青海省西寧市海湖中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一階段測(cè)試數(shù)學(xué)試卷

海湖中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題命題人：一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知，則點(diǎn)A關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．2．若直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．3．已知，且，則（

）A． B．C． D．4．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在OA上，且，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，則等于（

）A． B．C． D．5．已知直線的斜率為,在軸上的截距為,則直線的方程為（

）A． B．C． D．6．長(zhǎng)方體中，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．已如點(diǎn)，，者在平面內(nèi)，則平面的一個(gè)法向量的坐標(biāo)可以是（

）A． B． C． D．8．直線與連接的線段相交，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是平面的一個(gè)法向量 B．四點(diǎn)共面C． D．10．下列說(shuō)法中，正確的有（

）A．過(guò)點(diǎn)且在軸，軸截距相等的直線方程為B．直線在軸的截距是2C．直線的傾斜角為30°D．過(guò)點(diǎn)且傾斜角為90°的直線方程為11．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱的中點(diǎn)，則以下命題正確的是（

）A．三棱錐的體積是定值B．存在點(diǎn)P，使得與所成的角為C．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為D．若，則P的軌跡的長(zhǎng)度為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知，則與夾角的余弦值為.13．如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E為棱14．已知直線l傾斜角的余弦值為-55，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1)，則直線l的方程為四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．已知的三個(gè)頂點(diǎn)為.求邊上的中線所在直線的方程.16．如圖，三棱柱，為的中點(diǎn)，，設(shè)(1)試用表示向量；(2)若，異面直線與所成角的余弦值．17．已知空間向量，，.(1)若，求；(2)若，求的值.18．如圖，在三棱柱中，=2，點(diǎn)D為棱AC的中點(diǎn)，平面平面，，且．（統(tǒng)一以DB,DC,DA1分別為X,Y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系）（1）求證：平面ABC；（2）若，求二面角的正弦值19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M為PC的中點(diǎn)．（統(tǒng)一以AB,AD,AP分別為X,Y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系）（1）求證：BM//平面PAD．（2）平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使MN⊥平面PBD？若存在，確定點(diǎn)N的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

海湖中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題答案一單選題號(hào)12345678答案DCCBBBAD二多選題號(hào)91011答案ADCDACD三填空12.【答案】/13.614.2x四解答15.15．（13分）菱形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為邊所在直線過(guò)點(diǎn).(1)求邊所在直線的方程；(2)求對(duì)角線所在直線的方程.【答案】(1)；(2).解析：（1）因?yàn)榈娜齻€(gè)頂點(diǎn)為，所以直線的斜率為，所以邊上的高所在直線的斜率為，所以直線的方程為，化為一般式方程為；（2）因?yàn)?，所以的中點(diǎn)為，又因?yàn)?，所以直線的斜率為，所以直線的點(diǎn)斜式方程為，化為一般式為.16．如圖，三棱柱，為的中點(diǎn)，，設(shè)(1)試用表示向量；(2)若，異面直線與所成角的余弦值．【答案】(1)(2)解析：（1）因?yàn)镈為中點(diǎn)，所以，由．所以，所以．（2）由題意知，，所以，，，所以，所以異面直線AE與所成角的余弦值為．17．（15分）已知空間向量，，.(1)若，求；(2)若，求的值.解析：（1）空間向量，，，因?yàn)椋源嬖趯?shí)數(shù)k，使得，所以，解得，............................................................4分則．............................................................7分（2）因?yàn)?，則，解得，所以，........................11分故．............................................................15分18．如圖，在三棱柱中，，點(diǎn)D為棱AC的中點(diǎn)，平面平面，，且．（1）求證：平面ABC；（2）若，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）解析：（1）如圖，連接．因?yàn)閭?cè)面為菱形，且，所以為等邊三角形，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面平面，所以平面ABC．（2）由（1）的過(guò)程可知，可以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DB，DC，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz．不妨設(shè)，由題可知，，，，．由，可得．設(shè)平面的法向量為，而，，則有,取，得．設(shè)平面的法向量為，而，，則有，取，得．設(shè)平面與平面夾角為，則，所以，即平面與平面夾角的正弦值為．19．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M為PC的中點(diǎn)．（1）求證：BM//平面PAD．（2）平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使MN⊥平面PBD？若存在，確定點(diǎn)N的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在；N為AE的中點(diǎn)．解析：（1）證明：取PD的中點(diǎn)E，連接EM，AE，則有且，而且，∴，.∴四邊形ABME是平行四邊形，即BM∥AE．∵AE?平面PAD，BM?平面PAD，∴BM∥平面PAD．（2）解：當(dāng)N為AE的中點(diǎn)時(shí)，MN⊥平面PBD．理由如下：∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，即A