理得sinAsinB?3sinBcosA=?0，

因?yàn)锽∈(0,π)，所以sinB≠0，故tanA=3，

因?yàn)樵凇鰽BC中，A∈(0,π)，所以A=π3；

(2)因?yàn)閟inB+sinC=?2sinA，

由正弦定理的邊角互化可得b+c=2a，

16.解：(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=x2(lnx+12)，知f′(x)=2xlnx+2x，

于是f′(1)=2，f(1)=12，

故切線方程為y=2(x?1)+12，即2x?y?32=0；

(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，且f′(x)=(2x+a)lnx+x+a+x=(2x+a)(lnx+1)，

若a≥0，則2x+a>0，知f′(x)=0有唯一解x=1e，

故f(x)在(0,1e)上單調(diào)遞減，在(1e,+∞)上單調(diào)遞增;

若a<0，則令f′(x)=0，有兩解x1=1e，x2=?a2

，則當(dāng)1e<?a2，即a<?2e時(shí)，f(x)在(0,1e)上遞增，

在(1e,?a2)上遞減，在(?a2,+∞)上遞增;

當(dāng)1e=?a2，即a=?2e時(shí)，知f′(x)≥0，

故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增17.(1)證明：連接AC交BD于O，

因?yàn)锳BCD為菱形，

所以BD⊥AC，且O為AC、BD的中點(diǎn)，

∵PD=PB，

∴PO⊥BD．

∵AC∩PO=O，且AC?面PAC、PO?面PAC．

∴BD⊥面PAC．

∵PC?面PAC，

∴BD⊥PC．

∵BD//平面AMHN，且面PBD∩平面AMHN=MN，BD?面PBD，

∴DB/?/MN．

∴MN⊥PC．

(2)解：由(1)得DB⊥AC且PO⊥BD，

∵PA=PC，且O為AC中點(diǎn)，

∴PO⊥AC，

又AC∩BD=O，AC?面ABCD，BD?面ABCD，

∴PO⊥面ABCD，

∵PA

與平面

ABCD

所成的角為∠PAO=60°．

可得AO=12PA，PO=32PA，

∵PA=3AB，

∴BO=36PA．

以O(shè)為原點(diǎn)，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O?xyz．

記PA=2，∴O(0,0,0)，A(1,0,0)，

B(0,33,0),C(?1,0,0),D(0,?33,0)，P(0,0,3)，H(?12,0,32)，

∴DB=(0,233,0)，AH=(?32,0,318.解：(1)因?yàn)閍2=1，b2=3，所以c2=a2+b2=4?c=2，

所以F2(2,0)，

當(dāng)直線l過點(diǎn)F2且l⊥x軸，直線l方程為x=2，

代入雙曲線方程x2?y23=1，解得y=±3，

所以|AB|=6．

(2)(i)如圖所示，

設(shè)l:x=my+2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立x=my+2,3x2?y2=3,得(3m2?1)y2+12my+9=0，

因?yàn)榕c雙曲線左、右兩支相交，

故3m2?1>0,△=36(m2+1)>0,即m2>13，

此時(shí)AF1:y=y1x1+2(x+2)，

故M(0,2y1x1+2)，同理N(0,19.解：(1)B1={i∈N?|ai<1}=?，B2={i∈N?|ai<2}={1}，B17={i∈N?|ai<17