數(shù)學示范教案：兩角和與差的余弦

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o（\s\up7()，\s\do5(整體設計))教學分析本節(jié)是結合第一章，以圓上點的運動作引子，從中提出問題，引入本節(jié)的研究課題．在教學中要結合教科書中提供的問題背景,充分展示公式推導的思維過程．在正式推導之前，可組織學生談談自己對推導公式的想法，討論、研究和分析可能出現(xiàn)的思路，使學生更好地經歷和參與數(shù)學發(fā)現(xiàn)活動，體驗數(shù)學的發(fā)展與創(chuàng)造過程．同時，引導學生復習兩個向量數(shù)量積的定義及其坐標運算，復習單位向量的三角表示，并嘗試自己推導兩角和的余弦公式．在公式推出之后，還可以引導學生對推導過程進行反思，欣賞用向量方法推導公式的美妙，歸納、總結、發(fā)現(xiàn)公式的結構特點以便掌握和靈活運用．在公式應用的教學中，要引導學生充分注意變形中角的變化，靈活運用“角的代換”的方法，體會化歸思想在三角恒等變換中的應用．利用向量知識探索兩角差的余弦公式時要注意推導的層次性：①在回顧求角的余弦有哪些方法時，聯(lián)系向量知識，體會向量方法的作用；②結合有關圖形，完成運用向量方法推導公式的必要準備；③探索過程不應追求一步到位，可以先不去理會其中的細節(jié)，抓住主要問題及其線索進行探索，然后再反思,予以完善；④補充完善的過程，既要運用分類討論的思想,又要用到誘導公式．本節(jié)是數(shù)學公式的教學，教師要遵循公式教學的規(guī)律，應注意以下幾方面：①要使學生了解公式的由來；②使學生認識公式的結構特征加以記憶；③使學生掌握公式的推導和證明；④通過例子使學生熟悉公式的應用，靈活運用公式進行解答有關問題．三維目標1．通過讓學生探索、猜想、發(fā)現(xiàn)并推導“兩角差的余弦公式”，了解單角與復角的三角函數(shù)之間的內在聯(lián)系，并通過強化題目的訓練,加深對兩角差的余弦公式的理解，培養(yǎng)學生的運算能力及邏輯推理能力,提高學生的數(shù)學素質．2．通過兩角差的余弦公式的運用,會進行簡單的求值、化簡、證明，體會化歸思想在數(shù)學當中的運用，使學生進一步掌握聯(lián)系的觀點,提高學生分析問題、解決問題的能力．3．通過本節(jié)的學習，使學生體會探究的樂趣，強化學生的參與意識,從而培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力．重點難點教學重點：兩角和與差的余弦公式．教學難點：兩角和與差的余弦公式的靈活運用．課時安排1課時eq\o（\s\up7(）,\s\do5（教學過程))導入新課思路1.(直接導入)如果知道了α,β的三角函數(shù),如何計算α＋β，α－β的三角函數(shù)呢?下面我們從向量的角度來探究這一問題，接著導入新課．思路2。（復習導入)我們在初中時就知道cos45°＝eq\f（\r(2),2)，cos30°＝eq\f（\r（3），2),由此我們能否得到cos15°＝cos（45°－30°）＝?這里是不是等于cos45°－cos30°呢?教師可讓學生驗證，經過驗證可知，我們的猜想是錯誤的．那么究竟是什么關系呢?cos（α－β)等于什么呢?這時學生急于知道答案,由此展開新課．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究）)教師引導學生回顧兩個向量數(shù)量積的定義及其坐標運算，復習單位向量的三角表示:eq\o(OP，\s\up6（→)）＝(cosα，sinα），eq\o(OQ,\s\up6(→))＝（cosβ，sinβ)并進一步講解．我們知道cos（x－eq\f(π,4））可以看作是向量(cosx，sinx)與向量（1，1)的夾角的余弦值，那么cos(α－β)能否也看成是兩個向量夾角的余弦值呢?把cos（α－β）看成兩個向量夾角的余弦,考慮用向量的數(shù)量積來研究．如圖1，在直角坐標系xOy中，以Ox軸為始邊分別作角α，β,其終邊分別與單位圓交于P1(cosα，sinα)，P2(cosβ，sinβ)，則∠P1OP2＝α－β.由于余弦函數(shù)是周期為2π的偶函數(shù)，所以，我們只需考慮0≤α－β≤π的情況．