第十三章 軸對稱（9類題型突破）

第十三章軸對稱（題型突破）題型一軸對稱圖形的識別例題：12月2日是全國交通安全日，你認(rèn)為下列交通標(biāo)志不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．下列圖形是軸對稱圖形的是()A． B． C． D．2．下列2022年北京冬季奧運會體育圖標(biāo)中，是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．題型二軸對稱中折疊問題例題：如圖，長方形紙片中，AB，DC邊上分別有點E，F(xiàn)，將長方形紙片沿EF翻折至同一平面后，點A，D分別落在點G，H處．若，則∠DFE的度數(shù)是（）A．75° B．76° C．77° D．78°【變式訓(xùn)練】1．如圖1，將長方形紙片沿著翻折，使得點，分別落在點，位置．如圖2，在第一次翻折的基礎(chǔ)上再次將紙片沿著翻折，使得點恰好落在延長線上的點處．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，試用含的式子表示，并說明理由．2．如圖1，將筆記本活頁一角折過去，使角的頂點A落在點'處，BC為折痕．(1)如圖1，若∠1＝25°，求∠BD的度數(shù)；(2)如果又將活頁的另一角斜折過去，使BD邊與B重合，折痕為BE，如圖2所示，求∠CBE的度數(shù)．題型三線段的垂直平分線的性質(zhì)例題：如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線交AC，BC于點D，E．若△ABD的周長為20，△ABC的周長為32，則BE＝_______．【變式訓(xùn)練】1．已知，如圖中，，邊、的垂直平分線分別交于、，交、于、，連接與，則的周長＝______．2．如圖，∠BAC的平分線AD與BC的垂直平分線DG相交于點D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，AE＝8，AC＝5，則BE的值為______．題型四線段的垂直平分線的判定例題：如圖，已知，點P為的平分線上一點，，，垂足分別為E、F(1)求證∶(2)若，求證：點P在的垂直平分線上．【變式訓(xùn)練】1．如圖，為平分線上一點，于，于．

(1)求證：；(2)求證：垂直平分．2．如圖，是的角平分線，分別是和的高．(1)求證：垂直平分；(2)若的面積是4，則_．題型五坐標(biāo)與圖形變換——軸對稱例題：（2021·山東·單縣湖西學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點坐標(biāo)分別是，，．畫出關(guān)于x軸對稱的，并寫出點、的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練】1．如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，建立平面直角坐標(biāo)系后△ABC的頂點均在格點上．(1)寫出點A、B、C的坐標(biāo)；(2)寫出△ABC關(guān)于x軸對稱的的頂點、、的坐標(biāo)；(3)求．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A（-3，4），B（-4，1），C（-1，2）．(1)在圖中作出△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△．(2)請直接寫出點C關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)：___________．(3)求△ABC的面積．(4)在x軸上畫出點P，使QA＋QC最?。}型六等腰三角形的定義例題：等腰三角形一邊長等于2，一邊長等于3，則它的周長是（

）A．5 B．7 C．8 D．7或8【變式訓(xùn)練】1．在等腰△ABC中，∠A＝70°，則∠C的度數(shù)不可能是（

）A．40° B．55° C．65° D．70°2．已知等腰三角形一邊長為4，周長為10，則另兩邊長分別為（

）A．4，2 B．3，3 C．4，2或3，3 D．以上都不對題型七根據(jù)等腰三角形中三線合一求解例題：如圖，中，，于點D，，若，則的度數(shù)為_____．【變式訓(xùn)練】1．如圖，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中線，AE是△BAD的角平分線，DFAB交AE的延長線于點F，則DF的長是（）A．1 B．2 C．3 D．42．如圖，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分線交BC于點D．且BD＜CD，過點B作射線AD的垂線，垂足為E，則CDDE＝_______．題型八等腰三角形的性質(zhì)與判定例題：如圖，已知在四邊形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足為E．(1)求證：BD＝BC；(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．如圖，已知在四邊形ABCD中，點E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．(1)求證：AC＝CD；(2)若AC＝AE，求∠ACB的度數(shù)．2．如圖，△ABC中，∠B＝∠C＝50°．點D在線段BC上運動（點D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE＝50°，DE交線段AC于E．(1)當(dāng)∠BAD＝20°時，∠EDC＝______°；(2)當(dāng)∠BAD＝____°時，△ABD≌△DCE？請說明理由；(3)△ADE能成為等腰三角形嗎？若能，請直接寫出∠BAD的度數(shù)；若不能，請說明理由．題型九等邊三角形的性質(zhì)與判定例題：如圖，是上一點，點，分別在兩側(cè)，，且，．(1)求證；(2)連接，若，，求的長．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在△ABC中，∠BAC=∠B=60°，D點為BC的中點，AB=4，則BD=__．2．如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，D是△ABC外的一點，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，連接OD．(1)求證：△OCD是等邊三角形；(2)當(dāng)α＝150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；(3)探究：當(dāng)α為多少度時，△AOD是等腰三角形．

