高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練55橢圓的幾何性質(zhì)

五十五橢圓的幾何性質(zhì)(時間:45分鐘分值:85分)【基礎(chǔ)落實練】1.(5分)(2024·大連模擬)橢圓x225+y29=1與橢圓x222+A.長軸長相等 B.短軸長相等C.離心率相等 D.焦距相等【解析】選D.橢圓x225+y29=1長軸長為10,短軸長為6,焦距為8,離心率為45橢圓x222+y26=1長軸長為222,短軸長為26,焦距為8,離心率為22211,2.(5分)(2022·全國甲卷)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左頂點為A,點P,Q均在C上,且關(guān)于y軸對稱.若直線AP,AQ的斜率之積為14A.32 B.22 C.12 【解析】選A.已知A(a,0),設(shè)P(x0,y0),則Q(x0,y0),kAP=y0x0+a,故kAP·kAQ=y0x0+a·y0因為x02a2+y02b2②代入①整理得:b2a2e=ca=1-b3.(5分)(2022·全國甲卷)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為13,A1,A2分別為C的左、右頂點,B為C的上頂點.若BA1·A.x218+y216=1 B.C.x23+y22=1 D.x【解析】選B.依題意,得A1(a,0),A2(a,0),B(0,b),所以BA1=(a,b),BA2=(BA1·BA2=a2+b2=(a2b2)=c2=又C的離心率e=ca=1a=13,所以a=3,b2=a2c2=8,即C的方程為x29+y4.(5分)若點O和點F分別為橢圓x24+y23=1的中心和左焦點,P為橢圓上的任意一點,則OP·FPA.2 B.3 C.6 D.8【解析】選C.由題意,O(0,0),F(1,0),設(shè)P(x,y),則OP=(x,y),FP=(x+1,y),所以O(shè)P·FP=x(x+1)+y2=x2+y2+x.又x24+y23=1,所以y2=3所以O(shè)P·FP=14x2+x+3=14(x+2)2因為2≤x≤2,所以當(dāng)x=2時,OP·FP有最大值6.5.(5分)(多選題)已知P是橢圓C:x24+y2=1上的動點,Q是圓D:(x+1)2+y2=14上的動點,則A.橢圓C的焦距為3B.橢圓C的離心率為3C.圓D在橢圓C的內(nèi)部D.|PQ|的最小值為6【解析】選BC.因為橢圓方程為:x24+y所以a2=4,b2=1,c2=a2b2=3,e=ca=32,焦距為23,故A錯誤,B由x24+y2=1(x因為Δ=824×3×7=20<0,所以橢圓與圓無公共點,又圓心(1,0)在橢圓內(nèi)部,所以圓在橢圓內(nèi)部,故C正確;設(shè)P(x,y)(2≤x≤2),則|PD|=(x+1)2+當(dāng)x=2-2×34=43時,|PD|取得最小值23=63,則|PQ|的最小值為6.(5分)(多選題)(2024·曲靖模擬)已知橢圓Γ:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,長軸長為23,點P(1,1)在橢圓Γ外,點Q在橢圓ΓA.橢圓Γ的離心率的取值范圍是(22B.當(dāng)橢圓Γ的離心率為32時,|QF1|的取值范圍是[332,32C.存在點Q使∠F2QF1=90°D.1|QF1【解析】選ABC.由題意得a=3,又點P(1,1)在橢圓Γ外,則13+1b2>1,解得0<b2所以橢圓Γ的離心率e=ca=3-b23>22,即橢圓Γ的離心率的取值范圍是(當(dāng)e=32時,c=3所以|QF1|的取值范圍是[ac,a+c],即[332,32+3],故B設(shè)橢圓的上頂點為A(0,b),F1(c,0),F2(c,0),由于AF1·AF2=b2c2=2b2a2=2b23<0,所以存在點Q使得QF1·QF2=0,故C正確;因為點Q在橢圓Γ上,所以|QF1|+|QF2|=23,則1|QF1|+1|QF2|=(|QF1|+|QF2+2|QF2||當(dāng)且僅當(dāng)|QF1|=|QF2|=3時,等號成立,所以1|QF1|+1|Q7.(5分)(2024·煙臺模擬)寫出一個滿足以下三個條件的橢圓的方程:x29+y28①中心為坐標(biāo)原點;②焦點在坐標(biāo)軸上;③離心率為13【解析】只要橢圓方程形如x29m+y28m=1(m>0)或y28.