圖1設向量a＝eq\o(OP1,\s\up6（→))＝（cosα，sinα)，b＝eq\o（OP2，\s\up6（→)）＝(cosβ，sinβ)，則a·b＝｜a||b｜cos（α－β）＝cos(α－β)．另一方面，由向量數(shù)量積的坐標表示，有a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ,所以cos（α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.這就是兩角差的余弦公式．教師引導學生探究“用－β代替β”的換元方法就可以得到cos（α＋β）＝cos[α－(－β)］＝cosαcos（－β)＋sinαsin(－β)，即cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ,這就是兩角和的余弦公式．這兩個公式分別記為Cα－β,Cα＋β.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(應用示例）)思路1例1求cos105°及cos15°的值．解：cos105°＝cos（60°＋45°）＝cos60°cos45°－sin60°sin45°＝eq\f（1,2)·eq\f（\r（2)，2)－eq\f(\r（3），2)·eq\f(\r（2)，2）＝eq\f（\r（2）－\r(6)，4）；cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f（\r（2），2）·eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r（2)，2)·eq\f(1,2）＝eq\f(\r（6)＋\r(2),4）.變式訓練1．不查表求sin75°，sin15°的值．解：sin75°＝cos15°＝cos（45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f(\r(2)，2）×eq\f（\r(3），2)＋eq\f(\r（2),2)×eq\f(1,2）＝eq\f（\r（6)＋\r(2），4）。sin15°＝eq\r(1－cos215°）＝eq\r（1－\f(\r(6）＋\r(2),4)2)＝eq\r(\f(8－2\r(6)×\r（2），16))＝eq\f（\r(6)－\r(2)，4）.2．不查表求值：cos110°cos20°＋sin110°sin20°.解:原式＝cos(110°－20°)＝cos90°＝0.例2已知cosα＝－eq\f(4，5)(eq\f（π,2)〈α〈π)，求cos(eq\f(π，6)－α)，cos（eq\f(π，6）＋α)．解:因為cosα＝－eq\f（4，5），且eq\f(π,2）〈α<π，所以sinα＝eq\r（1－－\f(4，5）2）＝eq\f（3，5).因此cos（eq\f(π，6)－α)＝coseq\f（π,6)cosα＋sineq\f(π，6）sinα＝eq\f(\r（3),2）（－eq\f(4,5））＋eq\f(1，2）·eq\f(3,5)＝eq\f（3－4\r（3）,10);cos(eq\f（π，6）＋α）＝coseq\f(π,6）cosα－sineq\f(π,6）sinα＝eq\f(\r（3），2)（－eq\f(4,5)）－eq\f（1,2)·eq\f(3，5）＝－eq\f（3＋4\r（3）,10)。變式訓練已知sinα＝eq\f（4，5），α∈(0，π)，cosβ＝－eq\f(5，13)，β是第三象限角，求cos(α－β）的值．解:①當α∈[eq\f（π，2)，π)時，且sinα＝eq\f(4,5),得cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－\f(4，5)2)＝－eq\f(3,5），又由cosβ＝－eq\f(5，13），β是第三象限角,得sinβ＝－eq\r（1－cos2β)＝－eq\r（1－－\f(5,13）2）＝－eq\f（12，13)。所以cos（α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝（－eq\f(3，5））×（－eq\f(5,13))＋eq\f（4，5）×（－eq\f（12,13)）＝－eq\f(33,65）。