第十四章 整式的乘法與因式分解（8類壓軸題專練）

第十四章整式的乘法與因式分解（壓軸題專練）【類型一已知多項式乘積不含某項求字母的值】例題：（2023春·浙江紹興·七年級統(tǒng)考期末）若去括號后不含的一次項，則的值為______．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期末）若代數(shù)式的結(jié)果中不含字母x的一次項，則a的值是______．2．（2023春·浙江·七年級期末）已知的展開式中不含項和項，那么_____，_____．【類型二多項式乘多項式與圖形面積】例題：（2023春·安徽六安·七年級統(tǒng)考期末）閱讀材料并解答問題：我們已經(jīng)知道，完全平方公式可以用平面幾何圖形的面積來表示，實(shí)際上還有一些代數(shù)恒等式也可以用這種形式表示，例如：就可以用圖①的面積來表示．(1)請寫出圖②所表示的代數(shù)恒等式．(2)請畫圖，用平面幾何圖形的面積來表示代數(shù)恒等式．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河南開封·七年級統(tǒng)考期末）如圖，某體育訓(xùn)練基地有一塊長米，寬米的長方形空地，現(xiàn)準(zhǔn)備在這塊長方形空地上建一個長米，寬米的長方形游泳池，剩余四周全部修建成休息區(qū)．（結(jié)果需要化簡）

(1)求長方形游泳池的面積；(2)求休息區(qū)的面積；(3)休息區(qū)比游泳池的面積大多少平方米？2．（2023春·陜西榆林·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在某高鐵站廣場前有一塊長為，寬為的長方形空地，計劃在中間留兩個長方形噴泉池（圖中陰影部分），兩個長方形噴泉池及周邊留有寬度為b的人行通道．

(1)求該長方形空地的面積；（用代數(shù)式表示）(2)求這兩個長方形噴泉池的總面積；（用代數(shù)式表示）(3)當(dāng)，時，求這兩個長方形噴泉池的總面積．【類型三多項式乘法中的規(guī)律性問題】例題：（2023春·江西新余·八年級統(tǒng)考期末）觀察下列各式．…請根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律完成下列各題：(1)根據(jù)規(guī)律可得______；（其中為正整數(shù)）(2)計算：．（結(jié)果保留冪的形式）(3)計算：．（結(jié)果保留冪的形式）【變式訓(xùn)練】1．（2023春·安徽六安·七年級統(tǒng)考期末）觀察下列各式：；；；；(1)根據(jù)上面各式的規(guī)律可得：________．(2)根據(jù)上面各式的規(guī)律可得：________．(3)若，求的值．2．（2023春·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）（1）計算觀察下列各式填空：第1個：___________；第2個：___________；第3個：___________；這些等式反映出多項式乘法的某種運(yùn)算規(guī)律．（2）猜想：若n為大于1的正整數(shù)，則___________．（3）利用（2）的猜想結(jié)論計算：___________．（4）擴(kuò)展與應(yīng)用：___________．【類型四利用完全平方配方求多項式最小/大值問題】例題：（2023秋·湖南衡陽·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：數(shù)學(xué)課上，老師在求代數(shù)式的最小值時，利用公式：，對式子作如下變形：，因?yàn)?，所以，?dāng)時，，因此有最小值，即的最小值為．通過閱讀，解下列問題：(1)代數(shù)式的最小值為___________，此時的值為___________(2)試比較代數(shù)式與的大小，并說明理由．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）將一個式子或一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和，這種方法稱之為配方法．這種方法常常被用到式子的恒等變形中，以挖掘題目中的隱含條件，是解題的有力手段之一．例如，求代數(shù)式的最小值．解：原式．，．當(dāng)時，的最小值是．(1)請仿照上面的方法求代數(shù)式的最小值．(2)代數(shù)式的最大值為______．2．（2023春·浙江·七年級統(tǒng)考期末）在學(xué)習(xí)了乘法公式“”的應(yīng)用后，王老師提出問題：求代數(shù)式的最小值．同學(xué)們經(jīng)過探究、合作、交流，最后得到如下的解法：解：，∵，∴，當(dāng)時，的值最小，最小值為1．∴的最小值是1，請你根據(jù)上述方法，解答下列問題：(1)求代數(shù)式的最小值；(2)求代數(shù)式的最小值；(3)若，求的最小值．3．（2023春·廣東茂名·七年級統(tǒng)考期末）把代數(shù)式通過配方等手段得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式的非負(fù)性這一性質(zhì)解決問題，這種解題方法叫做配方法．配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問題等都有廣泛的應(yīng)用.如利用配方法求最小值，求的最小值．解：，因?yàn)椴徽揳取何值，總是非負(fù)數(shù)，即．所以，所以當(dāng)時，有最小值．根據(jù)上述材料，解答下列問題：(1)在橫線上添上一個常數(shù)項使之成為完全平方式：_____________；(2)將變形為的形式，并求出的最小值；(3)若代數(shù)式，試求N的最大值．【類型五平方差公式在幾何圖形中的應(yīng)用】例題：（2023春·廣東揭陽·七年級統(tǒng)考期中）長為的正方形中剪掉一個邊長為的正方形（如圖），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖）

