吉林省白山市2023-2024學年高一下學期7月期末考試數(shù)學

2023—2024學年度（下）白山市高一教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學本卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自已的姓名?考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知某圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為4的半圓，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.2.袋內(nèi)有質(zhì)地均勻且大小相同的3個白球和2個黑球，從中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，則A與B是（）A.互斥事件 B.相互獨立事件 C.對立事件 D.不相互獨立事件3.設是兩條不同的直線，是三個不同的平面，下列說法中正確的序號為（）①若，則為異面直線②若，則③若，則④若，則A.①② B.②③ C.③④ D.②④4.是虛數(shù)單位，復數(shù)，（是的共軛復數(shù)），則（）．A. B. C. D.5.如圖，在梯形中，在線段上，.若，則（）A. B. C. D.6.一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲6次，得到的點數(shù)分別為，則這6個點數(shù)的中位數(shù)為的概率為（）A. B. C. D.7.如圖，已知兩點分別滿足，，其中，且，則最小值為（）A. B.1 C.2 D.8.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，下列四個說法中正確個數(shù)是（）①若，則一定是等邊三角形；②若，則一定是等腰三角形；③若，則一定是等腰三角形；④若，則一定銳角三角形．A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.“體育強則中國強，國運興則體育興”.為備戰(zhàn)2024年巴黎奧運會，運動員們都在積極參加集訓，已知某跳水運動員在一次集訓中7位裁判給出的分數(shù)分別為：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，則這組數(shù)據(jù)的（）A.平均數(shù)為9.6 B.眾數(shù)為10C.第80百分位數(shù)為9.8 D.方差為10.已知向量，且，則（）A.B.C.向量與的夾角為D.向量在向量上的投影向量的坐標為11.在三棱錐中，記，其他棱長均為2，三棱錐的所有頂點都在球的球面上，球與三棱錐的所有面都相切.若點在底面內(nèi)的射影位于內(nèi)部及其邊界，則下列說法正確的是（）A.當三棱錐的體積為時，B.當時，球與球體積之比為C.當三棱錐的體積最大時，球的半徑為D.當時，球的表面積為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在復平面內(nèi)，復數(shù)和對應的點分別為，則__________.13.國家高度重視青少年視力健康問題，指出要“共同呵護好孩子的眼睛，讓他們擁有一個光明的未來”.某校為了調(diào)查學生的視力健康狀況，決定從每班隨機抽取5名學生進行調(diào)查.若某班有50名學生，將每一名學生從01到50編號，從下面所給的隨機數(shù)表的第2行第4列的數(shù)開始，每次從左向右選取兩個數(shù)字，則選取的第四個號碼為______隨機數(shù)表如下：01543287659542875346795325865741336983244597738652443578624114.在四棱錐中，底面，底面為正方形，，一平面經(jīng)過點且垂直于直線，則該平面截四棱錐所得截面的面積為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知．（1）求；（2）求向量與的夾角的余弦值．16.為了解學生的周末學習時間（單位：小時），高一年級某班班主任對本班40名學生某周末的學習時間進行了調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)整理繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖所提供的信息，解決下列問題.（1）求該班學生周末的學習時間不少于20小時的人數(shù)；（2）①估計這40名學生周末學習時間的分位數(shù)；②將該班學生周末學習時間從低到高排列，估計第10名學生的學習時長.17.如圖，已知△ABC與△ADC關于直線AC對稱，把△ADC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△AFE，若B，C，E，F(xiàn)四點共線，且，.