浙江省金華市卓越聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期5月階段性模擬考試數(shù)學(xué)試題

絕密★考試結(jié)束前2023學(xué)年第二學(xué)期金華市卓越聯(lián)盟5月階段性模擬考高一年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題命題：浦江三中吳保林審稿：東陽二中郭揚文考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一．選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的）1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為（）A. B.1 C. D.i【答案】A【解析】【分析】由求出復(fù)數(shù)，從而可求出其虛部.【詳解】由，得，所以z的虛部為，故選：A2.數(shù)據(jù)1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第75百分位數(shù)為（）A.7 B.7.5 C.8 D.8.5【答案】C【解析】【分析】利用百分位數(shù)的求法計算即可.【詳解】易知，則該組數(shù)據(jù)的第八個數(shù)8為第75百分位數(shù).故選：C3.已知向量，，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面共線向量的坐標(biāo)表示求出m，進而求出即可.【詳解】因為向量，，且，所以，解得，所以，所以故選：D4.已知圓錐的側(cè)面積為，它的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則此圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式以及扇形弧長解得，再結(jié)合錐體的體積公式運算求解.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，由題意可得：，解得，則圓錐高，所以此圓錐的體積為.故選：B.5.如圖，為水平放置的的直觀圖，其中，，則在原平面圖形中AC的長為（）A. B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法規(guī)則確定點的位置，再作出，進行計算即可.【詳解】在直觀圖中，，，取中點，連接，則，而，于是，則，，，由斜二測畫法規(guī)則作出，如圖，則，所以故選：C6.在中，點D是線段AC上靠近A的一個三等分點，點E是線段AB的中點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合平面向量基本定理和向量的加減法法則求解即可【詳解】因為在中，點D是線段AC上靠近A的一個三等分點，點E是線段AB的中點，所以，故選：A7.在正方體中，M，N，P，Q分別是棱，，AB，的中點，則（）A.PN與QM為異面直線 B.與MN所成的角為C.平面PMN截該正方體所得截面形狀為等腰梯形 D.點，到平面PMN的距離相等【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合平面的性質(zhì)分析可知：平面PMN截該正方體所得截面形狀為六邊形，即可判斷AC；對于B：結(jié)合面面平行的性質(zhì)可知∥，進而可知與MN所成的角為（或其補角），結(jié)合正六邊形的性質(zhì)分析求解；對于D：根據(jù)中點分析判斷即可.【詳解】對于選項AC：因為N，Q分別是棱，的中點，則∥，又因為M，P分別是棱，AB的中點，則∥，且，∥，且，可知∥，且，則為平行四邊形，可知∥，可得∥，即四點共面，所以PN與QM不為異面直線，故A錯誤；分別取的中點，可知為的中點，可知六點共面，即平面PMN截該正方體所得截面形狀為六邊形，故C錯誤；對于選項B：因為平面∥平面，平面平面，平面平面，可得∥，且N，P分別是棱，AB的中點，則∥，可知∥，則與MN所成的角為（或其補角），由正方形性質(zhì)可知：，即為正六邊形，由正六邊形可知，即，所以與MN所成的角為，故B錯誤；對于選項D：因為M是棱的中點，且平面PMN，所以點，到平面PMN的距離相等，故D正確；故選：D.8.為慶祝五四青年節(jié)，某校舉行了師生游園活動，其中有一游戲項目是夾彈珠.如圖，四個半徑都是1cm的玻璃彈珠放在一個半球面形狀的容器中，每個彈珠的頂端恰好與容器的上沿處于同一水平面，則這個容器的容積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)四個小球和容器的相切關(guān)系，作出對應(yīng)的正視圖和俯視圖，建立球心和半徑之間的關(guān)系即可得到容器的半徑.【詳解】分別作出四個小球和容器的正視圖和俯視圖，如圖所示:正視圖中小球球心B，半球球心O與切點A構(gòu)成直角三角形，則有，俯視圖中，四個小球球心的連線圍成正方形，正方形的中心到球心的距離與正視圖中的相等，設(shè)半球半徑為R，已知小球半徑，所以，，，.所以半球面形狀的容器的容積是.故選：B二．