(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是___________（請選擇正確的一個）A．B．C．(2)應(yīng)用你從（）選出的等式，完成下面習(xí)題：①已知，，求的值；②計算【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·河北邢臺·八年級校聯(lián)考期末）乘法公式的探究及應(yīng)用．

【探究】（1）將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成一個如圖2的長方形，通過比較圖1、圖2陰影部分的面積，可以得到整式乘法公式_________；【應(yīng)用】（2）運(yùn)用你所得到的乘法公式，完成下列齊題：①若，，求的值；②計算：．【拓展】（3）計算：．2．（2023春·廣東河源·七年級統(tǒng)考期末）如圖①，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，將陰影部分沿線剪開，如圖所示，拼成圖②的長方形．

(1)請你表示出圖①中陰影部分的面積_________________________；請你表示出圖②中陰影部分的面積_________________________；(2)比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：_________________________；(3)請應(yīng)用公式計算：．3．（2023春·山東濰坊·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在邊長為的正方形中挖去一個邊長為的小正方形，把余下的部分剪拼成一個矩形．

(1)通過計算兩個圖形的面積陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的等式是______；請選擇正確的一個A. B.C. D.(2)應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知，，求的值．②計算：【類型六完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用】例題：（2023春·浙江紹興·七年級校聯(lián)考期中）圖1是一個長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．

(1)觀察圖2，請你寫出下列三個代數(shù)式，，之間的等量關(guān)系為________________．(2)運(yùn)用你所得到的公式，計算：若為實(shí)數(shù)，且，，試求的值．(3)如圖3，點(diǎn)C是線段上的一點(diǎn)，以為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·河北廊坊·八年級廊坊市第四中學(xué)?？计谥校﹫D①是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀分成四塊小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形．

(1)圖②中陰影部分的正方形的邊長是_；(2)請用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積：方法1：_；方法2：_；(3)觀察圖②，請寫出代數(shù)式，，之間的等量關(guān)系：_．(4)根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：已知：，，求：的值；2．（2023春·山東濰坊·七年級統(tǒng)考期末）圖1是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均裁成四塊小長方形，然后按如圖2所示的形狀拼成一個大正方形．(1)圖2中的陰影部分正方形的邊長是_（用含a，b的代數(shù)式表示）；(2)觀察圖1，圖2，能驗(yàn)證的等式是：_（請選擇正確的一個）；A．B．C．(3)如圖3，C是線段上的一點(diǎn)，以為邊向上分別作正方形和正方形，連結(jié)．若，求的面積．3．（2023春·山東煙臺·六年級統(tǒng)考期中）如圖1是長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）．(1)你認(rèn)為圖2中陰影部分的正方形的邊長等于多少？___________．(2)觀察圖2，請你寫出、、之間的等量關(guān)系是___________；(3)若，，求的值；(4)拓展：若，求的值．【類型七十字相乘法因式分解】例題：（2023春·安徽阜陽·七年級?？茧A段練習(xí)）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式；．第一步：二次項系數(shù)2可以寫成，常數(shù)項可以寫成或；第二步：如下圖，畫“×”號，將1、2寫在“×”號左邊，將、3或1、寫在“×”號的右邊，共有如下圖的四種情形：

第三步：驗(yàn)算“交叉相乘兩個積的和”是否等于一次項的系數(shù)：①的系數(shù)為；②的系數(shù)為；③的系數(shù)為；④的系數(shù)為．顯然，第②個“交叉相乘兩個積的和”等于一次項系數(shù)，因此有：．像這樣，通過十字交叉線幫助，把二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法．問題：(1)分解因式：；①完善下圖中“×”號右邊的數(shù)使得；“交叉相乘兩個積的和”等于一次項系數(shù)；

②分解因式：_______；(2)分解因式：．①完善橫線上的數(shù)字；

②分解因式：________．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣西北?！て吣昙壗y(tǒng)考期中）閱讀理解：用“十字相乘法”因式分解例如：求：(1)(2)2．（2023春·廣西梧州·七年級統(tǒng)考期中）閱讀理解題在因式分解中有一種常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，這個方法其實(shí)就是運(yùn)用乘法公式運(yùn)算來進(jìn)行因式分解，基本式子為：，例如：分解因式，，，按此排列：

交叉相乘，乘積相加等于，得到，這就是十字相乘法．利用上述方法解決下列問題：(1)分解因式：；(2)先分解因式，再求值：，其中．3．（2023春·湖南岳陽·七年級統(tǒng)考期末）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如圖）．第一步：二次項；第二步：常數(shù)項，畫“十字圖”驗(yàn)算“交叉相乘之和”；

