甘肅蘭州安寧區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷含答案

2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試試題高二數(shù)學(xué)一?單選題（本大題共8小題，共40分．在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由斜率可確定直線的傾斜角.【詳解】由得，所以該直線的斜率為：.設(shè)直線傾斜角為，則，且，所以.故選：C2.已知，，，則（）A.0.5 B.0.6 C.0.8 D.1【答案】B【解析】【分析】依題意根據(jù)計算可得；【詳解】解：因為，，則，所以事件與事件不相互獨立，．故選：B3.若直線與平行，則與間的距離為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由兩直線平行的判定有且求參數(shù)a，應(yīng)用平行線距離公式求與間的距離.【詳解】∵直線與平行，∴且，解得．∴直線與間的距離．故選：B．4.已知等差數(shù)列的公差為2，若成等比數(shù)列，是的前項和，則等于（）A.?8 B. C.10 D.0【答案】D【解析】【分析】由a1，a3，a4成等比數(shù)列，可得=a1a4，再利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出．【詳解】∵a1，a3，a4成等比數(shù)列，∴=a1a4，∴=a1?（a1+3×2），化為2a1=-16，解得a1=-8．∴則S9=-8×9+×2=0，故選D．【點睛】本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．5.若直線經(jīng)過點，且直線的一個法向量為，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線的一個法向量為，得到，寫出直線方程.【詳解】因為直線的一個法向量為，所以，則直線l的方程為，即，故選：C6.在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛馬羊，要求賠償五斗糧，三畜戶主愿賠償，牛馬羊吃得異樣．馬吃了牛的一半，羊吃了馬的一半．”請問各畜賠多少？它的大意是放牧人放牧?xí)r粗心大意，牛、馬、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食（1斗=10升），三畜的主人同意賠償，但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同．馬吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是馬的一半．問羊、馬、牛的主人應(yīng)該分別向青苗主人賠償多少升糧食？（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,易知成等比數(shù)列,,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求出答案.【詳解】設(shè)羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,則成等比數(shù)列,且公比,則,故,,.故選:D.【點睛】本題考查數(shù)列與數(shù)學(xué)文化,考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了學(xué)生的運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.7.點到直線的距離為，則的最大值為（）A.3 B.4 C.5 D.7【答案】A【解析】【分析】首先確定直線所過的定點，然后確定d的最大值即可.【詳解】直線方程即，據(jù)此可知直線恒過定點，當(dāng)直線時，有最大值，結(jié)合兩點之間距離公式可得最大值為.本題選擇A選項.【點睛】本題主要考查直線恒過定點問題，兩點之間距離公式及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.8.曲線與直線有兩個交點時，實數(shù)k取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】曲線即，，表示以為圓心，以2為半徑的圓位于直線上方的部分（包含圓與直線的交點C和D），是一個半圓，如圖直線過定點，要有2個交點，直線要在,之間，求出兩直的斜率可得結(jié)果【詳解】解：曲線即，，表示以為圓心，以2為半徑的圓位于直線上方的部分（包含圓與直線的交點C和D），是一個半圓，如圖：直線過定點，設(shè)半圓的切線BE的切點為E，則BC的斜率為．設(shè)切線BE的斜率為，，則切線BE的方程為，根據(jù)圓心A到線BE距離等于半徑得，，由題意可得，∴，故選：A．二?多選題（本大題共4小題，共20.0分．在每小題有多項符合題目要求）9.下列說法正確的是（）A.任意一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率B.點關(guān)于直線的對稱點為C.經(jīng)過點且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為D.直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2【答案】ABD【解析】【分析】A選項，利用斜率定義可知，當(dāng)傾斜角為90°時，斜率不存在；B選項求解點關(guān)于直線的對稱點，滿足兩點的斜率與乘積為-1，中點在已知直線上，進(jìn)而求出對稱點；C選項要考慮截距均為0的情況，D選項求出與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，進(jìn)而求出圍成的三角形的面積.