人教A版必修一課后作業(yè)第一章集合與函數(shù)概念111第1課時

1.1.1集合的含義與表示第1課時集合的含義學習目標1.了解集合與元素的含義.2.理解集合中元素的特征，并能利用它們進行解題.3.理解集合與元素的關系.4.掌握數(shù)學中一些常見的集合及其記法.知識點一集合的概念思考有首歌中唱道“他大舅他二舅都是他舅”，在這句話中，誰是集合？誰是集合中的元素？答案“某人的舅”是一個集合，“某人的大舅、二舅”都是這個集合中的元素.梳理元素與集合的概念(1)把研究對象統(tǒng)稱為元素，通常用小寫拉丁字母a，b，c，…表示.(2)把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集)，通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示.知識點二元素與集合的關系思考1是整數(shù)嗎？eq\f(1,2)是整數(shù)嗎？有沒有這樣一個數(shù)，它既是整數(shù)，又不是整數(shù)？答案1是整數(shù)；eq\f(1,2)不是整數(shù).沒有.梳理元素與集合的關系有且只有兩種，分別為屬于、不屬于，數(shù)學符號分別為∈、?.知識點三元素的三個特性思考1某班所有的“帥哥”能否構成一個集合？某班身高高于175厘米的男生能否構成一個集合？集合元素確定性的含義是什么？答案某班所有的“帥哥”不能構成集合，因“帥哥”無明確的標準.高于175厘米的男生能構成一個集合，因標準確定.元素確定性的含義：集合中的元素必須是確定的，也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就確定了.思考2構成單詞“bee”的字母形成的集合，其中的元素有多少個？答案2個.集合中的元素互不相同，這叫元素的互異性.思考3“中國的直轄市”構成的集合中，元素包括哪些？甲同學說：“北京、上海、天津、重慶”；乙同學說：“上海、北京、重慶、天津”，他們的回答都正確嗎？由此說明什么？怎么說明兩個集合相等？答案兩個同學都說出了中國直轄市的所有城市，因此兩個同學的回答都是正確的.由此說明，集合中的元素是無先后順序的，這就是元素的無序性.只要構成兩個集合的元素一樣，我們就稱這兩個集合是相等的.梳理元素的三個特性是指確定性、互異性、無序性.知識點四常用數(shù)集及表示符號名稱自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*或N＋ZQR類型一判斷給定的對象能否構成集合例1考察下列每組對象能否構成一個集合.(1)不超過20的非負數(shù)；(2)方程x2－9＝0在實數(shù)范圍內的解；(3)某班的所有高個子同學；(4)eq\r(3)的近似值的全體.解(1)對任意一個實數(shù)能判斷出是不是“不超過20的非負數(shù)”，所以能構成集合；(2)能構成集合；(3)“高個子”無明確的標準，對于某個人算不算高個子無法客觀地判斷，因此不能構成一個集合；(4)“eq\r(3)的近似值”不明確精確到什么程度，因此很難判斷一個數(shù)如“2”是不是它的近似值，所以不能構成集合.反思與感悟判斷給定的對象能不能構成集合，關鍵在于是否給出一個明確的標準，使得對于任何一個對象，都能按此標準確定它是不是給定集合的元素.跟蹤訓練1下列各組對象可以組成集合的是()A.數(shù)學必修1課本中所有的難題B.小于8的所有素數(shù)C.直角坐標平面內第一象限的一些點D.所有小的正數(shù)答案B解析A中“難題”的標準不確定，不能構成集合；B能構成集合；C中“一些點”無明確的標準，對于某個點是否在“一些點”中無法確定，因此“直角坐標平面內第一象限的一些點”不能構成集合；D中沒有明確的標準，所以不能構成集合.類型二元素與集合的關系命題角度1判定元素與集合的關系例2給出下列關系：①eq\f(1,2)∈R；②eq\r(2)?Q；③|－3|?N；④|－eq\r(3)|∈Q；⑤0?N，其中正確的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4答案B解析eq\f(1,2)是實數(shù)，①對；eq\r(2)不是有理數(shù)，②對；|－3|＝3是自然數(shù)，③錯；|－eq\r(3)|＝eq\r(3)為無理數(shù)，④錯；0是自然數(shù)，⑤錯.故選B.反思與感悟要判斷元素與集合的關系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用數(shù)集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的條件.跟蹤訓練2用符號“∈”或“?”填空.－eq\r(2)________R；－3________Q；－1________N；π________Z.答案∈∈??命題角度2根據(jù)已知的元素與集合的關系推理例3集合A中的元素x滿足eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，則集合A中的元素為________.答案0,1,2解析∵x∈N，eq\f(6,3－x)∈N，∴0≤x≤2且x∈N.當x＝0時，eq\f(6,3－x)＝eq\f(6,3)＝2∈N；當x＝1時，eq\f(6,3－x)＝eq\f(6,3－1)＝3∈N；當x＝2時，eq\f(6,3－x)＝eq\f(6,3－2)＝6∈N.∴A中元素有0,1,2.反思與感悟判斷元素和集合關系的兩種方法(1)直接法①使用前提：集合中的元素是直接給出的.②判斷方法：首先明確集合是由哪些元素構成，然后再判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn).(2)推理法①使用前提：對于某些不便直接表示的集合.②判斷方法：首先明確已知集合的元素具有什么特征，然后判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征.