第三步：發(fā)現(xiàn)第③個“交叉相乘之和”的結(jié)果等于一次項．即．像這樣，通過畫“十字圖”，把二次三項式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．運(yùn)用結(jié)論：(1)將多項式進(jìn)行因式分解，可以表示為_______________；(2)若可分解為兩個一次因式的積，請畫好“十字圖”，并求整數(shù)的所有可能值．4．（2023春·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料：將一個形如的二次三項式因式分解時，如果能滿足且，則可以把因式分解成．例如：（1）；（2）．根據(jù)材料，把下列式子進(jìn)行因式分解．(1)；(2)；(3)．5．（2023春·七年級單元測試）閱讀材料：根據(jù)多項式乘多項式法則，我們很容易計算：；．而因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得：；．通過這樣的關(guān)系我們可以將某些二次項系數(shù)是1的二次三項式分解因式．如將式子分解因式．這個式子的二次項系數(shù)是，常數(shù)項，一次項系數(shù)，可以用下圖十字相乘的形式表示為：先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次項系數(shù)，然后橫向書寫．這樣，我們就可以得到：．利用這種方法，將下列多項式分解因式：(1)_____；(2)_____；(3)_____；(4)_____．【類型八分組分解法因式分解】例題：（2023春·陜西西安·八年級高新一中?？计谀读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版》關(guān)于運(yùn)算能力的解釋為：運(yùn)算能力主要是指根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力，因此，我們面對沒有學(xué)過的數(shù)學(xué)題時，方法可以創(chuàng)新，但在創(chuàng)新中要遵循法則和運(yùn)算律，才能正確解答，下面介紹一種分解因式的新方法——拆項補(bǔ)項法：把多項式的某一項拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項（或幾項），使原式適合于已學(xué)過的方法進(jìn)行分解．例題：用拆項補(bǔ)項法分解因式．解：添加兩項．原式請你結(jié)合自己的思考和理解完成下列各題：(1)分解因式：；(2)分解因式；(3)分解因式：．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考期末）因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有些多項式無法直接使用上述方法分解，如，我們可以把它先分組再分解：，這種方法叫做分組分解法．請解決下列問題：(1)分解因式：；(2)已知a，b，c是的三邊，且滿足，請判斷的形狀，并說明理由，2．（2023春·廣東深圳·八年級深圳市高級中學(xué)?？计谥校┪覀円呀?jīng)學(xué)過將一個多項式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、拆項法等等．①分組分解法：例如：．②拆項法：例如：．(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）；②（拆項法）；(2)已知：a、b、c為的三條邊，，求的周長．3．（2023春·江蘇泰州·七年級靖江市靖城中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）將一個多項式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是因式分解中的分組分解法，一般的分組分解法有四種形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法“3+3”分法等．如“2+2”分法：請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：(1)分解因式：；(2)分解因式：；(3)分解因式：．4．（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）【問題提出】：分解因式：（1）

（2）【問題探究】：某數(shù)學(xué)“探究學(xué)習(xí)”小組對以上因式分解題目進(jìn)行了如下探究：探究1：分解因式：（1）分析：甲發(fā)現(xiàn)該多項式前兩項有公因式，后兩項有公因式，分別把它們提出來，剩下的是相同因式，可以繼續(xù)用提公因式法分解．解：另：乙發(fā)現(xiàn)該多項式的第二項和第四項含有公因式，第一項和第三項含有公因式，把，提出來，剩下的是相同因式，可以繼續(xù)用提公因式法分解．解：探究2：分解因式：（2）分析：甲發(fā)現(xiàn)先將看作一組應(yīng)用平方差公式，其余兩項看作一組，提出公因式6，則可繼續(xù)再提出因式，從而達(dá)到分解因式的目的．解：【方法總結(jié)】：對不能直接使用提取公因式法，公式法進(jìn)行分解因式的多項式，我們可把被分解的多項式分成若干組，分別按“基本方法”即提取公因式法和公式法進(jìn)行分解，然后，再從總體上按“基本方法”繼續(xù)進(jìn)行分解，直到分解出最后結(jié)果．這種分解因式的方法叫做分組分解法：【學(xué)以致用】：嘗試運(yùn)用分組分解法解答下列問題；（1）分解因式：；（2）分解因式：；【拓展提升】：分解因式：．