(5分)(2024·大同模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,點P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點,且|PQ|=|F1F2|,且四邊形PF1QF2的面積為49a【解析】因為點P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點,且|PQ|=|F1F2|,所以四邊形PF1QF2為矩形,即PF1⊥PF2,所以S四邊形PF1QF2=2S由橢圓定義與勾股定理知:|P所以|PF1|·|PF2|=2b2,所以49a2=2b2=2(a2c2),所以ca=73,即C9.(10分)已知F1,F2是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個焦點,P為(1)若△POF2為等邊三角形,求C的離心率;(2)如果存在點P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面積等于16,求b的值和a的取值范圍.【解析】(1)連接PF1(圖略),由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=3c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(3+1)c,故C的離心率為e=ca=31(2)由題意可知,滿足條件的點P(x,y)存在,當(dāng)且僅當(dāng)12|y|·2cyx+c·yx-c=即c|y|=16,①x2+y2=c2,②x2a2+y由②③及a2=b2+c2得y2=b4c2,又由①知y2=16由②③及a2=b2+c2得x2=a2c2(c2所以c2≥b2,從而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥42.當(dāng)b=4,a≥42時,存在滿足條件的點P.故b=4,a的取值范圍為[42,+∞).【能力提升練】10.(5分)(2024·資陽模擬)如圖,已知定圓A的半徑為4,B是圓A內(nèi)一個定點,且|AB|=2,P是圓上任意一點.線段BP的垂直平分線l和半徑AP相交于點Q,當(dāng)點P在圓上運動時,則點Q的軌跡是()A.面積為π的圓B.面積為2π的圓C.離心率為14D.離心率為12【解析】選D.連接BQ,AB,因為線段BP的垂直平分線l和半徑AP相交于點Q,所以|BQ|=|PQ|,因為|AQ|+|PQ|=|AP|=4>|AB|=2,所以|AQ|+|BQ|=|AP|=4>|AB|=2,所以點Q的軌跡是以A,B為焦點,4為長軸長,焦距為2的橢圓,所以橢圓的離心率為e=ca=2c2a=11.(5分)(多選題)已知F1,F2為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個焦點,B為橢圓短軸的一個端點,BF1·A.12 B.36 C.33【解析】選ABC.由橢圓的定義可知:|BF1|=|BF2|=a,|OF1|=|OF2|=c,則sin∠OBF1=ca=e所以cos∠F1BF2=12sin2∠OBF1=12e2,因為BF1·BF2≥14F1F22,即(12e2)a2≥c2,所以12e2≥e2,12.(5分)(多選題)“嫦娥五號”是中國首個實施無人月面取樣返回的月球探測器,是中國探月工程的收官之戰(zhàn),實現(xiàn)了月球區(qū)域著陸及采樣返回.如圖所示,月球探測器飛到月球附近時,首先在以月球球心F為圓心的圓形軌道Ⅰ上繞月飛行,然后在P點處變軌進(jìn)入以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ上繞月飛行,最后在Q點處變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ上繞月飛行,設(shè)圓形軌道Ⅰ的半徑為R,圓形軌道Ⅲ的半徑為r,則以下說法正確的是()A.橢圓軌道Ⅱ的焦距為RrB.橢圓軌道Ⅱ的短軸長為RrC.若r不變,則橢圓軌道Ⅱ的離心率隨R的增大而增大D.若R不變,則橢圓軌道Ⅱ的離心率隨r的增大而增大【解析】選AC.