選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分，每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.某市舉辦了普法知識競賽，從參賽者中隨機抽取1000人，統(tǒng)計成績后，畫出頻率分布直方圖如圖所示，則（）A.直方圖中x的值為0.030 B.估計該市普法知識競賽成績的平均數(shù)為85分C.估計該市普法知識競賽成績的眾數(shù)為95分 D.估計該市普法知識競賽成績的中位數(shù)為88分【答案】AC【解析】【分析】對于A，由各組的頻率和為1求解，對于B，利用平均數(shù)的定義求解判斷，對于C，利用眾數(shù)的定義求解，對于D，先判斷中位數(shù)所在的區(qū)間，再列方程求解.【詳解】對于A，由頻率分布直方圖可知，，解得，所以A正確，對于B，由頻率分布直方圖可知該市普法知識競賽成績的平均數(shù)為分，所以B錯誤，對于C，由頻率分布直方圖可知該市普法知識競賽成績的眾數(shù)為95分，所以C正確，對于D，因為前3組的頻率和為，前4組的頻率和為，所以中位數(shù)在80到90之間，設(shè)中位數(shù)，則，解得，所以D錯誤，故選：AC10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)圖象關(guān)于點對稱B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)的圖象向左平移個單位長度所得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)D.函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點【答案】BCD【解析】【分析】借助三角恒等變換可得，對A、B、D，結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象及其性質(zhì)逐個分析即可得，對C，平移后可得，即可得其為偶函數(shù).【詳解】對A：，對稱中心縱坐標(biāo)為1，故A錯誤；對B：，則，∴的一個單調(diào)增區(qū)間為，而，∴在上單調(diào)遞增，故B正確；對C：，故其為偶函數(shù)，故C正確；對D：，則，或，、，∴或，，；，；，，∴在有三個零點，故D正確.故選：BCD．11.如圖1，在等腰梯形ABCD中，，，E為CD中點，將沿AE折起，使D點到達(dá)P的位置（點P不在平面ABCE內(nèi)），連接PB，PC（如圖2），則在翻折過程中，下列說法正確的是（）A.平面PAE B.C.存在某個位置，使平面PAE D.PB與平面ABCE所成角的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】選項A，先證明為平行四邊形，得到，再利用線面平行的判定證明平面；選項B，取的中點，連接，，利用線面垂直的判定證明平面，從而有；選項C，假設(shè)平面，得到，于是，與矛盾；選項D，在選項B中圖形的基礎(chǔ)上，繼續(xù)作，交或延長線于點，再利用線面垂直的判定證明平面，從而可得直線與平面所成的角為，根據(jù)可判定選項D錯誤.【詳解】選項A：因為，為中點，所以，又因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面，故選項A正確；選項B：連接，取的中點，連接，，因為，為的中點，所以，又易證為平行四邊形，所以，又為的中點，所以，又因為，，平面，所以平面，又因為平面，所以，故選項B正確；選項C：若平面，則，在直角中，必有，與矛盾，故選項C錯誤；選項D：在選項B的圖形的基礎(chǔ)上，過點作，交或延長線于點，由選項B的解析知，平面，又因為平面，所以，又因為，都在平面內(nèi)，且相交于點，所以平面.所以為直線與平面所成的角，顯然，故D錯誤；故選：AB.非選擇題部分三．填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.函數(shù)（且）的圖象恒過定點A，且點A在冪函數(shù)的圖象上，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)結(jié)合題意求出點的坐標(biāo)，再點的坐標(biāo)代入中求出，從而可求出的解析式.【詳解】因為函數(shù)（且）的圖象恒過定點A，所以點的坐標(biāo)為，設(shè)，則，得，所以，故答案為：13.如圖，某山的高度BC＝300m，一架無人機在Q處觀測到山頂C的仰角為15°，地面上A處的俯角為45°，若∠BAC＝60°，則此無人機距離地面的高度PQ為__________m．【答案】200【解析】【分析】在直角三角形中求出，在△ACQ中利用正弦定理求出，在Rt△APQ中求PQ即可.【詳解】根據(jù)題意，在RtABC中，∠BAC＝60°，BC＝300m，所以m，在ACQ中，∠AQC＝45°＋15°＝60°，∠QAC＝180°－45°－60°＝75°，所以∠QCA＝180°－∠AQC－∠QAC＝45°，由正弦定理，得，即m，在RtAPQ中，PQ＝AQsin45°＝m．故答案為：20014.已知三棱錐的四個頂點在球O的球面上，，是邊長為6的正三角形，E為SA的中點，直線CE，SB所成角為90°，則球O的表面積為______．