江蘇省南通市名校聯(lián)盟新高三暑期學(xué)習(xí)（全國普通高考調(diào)研模擬測試）數(shù)學(xué)試題

高三年級全國普通高考調(diào)研測試數(shù)學(xué)全卷滿分150分，限時120分鐘注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的考試號填寫在答題卡上．2．作答時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，請將答題卡交回．4．請認(rèn)真閱讀考試說明．★預(yù)?？荚図樌锏冖窬恚ㄟx擇題，共58分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若集合，，則的元素個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】通過討論求得，，利用集合交集運算求出，從而求出結(jié)果.【詳解】因為，且，則，或，且，所以，或，因為，則或，當(dāng)，時，，當(dāng)，時，，當(dāng)且時，，當(dāng)，且，，則，當(dāng)，且，,時，，則當(dāng)，即，或，綜上，所以的元素個數(shù)為4故選：D2.已知，，則點B到直線AC的距離為（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】由坐標(biāo)運算求出，，，進(jìn)而求出，再求得在方向上的投影，然后即可求出點B到直線AC的距離.【詳解】因為，，所以，，，，所以在方向上的投影為，，所以點B到直線AC的距離為.故選：C.3.設(shè)，函數(shù)與直線交于點．若曲線與軸上方（不含軸）的正三角形的兩條邊相切，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先設(shè)出各點的坐標(biāo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)列出方程，最后通過點在軸上方得到取值范圍.【詳解】

由于都在直線上，故平行于軸，再由是偶函數(shù)，可設(shè)，.據(jù)已知可得是的切線，故.所以由可知，故，從而.由于，故的方程為，令，得，所以.從而根據(jù)已知條件，點在軸上方，這就說明命題等價于.故所求取值范圍是.故選：D.4.現(xiàn)有一份由連續(xù)正整數(shù)（可重復(fù)）組成的樣本，其容量為m，滿足上四分位數(shù)為28，第80百分位數(shù)為30，則m的最小值為（）A.24 B.25 C.28 D.29【答案】D【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)定義，結(jié)合已知分析各項對應(yīng)m值，可得答案．【詳解】對于A，若樣本容量的最小值為24，則，，則第個數(shù)據(jù)的平均數(shù)應(yīng)為，第個數(shù)據(jù)應(yīng)為，由是連續(xù)的正整數(shù)，顯然不符合情況，故A錯誤；對于B，若樣本容量的最小值為25，則，，則第19個數(shù)據(jù)應(yīng)為，第個數(shù)據(jù)均為，由是連續(xù)的正整數(shù)，矛盾，故B錯誤；對于C，若樣本容量的最小值為28，則，，則第個數(shù)據(jù)均為，第23個數(shù)據(jù)應(yīng)為，由是連續(xù)的正整數(shù)，矛盾，故C錯誤；對于D，若樣本容量的最小值為29，則，，則第22個數(shù)據(jù)應(yīng)為，則第個數(shù)據(jù)應(yīng)為，所以第個數(shù)據(jù)應(yīng)該是29，符合題意，故D正確；故選：D.5.在遞增數(shù)列中，，．已知表示前n項和的最小值，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意依次確定數(shù)列的前9項的值，結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，即可得答案.【詳解】由題意在遞增數(shù)列中，，，則，故，則或，結(jié)合題意??；又，則或，結(jié)合題意??；同理，則或，結(jié)合題意取，同理，則或，結(jié)合題意取，同理，則或，結(jié)合題意取，同理可得，，，故前9項和的最小值，可得，故選：C6.在銳角中，已知，則B，C的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.無法確定【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式及和差角的正弦公式化簡，再利用正弦定理邊化角及余弦定理推理即得.