第十四章整式的乘法與因式分解（壓軸題專練）答案全解全析【類型一已知多項式乘積不含某項求字母的值】例題：（2023春·浙江紹興·七年級統(tǒng)考期末）若去括號后不含的一次項，則的值為______．【答案】【分析】根據(jù)去括號后不含x的一次項，可知去括號、合并同類項后，含x的一次項的系數(shù)為0，據(jù)此即可求得m的值．【詳解】解：，去括號后不含x的一次項，，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了多項式乘法結(jié)果中不含某項問題，熟練掌握和運(yùn)用不含某項求參數(shù)的方法是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江西萍鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期末）若代數(shù)式的結(jié)果中不含字母x的一次項，則a的值是______．【答案】/0.5【分析】先根據(jù)多項式乘以多項式的法則計算原式，再根據(jù)結(jié)果中不含字母x的一次項可得關(guān)于m的方程，解方程即得答案．【詳解】解：，因?yàn)橛嬎憬Y(jié)果中不含字母x的一次項，所以，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了多項式的乘法，屬于基本題型，正確理解題意、熟練掌握多項式乘以多項式的法則是解題關(guān)鍵．2．（2023春·浙江·七年級期末）已知的展開式中不含項和項，那么_____，_____．【答案】37【分析】利用多項式乘多項式的運(yùn)算法則進(jìn)行計算，然后令含和的項的系數(shù)之和為0，從而列方程求解．【詳解】解：原式，原式的展開式中不含和的項，，，解得：，，故答案為：3，7．【點(diǎn)睛】本題考查多項式乘多項式，掌握多項式乘多項式的運(yùn)算法則，理解展開式中不含和的項，即含和的項的系數(shù)之和為0是解題關(guān)鍵．【類型二多項式乘多項式與圖形面積】例題：（2023春·安徽六安·七年級統(tǒng)考期末）閱讀材料并解答問題：我們已經(jīng)知道，完全平方公式可以用平面幾何圖形的面積來表示，實(shí)際上還有一些代數(shù)恒等式也可以用這種形式表示，例如：就可以用圖①的面積來表示．(1)請寫出圖②所表示的代數(shù)恒等式．(2)請畫圖，用平面幾何圖形的面積來表示代數(shù)恒等式．【答案】(1)；(2)見解析．【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)表示出長方形的長與寬，再根據(jù)長方形的面積公式寫出等式的左邊，再表示出每一小部分的長方形的面積，然后根據(jù)面積相等即可寫出等式．（2）根據(jù)題目的要求和恒等式的意義即可畫出圖形．【詳解】（1）解：由題意得；（2）解：如圖所示，即為所求；【點(diǎn)睛】本題主要考查了多項式乘以多項式在幾何圖形中的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河南開封·七年級統(tǒng)考期末）如圖，某體育訓(xùn)練基地有一塊長米，寬米的長方形空地，現(xiàn)準(zhǔn)備在這塊長方形空地上建一個長米，寬米的長方形游泳池，剩余四周全部修建成休息區(qū)．（結(jié)果需要化簡）

(1)求長方形游泳池的面積；(2)求休息區(qū)的面積；(3)休息區(qū)比游泳池的面積大多少平方米？【答案】(1)平方米(2)平方米(3)平方米【分析】（1）根據(jù)長方形的面積公式和單項式乘以多項式的法則解答即可；（2）用大長方形的面積減去小長方形的面積求解即可；（3）由（2）求得的結(jié)果與（1）求得的結(jié)果作差求解即可．【詳解】（1）長方形游泳池的面積平方米；（2）；即休息區(qū)的面積是平方米；（3）；即休息區(qū)比游泳池的面積大平方米．【點(diǎn)睛】本題考查了整式運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意、熟練掌握整式的乘法法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·陜西榆林·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在某高鐵站廣場前有一塊長為，寬為的長方形空地，計劃在中間留兩個長方形噴泉池（圖中陰影部分），兩個長方形噴泉池及周邊留有寬度為b的人行通道．