第十三章軸對稱（題型突破）答案全解全析題型一軸對稱圖形的識別例題：12月2日是全國交通安全日，你認(rèn)為下列交通標(biāo)志不是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)軸對稱的定義判斷即可得出．【詳解】解：由軸對稱圖形的定義：“把一個圖形沿著某條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這個圖形叫做軸對稱圖形”分析可知，上述四個圖形中，A，B，D都是軸對稱圖形，只有C不是軸對稱圖形．故選：C．【點睛】本題主要考查了軸對稱的定義，熟練掌握軸對稱的定義是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．下列圖形是軸對稱圖形的是(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解，如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，故此選項符合題意；B、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；C、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；D、不是軸對稱圖形，故此選項不符合題意；故選：A．【點睛】此題主要考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．2．下列2022年北京冬季奧運會體育圖標(biāo)中，是軸對稱圖形的是（

）A．B． C．D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義進(jìn)行判斷即可；【詳解】軸對稱圖形指的是平面內(nèi),一個圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形；故符合題意的只有選項C；故選：C．【點睛】本題主要考查軸對稱圖形的定義，掌握軸對稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．題型二軸對稱中折疊問題例題：如圖，長方形紙片中，AB，DC邊上分別有點E，F(xiàn)，將長方形紙片沿EF翻折至同一平面后，點A，D分別落在點G，H處．若，則∠DFE的度數(shù)是（

）A．75° B．76° C．77° D．78°【答案】B【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠AEF=∠GEF，再由，可得∠AEF+∠GEF=∠AEF+∠BEF+∠BEG=208°，從而得到∠AEF=104°，然后根據(jù)AB∥CD，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：∠AEF=∠GEF，∠AEF+∠BEF=180°，AB∥CD，∵，∴∠AEF+∠GEF=∠AEF+∠BEF+∠BEG=208°，∴∠AEF=104°，∵AB∥CD，∴∠DFE=180°-∠AEF=76°．故選：B【點睛】本題主要考查了圖形的折疊，平行線的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖1，將長方形紙片沿著翻折，使得點，分別落在點，位置．如圖2，在第一次翻折的基礎(chǔ)上再次將紙片沿著翻折，使得點恰好落在延長線上的點處．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，試用含的式子表示，并說明理由．【答案】(1)40°(2)，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得：∠EMN=∠BMN=70°，再運用鄰補角互補即可求得答案；（2）由翻折可得：，∠BMN=∠QMN，再運用鄰補角互補即可求得答案．(1)解∶根據(jù)題意得：∠EMN=∠BMN=70°，∴∠BME=140°，∴∠AME=180°-∠BME=40°；(2)解：，理由如下：根據(jù)題意得：，∠BMN=∠QMN，∴，∴∠AMQ=180°-∠QMN-∠BMN=．【點睛】本題考查了幾何變換——翻折的性質(zhì)，鄰補角互補等，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．如圖1，將筆記本活頁一角折過去，使角的頂點A落在點'處，BC為折痕．(1)如圖1，若∠1＝25°，求∠BD的度數(shù)；(2)如果又將活頁的另一角斜折過去，使BD邊與B重合，折痕為BE，如圖2所示，求∠CBE的度數(shù)．【答案】(1)130°(2)90°【解析】【分析】（1）根據(jù)折疊性質(zhì)得到∠1=∠ABC=25°．然后利用鄰補角的定義計算∠BD的度數(shù)；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠2=∠DBE=∠BD=60°，然后計算∠1+∠2得到∠CBE的度數(shù)．(1)解：∵角的頂點A落在點處，BC為折痕，∴∠1=∠ABC=25°．∴∠A'BD=180°-25°-25°=130°；(2)解：由折疊性質(zhì)得∠1=∠ABC=∠AB，∠2=∠DBE=∠BD，∴∠1+∠2=∠AB+∠BD=（∠AB+∠BD）=×180°=90°．即∠CBE=90°．【點睛】本題考查了角的計算，折疊的性質(zhì)，結(jié)合圖形進(jìn)行角的和差倍分計算是解答的關(guān)鍵．題型三線段的垂直平分線的性質(zhì)例題：如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線交AC，BC于點D，E．若△ABD的周長為20，△ABC的周長為32，則BE＝_______．【答案】6【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出BD=CD，結(jié)合△ABD的周長求出AB+AC的長，再根據(jù)△ABC的周長求出BC的長，解答即可．【詳解】解：∵BC的垂直平分線分別交AC，BC于點D，E，∴DB＝DC，BE＝EC，∵△ABD的周長為20，∴AB＋AD＋BD＝20，∵DB＝DC，∴AB＋AD＋DC＝20，即AB＋AC＝20，∵△ABC的周長為32，∴AB＋BC＋AC＝32，∴BC＝32?20＝12，∴BE＝EC＝BC＝6．故答案為：6．【點睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求出DB＝DC．【變式訓(xùn)練】1．已知，如圖中，，邊、的垂直平分線分別交于、，交、于、，連接與，則的周長＝______．【答案】10【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD=BD，AE=CE，則△ADE的周長=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC．【詳解】解：∵DF和EG分別是AB，AC的垂直平分線，∴AD=BD，AE=CE，∴△ADE的周長=AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC=10，故答案為：10．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，∠BAC的平分線AD與BC的垂直平分線DG相交于點D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，AE＝8，AC＝5，則BE的值為______．【答案】3【分析】連接CD，BD，證明（HL），由全等三角形的性質(zhì)得AE=AF，證明（HL），得出BE=CF，根據(jù)邊之間的關(guān)系即可得．【詳解】解：如圖所示，連接CD，BD，∵AD平分，，，∴DE=DF，在和中，，∴（HL），∴AE=AF，∵DG垂直平分BC，∴CD=BD，在和中，∴（HL），∴BE=CF，∵，∴，故答案為：3．【點睛】本題考查了線段垂直平分的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點．題型四線段的垂直平分線的判定例題：如圖，已知，點P為的平分線上一點，，，垂足分別為E、F(1)求證∶(2)若，求證：點P在的垂直平分線上．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）通過證明，即可求證；（2）連接、，通過證明，得到，即可求證．【詳解】（1）證明：∵點P為的平分線上一點∴∵，∴在和中∴∴（2）證明：連接、，如下圖：由（1）可得：又∵，∴∴∴點P在的垂直平分線上【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法與性質(zhì)．【變式訓(xùn)練】1．如圖，為平分線上一點，于，于．

