廣東省東莞市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)

2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢查高一數(shù)學(xué)一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.請把正確選項在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.1.已知向量，若，則（）A2 B. C.2 D.2.為了解學(xué)生每日參加體育鍛煉的情況，學(xué)校用比例分配的分層隨機抽樣方法從高一?高二?高三年級所有學(xué)生中抽取部分學(xué)生做抽樣調(diào)查，已知該學(xué)校高一?高二?高三年級學(xué)生人數(shù)的比例如圖所示，若抽取的樣本中高三年級的學(xué)生有36人，則抽取的樣本容量為（）A.90 B.100 C.120 D.1603.棱長為的正方體的頂點都在球面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.4.若，則（）A. B.2 C. D.5.已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，且，則C.若，，則D.若，則6.已知向量，且，任意點關(guān)于點的對稱點為，點關(guān)于點的對稱點為，則（）A. B.6 C. D.37.已知三棱錐平面，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.8.一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個面分別刻有1，2，3，4，5，6六個數(shù)字，投擲這枚骰子兩次，設(shè)事件“第一次朝上面的數(shù)字是奇數(shù)”，則下列事件中與相互獨立的是（）A.第一次朝上面的數(shù)字是偶數(shù) B.第一次朝上面的數(shù)字是1C.兩次朝上面數(shù)字之和是8 D.兩次朝上面的數(shù)字之和是7二?多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.請把正確選項在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.9.已知某地一周每天的最高溫度（單位：）分別為：，則下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)的結(jié)論中正確的是（）A.眾數(shù)是27 B.極差是4C.中位數(shù)是28 D.平均數(shù)是2810.已知的半徑為為其內(nèi)接三角形，則下列結(jié)論中正確的是（）A若，則B.若，則周長最大值為C.若，則D.若，則面積的最大值為11.如圖，在棱長為1的正方體中，點分別為的中點，平面經(jīng)過點，且與交于點，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面B.平面平面C.D.二面角的正切值為三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上.12.假設(shè)，且與相互獨立，則__________.13.已知圓臺的上底半徑為2，下底半徑為4，則經(jīng)過母線中點且與底面平行的平面將圓臺分成上下兩部分的體積之比為__________.14.已知圓的半徑為1，點是圓上的動點，為圓內(nèi)接正2024邊形，則__________，__________.四?解答題：本大題共5小題，第15題13分，16?17題15分，18?19題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.必須把解答過程寫在答題卡相應(yīng)題號指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無效.15.已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且.（1）求角；（2）若，求的面積.16.某快捷超市計劃通過停車收費推動快速購物進而提升顧客流量，在制定停車收費方案時，需要考慮顧客停車時間的長短.現(xiàn)隨機采集了100個停車時間的數(shù)據(jù)（單位：），按分成5組，其頻率分布直方圖如下.（1）如果該超市計劃獎勵的快速購物顧客不收取其停車費，那么應(yīng)該允許免費停車多長時間？（2）記，其中為樣本平均數(shù)，為樣本標準差.如果該超市計劃對停車時長超過客戶征收更高的停車費，求（精確到個位）.（注：假設(shè)頻率分布直方圖中每組數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，參考數(shù)據(jù)：）17.某商場舉辦購物抽獎活動，規(guī)則如下：每次抽獎時，從裝有2個白球和3個紅球（球除顏色外，完全相同）的抽獎箱中，不放回地依次隨機摸出2個球，若摸出的2個球顏色相同則為中獎，否則不中獎；商場根據(jù)購物金額給予顧客一次或多次抽獎機會，每次抽獎之間相互獨立.