②當α∈(0，eq\f(π，2)）時，且sinα＝eq\f（4,5），得cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\f（4,5）2)＝eq\f(3,5），又由cosβ＝－eq\f(5，13）,β是第三象限角，得sinβ＝－eq\r(1－cos2β)＝－eq\r（1－－\f(5,13)2）＝－eq\f（12，13）.所以cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f（3,5)×(－eq\f（5，13））＋eq\f(4，5）×(－eq\f(12，13）)＝－eq\f（63，65).點評：由于α∈（0,π)，這樣cosα的符號可正、可負,需討論，教師引導學生運用分類的思想，對角α進行分類討論，從而培養(yǎng)學生思維的嚴密性和邏輯的條理性．教師強調分類時要不重不漏.例3利用公式Cα＋β證明：cos［α＋(2k＋1）π]＝－cosα。證明：cos［α＋（2k＋1)π］＝cosαcos［（2k＋1)π]－sinαsin［（2k＋1）π］＝－cosα.思路2例1計算：(1）cos(－15°）；（2）cos15°cos105°＋sin15°sin105°;(3)sinxsin（x＋y）＋cosxcos（x＋y)．活動：教師可以大膽放給學生自己探究，點撥學生分析題目中的角－15°，思考它可以拆分為哪些特殊角的差，如－15°＝15°－30°或－15°＝45°－60°，然后套用公式求值即可．也可化cos(－15°）＝cos15°再求值．讓學生細心觀察（2)（3）可知，其形式與公式Cα－β的右邊一致，從而化為特殊角的余弦函數(shù)．解:（1)原式＝cos15°＝cos（45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f（\r（2),2）×eq\f（\r（3）,2）＋eq\f（\r（2)，2)×eq\f(1，2)＝eq\f（\r（6)＋\r（2),4).（2)原式＝cos（15°－105°）＝cos（－90°)＝cos90°＝0.（3）原式＝cos［x－(x＋y）］＝cos（－y)＝cosy.點評：本例重點是訓練學生靈活運用兩角差的余弦公式進行計算求值，從不同角度培養(yǎng)學生正用、逆用、變形用公式解決問題的能力，為后面公式的學習打下牢固的基礎.變式訓練函數(shù)f（x)＝sinx－cosx的最大值為（)A．1B.eq\r（2)C。eq\r（3)D．2答案:B例2已知cosα＝eq\f(1,7）,cos（α＋β)＝－eq\f(11，14），且α、β∈（0，eq\f（π，2)），求cosβ的值．解:∵α、β∈（0，eq\f(π,2))，∴α＋β∈(0，π)．又∵cosα＝eq\f（1，7)，cos(α＋β)＝－eq\f（11，14)，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f（4\r（3)，7）,sin(α＋β）＝eq\r(1－cos2α＋β)＝eq\f（5\r(3)，14)。又∵β＝（α＋β)－α，∴cosβ＝cos（α＋β）cosα＋sin(α＋β)sinα＝（－eq\f（11，14）)×eq\f（1，7)＋eq\f（5\r（3）,14)×eq\f(4\r（3),7)＝eq\f(1,2）.變式訓練1．求值：cos15°＋sin15°.解：原式＝eq\r（2)(eq\f(\r（2）,2)cos15°＋eq\f（\r（2)，2)sin15°）＝eq\r（2）（cos45°cos15°＋sin45°sin15°)＝eq\r（2)cos（45°－15°）＝eq\r（2）cos30°＝eq\f(\r（6),2)。2．已知銳角α、β滿足cosα＝eq\f（4,5），tan(α－β)＝－eq\f(1,3）,求cosβ.解：∵α為銳角,且cosα＝eq\f（4,5)，∴sinα＝eq\f(3,5)。又∵0〈α<eq\f（π，2），0〈β<eq\f(π，2)，∴－eq\f（π,2)〈α－β〈eq\f(π,2）.又∵tan（α－β)＝－eq\f(1,3）〈0,∴cos（α－β)＝eq\f（3,\r(10))。從而sin（α－β）＝tan(α－β）cos（α－β）＝－eq\f(1,\r（10)）.