(1)求證：；(2)求證：垂直平分．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，進(jìn)而利用證明，即可證明；（2）根據(jù)，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵為平分線上一點，，，∴，又∵，∴，∴；（2）解：由（1）得，，∴垂直平分．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．2．如圖，是的角平分線，分別是和的高．(1)求證：垂直平分；(2)若的面積是4，則_．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)得，再由，得，從而證明結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的面積公式，代入計算即可．【詳解】（1）∵是的角平分線，分別是和的高，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴垂直平分；（2）∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定等知識，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型五坐標(biāo)與圖形變換——軸對稱例題：（2021·山東·單縣湖西學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個頂點坐標(biāo)分別是，，．畫出關(guān)于x軸對稱的，并寫出點、的坐標(biāo)．【答案】見詳解，，【分析】關(guān)于x軸對稱的兩個點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，據(jù)此先找到A、B、C關(guān)于x軸的對稱點、、的坐標(biāo)，再兩兩連接即可得到．【詳解】∵，，，又∵關(guān)于x軸對稱的兩個點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴，，，作圖如下：即為所求，，．【點睛】本題主要考查了在坐標(biāo)系中作關(guān)于x軸對稱的圖形的知識，掌握關(guān)于x軸對稱的兩個點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，建立平面直角坐標(biāo)系后△ABC的頂點均在格點上．(1)寫出點A、B、C的坐標(biāo)；(2)寫出△ABC關(guān)于x軸對稱的的頂點、、的坐標(biāo)；(3)求．【答案】(1)A（1，3），B（﹣1，2），C（2，0）(2)，，(3)【分析】（1）根據(jù)點的坐標(biāo)的確定方法寫出點A、B、C的坐標(biāo)；（2）根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)特征求解；（3）利用面積的和差計算△ABC的面積．（1）解：根據(jù)圖形可知：A（1，3），B（﹣1，2），C（2，0）；（2）解：關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)：，，；（3）解：.【點睛】本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標(biāo)：點關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)是；點關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)是．也考查了三角形面積公式．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A（-3，4），B（-4，1），C（-1，2）．(1)在圖中作出△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△．(2)請直接寫出點C關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)：___________．(3)求△ABC的面積．(4)在x軸上畫出點P，使QA＋QC最?。敬鸢浮?1)見解析(2)（1，2）(3)4(4)見解析【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可作出△ABC關(guān)于x軸的對稱圖形△；（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可寫出點C關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)（3）根據(jù)網(wǎng)格利用割補法即可求出△ABC的面積；（4）連接C交x軸于點Q，根據(jù)兩點之間線段最短即可使得QA＋QC最?。?）解：如圖所示，△即為所求；；（2）解：點C關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為（1，2）；故答案為：（1，2）；（3）解：△ABC的面積=3×3-×1×3-×1×3-×2×2=4；（4）解：如圖．點Q即為所求．【點睛】本題考查了作圖-軸對稱變換，軸對稱-最短路線問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．題型六等腰三角形的定義例題：等腰三角形一邊長等于2，一邊長等于3，則它的周長是（