（1）求BC；（2）求△ADE的面積.18.Matlab是一種數(shù)學軟件，用于數(shù)據(jù)分析、無線通信、深度學習、圖象處理與計算機視覺、信號處理、量化金融與風險管理、人工智能機器人和控制系統(tǒng)等領域，推動了人類基礎教育和基礎科學的發(fā)展.某學校舉行了相關Matlab專業(yè)知識考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學答對每題的概率都為p，乙同學答對每題的概率都為，且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響．已知每題甲、乙同時答對的概率為，恰有一人答對的概率為．（1）求和值；（2）試求兩人共答對3道題的概率．19.如圖，在棱長為的正方體中，為的中點.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角余弦值.2023—2024學年度（下）白山市高一教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學本卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自已的姓名?考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知某圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為4的半圓，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設圓錐的底面圓半徑為，由弧長公式求出，即可求出圓錐的高，再由錐體的體積公式計算可得.【詳解】設圓錐的底面圓半徑為，由題意得，解得，又側(cè)面展開圖是半徑為4的半圓，即圓錐的母線長為，所以圓錐的高，所以該圓錐的體積為.故選：D2.袋內(nèi)有質(zhì)地均勻且大小相同的3個白球和2個黑球，從中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，則A與B是（）A.互斥事件 B.相互獨立事件 C.對立事件 D.不相互獨立事件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件、相互獨立事件的定義判斷即得.【詳解】依題意，有放回地摸球，事件A與B可以同時發(fā)生，因此事件A與B不互斥，更不對立，AC錯誤；顯然，，因此A與B是相互獨立事件，B正確，D錯誤.故選：B3.設是兩條不同的直線，是三個不同的平面，下列說法中正確的序號為（）①若，則為異面直線②若，則③若，則④若，則A①② B.②③ C.③④ D.②④【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間線面的位置關系，逐項判斷即可.【詳解】對①：因為平面的平行線和平面內(nèi)的直線可以平行，也可以異面，故①錯誤；對②：平行于同一個平面的兩個平面平行，故②正確；對③：先根據(jù)垂直于同一條直線的兩個平面平行得，再根據(jù)，可得，故③正確；對④：兩直線平行，和這兩條直線分別垂直的平面也平行，故④錯誤.故選：B4.是虛數(shù)單位，復數(shù)，（是的共軛復數(shù)），則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意得，，，再結(jié)合復數(shù)的四則運算求解即可.【詳解】因為復數(shù)，所以，，所以，故選：B.5.如圖，在梯形中，在線段上，.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設，根據(jù)向量線性運算可得，結(jié)合平面向量基本定理可得，即可得結(jié)果.【詳解】由題意可設，則，又因為，且，不共線，可得，解得，即，所以，即.故選：D.6.一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲6次，得到的點數(shù)分別為，則這6個點數(shù)的中位數(shù)為的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)中位數(shù)分析可知，結(jié)合古典概型分析求解.【詳解】顯然x的可能取值有，共有6種可能，除去x將數(shù)據(jù)按升序排列可得，可知這6個點數(shù)的中間兩數(shù)必有3，若這6個點數(shù)的中位數(shù)為，則中間兩數(shù)應為3，4，可得，共有3種可能，所以這6個點數(shù)的中位數(shù)為的概率為.故選：C.7.如圖，已知兩點分別滿足，，其中，且，則的最小值為（）A. B.1 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】首先求出，，由得到，再由基本不等式計算可得.【詳解】因為，，，所以，，所以，即，又，，所以，當且僅當，時取等號，即的最小值為.故選：B8.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，下列四個說法中正確個數(shù)是（）①若，則一定是等邊三角形；②若，則一定是等腰三角形；③若，則一定是等腰三角形；④若，則一定是銳角三角形．