跟蹤訓練3已知集合A中元素滿足2x＋a>0，a∈R，若1?A,2∈A，則()A.a>－4 B.a≤－2C.－4<a<－2 D.－4<a≤－2答案D解析∵1?A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.又∵2∈A，∴2×2＋a>0，a>－4，∴－4<a≤－2.類型三元素的三個特性的應用例4已知集合A有三個元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三個元素：0,1，x.(1)若－3∈A，求a的值；(2)若x2∈B，求實數(shù)x的值；(3)是否存在實數(shù)a，x，使A＝B.解(1)由－3∈A且a2＋1≥1，可知a－3＝－3或2a－1＝－3，當a－3＝－3時，a＝0；當2a－1＝－3時，a＝－1.經(jīng)檢驗，0與－1都符合要求.∴a＝0或－1.(2)當x＝0,1，－1時，都有x2∈B，但考慮到集合元素的互異性，x≠0，x≠1，故x＝－1.(3)顯然a2＋1≠0.由集合元素的無序性，只可能a－3＝0或2a－1＝0.若a－3＝0，則a＝3，A＝{a－3,2a－1，a2＋1}＝{0,5,10}≠B.若2a－1＝0，則a＝eq\f(1,2)，A＝{a－3,2a－1，a2＋1}＝{0，－eq\f(5,2)，eq\f(5,4)}≠B.故不存在這樣的實數(shù)a，x，使A＝B.反思與感悟元素的無序性主要體現(xiàn)在：①給出元素屬于某集合，則它可能表示集合中的任一元素；②給出兩集合相等，則其中的元素不一定按順序對應相等.元素的互異性主要體現(xiàn)在求出參數(shù)后要代入檢驗，同一集合中的元素要互不相等.跟蹤訓練4已知集合M中含有三個元素：2，a，b，集合N中含有三個元素：2a,2，b2，且M＝N，求a，b的值.解方法一根據(jù)集合中元素的互異性，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2a，,b＝b2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b2，,b＝2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2).))再根據(jù)集合中元素的互異性，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2).))方法二∵兩個集合相等，則其中的對應元素相同.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2a＋b2，,a·b＝2a·b2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋bb－1＝0，①,ab·2b－1＝0，②))∵集合中的元素互異，∴a，b不能同時為零.當b≠0時，由②得a＝0，或b＝eq\f(1,2).當a＝0時，由①得b＝1，或b＝0(舍去).當b＝eq\f(1,2)時，由①得a＝eq\f(1,4).當b＝0時，a＝0(舍去).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2).))1.下列給出的對象中，能組成集合的是()A.一切很大的數(shù)B.好心人C.漂亮的小女孩D.方程x2－1＝0的實數(shù)根答案D2.下面說法正確的是()A.所有在N中的元素都在N*中B.所有不在N*中的數(shù)都在Z中C.所有不在Q中的實數(shù)都在R中D.方程4x＝－8的解既在N中又在Z中答案C3.由“book中的字母”構成的集合中元素個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4答案C4.下列結論不正確的是()A.0∈NB.eq\r(2)?QC.0?QD.－1∈Z答案C5.已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三個元素組成的集合，且2∈A，則實數(shù)m為()A.2 B.3C.0或3 D.0,2,3均可答案B解析由2∈A可知：若m＝2，則m2－3m＋2＝0，這與m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，則m＝0或m＝3，當m＝0時，與m≠0相矛盾，當m＝3時，此時集合A的元素為0,3,2，符合題意.1.考察對象能否構成一個集合，就是要看是否有一個確定的特征(或標準)，依此特征(或標準)能確定任何一個個體是否屬于這個總體，如果有，能構成集合，如果沒有，就不能構成集合.2.元素a與集合A之間只有兩種關系：a∈A，a?A.3.集合中元素的三個特性(1)確定性：指的是作為一個集合中的元素，必須是確定的，即一個集合一旦確定，某一個元素屬不屬于這個集合是確定的.要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個特性通常被用來判斷涉及的總體是否構成集合.(2)互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說，對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的.(3)無序性：集合與其中元素的排列順序無關，如由元素a，b，c與由元素b，a，c組成的集合是相等的集合.這個性質通常用來判斷兩個集合的關系.課時作業(yè)一、選擇題1．已知集合A由x<1的數(shù)構成，則有()A．3∈A B．1∈AC．0∈A D．－1?A答案C解析很明顯3,1不滿足不等式，而0，－1滿足不等式．2．由實數(shù)x，－x，|x|，eq\r(x2)，－eq\r(3,x3)所組成的集合，最多含()A．2個元素 B．3個元素C．4個元素 D．5個元素答案A解析由于|x|＝±x，eq\r(x2)＝|x|，－eq\r(3,x3)＝－x，并且x，－x，|x|之中總有兩個相等，所以最多含2個元素．