(1)求該長方形空地的面積；（用代數(shù)式表示）(2)求這兩個長方形噴泉池的總面積；（用代數(shù)式表示）(3)當(dāng)，時，求這兩個長方形噴泉池的總面積．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)長方形的面積列式并計算即可；（2）根據(jù)“長為，寬為的長方形空地，兩個長方形噴泉池及周邊留有寬度為b的人行通道”列式計算即可；（3）把，代入（2）中得到結(jié)果計算即可．【詳解】（1）解：，答：該長方形空地的面積為．（2）．答：這兩個長方形噴泉池的總面積為．（3）當(dāng)，時，這兩個長方形噴泉池的總面積為．即這兩個長方形噴泉池的總面積為．【點(diǎn)睛】此題考查了列代數(shù)式、多項式乘法的應(yīng)用、代數(shù)式的值等知識，根據(jù)題意正確列出代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．【類型三多項式乘法中的規(guī)律性問題】例題：（2023春·江西新余·八年級統(tǒng)考期末）觀察下列各式．…請根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律完成下列各題：(1)根據(jù)規(guī)律可得______；（其中為正整數(shù)）(2)計算：．（結(jié)果保留冪的形式）(3)計算：．（結(jié)果保留冪的形式）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）觀察所給式子的特點(diǎn)，等號右邊的指數(shù)比等號左邊的最高指數(shù)大，然后寫出即可；（2）根據(jù)所給式子的規(guī)律，把x換為3即可，（3）配成上述結(jié)構(gòu)式子，利用總結(jié)規(guī)律直接寫出結(jié)果；【詳解】（1）解：觀察已知可得，故答案為：；（2）解：根據(jù)（1）可知，；（3）解：原式變形為：．【點(diǎn)睛】本題考查了多項式乘以多項式的規(guī)律題，要讀懂題目信息并總結(jié)出規(guī)律，具有規(guī)律性是特殊式子的因式分解，解題的關(guān)鍵是找出所給范例展示的規(guī)律．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·安徽六安·七年級統(tǒng)考期末）觀察下列各式：；；；；(1)根據(jù)上面各式的規(guī)律可得：________．(2)根據(jù)上面各式的規(guī)律可得：________．(3)若，求的值．【答案】(1)(2)(3)1【分析】（1）分析數(shù)據(jù)的規(guī)律直接求解即可．（2）分析數(shù)據(jù)的規(guī)律直接求解即可．（3）分析數(shù)據(jù)的規(guī)律直接求解即可．【詳解】（1）解：．故答案為：．（2）解：；故答案為：．（3）解：∵，又∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查多項式乘法中的規(guī)律性問題，解題關(guān)鍵是將推論出來的規(guī)律用來直接求解．2．（2023春·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）（1）計算觀察下列各式填空：第1個：___________；第2個：___________；第3個：___________；這些等式反映出多項式乘法的某種運(yùn)算規(guī)律．（2）猜想：若n為大于1的正整數(shù)，則___________．（3）利用（2）的猜想結(jié)論計算：___________．（4）擴(kuò)展與應(yīng)用：___________．【答案】（1）；；；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根據(jù)多項式乘多項式的乘法計算即可得；（2）利用（1）中已知等式得出的結(jié)果為a，b兩數(shù)n次冪的差，即可得；（3）將原式變?yōu)椋纯傻?；?）將原式變形為，在根據(jù)所得規(guī)律進(jìn)行計算即可得．【詳解】解：（1）第1個：；第2個：；第3個：；故答案為：；；；（2）由（1）中已知等式得出的結(jié)果為a，b兩數(shù)n次冪的差，若n為大于1的正整數(shù)，則，故答案為：；（3），故答案為：；（4）故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了多項式乘多項式，解題的關(guān)鍵是掌握多項式乘多項式，根據(jù)等式發(fā)現(xiàn)規(guī)律．【類型四利用完全平方配方求多項式最小/大值問題】例題：（2023秋·湖南衡陽·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：數(shù)學(xué)課上，老師在求代數(shù)式的最小值時，利用公式：，對式子作如下變形：，因?yàn)椋?，?dāng)時，，因此有最小值，即的最小值為．通過閱讀，解下列問題：(1)代數(shù)式的最小值為___________，此時的值為___________(2)試比較代數(shù)式與的大小，并說明理由．【答案】(1)，(2)，見解析【分析】（1）根據(jù)材料提示，運(yùn)用配方法配成完全平方公式，即可求解；（2）運(yùn)用作差法化簡兩個代數(shù)式，運(yùn)用配方法配成完全平方公式，比較結(jié)果的正負(fù)，即可求解．【詳解】（1）解：，∵，∴，∴當(dāng)時，的最小值為，故答案為：，．（2）解：，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查乘法公式，作差法比較兩個多項式的大小的綜合，掌握配方法配成完全平方公式判定代數(shù)式的最值，運(yùn)用作差法比較結(jié)果的正負(fù)判斷代數(shù)式的大小等知識是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇淮安·七年級統(tǒng)考期末）將一個式子或一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和，這種方法稱之為配方法．這種方法常常被用到式子的恒等變形中，以挖掘題目中的隱含條件，是解題的有力手段之一．例如，求代數(shù)式的最小值．解：原式．，．當(dāng)時，的最小值是．(1)請仿照上面的方法求代數(shù)式的最小值．(2)代數(shù)式的最大值為______．【答案】(1)當(dāng)時，原式有最小值(2)【分析】（1）直接將代數(shù)式化成的形式，然后求解即可；（2）先把負(fù)號提出來，再將代數(shù)式化成的形式，然后求解即可．【詳解】（1）解：，，，當(dāng)時原式有最小值；（2），，，代數(shù)式的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的運(yùn)用，熟練掌握利用完全平方公式對多項式變形是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江·七年級統(tǒng)考期末）在學(xué)習(xí)了乘法公式“”的應(yīng)用后，王老師提出問題：求代數(shù)式的最小值．同學(xué)們經(jīng)過探究、合作、交流，最后得到如下的解法：解：，∵，∴，當(dāng)時，的值最小，最小值為1．∴的最小值是1，請你根據(jù)上述方法，解答下列問題：(1)求代數(shù)式的最小值；(2)求代數(shù)式的最小值；(3)若，求的最小值．【答案】(1)2(2)(3)【分析】（1）原式利用完全平方公式配方后，利用平方的非負(fù)性求出最小值即可；（2）原式利用完全平方公式配方后，利用平方的非負(fù)性求出最小值即可；（3）由，可得，代入中利用完全平方公式配方后，利用平方的非負(fù)性求出最小值即可．【詳解】（1）解：，，．的最小值是2．（2），，．的最小值是．（3），，，，．的最小值．【點(diǎn)睛】此題考查了運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計算，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．3．（2023春·廣東茂名·七年級統(tǒng)考期末）把代數(shù)式通過配方等手段得到完全平方式，再運(yùn)用完全平方式的非負(fù)性這一性質(zhì)解決問題，這種解題方法叫做配方法．配方法在代數(shù)式求值，解方程，最值問題等都有廣泛的應(yīng)用.如利用配方法求最小值，求的最小值．解：，因?yàn)椴徽揳取何值，總是非負(fù)數(shù)，即．所以，所以當(dāng)時，有最小值．根據(jù)上述材料，解答下列問題：(1)在橫線上添上一個常數(shù)項使之成為完全平方式：_____________；(2)將變形為的形式，并求出的最小值；(3)若代數(shù)式，試求N的最大值．【答案】(1)(2)，2(3)17【分析】（1）根據(jù)完全平方公式求解；（2）利用配方法求最小值；（3）先對式子進(jìn)行配方化成完全平方式，求出最大值即可．【詳解】（1）解：∵，故答案為：．（2）解：∵，其中，，的最小值是2；故答案為：2．（3）解：，的最大值是17．【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方式的變換，根據(jù)式子進(jìn)行變換化成完全平方式是解題的關(guān)鍵.【類型五平方差公式在幾何圖形中的應(yīng)用】例題：（2023春·廣東揭陽·七年級統(tǒng)考期中）長為的正方形中剪掉一個邊長為的正方形（如圖），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖）