【詳解】在銳角中，由，得，則，整理得，于是，由正弦定理得，由余弦定理得，而，因此，所以.故選：A7.已知標(biāo)準(zhǔn)橢圓上P，Q兩點的切線方程分別為，，則直線PQ的斜率為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)橢圓方程為，分別聯(lián)立直線方程，根據(jù)判別式聯(lián)立求解可得，然后求出坐標(biāo)可得斜率.【詳解】設(shè)橢圓方程為，，聯(lián)立消去得①，則②，聯(lián)立消去得③，則④，聯(lián)立②④解得，代入①得，解得，所以，代入③得，解得，所以，所以.故選：D8.若滿足在上恒成立的a唯一，則整數(shù)b的值為（）A.3 B. C.4 D.【答案】A【解析】【分析】用特殊值法來進(jìn)行判斷函數(shù)恒等問題，不妨設(shè)，，分類討論判斷范圍進(jìn)行求解.【詳解】不妨設(shè)，，對于A，，滿足在上恒成立的a唯一，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，則，即，與矛盾；當(dāng)時，令得；若，即，有在上單調(diào)遞減，則，即，與矛盾；若，即，，在上單調(diào)遞增；，在上單調(diào)遞減；，，，；可知，解得，符合題意，A正確；對于B，當(dāng)時成立，只需驗證當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，則，即，與矛盾；當(dāng)時，令得；若，即，有在上單調(diào)遞增，則，即，可知不唯一，B錯誤；對于C,D，，滿足在上恒成立的a唯一，則當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，則，即，與矛盾；當(dāng)時，令得；若，即，有在上單調(diào)遞減，則，即，與矛盾；若，即，，在上單調(diào)遞增；，在上單調(diào)遞減；，，，；可知，解得，不符合題意，C，D錯誤；故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查不等式恒成立問題，解答的關(guān)鍵是要結(jié)合選項，分類討論，驗證選項中的參數(shù)值是否符合題意.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知的外接圓圓心在AC邊上，內(nèi)切圓半徑為，且．設(shè)D為AC邊上動點，將沿BD向上翻折，得到四面體ABCD，記為M，其體積為V．則（）A.的外接圓面積為4πB.M不可能是正三棱錐C.M的外接球球心不可能在其棱上D.V取最大值時，【答案】ABD【解析】【分析】先根據(jù)條件解出是，的直角三角形，算出邊長，判斷A；再根據(jù)是等邊三角形時，，判斷B；再取，將翻折到時，中點是的外接球球心，判斷C；最后將翻折到平面平面時，過作，計算有最大值時點的位置判斷D.【詳解】的外接圓圓心在AC邊上，則是為直角的直角三角形，中點是的外接圓圓心，又，則，，設(shè)，內(nèi)切圓半徑為，可得，即.的外接圓半徑，面積為，故A正確.若是正三棱錐，則一定是等腰三角形，又，即是等邊三角形，此時點與點重合，為正三棱錐的底面，而側(cè)棱，所以不可能是正三棱錐，故B正確.取，將翻折到時，此時，，，，即，取中點為，則，是的外接球球心，故C錯誤.以為原點，，為軸，軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，將沿BD向上翻折，當(dāng)平面平面時，點到底面的距離最大，過作，則為四面體的高，直線方程為，，，，設(shè)，，設(shè)，，則在上單調(diào)遞減，又，，一定存在，使，且，而，所以當(dāng)時，，遞增；當(dāng)時，，遞減；則的最大值是.因此當(dāng)點更靠近點，時，有最大值，即取最大值時，，故D正確.故選：ABD.10.已知拋物線Γ：的焦點為F，P為Γ上一動點．過F且斜率大于0的直線與Γ交于不同的兩點A，B，且滿足，．則下列說法錯誤的是（）A.直線AB的傾斜角大于60°B.若，則C.點P可能在第一象限D(zhuǎn).直線PB的橫截距不可能是【答案】AC【解析】【分析】設(shè)直線方程為，，代入找出與的關(guān)系式，判斷AC；根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)判斷B；最后取，假設(shè)直線與拋物線Γ交于點，計算判斷D.【詳解】拋物線Γ：的焦點為，直線過F且斜率大于0，設(shè)直線方程，，聯(lián)立，化簡得，由韋達(dá)定理，設(shè)，，，代入韋達(dá)定理得，又點不在直線上，則，即只有，當(dāng)，即時，有實數(shù)解，且存在點，又，則點在第四象限，故C錯誤.設(shè)直線的斜率為，則，直線的傾斜角小于等于，故A錯誤.