3．下列結論中，不正確的是()A．若a∈N，則－a?N B．若a∈Z，則a2∈ZC．若a∈Q，則|a|∈Q D．若a∈R，則eq\r(3,a)∈R答案A解析A不對．反例：0∈N，－0∈N.4．已知x，y為非零實數(shù)，代數(shù)式eq\f(x,|x|)＋eq\f(y,|y|)的值所組成的集合是M，則下列判斷正確的是()A．0?M B．1∈MC．－2?M D．2∈M答案D解析①當x，y為正數(shù)時，代數(shù)式eq\f(x,|x|)＋eq\f(y,|y|)的值為2；②當x，y為一正一負時，代數(shù)式eq\f(x,|x|)＋eq\f(y,|y|)的值為0；③當x，y均為負數(shù)時，代數(shù)式eq\f(x,|x|)＋eq\f(y,|y|)的值為－2，所以集合M的元素共有3個：－2,0,2，故選D.5．已知集合S中三個元素a，b，c是△ABC的三邊長，那么△ABC一定不是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形答案D解析由元素的互異性知a，b，c均不相等．6．已知集合A＝{a，b，c}中任意2個不同元素的和的集合為{1,2,3}，則集合A的任意2個不同元素的差的絕對值的集合是()A．{1,2,3} B．{1,2}C．{0,1} D．{0,1,2}答案B解析由題意知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝1，,b＋c＝2，,c＋a＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0，,c＝2，))∴集合A＝{0,1,2}，則集合A的任意2個不同元素的差的絕對值分別是1,2.故集合A的任意2個不同元素的差的絕對值的集合是{1,2}．故選B.7．已知A中元素滿足x＝3k－1，k∈Z，則下列表示正確的是()A．－1?A B．－11∈AC．3k2－1∈A D．－34?A答案C解析令3k－1＝－1，解得k＝0∈Z，∴－1∈A.令3k－1＝－11，解得k＝－eq\f(10,3)?Z，∴－11?A；∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A.令3k－1＝－34，解得k＝－11∈Z，∴－34∈A.二、填空題8．在方程x2－4x＋4＝0的解集中，有________個元素．答案1解析易知方程x2－4x＋4＝0的解為x1＝x2＝2，由集合元素的互異性知，方程的解集中只有1個元素．9．下列所給關系正確的個數(shù)是________．①π∈R；②eq\r(3)D∈/Q；③0∈N*；④|－4|D∈/N*.答案2解析∵π是實數(shù)，eq\r(3)是無理數(shù)，0不是正整數(shù)，|－4|＝4是正整數(shù)，∴①②正確，③④不正確，正確的個數(shù)為2.10．如果有一集合含有三個元素：1，x，x2－x，則實數(shù)x的取值范圍是________．答案x≠0,1,2，eq\f(1±\r(5),2)解析由集合元素的互異性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0,1,2，eq\f(1±\r(5),2).11．已知a，b∈R，集合A中含有a，eq\f(b,a)，1三個元素，集合B中含有a2，a＋b,0三個元素，若A＝B，則a＋b＝____.答案－1解析∵A＝B,0∈B，∴0∈A.又a≠0，∴eq\f(b,a)＝0，則b＝0.∴B＝{a，a2,0}．∵1∈B，∴a2＝1，a＝±1.由元素的互異性知，a＝－1，∴a＋b＝－1.12．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，則集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的個數(shù)為________．答案3解析由題意，∵集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，－1＋0＝－1,1＋0＝1，－1＋2＝1,1＋2＝3，∴{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，∴集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的個數(shù)為3.13．已知集合M中的元素是正整數(shù)，且滿足命題“如果x∈M，則(4－x)∈M”，則滿足條件的集合M的個數(shù)為________．答案3解析如果x∈M，則(4－x)∈M，∴這兩個元素的和為4，∴M可能為{2}，{1,3}，{2,1,3}，∴滿足條件的集合M的個數(shù)為3.三、解答題14．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三個元素組成的，且－3∈A，求實數(shù)a的值．解由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1或a＝－eq\f(3,2).當a＝－1時，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不滿足集合中元素的互異性，故a＝－1舍去．當a＝－eq\f(3,2)時，a－2＝－eq\f(7,2)，2a2＋5a＝－3，滿足題意．∴實數(shù)a的值為－eq\f(3,2).15．已知集合A含有兩個元素a－3和2a－1，a∈R.(1)若－3∈A，試求實數(shù)a的值；(2)若a∈A，試求實數(shù)a的值．解(1)因為－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，則a＝0.此時集合A含有兩個元素－3，－1，符合題意．若－3＝2a－1，則a＝－1.此時集合A含有兩個元素－4，－3，符