(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是___________（請選擇正確的一個）A．B．C．(2)應(yīng)用你從（）選出的等式，完成下面習(xí)題：①已知，，求的值；②計算【答案】(1)B(2)①；②【分析】（1）根據(jù)圖形可知，圖中陰影部分的面積為：，圖的面積為長方形的長乘以長方形的寬，即可；（2）由（1）得，，則，再根據(jù)，即可；根據(jù)，則變形為，根據(jù)第二項的分子和第三項的分母約分，第二項的分母與第三項的分子約分，最后得，進(jìn)行計算，即可．【詳解】（1）∵大正方形的邊長為：，小正方形的邊長為：，∴陰影部分的面積為：；由圖可知，長方形的長為：，長方形的寬為：，∴組成的長方形的面積為：，∴，故選：B．（2）由（1）得，，∴，∵，，∴，∴；∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的幾何背景與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式并能靈活運(yùn)用．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·河北邢臺·八年級校聯(lián)考期末）乘法公式的探究及應(yīng)用．

【探究】（1）將圖1中的陰影部分裁剪下來，重新拼成一個如圖2的長方形，通過比較圖1、圖2陰影部分的面積，可以得到整式乘法公式_________；【應(yīng)用】（2）運(yùn)用你所得到的乘法公式，完成下列齊題：①若，，求的值；②計算：．【拓展】（3）計算：．【答案】（1）；（2）①3；②9996；（3）【分析】（1）根據(jù)圖1與圖2面積相等，則可列出等式即可得出答案；（2）①由（1）可知，進(jìn)而代入相對于的值即可求解；②將變形為，再應(yīng)用平方差公式進(jìn)行計算即可；（3）根據(jù)平方差公式將每個括號變形，即可求出答案．【詳解】解：（1）大的正方形邊長為，面積為，小正方形邊長為，面積為，∵圖1陰影部分的面積為大的正方形面積減去小的正方形面積，∴圖1陰影部分面積，圖2陰影部分面積，∵圖1的陰影部分與圖2面積相等，∴，故答案為：；（2）①∵，，即：，∴；②；（3）．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的幾何背景，靈活運(yùn)用平方差公式是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣東河源·七年級統(tǒng)考期末）如圖①，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，將陰影部分沿線剪開，如圖所示，拼成圖②的長方形．

(1)請你表示出圖①中陰影部分的面積_________________________；請你表示出圖②中陰影部分的面積_________________________；(2)比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：_________________________；(3)請應(yīng)用公式計算：．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）圖①中陰影部分的面積是兩個正方形面積的差，圖②中陰影部分的面積是長為，寬為的長方形面積；（2）易得兩圖的陰影部分面積相等，即可列出式子；（3）各項都應(yīng)用公式計算即可抵消，得到結(jié)果．【詳解】（1）在圖①中，∵大正方形的面積為，小正方形的面積為，∴陰影部分的面積為，在圖②中，∵陰影部分為長方形，長為，寬為，∴陰影部分的面積為；故答案為：,；（2）∵兩圖的陰影部分面積相等，∴可以得到乘法公式；（3）應(yīng)用乘法公式得：．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的幾何意義和平方差公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用及熟練掌握平方差公式．3．（2023春·山東濰坊·七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在邊長為的正方形中挖去一個邊長為的小正方形，把余下的部分剪拼成一個矩形．

(1)通過計算兩個圖形的面積陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的等式是______；請選擇正確的一個A.B.C.D.(2)應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知，，求的值．②計算：【答案】(1)B(2)①3；②【分析】（1）分別表示左圖和右圖中陰影部分的面積，根據(jù)面積相等得出結(jié)論；（2）由（1）中規(guī)律，利用平方差公式整體代入即可解得；通過觀察，此題數(shù)字具有一定規(guī)律，可用運(yùn)算定律把原式變?yōu)椋?，再運(yùn)用平方差公式，解決問題．【詳解】（1）解：左圖中，陰影部分為正方形，面積為：，右圖陰影是拼成的長方形，長是：，寬是：，所以右圖陰影部分面積為：，由于左右兩圖面積相等，所以有：，故答案為：B．（2）解：由（1）中規(guī)律，利用平方差公式可得：，，，．故答案為：．通過觀察，此題數(shù)字具有一定規(guī)律，可用運(yùn)算定律將原式寫成：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差的幾何背景和應(yīng)用，代數(shù)式求值，有理數(shù)混合運(yùn)算及數(shù)式規(guī)律問題，利用平方差公式將代數(shù)式變形是關(guān)鍵．【類型六完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用】例題：（2023春·浙江紹興·七年級校聯(lián)考期中）圖1是一個長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．