A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理化邊為角即可判斷①；利用正弦定理化邊為角，再結(jié)合二倍角的正弦公式即可判斷②；利用正弦定理與兩角和的正弦公式化簡已知等式即可判斷③；利用余弦定理即可判斷④．【詳解】對于①，由，由正弦定理可得，即，所以，是以是等邊三角形，故①正確；對于②，由正弦定理可得，可得，所以或，所以或所以是等腰或直角三角形，故②不正確；對于③，因為，由正弦定理可得，即，由正弦定理可得，所以為等腰三角形，故③正確；對于④，由正弦定理可得，所以角為銳角，而角不一定是銳角，④不正確．故選：B．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.“體育強則中國強，國運興則體育興”.為備戰(zhàn)2024年巴黎奧運會，運動員們都在積極參加集訓，已知某跳水運動員在一次集訓中7位裁判給出的分數(shù)分別為：9.1，9.3，9.4，9.6，9.8，10，10，則這組數(shù)據(jù)的（）A.平均數(shù)為9.6 B.眾數(shù)為10C.第80百分位數(shù)為9.8 D.方差為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、百分位數(shù)和方差的定義求解.【詳解】對于A，平均數(shù)，故A正確；對于B，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)為10，故B正確；對于C，7×0.8=5.6，第80百分位數(shù)為第6位，即10，故C錯誤；對于D，方差為，故D正確.故選：ABD.10已知向量，且，則（）A.B.C.向量與的夾角為D.向量在向量上的投影向量的坐標為【答案】BC【解析】【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的運算律及坐標表示求出，即可求出，，，即可判斷A、B；由夾角公式判斷C，由投影向量的定義判斷D.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以，解得，所以，，，所以，故A錯誤；因為，所以，故B正確；因為，所以，，，設與的夾角為，則，又，所以，故C正確；因為，，所以向量在向量上的投影向量的坐標為，故D錯誤.故選：BC11.在三棱錐中，記，其他棱長均為2，三棱錐的所有頂點都在球的球面上，球與三棱錐的所有面都相切.若點在底面內(nèi)的射影位于內(nèi)部及其邊界，則下列說法正確的是（）A.當三棱錐體積為時，B.當時，球與球的體積之比為C.當三棱錐的體積最大時，球的半徑為D.當時，球的表面積為【答案】CD【解析】【分析】設球、球的半徑分別為，，取的中點，連接，，即可證明平面，則，即可求出，再由余弦定理求出，即可判斷A；根據(jù)正四面體的內(nèi)切球與外接球的關系判斷B；當平面平面，則底面時三棱錐的體積最大，利用等體積法求出內(nèi)切球的半徑，即可判斷C；取的中點，連接，確定外接球的半徑，即可判斷D.【詳解】設球、球的半徑分別為，，取的中點，連接，，因為與均為邊長為的等邊三角形，所以，，，又，平面，所以平面，所以三棱錐的體積，所以，又為銳角，所以，所以，故A錯誤；當時，三棱錐為正三棱錐，此時球與球的球心重合，且在三棱錐的高上.在線段上取點，使得，連接，則是的中心，所以底面，此時球與的球心在線段上，且在的平分線上，可得，所以球與球的體積之比為，故B錯誤；當三棱錐的體積最大時，平面平面，則底面，底面，所以，又，所以，所以三棱錐的體積為，由題可知，與的面積均為，由等積法可得，解得，故C正確；取的中點，連接，則，連接，，因為，所以在平面上，又，且，所以在線段上，且，在中，由勾股定理得①，同理在中，由勾股定理得②，②①得，所以，與聯(lián)立得，所以，所以球的表面積，故D正確.故選：CD【點睛】關鍵點點睛：解決與球有關的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個頂點的距離相等，解題時要構造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在復平面內(nèi)，復數(shù)和對應的點分別為，則__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)條件，利用復數(shù)的運算，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，，則，故答案為：.13.國家高度重視青少年視力健康問題，指出要“共同呵護好孩子的眼睛，讓他們擁有一個光明的未來”.某校為了調(diào)查學生的視力健康狀況，決定從每班隨機抽取5名學生進行調(diào)查.若某班有50名學生，將每一名學生從01到50編號，從下面所給的隨機數(shù)表的第2行第4列的數(shù)開始，每次從左向右選取兩個數(shù)字，則選取的第四個號碼為______隨機數(shù)表如下：015432876595428753467953258657413369832445977386524435786241【答案】44【解析】【分析】根據(jù)隨機數(shù)表的讀取方法列出前幾個數(shù)，即可得解【詳解】根據(jù)隨機數(shù)表的讀取方法，第2行第4列的數(shù)為3，每次從左向右選取兩個數(shù)字，如下：32，58，65，74，13，36，98，32，44；其中58，65，74，98不在編號范圍內(nèi)，舍去，再去除重復的，剩下的號碼為32，13，36，44，所以選取的第四個號碼為44.