（1）若某顧客有一次抽獎機會，求其中獎的概率；（2）若某顧客有兩次抽獎機會，求其至少有一次中獎的概率.18.如圖1，是邊長為3的等邊三角形，點分別在線段上，且，沿將翻折到的位置，使得，如圖2.（1）求證：平面平面；（2）在線段上是否存在點，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.19.通過平面直角坐標系，我們可以用有序?qū)崝?shù)對表示向量.類似的，我們可以把有序復(fù)數(shù)對看作一個向量，記，稱為復(fù)向量.類比平面向量的相關(guān)運算法則，對于，我們有如下運算法則：①；②；③；④.（1）設(shè)，求和；（2）類比平面向量數(shù)量積滿足的運算律，得出復(fù)向量的一個相關(guān)結(jié)論，判斷其是否正確并說明理由；（3）設(shè)，集合.求的最小值；并證明當取最小值時，對于任意的.2023—2024學(xué)年度第二學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢查高一數(shù)學(xué)一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.請把正確選項在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.1.已知向量，若，則（）A.2 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】由向量平行的充要條件列出方程即可求解.【詳解】因為向量，且，所以，解得.故選：D.2.為了解學(xué)生每日參加體育鍛煉的情況，學(xué)校用比例分配的分層隨機抽樣方法從高一?高二?高三年級所有學(xué)生中抽取部分學(xué)生做抽樣調(diào)查，已知該學(xué)校高一?高二?高三年級學(xué)生人數(shù)的比例如圖所示，若抽取的樣本中高三年級的學(xué)生有36人，則抽取的樣本容量為（）A.90 B.100 C.120 D.160【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的抽取比例相同運算求解.【詳解】由圖可知高三年級學(xué)生人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，抽取的樣本中高三年級的學(xué)生有36人，所以樣本容量為．故選：C.3.棱長為的正方體的頂點都在球面上，則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)正方體結(jié)構(gòu)特征求出球的半徑，再結(jié)合球的表面積公式即可求解.【詳解】球的直徑即為正方體的體對角線，設(shè)球的半徑為，則，所以球的表面積為.故選：B.4.若，則（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得，再由代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由可得，所以.故選：A5.已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，且，則C.若，，則D.若，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線線、線面和面面之間的基本關(guān)系，結(jié)合選項依次判斷即可.【詳解】對于A：若，則與可能平行或異面，故A錯誤；對于B：若，且時，平面與可能平行，也可能相交，故B錯誤；對于C：若，，則，所以，故C正確；對于D：若，設(shè)，而可能平行，也可能相交，則可能平行，也可能和相交，故D錯誤．故選：C．6.已知向量，且，任意點關(guān)于點的對稱點為，點關(guān)于點的對稱點為，則（）A. B.6 C. D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得是的中位線，再由向量模長的計算公式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為任意點關(guān)于點的對稱點為，點關(guān)于點的對稱點為，則是的中位線，所以，又，則，則.故選:A7.已知三棱錐平面，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過平移直線與，將求異面直線所成轉(zhuǎn)化為求，然后求出三角形的三條邊長，利用余弦定理即可求解.【詳解】如圖，令分別取的中點，并連接,所以,所以異面直線與所成角等于，因為三棱錐平面，又平面,平面所以,因為三棱錐平面，所以所以又因為三棱錐平面，所以，又所以，所以所以在三角形中，，即異面直線與所成角的余弦值為，故選：B.8.一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個面分別刻有1，2，3，4，5，6六個數(shù)字，投擲這枚骰子兩次，設(shè)事件“第一次朝上面的數(shù)字是奇數(shù)”，則下列事件中與相互獨立的是（）A.