2024學年第一學期位育中學期中考試試卷答案

2024學年第一學期位育中學期中考試試卷高三年級數(shù)學學科(考試時間120分鐘，總分150分)一、填空題(本大題共有12題,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分,滿分54分)1.已知集合A=(0,4),B=(1,5),則A∩B=.2.拋物線y2=8x的準線方程為.3.不等式x?1x+2≥0的解集為4.若正數(shù)a、b滿足a+2b=1,則ab的最大值為.5.已知復數(shù)z=2?ii(i為虛數(shù)單位)，則.6.已知fx=2x,x<1log2x,x≥17.若不等式2kx2+2kx?3<0對一切實數(shù)都成立，則實數(shù)的取值范圍是.8.已知點A(-2,3),B(1,-1),則OA在OB方向上的投影為.9.若1?x6=a0+a1x+IO.設無窮等比數(shù)列的公比q=?12,a1=1,11.日常生活中，較多產(chǎn)品的包裝盒呈長方體形狀，烘焙店的包裝盒如圖所示，在長方體ABCD?A?B?C?D?中,AB=3,BC=2,AA?=1.店員認為在彩繩扎緊的情況下，按照圖A中H?E?E??F??F?G?G??H??H的方向捆扎包裝盒會比按照圖B中的十字捆扎法更節(jié)省彩繩(不考慮打結(jié)處的用繩量和彩繩的寬度).則圖A比圖B最多節(jié)省的彩繩長度為.12.已知實數(shù)x?,x?,y?,y?滿足:x12+y12=1，二、選擇題(本大題共有4題,第13-14題每題4分,第15-16題每題5分,滿分18分)13.已知a∈R,則“”是”的（）A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件14.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()A.B.C.y=x3+xD.y=?1x15.已知集合M={(x,y)|},若對于任意實數(shù)對x?y?∈M,存在x?y?∈M,使①M=④M=xy|y=sinx+1.其中是“垂直對點集”的序號的個數(shù)為(A.0B.1C.2D.316.數(shù)列中,是數(shù)列的前項和,若對任意正整數(shù),總存在正整數(shù),使得S?=a?,則稱數(shù)列為“P數(shù)列”，現(xiàn)有如下兩個命題：①等比數(shù)列為“P數(shù)列”;②對任意的等差數(shù)列，總存在兩個“P數(shù)列”和,使得a?=b?+c?。則下列選項中正確的是()A.①為假命題，②為真命題B.①為真命題，②為假命題C.①為真命題，②為真命題D.①為假命題，②為假命題三、解答題(本大題共有5題，滿分78分)17.(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.如圖，在圓柱中，底面直徑AB等于母線AD，點E在底面的圓周上，點F在線段DE上.(1)求證:AF⊥BE;(2)若點E是的中點，求直線DE與平面ABD所成角的大小.【解析】：(1)聯(lián)結(jié)BE,AE,則BE⊥AE,又∵DA⊥平面ABE,∴BE⊥DA,AE∩DA=A,

∴BE⊥平面ADE,AF?平面ADE,

∴BE⊥AF.

(2)據(jù)題知,EH⊥AB,平面ABCD∩平面ABE=AB18.(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.已知向量a=3sinx(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;(2)在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c.若fA=1,b=4,△ABC的面積為【解析】：(1)因為a=(b則f得?π3+kπ≤?(2)因為f(所以sin?2A+π6=12,

又0<A<∵所以c=2,

a219.(本題滿分14分)本題共有3個小題，第1小題4分，第2小題4分，第3小題6分.某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務的兩種新的生產(chǎn)方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式，完成生產(chǎn)任務的工作時間不超過70分鐘的工人為“優(yōu)秀”，否則為“合格”。根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務的工作時間（單位：分鐘）繪制了如下莖葉圖：求40名工人完成生產(chǎn)任務所需時間的第75百分位數(shù)；獨立地從兩種生產(chǎn)方式中各選出一個人，求選出的兩個人均為優(yōu)秀的概率；為了解該工廠職工的基本信息，從工廠中抽取了100個職工的體重數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)全部介于45公斤到75公斤之間，現(xiàn)將100個體重數(shù)據(jù)分為6組:第一組[45,50),第二組[50,55),……,第六組[70，75），得到如圖所示的頻率分布直方圖.其中第一組有2人,第二組有13人。求與的值.【解析】(1)40名工人完成生產(chǎn)任務所需時間按從小到大排列

為:

61,61,62,63,63,65,65,67,68,69,70因為40×75%=30

所以第75百分數(shù)為87+902=88.5;

（2）由題意可知，第一種生產(chǎn)方式中優(yōu)秀的概率為2所以選出的兩個人均為優(yōu)秀的概率為110；；；；20.(本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分.已知橢圓Γ：x26+(1)求Γ的離心率;(2)設點N(1,0),點M在Γ上,求|MN|的最大值和最小值;(3)設點T(2,1),點P為直線上的動點,過點P且與OT平行的直線與Γ交于A、B兩點.試探究：是否為存在常數(shù)λ，使得|PA?PB|=λ|【詳解】(1)設Γ的半長軸長為a，半短軸長為b，半焦距為c，

則a=6,b=3,則c=3,所以=c則|MN|=(x?1)2+y2=(x?1)2+3?x22=12易得kOT=12,則直線/為y?(3?a)=12(x?a),即y=12x+3?32a,

而|PT|2=(a?2)2+(3?a?1)2=2(a?2)2,(本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分.設函數(shù)的定義域為R,其導函數(shù)為。若存在區(qū)間及實數(shù)滿足:對任意,都有恒成立,則稱函數(shù)為上的“函數(shù)”。(1)判斷函數(shù)是否為上的函數(shù),并說明理由;(2)已知實數(shù)滿足：函數(shù)y=x2+mx+1為上的函數(shù),求的取值范圍;(3)已知函數(shù)存在最大值.對于以下兩個命題，P:對任意,都有與恒成立;Q:對任意正整數(shù),滿足函數(shù)都是上的函數(shù);判斷P是否為Q的充要條件，并說明理由.【解析】21.【答案】(1)設定義域為R的函數(shù)y=f(導,導函數(shù)為y=f′(x).

若區(qū)間及實數(shù)則稱函數(shù)y=f(??????????????????????????.????????3\???????????????????????∵,在時恒成立,

∴y=是上的M(2)函數(shù).(3)若P成立,則對任意正整數(shù)n,有:f即y=f(x)為R上的M(n若Q成立,即對任意正整數(shù)n,有:f記函數(shù)y=f