故答案為：4414.在四棱錐中，底面，底面為正方形，，一平面經(jīng)過點且垂直于直線，則該平面截四棱錐所得截面的面積為__________.【答案】##【解析】【分析】設在，上射影分別為，，連接，即可證明平面，再求出，設平面與棱的交點為，由對稱性可知為點在上的射影，即可求出截面面積.【詳解】如圖，設在，上的射影分別為，，連接，因為底面，底面，所以平面底面.又平面底面，，底面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又因為，平面，所以，，又，，平面，所以平面，在中，，所以，連接，在中，，，所以，所以，所以的面積，設平面與棱的交點為，由對稱性可知為點在上的射影，與全等，所以該平面截四棱錐所得截面的面積為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題解答的關鍵是作出平面，從而求出，最后根據(jù)對稱性求出截面面積.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知．（1）求；（2）求向量與的夾角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得，然后通過平方的方法求得．（2）根據(jù)題意，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解．【小問1詳解】解：由，可得，所以，所以．【小問2詳解】解：由，設向量與的夾角為，則．16.為了解學生的周末學習時間（單位：小時），高一年級某班班主任對本班40名學生某周末的學習時間進行了調(diào)查，將所得數(shù)據(jù)整理繪制出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)直方圖所提供的信息，解決下列問題.（1）求該班學生周末的學習時間不少于20小時的人數(shù)；（2）①估計這40名學生周末學習時間的分位數(shù)；②將該班學生周末學習時間從低到高排列，估計第10名學生的學習時長.【答案】（1）（2）①8.75；②8.75小時【解析】【分析】（1）借助頻率分布直方圖計算其頻數(shù)即可得；（2）①借助百分位數(shù)定義計算即可得；②易得第10名是40名學生的，即可得第10名學生的學習時長即為分位數(shù).【小問1詳解】由圖可知，該班學生周末的學習時間不少于20小時的頻率為，則40名學生中周末的學習時間不少于20小時的人數(shù)為；【小問2詳解】①學習時間在5小時以下的頻率為，學習時間在10小時以下的頻率為，所以分位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，則，所以這40名學生周末學習時間的分位數(shù)為8.75.②第10名是40名學生的25%，因而問題相當于求25%分位數(shù)，也就是估計第10名學生的學習時長，為8.75小時.17.如圖，已知△ABC與△ADC關于直線AC對稱，把△ADC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△AFE，若B，C，E，F(xiàn)四點共線，且，.（1）求BC；（2）求△ADE的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圖可知，結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得→△ACE為正三角形→，接下來可采用兩種解法：解法一：設，對采用余弦定理即可求解；解法二：對由正弦定理先求出，結(jié)合第三角公式得，再由正弦公式求出；（2）解法一：由（1）對采用余弦定理求得，進而求出，再結(jié)合兩角差正弦公式求出，對△ADE結(jié)合正弦面積公式即可求解；解法二：由（1）結(jié)合同角三角函數(shù)求出，由兩角差的正弦公式求出，對△ADE結(jié)合正弦面積公式即可求解；【小問1詳解】解法一：（1）由題意可得，，所以△ACE為正三角形，（旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小?形狀相同及旋轉(zhuǎn)角度得到△ACE為正三角形），則，在△ABC中，，，設，則由余弦定理可得，即，整理得，得（負值舍去），所以；解法二：（1）由題意可得，，所以△ACE為正三角形，（旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小?形狀相同及旋轉(zhuǎn)角度得到△ACE為正三角形），則，在△ABC中，，，由正弦定理得：，所以，易得，所以，在△ABC中，由正弦定理得，即，得；【小問2詳解】解法一：（2）在△ABC中，由余弦定理可得：，所以，所以在△ADE中，，，所以△ADE的面積.解法二：（2）由（1）