若，則，，代入，解得，，所以，即，故B正確.取，則直線的直線方程為，聯(lián)立，化簡得，方程其中一個根為點縱坐標(biāo)，則另一根為，若另一根為點縱坐標(biāo)，則，此時，代入方程無解，所以與無法垂直，則不存在這樣過的直線，即直線的橫截距不可能是，故D正確.故選：AC.11.已知函數(shù)，記時的極值點為（且的值均不同）．則下列說法錯誤的是（）A.滿足有唯一零點的唯一 B.無論取何值，都沒有過原點的切線C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】【分析】對于A，可分類討論的零點個數(shù)，從而證明結(jié)論；對于B，直接給出作為反例即可；對于C，構(gòu)造函數(shù)證明對有，其中，然后利用的單調(diào)性即可；對于D，直接說明即可.【詳解】設(shè)，則，故對有，對有.所以在上遞減，在上遞增，從而，即.我們有，故對有，對有.所以在上遞減，在上遞增.從而有極小值點，故.由于，故.若，此時，而，故對有.所以.這就表明在和上各有一個零點，從而至少有兩個零點；若，則根據(jù)的單調(diào)性，知存在唯一的零點.對于A，當(dāng)時，有，所以，從而至少有兩個零點；當(dāng)時，有，所以，從而至少有兩個零點；當(dāng)時，有，所以，從而存在唯一的零點.這就表明當(dāng)且僅當(dāng)時，的零點唯一，故A正確；對于B，由于當(dāng)時，在處的切線過原點，故B錯誤；對于C，若，由于，故.設(shè)，則，故對有，對有所以在上遞增，在上遞減.由已知有，故可不妨設(shè)，而，故.再設(shè)，則，且，.而對有.所以在上遞增，從而對有；所以在上遞增，從而對有；所以在上遞增，從而對有，即.從而有.根據(jù)的單調(diào)性，知，故.所以，故C正確；對于D，根據(jù)前面的討論，恒有成立，所以.這就得到，故D錯誤.故選：BD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造的函數(shù)并研究其單調(diào)性，方可解決相應(yīng)問題.第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知復(fù)數(shù)，若，則______．【答案】【解析】【分析】利用求根公式求出，然后根據(jù)復(fù)數(shù)運算求解可得.【詳解】由得，由求根公式得，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，綜上，故答案為：13.甲和乙玩小游戲測試他們的默契度．在一輪游戲中，他們各寫下一個三位數(shù)，分別記為A和B．當(dāng)以下任一條件成立時，他們“不默契”，否則“心有靈犀”：①A、B中相同的數(shù)字少于兩個（如147和289）②A、B中相同的數(shù)字不少于兩個，但不都在相同的數(shù)位上（如147和174）根據(jù)以上內(nèi)容判斷：在本輪游戲中，甲和乙“心有靈犀”的概率為______．【答案】##【解析】【分析】先分析時，甲和乙“心有靈犀”的概率，然后根據(jù)互斥事件的概率加法公式可得.【詳解】由題知，當(dāng)A、B中至少有兩個數(shù)字相同，且相同數(shù)位上時，甲和乙“心有靈犀”.不妨記，當(dāng)A、B中有三個數(shù)字相同時，有1種情況；當(dāng)A、B中只有兩個數(shù)字相同時，若百位和十位相同，有9種情況，若百位和個位相同，有9種情況，若十位和個位相同，有8種情況，所以，當(dāng)A、B中只有兩個個數(shù)字相同時，有種情況.綜上，當(dāng)時，有種情況使得甲和乙“心有靈犀”.因為三位數(shù)共有個，所以當(dāng)時，甲和乙“心有靈犀”的概率為，又因為甲寫出每一個三位數(shù)且甲和乙“心有靈犀”的事件互斥，例如：事件“且甲和乙“心有靈犀””和事件“且甲和乙“心有靈犀””互斥.所以，甲和乙“心有靈犀”的概率為.故答案為：.14.給定一種有窮正整數(shù)列的延伸機(jī)制Ξ，如圖所示：記經(jīng)Ξ延伸后得到的無窮數(shù)列為，則______．【答案】【解析】【分析】先分析第個連續(xù)的串的長度，用等比數(shù)列工具求解，然后再利用相應(yīng)結(jié)果得到答案.【詳解】記第個連續(xù)的串的長度分別是，則，.從而，即，，.根據(jù)等比數(shù)列知識，得到，，.由于，.所以.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于使用合適的工具分析問題，以及對新定義的理解.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.俱樂部是具有某種相同興趣的人進(jìn)行社會交際、文化娛樂等活動的團(tuán)體和場所．一些頂尖的俱樂部不僅對會員的要求非常嚴(yán)苛，加入也要經(jīng)過現(xiàn)任會員邀請并接受資格測試和對個人素養(yǎng)、社會地位等的綜合考察．研究人員通過模型預(yù)測某俱樂部標(biāo)準(zhǔn)資格測試的參試成績（總計100份），繪制成下表（已知B卷難度更大）：某俱樂部標(biāo)準(zhǔn)資格測試參試成績預(yù)測