∴cosβ＝cos［α－(α－β）]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(4，5)×eq\f(3，\r(10))＋eq\f(3,5）×(－eq\f（1,\r（10）））＝eq\f（9\r(10）,50）.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(課堂小結))1．先由學生自己思考回顧公式的推導過程,觀察公式的特征,特別要注意公式既可正用、逆用，還可變形用,并掌握運用變角和拆角的思想方法解決問題．然后教師引導學生圍繞以下幾點小結：（1)怎么聯(lián)系有關知識進行新知識的探究?（2)利用差角余弦公式方面：對公式結構和功能的認識，三角變換的特點．2．教師畫龍點睛：本節(jié)課要理解并掌握兩角差的余弦公式及其推導，要正確熟練地運用公式進行解題，在解題時要注意分析三角函數(shù)名稱、角的關系，準確判斷三角函數(shù)值的符號．多對題目進行一題多解,從中比較最佳解決問題的途徑,以達到優(yōu)化解題過程,規(guī)范解題步驟,領悟變換思路，強化數(shù)學思想方法之目的．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)))課本本節(jié)練習B組1～5.eq\o(\s\up7（）,\s\do5（設計感想））1．本節(jié)課是典型的公式教學模式，因此本節(jié)課的設計流程從“實際問題→猜想→探索推導→記憶→應用”．它充分展示了公式教學中以學生為主體,進行主動探索數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的過程．同時充分發(fā)揮教師的主導作用,引導學生利用舊知識推導證明新知識，并學會記憶公式的方法，靈活運用公式解決實際問題．從而培養(yǎng)學生獨立探索數(shù)學知識的能力，增強學生的應用意識，激發(fā)學生學習的積極性．2．教學矛盾的主要方面是學生的學，學是中心，會學是目的，根據(jù)高中三角函數(shù)的知識特點，讓學生真正嘗試到探索的喜悅,真正成為教學的主體．學生體會到數(shù)學的美，產生一種成功感，從而提高了學習數(shù)學的興趣．eq\o（\s\up7(),\s\do5（備課資料)）備用習題1．若－eq\f（π,2)<α<β〈eq\f（π,2）,則α－β一定不屬于的區(qū)間是（)A．(－π，π）B．(－eq\f（π，2)，eq\f(π,2)）C．（－π,0）D．(0,π)2．已知α、β為銳角，cosα＝eq\f（3\r(10），10),cosβ＝eq\f(\r（10)，10），則α＋β＝________.3．不查表求值：（1)sin80°cos55°＋cos80°cos35°;(2）cos80°cos20°＋sin100°sin380°.4．已知:sinθ＝eq\f(1，5），θ∈(eq\f(π，2）,π)，求cos(θ－eq\f（π，3））的值．5．已知:sinα＝eq\f(2,3)，α∈（eq\f（π,2)，π），cosβ＝－eq\f(3,4),β∈(π，eq\f（3π，2)），求cos(α－β)的值．6．已知函數(shù)f(x)＝Asin（x＋φ）(A>0，0<φ〈π），x∈R的最大值是1，其圖象經過點M(eq\f(π,3),eq\f(1，2)）．(1)求f(x)的解析式；（2)已知α、β∈(0，eq\f（π，2）),且f(α)＝eq\f（3，5），f(β）＝eq\f（12,13)，求f(α－β）的值．參考答案：1．D2。eq\f(π,2）3．(1）原式＝sin80°sin35°＋cos80°cos35°＝cos（80°－35°）＝cos45°＝eq\f(\r(2），2）.（2）原式＝cos80°cos20°＋sin80°sin20°＝cos(80°－20°)＝cos60°＝eq\f(1,2）.4．解：∵sinθ＝eq\f(1,5），θ∈（eq\f(π,2），π)，∴cosθ＝－eq\r(1－sin2θ）＝－eq\r(1－\f(1,25)）＝－eq\f（2\r（6),5）.∴cos(θ－eq\f(π,3））＝cosθcoseq\f（π，3)＋sinθsineq\f(π，3)＝－eq\f（2\r（6）,5）×eq\f(1,2)＋eq\f(1,5)×