專題03 旋轉(zhuǎn)的有關(guān)證明與探究

第四章圖形的平移與旋轉(zhuǎn)專題旋轉(zhuǎn)的有關(guān)證明與探究類型1角度問題1.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,將BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β至BD，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D,連接AD,CD,若∠BAD=2∠ABC,則β的值是()A.α-45° B.α-60° C.180°-2α D.150°-α2.如圖,將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△EDC.若點(diǎn)A,D,E在同一條直線上,且∠ACB=20°,求∠CAE及∠B的度數(shù).3.我們把一副三角板如圖(1)擺放在一起,其中OA,OD在一條直線上,∠ABO=45°,∠DCO=30°.(1)求∠BOC的度數(shù);(2)如圖(2),將圖(1)中的△OAB以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△OA'B'的位置，求當(dāng)(3)如圖(3),兩個(gè)三角板的直角邊OA,OD擺放在同一條直線上，直角邊OB，OC也在同一條直線上，將△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AB∥CD時(shí)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是_____________.類型2長(zhǎng)度問題4.如圖,將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△DBE,DE的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)F,連接AD,CE.(1)求證:AE=CE;(2)若BC=25.△ABC和△ADE都是等邊三角形.(1)將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖(1)的位置時(shí),連接BD，CE并延長(zhǎng)相交于點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)A重合),有PA+PB=PC(或PA+PC=PB)成立(不需證明)；(2)將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖(2)的位置時(shí),連接BD,CE相交于點(diǎn)P,連接PA,猜想線段PA,PB，PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并加以證明；(3)將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖(3)的位置時(shí),連接BD,CE相交于點(diǎn)P,連接PA,猜想線段PA,PB，PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系?直接寫出結(jié)論，不需要證明.類型3面積問題6.請(qǐng)認(rèn)真閱讀下面探究?jī)?nèi)容，完成所提出的問題：(1)探究1:如圖(1),在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,BC=5,將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DB,連接CD,過(guò)點(diǎn)D作BC邊上的高DE,則DE與BC的數(shù)量關(guān)系是_______________,△BCD的面積為____________.(2)探究2:如圖(2),在一般的Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=(m+n)2-(m-n)2(m＞0,n＞0),將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DB,連接CD,請(qǐng)用含m,n的式子表示△BCD的面積，并說(shuō)明理由.(3)探究3:如圖(3),在等腰三角形ABC中,AB=AC,BC=a+b+c(a>0,b>0,c>0),將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DB,連接CD,試用含a，b，c的式子表示△BCD的面積，并說(shuō)明理由.

第四章圖形的平移與旋轉(zhuǎn)專題旋轉(zhuǎn)的有關(guān)證明與探究參考答案1.C【解析】∵AB=AC,∠BAC=α,∴∠ABC=∠ACB=12BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β至BD,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D,∴BD=BC.如圖,延長(zhǎng)CA到E,使得AE=AD,則∠EAB=∠ABC+∠ACB=2∠ABC.∵∠BAD=2∠ABC,∴∠EAB=∠BAD,∴△EAB≌△DAB(SAS),∴BE=BD=BC,∴∠E=∠ACB=∠ABC,∠EBA=∠DBA.∵α=∠E+∠EBA=∠E+∠ABD=∠ABC+(∠ABC-β)=2∠ABC-β,∴α=(180°-α)-β,∴β=180-2α,故選C.2.【解】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),得CA=CE,∠BCD=∠ACE=90°,∠B=∠EDC,∴△ACE是等腰直角三角形,∴∠CAE=45°.∵∠ACB=20°,∴∠ACD=90°-20°=70°,∴∠EDC=45°+70°=115°,∴∠B=∠EDC=115°.3.【解】(1)∵∠ABO=45°,∠DCO=30°,∠BAO=∠CDO=90°,∴∠AOB=45°,∠COD=60°,∴∠BOC=180°-∠AOB.∠COD=180°-45°-60°=75°.(2)∵△OAB以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到.△O∵∠COD=60°,OB'平分∠COD,∴∠COB'=30°,∴∠CO∴∠A'(3)如圖(1),設(shè)A'B'與OD相交于點(diǎn)E.∵A'B'∥CD,∴∠CDO=∠∵∠A如圖(2),設(shè)A'B'與AO相交于點(diǎn)F.∵A'B'∥CD,∴∠D=∠∴旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為360°-75°=285°.綜上所述，當(dāng)AB∥CD時(shí)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為105°或285°.故答案為105°或285°.4.(1)【證明】∵將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△DBE,∴△ABC≌△DBE,∴∠BAC=∠CDF.∵∠BAC+∠ACB=90°,∴∠CDF+∠ACB=90°,∴DF⊥AC.又∵點(diǎn)F是AC的中點(diǎn),∴DF垂直平分AC,∴AE=CE.(2)【解】由(1)知△ABC≌△DBE,∴BE=BC=2,∴CE=AE=2,∴AB=AE+BE=2+2.5.【解】(2)PB=PA+PC.理由如下:如圖(1),在BP上截取BF=PC,連接AF.∵△ABC,△ADE都是等邊三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE,即∠DAB=∠EAC,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ABD=∠ACE.∵AB=AC,BF=CP,∴△BAF≌△CAP(SAS),∴AF=AP,∠BAF=∠CAP,∴∠BAC=∠PAF=60°,∴△AFP是等邊三角形,∴PF=PA,∴PB=BF+PF=PC+PA.(3)PC=PA+PB.如圖(2),在PC上截取CM=PB,連接AM.同(2)得△ABD≌△ACE(SAS).∴∠ABD=∠ACE.∵AB=AC,PB=CM,∴△AMC≌△APB(SAS),∴AM=AP,∠BAP=∠CAM,∴∠BAC=∠PAM=60°,∴△AMP是等邊三角形,∴PM=PA,∴PC=PM+CM=PA+PB.6.【解】(1)∵∠ACB=90°,∴∠A+∠ABC=90°.由旋轉(zhuǎn)知,AB=DB.∵∠ABD=90°,∴∠ABC+∠D