【詳解】當(dāng)傾斜角為90°時，斜率不存在，故A選項正確；設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，則滿足，解得：，故點關(guān)于直線的對稱點為，B正確；當(dāng)在x軸和y軸上截距都等于0時，此時直線為，故C錯誤；直線與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)為與，故與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，D正確故選：ABD10.甲、乙兩人練習(xí)射擊，命中目標(biāo)的概率分別為和，甲、乙兩人各射擊一次，下列說法正確的是（）A.目標(biāo)恰好被命中一次的概率為B.目標(biāo)恰好被命中兩次的概率為C.目標(biāo)被命中的概率為D.目標(biāo)被命中的概率為【答案】BD【解析】【分析】利用獨立事件的概率乘法公式和互斥事件、對立事件的概率公式可判斷各選項的正誤.【詳解】甲、乙兩人練習(xí)射擊，命中目標(biāo)的概率分別為和，甲、乙兩人各射擊一次，在A中，目標(biāo)恰好被命中一次的概率為，故A錯誤；在B中，由相互獨立事件概率乘法公式得：目標(biāo)恰好被命中兩次的概率為，故B正確；在CD中，目標(biāo)被命中的概率為，故C錯誤，D正確．故選：BD．11.已知數(shù)列的前項和為，下列說法正確的（）A.若，則是等差數(shù)列B.若，則是等比數(shù)列C.若是等差數(shù)列，則D.若是等比數(shù)列，且，則【答案】BC【解析】【分析】對于A，求出，,即可判斷；對于B，利用求出通項公式，再驗證是否滿足2，即可判斷；對于C，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可判斷；對于D，當(dāng)時，可得，即可判斷．【詳解】解：對于A，若，則，，，則不是等差數(shù)列，A錯誤；對于B，若，則，當(dāng)時，，滿足2，所以，則是等比數(shù)列，B正確；對于C，是等差數(shù)列，則，C正確；對于D，若是等比數(shù)列，當(dāng)時，則，D錯誤.故選：BC．12.已知圓，點為軸上一個動點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，直線與交于點，則下列結(jié)論正確的是（）A.四邊形周長的最小值為B.最大值為C.若，則三角形的面積為D.若，則的最大值為【答案】CD【解析】【分析】首先設(shè)，對于選項A，根據(jù)題意，表達(dá)四邊形周長關(guān)于的函數(shù)，由的取值范圍求函數(shù)的最小值可判斷A錯誤；對于選項B，根據(jù)等面積法，求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，由的取值范圍求函數(shù)的最大值可判斷B錯誤；對于選項C，根據(jù)題意，計算的底和高，求出面積判斷C正確；對于選項D，設(shè)動點，求出切線的方程與直線的方程，二者聯(lián)立消去得到二者交點的軌跡是圓，的最大值為圓心與距離加半徑，可判斷D正確．【詳解】對于選項A，設(shè)，則，則四邊形周長為，則當(dāng)最小時周長最小，又最小值為2，所以四邊形周長最小為，故A錯誤；對于選項B，，即，所以，因為，所以，故B錯誤；對于選項C，因為，所以，即，所以，，，，所以三角形的面積為，故C正確；對于選項D，設(shè)，,則切線的方程為，又因為直線過點，代入可得化簡得設(shè),同理可得，因此點都過直線，即直線的方程為，的方程為，二者聯(lián)立得，，由①式解出，代入②式并化簡得，配方得，，所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，設(shè)其圓心為，所以的最大值為，故D正確．故選：CD.【點睛】本題綜合性較強，難度較大，具備運動變化的觀點和函數(shù)思想是解題的關(guān)鍵，對于AB選項，設(shè)變量，用分別表達(dá)周長函數(shù)和距離函數(shù)求最值，對于D選項，設(shè)出動點，分別表達(dá)直線和的方程，聯(lián)立消去，得到動點的軌跡，進(jìn)一步求解答案.三?填空題（本大題共4小題，共20分）13.對某班一次測驗成績進(jìn)行統(tǒng)計，如下表所示：分?jǐn)?shù)段頻率0.030.040170.360.250.15則該班成績在內(nèi)的概率為__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)測驗成績進(jìn)行統(tǒng)計表，即可求得成績在內(nèi)的概率，得到答案.【詳解】根據(jù)測驗成績進(jìn)行統(tǒng)計表，可得該班成績在內(nèi)的概率為.故答案為：14.已知數(shù)列的前項和，則數(shù)列的通項公式為___________.【答案】【解析】【詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以.15.已知a>0，，直線：，：，且，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩條直線的一般式方程及垂直關(guān)系，求出，滿足的條件，再由基本不等式求出最小值即可．【詳解】因為，所以，即，因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以的最小值為．故答案為：．16.已知圓C的圓心在直線x＋y＝0上，圓C與直線x－y＝0相切，且在直線x－y－3＝0上截得的弦長為，則圓C的方程為________．