(1)觀察圖2，請你寫出下列三個代數(shù)式，，之間的等量關(guān)系為________________．(2)運(yùn)用你所得到的公式，計算：若為實(shí)數(shù)，且，，試求的值．(3)如圖3，點(diǎn)C是線段上的一點(diǎn)，以為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由陰影部分的面積可得面積為或，從而可得答案；（2）把，代入，再利用平方根的含義可得答案；（3）設(shè)，，而，，可得，，可得，從而可得答案．【詳解】（1）解：由陰影部分的面積可得：，或，∴；（2）∵，，∴，∴；（3）設(shè)，，而，，∴，，而，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是完全平方公式及其變形與幾何圖形的面積，利用完全平方公式的表示求解代數(shù)式的值，熟記完全平方公式的變形是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·河北廊坊·八年級廊坊市第四中學(xué)校考期中）圖①是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀分成四塊小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形．

(1)圖②中陰影部分的正方形的邊長是_；(2)請用兩種不同的方法求圖②中陰影部分的面積：方法1：_；方法2：_；(3)觀察圖②，請寫出代數(shù)式，，之間的等量關(guān)系：_．(4)根據(jù)（3）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：已知：，，求：的值；【答案】(1)(2)，(3)(4)13【分析】（1）由圖可知，圖②中陰影部分的正方形的邊長是小長方形長與寬的差；（2）用正方形面積公式可表示陰影部分面積，根據(jù)陰影部分面積等于大正方形面積減去四個小長方形面積可表示陰影部分面積；（3）根據(jù)（2）中兩種方法表示的陰影部分面積相等，即可得出等量關(guān)系；（4）由（3）可得，將，代入即可求解．【詳解】（1）解：由圖可知：圖②中陰影部分的正方形的邊長是：，故答案為：；（2）解：方法一：陰影部分面積，方法二：陰影部分面積，故答案為：，；（3）解：由（2）可得：陰影部分面積，∴，故答案為：；（4）解：由（3）可得：，把，代入得：，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，用不同的方法表示圖形面積，以及熟知完全平方公式是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東濰坊·七年級統(tǒng)考期末）圖1是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均裁成四塊小長方形，然后按如圖2所示的形狀拼成一個大正方形．(1)圖2中的陰影部分正方形的邊長是_（用含a，b的代數(shù)式表示）；(2)觀察圖1，圖2，能驗(yàn)證的等式是：_（請選擇正確的一個）；A．B．C．(3)如圖3，C是線段上的一點(diǎn)，以為邊向上分別作正方形和正方形，連結(jié)．若，求的面積．【答案】(1)(2)C(3)【分析】（1）根據(jù)圖2中的信息即可得出陰影部分正方形的邊長；（2）根據(jù)大正方形的面積等于小正方形的面積加上4個長方形的面積，進(jìn)行求解即可；（3）設(shè)正方形的邊長為x，正方形的邊長為y，根據(jù)圖形中的關(guān)系得出，再求解，最后利用三角形面積公式即可得出答案；另解：設(shè)正方形的邊長為x，正方形的邊長為y，根據(jù)圖形中的關(guān)系得出，利用（2）的結(jié)論直接代入即可，最后根據(jù)三角形面積公式即可得出答案．【詳解】（1）圖2中的陰影部分正方形的邊長是；故答案為：（2）之間的等量關(guān)系是：，故選：C.（3）設(shè)正方形的邊長為x，正方形的邊長為y∴，解得，；

另解：設(shè)正方形的邊長為x，正方形的邊長為y，∴，

∴，∴，∴，

∴．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·山東煙臺·六年級統(tǒng)考期中）如圖1是長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖2）．(1)你認(rèn)為圖2中陰影部分的正方形的邊長等于多少？___________．(2)觀察圖2，請你寫出、、之間的等量關(guān)系是___________；(3)若，，求的值；(4)拓展：若，求的值．【答案】(1)(2)(3)；(4)【分析】（1）由圖2可知，陰影部分的正方形的邊長為；（2）根據(jù)圖2可知，大正方形面積等于內(nèi)部小正方形與4個小長方形的面積之和，分別用含a和b的代數(shù)式表示可得出答案；（3）由（1）可得出，整體代入數(shù)據(jù)即可得出答案；（4）設(shè)，，則，，利用完全平方公式即可求解．【詳解】（1）解：由圖2可知，陰影部分的正方形的邊長為；故答案為：；（2）解：大正方形的邊長為，陰影部分的正方形的邊長為，小長方形的長為b，寬為a，∴大正方形的面積為，小正方形的面積為，小長方形的面積為，由題可知，大正方形面積等于小正方形與4個小長方形的面積之和，即．故答案為：；（3）解：∵，，∴；（4）解：設(shè)，，∵，∴，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，理解圖形中各部分面積之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【類型七十字相乘法因式分解】例題：（2023春·安徽阜陽·七年級?？茧A段練習(xí)）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式；．第一步：二次項系數(shù)2可以寫成，常數(shù)項可以寫成或；第二步：如下圖，畫“×”號，將1、2寫在“×”號左邊，將、3或1、寫在“×”號的右邊，共有如下圖的四種情形：