不及格及格良好優(yōu)秀A卷ab164B卷201262（1）若至少有5%的把握認(rèn)為及格率與試卷難度無關(guān)，求a的最小值；（2）在預(yù)測的40份B卷參試成績中隨機(jī)挑選3份，記不及格的份數(shù)為X①求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；②人教A版選擇性必修第三冊第80頁上寫道：對于不放回抽樣，當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時…此時，超幾何分布可以用二項分布近似．近似指的是期望還是方差？試判斷并說明理由．附：，其中．α0.0500.0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）19；（2）①分布列見解析，；②方差，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)寫成列聯(lián)表，解不等式即可；（2）①根據(jù)超幾何分布概率公式求概率即可得分布列，再由期望公式求期望；②根據(jù)超幾何分布和二項分布的關(guān)系進(jìn)行分析可得.【小問1詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)得列聯(lián)表：

不及格及格合計A卷a60B卷202040合計100零假設(shè)為：及格率與試卷難度無關(guān).由題知，，整理得，解得，依題意知，，所以a的最小值為.【小問2詳解】①在預(yù)測的40份B卷參試成績中，不及格和及格各20份，由題知，的可能取值有，，，得X的分布列為：0123所以.②當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時,超幾何分布與二項分布近似指的是方差，由①知，若進(jìn)行放回抽樣，則，，放回抽樣和不放回抽樣期望相等，所以近似指的是方程.當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時，每次抽取后對N的影響非常小，此時放回與不放回對概率影響可以忽略不計，所以，此時超幾何分布與二項分布近似.16.已知定義在上的函數(shù)，．（1）分別說明，的單調(diào)性；（2）若函數(shù)存在唯一極小值點，求的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）分別求出函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，再對分類討論，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解；（2）令，求出的導(dǎo)函數(shù)，對進(jìn)行分類討論，由函數(shù)存在唯一極小值點，即可求得的取值范圍．【小問1詳解】由題可得：，當(dāng)時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；由題可得：，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增【小問2詳解】令，則，令，則，①當(dāng)時，在上恒成立，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，所以有唯一極大值點，沒有極小值點，不滿足題意；②當(dāng)時，在恒成立，在上單調(diào)遞增，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以有唯一極小值點，滿足題意；③當(dāng)時，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，令，解得，當(dāng)時，在上恒成立，由②可知有唯一極小值點，滿足題意；當(dāng)時，，，，又因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以存在唯一實數(shù)，，使得，，又，故當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以的極小值點為，，不唯一，不滿足題意；綜上，的取值范圍【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