在橢圓中,由題圖可知PQ=2a=R+ra-c=QF=r,解得a=R+r2,c=R-r2,所以b=e=ca=R-rR+r=12rR+r,當(dāng)r不變時,由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知,函數(shù)fe=ca=R-rR+r=1+2R函數(shù)f(r)=1+2RR+r在(0,+∞)13.(5分)(2024·武漢模擬)若橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一點M,使得90°(F1,F2分別為橢圓的左、右焦點),則橢圓的離心率e的取值范圍為[22,1)【解析】方法一:設(shè)點M的坐標(biāo)是(x0,y0),則|x0|<a.因為F1(c,0),F2(c,0),所以MF1=(cx0,y0),MF2=(cx0,因為∠F1MF2=90°,所以MF1·MF2=(c+x0)(cx0)+y02=0,即x又點M在橢圓上,即y02=b2所以x02+y02=b2+c2a2x即c2∈[b2,a2),所以c2≥b2=a2c2,即c2a2又0<e<1,所以22≤e故橢圓的離心率e的取值范圍是[22,1)方法二:設(shè)點M的坐標(biāo)是(x0,y0),由方法一可得x02a2+x02=因為0≤x02<a2,所以由②得c2b2<c2,此式恒成立.由①得c2≥b2,即c2≥a2c2,所以a2≤2c2,則e2=c2a2≥12.又0<e<1,所以e∈綜上所述,橢圓的離心率e的取值范圍是[22,1)方法三:設(shè)橢圓的一個短軸端點為P,因為橢圓上存在一點M,使∠F1MF2=90°,所以∠F1PF2≥90°,則c≥b,(∠F1MF2最大時,M為短軸端點),所以c2≥b2=a2c2,即c2a2又0<e<1,所以22≤e故橢圓的離心率e的取值范圍為[22,1)【加練備選】已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個焦點為F1,F2.點P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點,且|PQ|=|F1F2|,△PF2Q的面積S≥18|PQ|2,則C【解析】連接QF1,PF1,由題意得,|OP|=|OQ|,|OF1|=|OF2|,又|PQ|=|F1F2|,所以四邊形PF2QF1為矩形,故S△PF所以12|PF1|·|PF2|≥18(2c)2=12故|PF1|·|PF2|≥c2,又|PF1|+|PF2|=2a,由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即(|PF1|+|PF2|)22|PF1|·|PF2|=4c2,|PF1|·|PF2|=2b2,故2b2≥c2,即2a22c2≥c2,故2a2≥3c2,c2a2≤23,解得又C上存在關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點P,Q,使得|PQ|=|F1F2|,故2b≤2c,所以b≤c,即a2c2≤c2,所以a2≤2c2,c2a2≥12,解得綜上,C的離心率的取值范圍是[22,63]14.(10分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),焦點F1(c,0),F2(c,0),左頂點為A,點E的坐標(biāo)為(0,c),A(1)求橢圓C的離心率;(2)若P為橢圓C上的一點,∠F1PF2=60°,△PF1F2的面積為3,求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解析】(1)由題意得,A(a,0),直線EF2的方程為x+y=c,因為A到直線EF2的距離為62b即|-a-c|12+12=62b,所以a+c=3b,即(a+c)2=3b2,又b2=a2c2,所以(a所以2c2+aca2=0,即2e2+e1=0,解得e=12或e=1(舍所以橢圓C的離心率為12(2)由(1)知離心率e=ca=12,即a=2c因為∠F1PF2=60°,△PF1F2的面積為3,則12|PF1||PF2|sin60°=3所以|PF1||PF2|=4,由方程組|得a2c2=3,②聯(lián)立①②得a=2,c=1,所以b2=a2c2=3,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y【素養(yǎng)創(chuàng)新練】15.(5分)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分