【答案】(x－1)2＋(y＋1)2＝2.【解析】【分析】設(shè)圓的圓心，由直線與圓相切可得半徑，再由垂徑定理即可得解.【詳解】由圓C的圓心在直線x＋y＝0上，∴設(shè)圓C的圓心為(a,－a)，又∵圓C與直線x－y＝0相切，∴半徑.又圓C在直線x－y－3＝0上截得的弦長為，圓心(a,－a)到直線x－y－3＝0的距離，∴，即，解得a＝1，∴圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.故答案為：.四?解答題（本大題共6小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知的三個頂點分別為，，，求：（1）邊所在直線方程；（2）邊上中線AD所在直線的方程；（3）邊的垂直平分線DE的方程【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由兩點式求直線的方程；（2）由條件求的坐標(biāo)，再求直線所在直線的方程；（3）根據(jù)直線垂直時斜率的關(guān)系求直線的斜率，再求其方程.【小問1詳解】因為直線經(jīng)過B2,1和兩點，由兩點式得的方程為，即【小問2詳解】，，為的中點，點的坐標(biāo)為0,2，又邊的中線過點，兩點，由截距式得所在直線方程為，即

.【小問3詳解】的斜率，則的垂直平分線的斜率，由斜截式得直線的方程為，即．18.某快餐配送平臺針對外賣員送餐準(zhǔn)點情況制定了如下的考核方案：每一單自接單后在規(guī)定時間內(nèi)送達(dá)?延遲5分鐘內(nèi)送達(dá)?延遲5至10分鐘送達(dá)?其他延遲情況，分別評定為四個等級，各等級依次獎勵3元?獎勵0元?罰款3元?罰款6元.假定評定為等級的概率分別是.（1）若某外賣員接了一個訂單，求其不被罰款的概率；（2）若某外賣員接了兩個訂單，且兩個訂單互不影響，求這兩單獲得的獎勵之和為3元的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用互斥事件的概率公式，即可求解；（2）由條件可知兩單共獲得的獎勵為3元即事件，同樣利用互斥事件和的概率，即可求解.【小問1詳解】設(shè)事件分別表示“被評為等級”，由題意，事件兩兩互斥，所以，又“不被罰款”，所以.因此“不被罰款”的概率為；【小問2詳解】設(shè)事件表示“第單被評為等級”，，則“兩單共獲得的獎勵為3元”即事件，且事件彼此互斥，又，所以.19.已知圓的方程：．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）若圓與直線：交于，兩點，且，求的值．【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化簡即可求得的取值范圍；（2）利用點到直線的距離及垂徑定理即可解得.【小問1詳解】由題意得：方程，可化為，此方程表示圓，，即．小問2詳解】圓的方程化為，圓心，半徑，則圓心到直線：的距離為，由于，則有，，得，20.已知是遞增的等比數(shù)列，，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列的前項和為，且滿足，又，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)條件列出關(guān)于的方程組求解即可；（2）利用構(gòu)造法求bn【小問1詳解】記數(shù)列an的公比為，由題知，即，解得或，又an是遞增的等比數(shù)列，所以，所以，所以數(shù)列an的通項公式為.【小問2詳解】當(dāng)時，，得當(dāng)時，，整理得，所以是以為公比，為首項的等比數(shù)列，所以，得，又，所以，所以21.在校運動會上，只有甲?乙?丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到以上（含）的同學(xué)將得優(yōu)秀獎.為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲?乙?丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：）：甲：，，，，，，，，，；乙：，，，，，；丙：，，，.假設(shè)用頻率估計概率，且甲?乙?丙的比賽成績相互獨立.（1）估計甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；（2）求甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中恰有2人獲得優(yōu)秀獎的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型概率的計算公式直接計算概率；（2）由（1）知，甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率，根據(jù)古典概型概率的計算公式，分別計算出乙、丙在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率，再計算出甲、乙、丙在校運動會鉛球比賽中恰有2人獲得優(yōu)秀獎的概率.【小問1詳解】設(shè)事件A為“甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎”，因為比賽成績達(dá)到以上（含）的同學(xué)將得優(yōu)秀獎，甲以往的次比賽成績中達(dá)到以上（含）的有，，，，共次，所以甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率為，【小問2詳解】由（1）知，甲在校運動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率為，設(shè)事件B為：“乙在校運動會鉛球比