值、最值的方法（1）若求極值，則先求方程的根，再檢查在方程根的左右函數(shù)值的符號；（2）若探究極值點個數(shù)，則探求方程在所給范圍內(nèi)實根的個數(shù)；（3）若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程根的大小或存在情況來求解；（4）求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間的最值時，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)值，與的各極值進(jìn)行比較，從而得到函數(shù)的最值．17.已知無限高圓柱．如圖，四邊形內(nèi)接于其底面⊙O，P為其內(nèi)一動點（包括表面），且平面平面，．（1）是否存在點使得直線平面？試判斷并說明理由．（2）若，二面角的大小為，求最大時直線與平面所成角的余弦值．【答案】（1）不存在，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）假設(shè)存在點使得直線平面，利用線面垂直的性質(zhì)與判定定理推出矛盾，即可得解；（2）先說明是等邊三角形，確定最大時的情況，結(jié)合空間向量或線面角的定義即可求解.【小問1詳解】不妨假設(shè)存在點使得直線平面，因為平面，所以，又四邊形ABCD內(nèi)接于，所以，在平面PAD上作直線于，因為平面平面，平面平面平面，所以平面，又因為平面，故，又平面平面，所以平面.而平面平面，故，不垂直，與題意矛盾.所以不存在點使得直線平面.【小問2詳解】因為，所以，取AB中點，連接OF延長交于，則，所以四點共線，則，即，因為為AB中點，所以，則。則，所以，同理可證，所以是等邊三角形.法一：以為坐標(biāo)原點，，向上為x，y，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)半徑為，其中，所以，設(shè)平面PAB的法向量，則取，可得，取平面ABCD的一個法向量所以，解得，則取，設(shè)平面PAD的法向量，則，取，又，解得，設(shè)直線的方向向量，則，取，可得，所以，由題意可知平面ABCD時AP取得最大值，則，所以，解得舍），則，設(shè)平面PBD的法向量則，取，可得，設(shè)直線PC與平面PBD所成的角為，所以，因為，所以，故最大時直線PC與平面PBD所成角的余弦值為.法二：設(shè)在底面上投影為，直線PA與底面所成角為半徑為，由三余弦定理及三正弦定理得因為，則所以為定值，而，所以取最大值時，取最大值即與重合時，故直線平面ABCD，此時有，作直線BD于，連接PH，作于，所以，因為平面ABCD，所以，又因為平面，所以平面BDH，而平面CDH，所以，又因為平面，所以平面BDH，則即為直線PC與平面BDH所成角的平面角，所以，故取最大時直線PC與平面PBD所成角的余弦值為.18.已知焦點為F的拋物線Γ：，圓F與Γ在第一象限的交點為P，與x正，負(fù)半軸分別交于點H，G．直線PH，直線PF與Γ的另一交點分別為M，N，直線MN與直線PG交于點T．（1）若，證明：；（2）若，求的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意得到點的坐標(biāo)，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，即可得到點的坐標(biāo)，再寫出直線的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，即可得到點的坐標(biāo)，再結(jié)合到角公式計算出和即可證明；（2）由條件可得，再由代入計算，【小問1詳解】由題意知，設(shè)，則，由得，又，所以，設(shè)直線的方程為，由可得，則，又因為，所以．，直線的方程為，由得，由，得．所以所以，所以，所以為銳角；又，所以，所以為鈍角，故；【小問2詳解】因為，由（1）知，設(shè)，則，，，，，所以直線的方程為，作，垂足為，則，直線的方程為，將直線與的方程聯(lián)立，得解得．所以，所以，由相似三角形的性質(zhì)可得，故，因為，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），故，即的面積的取值范圍為．19.小學(xué)我們都學(xué)過質(zhì)數(shù)與合數(shù)，每一個合數(shù)都能分解為若干個質(zhì)數(shù)的積，比如，等等，分解出來的質(zhì)數(shù)稱為這個合數(shù)的質(zhì)因子，如2，3都是6的質(zhì)因子．在研究某兩個整數(shù)的關(guān)系時，我們稱它們是互質(zhì)的，如果它們沒有相同的質(zhì)因子．例如25的質(zhì)因