）A．5 B．7 C．8 D．7或8【答案】D【解析】【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為2和3，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)腰為2時，2+2＞3，所以能構(gòu)成三角形，周長是2+2+3=7；當(dāng)腰為3時，3+2＞3，所以能構(gòu)成三角形，周長是：2+3+3=8．故選：D．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．在等腰△ABC中，∠A＝70°，則∠C的度數(shù)不可能是（

）A．40° B．55° C．65° D．70°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的定義及三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：當(dāng)∠A＝70°為頂角時，則兩底角為：；當(dāng)∠A＝70°為底角時，另一個底角為70°，頂角為180°-70°-70°=40°∴∠C的度數(shù)不可能是65°．故選：C．【點睛】本題考查等腰三角形的分類討論及三角形內(nèi)角和定理，在不明確所給的角是等腰三角形的什么角時，需分類討論是解題關(guān)鍵．2．已知等腰三角形一邊長為4，周長為10，則另兩邊長分別為（

）A．4，2 B．3，3 C．4，2或3，3 D．以上都不對【答案】C【解析】【分析】分兩種情況討論：若腰長為4；若底邊長為4，即可求解．【詳解】解：若腰長為4，則底邊長為10-4-4=2，此時另兩邊長分別為4，2；可以構(gòu)成三角形，滿足題意；若底邊長為4，則腰長為，此時另兩邊長分別為3，3；可以構(gòu)成三角形，滿足題意；綜上所述，另兩邊長分別為4，2或3，3．故選：C【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的兩腰相等是解題的關(guān)鍵．題型七根據(jù)等腰三角形中三線合一求解例題：如圖，中，，于點D，，若，則的度數(shù)為_____．【答案】【解析】【分析】如圖（見詳解），根據(jù)等腰三角形的三線合一性質(zhì)，過點A作于點E，可證，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，過點A作于點E，∵AB=AC，∴E是BC的中點，且AE平分．∵，∴BD=BE．在和中，，∴．∴．故答案為：．【點睛】本題考查等腰三角形的三線合一性質(zhì)以及直角三角形全等的判定定理，正確運用定理進(jìn)行判定是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中線，AE是△BAD的角平分線，DFAB交AE的延長線于點F，則DF的長是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)等腰三角形的內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，且AD平分，從而可得，然后根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)可得，最后根據(jù)等腰三角形的定義即可求解．【詳解】解：在中，，，是的中線，，且AD平分，，，是的角平分線，，，，，，故選C．【點睛】本題考查了等腰三角形的三線合一、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、含的直角三角形性質(zhì)等知識點，熟練掌握等腰三角形的三線合一是解題關(guān)鍵．2．如圖，△ABC中，AB＝AC，BC＝，AB的垂直平分線交BC于點D．且BD＜CD，過點B作射線AD的垂線，垂足為E，則CDDE＝_______．【答案】【解析】【分析】作AF⊥BC于F，證明△BDE≌△ADF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得DF=DE，可得CD-DE=CF，由等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：作AF⊥BC于F，∵AB的垂直平分線交BC于點D．∴AD=BD，∵AF⊥BC，BE⊥DE，∴∠E=∠AFD=90°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（AAS），∴DF=DE，∴CD-DE=CD-DF=CF，∵AB=AC，AF⊥BC，BC=，∴CF=BC=．故答案為：．【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型八等腰三角形的性質(zhì)與判定例題：如圖，已知在四邊形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足為E．(1)求證：BD＝BC；(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)25°【解析】【分析】（1）由AD∥BC得到∠ADB＝∠CBE，∠A＝90°，CE⊥BD，則∠BEC＝∠A＝90°，又由已知AD＝BE，根據(jù)ASA可證明△ABD≌△ECB，可得結(jié)論；（2）由（1）知BD＝BC，根據(jù)等邊對等角可求得∠BDC的度數(shù)，再根據(jù)外角的性質(zhì)求得∠DCE的度數(shù)．(1)證明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBE，∵∠A＝90°，CE⊥BD，∴∠BEC＝∠A＝90°，在△ABD和△ECB中，，∴△ABD≌△ECB（ASA），∴BD＝CB；(2)解：∵BD＝CB，∴△BCD是等腰三角形，∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣∠DBC）＝（180°﹣50°）＝65°，∵∠BEC＝∠BDC＋∠DCE＝90°，∴∠DCE＝90°－∠BDC＝90°﹣65°＝25°．