【答案】【解析】【分析】由題意可得三棱錐為正三棱錐，則頂點在底面的射影為等邊的中心，連接并延長交于，結(jié)合題意可證得平面，從而得正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，將三棱錐補為正方體，則正方體的外接球就是三棱錐的外接球，從而可求得結(jié)果.【詳解】因為，是邊長為6的正三角形，所以三棱錐為正三棱錐，則頂點在底面的射影為等邊的中心，連接并延長交于，則，因為平面，平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，所以正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，因為，所以,則將三棱錐補為正方體，則正方體的外接球就是三棱錐的外接球，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，即，所以球O的表面積為，故答案為：四．解答題（本題共5題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知平面向量，，，，且與的夾角為.（1）求；（2）若與垂直，求的值.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積夾角公式和模的坐標(biāo)運算求得，從而結(jié)合數(shù)量積運算律根據(jù)數(shù)量積的模的運算求解即可.（2）利用向量垂直及數(shù)量積運算律得，代入即可求解.【小問1詳解】由題意，，，.【小問2詳解】由與垂直得，，所以，即有，.16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求在上的最值；（2）設(shè)函數(shù)，若存在最小值，求實數(shù)a的值．【答案】（1）最小值為，最大值為0（2）6【解析】【分析】（1）利用換元法，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求在給定區(qū)間內(nèi)的最值；（2）利用換元法，分類討論二次函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性和最值.【小問1詳解】當(dāng)時，,設(shè)，則，開口向上，對稱軸，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以所以在上的最小值為，最大值為0.【小問2詳解】,設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，所以，對稱軸，當(dāng)，即時，在單調(diào)遞增，則，解得，不滿足題意；當(dāng)，即時，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以，解得或（舍去），綜上，實數(shù)a的值為6.17.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，.（1）求證：；（2）求的值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用三角形性質(zhì)及兩角和差的正弦公式化簡即可證明.（2）利用正弦定理及得，利用三角形性質(zhì)及兩角和正弦公式化簡得，求得，代入化簡得，解方程即可.【小問1詳解】在中，有，，即，當(dāng)時，等式顯然不成立，所以，.【小問2詳解】由正弦定理推出，且（1）得，，即，，即，又，，，，即，，或（舍去）.18.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，，，，，，點N在棱PC上，平面平面．（1）證明：；（2）若平面，求三棱錐的體積；（3）若二面角的平面角為，求．【答案】（1）證明見解析（2）（3）2【解析】【分析】（1）只需結(jié)合已知證明平面即可，再利用線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）利用轉(zhuǎn)換法，可知只需求出即可，再結(jié)合解三角形知識即可求解；（3）找出二面角平面角，再結(jié)合解三角形知識即可求解.【小問1詳解】因為平面平面，平面平面，，平面，平面，又平面，【小問2詳解】平面，平面，平面平面（其中點是的交點亦是中點），，可知N為中點，而，，，所以，因為，，所以，因為平面，平面，所以，所以，所以，在三角形中，，由余弦定理有，結(jié)合，解得，.【小問3詳解】由題意知平面，過點N作平行線交于點H，面，再作（K為垂足），為二面角的平面角，，由（2）可知，所以三角形是等腰直角三角形，同理三角形也是等腰直角三角形，從而，在三角形中，，所以，而，所以，不妨設(shè)，，則且，，.19.五一假期，杭州吳山廣場的鴿子吸引了眾多游客.熱愛攝影的小華計劃在廣場一角架設(shè)一臺可轉(zhuǎn)動鏡頭的相機，希望可以捕捉到鴿子的展翅瞬間.小華設(shè)計了一個草圖，為簡化模型，假設(shè)廣場形狀為正方形，邊長為1，已知相機架設(shè)于A點處，其可捕捉到圖像的角度為，即，其中P，Q分別在邊，上，記.（1）設(shè)與相交于點R，當(dāng)時，（?。┣缶€段的長；（ⅱ）求線段的長；（2）為節(jié)省能源，小華計劃在廣場上人員較多的時段關(guān)閉相機鏡頭的自動轉(zhuǎn)動功能，為使相機能夠捕捉到的