第三步：驗(yàn)算“交叉相乘兩個積的和”是否等于一次項的系數(shù)：①的系數(shù)為；②的系數(shù)為；③的系數(shù)為；④的系數(shù)為．顯然，第②個“交叉相乘兩個積的和”等于一次項系數(shù)，因此有：．像這樣，通過十字交叉線幫助，把二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法．問題：(1)分解因式：；①完善下圖中“×”號右邊的數(shù)使得；“交叉相乘兩個積的和”等于一次項系數(shù)；

②分解因式：_______；(2)分解因式：．①完善橫線上的數(shù)字；

②分解因式：________．【答案】(1)①見解析；②(2)①見解析；②【分析】（1）（2）①根據(jù)“交叉相乘兩個積的和”等于一次項系數(shù)填寫橫線上的數(shù)；②根據(jù)所填數(shù)字，仿照材料分解即可．【詳解】（1）解：①

；②；（2）①

；②．【點(diǎn)睛】本題考查了十字相乘法分解因式，解題的關(guān)鍵是讀懂材料，理解十字相乘法的計算方法．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣西北海·七年級統(tǒng)考期中）閱讀理解：用“十字相乘法”因式分解例如：求：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題干中解題過程，對二次項系數(shù)、常數(shù)項分別分解，交叉相乘再相加，湊成一次項系數(shù)即可求解；（2）根據(jù)題干中解題過程，對二次項系數(shù)、常數(shù)項分別分解，交叉相乘再相加，湊成一次項系數(shù)即可求解．【詳解】（1）解：如圖，∴（2）解：如圖，∴．【點(diǎn)睛】本題考查十字相乘法因式分解，掌握分解的步驟是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣西梧州·七年級統(tǒng)考期中）閱讀理解題在因式分解中有一種常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，這個方法其實(shí)就是運(yùn)用乘法公式運(yùn)算來進(jìn)行因式分解，基本式子為：，例如：分解因式，，，按此排列：

交叉相乘，乘積相加等于，得到，這就是十字相乘法．利用上述方法解決下列問題：(1)分解因式：；(2)先分解因式，再求值：，其中．【答案】(1)(2)，45【分析】（1）根據(jù)十字相乘法進(jìn)行因式分解即可；（2）先運(yùn)用式子相乘法進(jìn)行因式分解，再代入求解．【詳解】（1）解：；（2）當(dāng)時，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，熟練掌握十字相乘法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·湖南岳陽·七年級統(tǒng)考期末）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如圖）．第一步：二次項；第二步：常數(shù)項，畫“十字圖”驗(yàn)算“交叉相乘之和”；

第三步：發(fā)現(xiàn)第③個“交叉相乘之和”的結(jié)果等于一次項．即．像這樣，通過畫“十字圖”，把二次三項式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．運(yùn)用結(jié)論：(1)將多項式進(jìn)行因式分解，可以表示為_______________；(2)若可分解為兩個一次因式的積，請畫好“十字圖”，并求整數(shù)的所有可能值．【答案】(1)(2)圖見解析，，，，16【分析】（1）根據(jù)“十字相乘法”的步驟分解因式即可；（2）根據(jù)“十字相乘法”的步驟分解因式即可．【詳解】（1）解：，常數(shù)項，，，故答案為：；（2）解：，常數(shù)項，畫“十字圖”如下：

，，，16．【點(diǎn)睛】本題考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料：將一個形如的二次三項式因式分解時，如果能滿足且，則可以把因式分解成．例如：（1）；（2）．根據(jù)材料，把下列式子進(jìn)行因式分解．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】根據(jù)進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了十字相乘法分解因式，運(yùn)用十字相乘法分解因式時，要意觀察，嘗試，并體會它實(shí)質(zhì)是二項式乘法的逆過程，注意分解因式一定要徹底．5．（2023春·七年級單元測試）閱讀材料：根據(jù)多項式乘多項式法則，我們很容易計算：；．而因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得：；．通過這樣的關(guān)系我們可以將某些二次項系數(shù)是1的二次三項式分解因式．如將式子分解因式．這個式子的二次項系數(shù)是，常數(shù)項，一次項系數(shù)，可以用下圖十字相乘的形式表示為：先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次項系數(shù)，然后橫向書寫．這樣，我們就可以得到：．利用這種方法，將下列多項式分解因式：(1)_；(2)_；(3)_；(4)_．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）用十字相乘法分解因式即可；（2）用十字相乘法分解因式即可；（3）用十字相乘法分解因式即可；（4）用十字相乘法分解因式即可．【詳解】（1）解：∵，，∴；故答案為：；（2）解：∵，，∴；故答案為：；（3）解：∵，，∴；故答案為：；（4）解：∵，，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了十字相乘法分解因式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握十字相乘法，準(zhǔn)確計算．【類型八分組分解法因式分解】例題：（2023春·陜西西安·八年級高新一中校考期末）《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版》關(guān)于運(yùn)算能力的解釋為：運(yùn)算能力主要是指根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力，因此，我們面對沒有學(xué)過的數(shù)學(xué)題時，方法可以創(chuàng)新，但在創(chuàng)新中要遵循法則和運(yùn)算律，才能正確解答，下面介紹一種分解因式的新方法——拆項補(bǔ)項法：把多項式的