第一次朝上面的數(shù)字是偶數(shù) B.第一次朝上面的數(shù)字是1C.兩次朝上面的數(shù)字之和是8 D.兩次朝上面的數(shù)字之和是7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由相互獨立事件的定義，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】拋擲骰子兩次，共有個基本事件數(shù)，則，共18個基本事件，則，設(shè)事件為第一次朝上面的數(shù)字是偶數(shù)，則事件與事件是對立事件，故A錯誤；設(shè)事件為第一次朝上面的數(shù)字是1，則，故B錯誤；設(shè)事件為兩次朝上面的數(shù)字之和是8，則共5個基本事件，則，且，則，，所以C錯誤；設(shè)事件兩次朝上面的數(shù)字之和是7，則，則，且，則，因為，所以事件與事件相互獨立.故選：D二?多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.請把正確選項在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑.9.已知某地一周每天的最高溫度（單位：）分別為：，則下列關(guān)于這組數(shù)據(jù)的結(jié)論中正確的是（）A.眾數(shù)是27 B.極差是4C.中位數(shù)是28 D.平均數(shù)是28【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)眾數(shù)、極差、中位數(shù)、平均數(shù)的定義求出對應(yīng)的值后即可判斷.【詳解】對于A，這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)次數(shù)最多，所以眾數(shù)為，故A正確；對于B，這組數(shù)據(jù)中最大值是，最小值是26，極差為，故B錯誤；對于C，這組數(shù)據(jù)從小到大排列為，中間的數(shù)是，所以中位數(shù)是，故C錯誤；對于D，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，故D正確.故選：AD.10.已知的半徑為為其內(nèi)接三角形，則下列結(jié)論中正確的是（）A.若，則B.若，則周長的最大值為C.若，則D.若，則面積的最大值為【答案】ABC【解析】【分析】A選項，求出，利用向量數(shù)量積公式求出答案；B選項，由正弦定理得，由余弦定理得到，由基本不等式求出最值；C選項，根據(jù)，求出，故；D選項，由C選項可知，，，故，，所以，，由余弦定理得到，求出面積最大值.【詳解】A選項，，故，則，A正確；B選項，由正弦定理得，故，由余弦定理得，故，即，解得，當且僅當時，等號成立，故周長的最大值為，B正確；C選項，若，則，故，，C正確；D選項，由C選項可知，，，故，因為，所以，解得，因為為銳角，故，由余弦定理得，故，由基本不等式得，即，當且僅當時，等號成立，故，解得，所以面積的最大值為，D錯誤.故選：ABC【點睛】方法點睛：解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實現(xiàn)邊化角，進而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.11.如圖，在棱長為1的正方體中，點分別為的中點，平面經(jīng)過點，且與交于點，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面B.平面平面C.D.二面角的正切值為【答案】BCD【解析】【分析】借助，而與平面相交，從而可判斷A；利用面面垂直證明線面垂直，再證明面面垂直，可判斷B；做出相應(yīng)的平行線，找到G在位置即可判斷C；利用C選項的結(jié)論，作出二面角的平面角，即可求解.【詳解】對于A，因為正方體中，，且平面，所以與平面不平行，故A錯誤；對于B，如圖，取AD中點H，連接BH，F(xiàn)H，BH，易知平面平面，又在平面中，，所以，又平面平面，所以平面，又，所以平面平面，故B正確；對于C，如圖,取中點M，取中點N，連接EN，，，再取中點G，連接FG，易知正方體中，,在正方形中，,三角形中，,由平行的傳遞性可得，,所以平面與交于點，而點是線段上靠近的四等分點，所以，故C正確；對于D，如圖，延長FG，相交于點K，取中點N，連接EN，過點E，作，垂足為P,連接NP，易知平面,又平面，所以又,所以平面，又平面，所以,所以是二面角的平面角，如圖，將底面單獨畫出，在三角形中，，所以，所以，所以,解得，所以，故D正確.故選：BCD.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.請把答案填在答題卡的相應(yīng)位置上.12.假設(shè)，且與相互獨立，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，由相互獨立事件概率計算公式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，則，且與相互獨立，則與相互獨立，所以.