【點睛】此題主要考查了三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，證明△ABD≌△ECB是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，已知在四邊形ABCD中，點E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．(1)求證：AC＝CD；(2)若AC＝AE，求∠ACB的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠ACB的度數(shù)為22.5°【解析】【分析】（1）利用同角的余角相等得∠ACB＝∠DCE，再根據(jù)AAS證明△ABC≌△DEC，即可證明結(jié)論；（2）由AC＝CD，知△ACD是等腰直角三角形，得∠CAD＝45°，再根據(jù)AC＝AE，得∠ACE（180°﹣∠CAD）（180°﹣45°）＝67.5°，從而得出答案．(1)證明：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴AC＝CD；(2)解：由（1）知，AC＝CD，∵∠ACD＝90°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD＝45°，∵AC＝AE，∴∠ACE（180°﹣∠CAD）（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠ACB＝∠BCE﹣∠ACE＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠ACB的度數(shù)為22.5°．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，證明△ABC≌△DEC是解題的關(guān)鍵．2．如圖，△ABC中，∠B＝∠C＝50°．點D在線段BC上運動（點D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE＝50°，DE交線段AC于E．(1)當(dāng)∠BAD＝20°時，∠EDC＝______°；(2)當(dāng)∠BAD＝____°時，△ABD≌△DCE？請說明理由；(3)△ADE能成為等腰三角形嗎？若能，請直接寫出∠BAD的度數(shù)；若不能，請說明理由．【答案】(1)20(2)15，理由見解析(3)能，∠BAD＝15°或∠BAD＝30°，理由見解析【解析】【分析】（1）先利用平角的意義求出∠CDE，再用三角形外角的性質(zhì)求出∠AED，最后用三角形的內(nèi)角和定理求出∠DAE；（2）利用三角形內(nèi)角和定理得出∠BAC＝80°，再由三角形外角的性質(zhì)及等量代換確定∠AED＝∠DAE＝65°，AD＝DE，結(jié)合圖形利用全等三角形的判定即可證明；（3）先求出∠BAC＝80°，再分三種情況，利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠DAE，即可得出結(jié)論．(1)∵∠BAD＝20°，∠B＝50°，∴∠ADC＝70°，∵∠ADE＝50°，∴∠EDC＝70°﹣50°＝20°，故答案為：20；(2)解：∠BAD＝15°時，△ABD

≌△DCE，理由如下：在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，∴∠BAC＝80°，∵∠BAD＝15°，∴∠DAE＝65°，又∵∠ADE＝50°，∴∠AED＝∠DAE＝65°，∴AD＝DE，在△ABD中，∠BAD＋∠ADB＝130°，∵∠CDE＋∠ADB＝180°－∠ADE＝130°，∴∠BAD＝∠CDE，∵∠B＝∠CAD＝DE，∴△ABD≌△DCE；(3)能，當(dāng)∠BAD＝15°或30°時，△ADE能成為等腰三角形．理由：在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，∴∠BAC＝80°，①當(dāng)DA＝DE時，∵∠ADE＝50°，∴∠CAD＝（180°﹣∠ADE）＝65°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，②當(dāng)EA＝ED時，∴∠DAC＝∠ADE＝50°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°，③當(dāng)AD＝AE時，∠AED＝∠ADE＝50°，∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝80°，此時，點D與點B重合，不符合題意，綜上所述，當(dāng)∠BAD＝15°或30°時，△ADE能成為等腰三角形．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定，平角的意義，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，用分類討論的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．題型九等邊三角形的性質(zhì)與判定例題：如圖，是上一點，點，分別在兩側(cè)，，且，．(1)求證；(2)連接，若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）由平行線的性質(zhì)，結(jié)合條件可證明，即可得出；（2）證明是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得出答案．(1)證明：∵，∴，在和中，，∴，∴；(2)解：由（1）知，，又∵，∴是等邊三角形，