故答案為：13.已知圓臺的上底半徑為2，下底半徑為4，則經(jīng)過母線中點且與底面平行的平面將圓臺分成上下兩部分的體積之比為__________.【答案】【解析】【分析】將圓臺還原為圓錐，設(shè)圓錐的頂點為，設(shè)圓臺上、下底面圓、圓、截面圓的半徑分別為、、，設(shè)圓錐、圓錐、圓錐的體積分別為、、，由圓臺上、下底面圓和截面圓的半徑之比，可得到體積、、之間的關(guān)系，進而可得經(jīng)過母線中點且與底面平行的平面將圓臺分成上下兩部分的體積之比.【詳解】設(shè)圓臺上、下底面圓的圓心分別為、，將圓臺還原為圓錐，設(shè)圓錐的頂點為，設(shè)經(jīng)過母線中點且與底面平行的平面所成截面圓的圓心為，設(shè)圓、圓、圓的半徑分別為、、，則，，則，設(shè)圓錐、圓錐、圓錐的體積分別為、、，因為，則，，則，所以，，，則經(jīng)過母線中點且與底面平行的平面將圓臺分成上下兩部分的體積之比為，.故答案為：.14.已知圓的半徑為1，點是圓上的動點，為圓內(nèi)接正2024邊形，則__________，__________.【答案】①.1②.4048【解析】【分析】根據(jù)，可得第一空答案；由、可得第二空答案.【詳解】圓內(nèi)有1012對對頂角相等的全等三角形，在每一對三角形中，如，與中，設(shè)、中點分別為、，則、、一條直線上，且，則，，可得，所以，同理，，所以，所以；.故答案為：①1；②4048.【點睛】思路大家：在第二空中，主要是和可得第二空答案.四?解答題：本大題共5小題，第15題13分，16?17題15分，18?19題17分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.必須把解答過程寫在答題卡相應(yīng)題號指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無效.15.已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且.（1）求角；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理邊化角，整理可得，求出；（2）由余弦定理求出，進而利用面積公式求出答案.【小問1詳解】由正弦定理得，因為，所以，故，即，因為，所以；【小問2詳解】由余弦定理得，即，解得，故.16.某快捷超市計劃通過停車收費推動快速購物進而提升顧客流量，在制定停車收費方案時，需要考慮顧客停車時間的長短.現(xiàn)隨機采集了100個停車時間的數(shù)據(jù)（單位：），按分成5組，其頻率分布直方圖如下.（1）如果該超市計劃獎勵的快速購物顧客不收取其停車費，那么應(yīng)該允許免費停車多長時間？（2）記，其中為樣本平均數(shù)，為樣本標準差.如果該超市計劃對停車時長超過的客戶征收更高的停車費，求（精確到個位）.（注：假設(shè)頻率分布直方圖中每組數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）40分鐘（2）74【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求出，利用百分位數(shù)的概念求出第35百分位數(shù)得解；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求出，得解.【小問1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖中小長方形的面積和等于1，則，解得，設(shè)第35百分位數(shù)為，則，解得，所以可以允許車輛免費停車40分鐘不收費.【小問2詳解】車輛平均停車時間為，，，所以.17.某商場舉辦購物抽獎活動，規(guī)則如下：每次抽獎時，從裝有2個白球和3個紅球（球除顏色外，完全相同）的抽獎箱中，不放回地依次隨機摸出2個球，若摸出的2個球顏色相同則為中獎，否則不中獎；商場根據(jù)購物金額給予顧客一次或多次抽獎機會，每次抽獎之間相互獨立.（1）若某顧客有一次抽獎機會，求其中獎的概率；（2）若某顧客有兩次抽獎機會，求其至少有一次中獎的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意利用列舉法結(jié)合古典概型概率公式求解即可；（2）設(shè)在第次抽獎時中獎為事件，則由（1）可知，設(shè)兩次抽獎至少有一次中獎為事件，則,然后利用互斥事件和獨立事件概率公式求解即可.【小問1詳解】設(shè)2個白球為，3個紅球為，則不放回地依次摸出兩個球的情況有：,共有20種情況，其中摸出的2個球顏色相同的有：，共8種情況，所以某顧客有一次抽獎機會，其中獎的概率為；【小問2詳解】設(shè)在第次抽獎時中獎為事件，由于每次抽獎的情況相同，由（1）可知，設(shè)兩次抽獎至少有一次中獎為事件，則,其中為互斥事件，則，因為每次抽獎之間相互獨立，所以,，，所以，即若某顧客有兩次抽獎機會，則至少有一次中獎的概率為.18.如圖1，是邊長為3的等邊三角形，點分別在線段上，且，沿將翻折到的位置，使得，如圖2.（1）求證：平面平面；（2）在線段上是否存