1.1.1 空間向量及其線性運算(分層練習)（解析版）

第一章空間向量與立體幾何1.1.1空間向量及其線性運算精選練習基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇在空間四邊形OABC中，OA+AB+A．OA B．AB C．OC D．AC【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的加法運算法則，即可求解.【詳解】OA+AB+在三棱錐A?BCD中，若△BCD是正三角形，E為其重心，則AB+12【答案】0【分析】首先根據(jù)幾何關(guān)系，轉(zhuǎn)化向量再進行運算可得答案.【詳解】延長DE交邊BC于點F，則DE=2EF，則有AB+12故AB+12在平行六面體ABCD?A1B1CA．BC+BBC．AD?AB+【答案】ABC【分析】作出平行六面體ABCD?A【詳解】解:如圖所示：

A中，BC+BB中，A1C中，AD?D中，B1故選:ABC．下列命題中，正確命題的個數(shù)為（

）①若a//b，則a與②若AB=CD，則A，B，C，③若a，b不共線，則空間任一向量p=λa+μA．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】舉特例否定①；利用向量共線的定義否定②；依據(jù)共面向量基本定理否定③.【詳解】當a=0，b≠0時，a//當AB=CD時，A，B，C，當a，b不共線時，當且僅當p,a,b共面時才滿足（多選）下列命題正確的是（

）A．空間中所有的單位向量都相等B．若a=bC．若a，b滿足a>b，且a，bD．對于任意向量a，b，必有a【答案】BD【分析】根據(jù)向量的基本概念即可求解.【詳解】對于A：向量相等需要滿足兩個條件：長度相等且方向相同，缺一不可，故A錯；對于B：根據(jù)平行向量和相等向量的定義可知B正確；對于C：向量不能比較大小，故C錯；對于D：根據(jù)向量的模的三角不等式知a+（多選）下列命題為真命題的是（）A．若空間向量a，b滿足a＝bB．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，必有AC＝AC．若空間向量m，n，p滿足m=n，nD．空間中，a//b，b【答案】BC【分析】由向量相等的條件和向量共線的定義判斷各個選項.【詳解】對于A，兩個向量相等，但方向不一定相同，不能得到a=對于B，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，AC與A1C1長度相等，方向相同，有AC對于C，空間向量m，n，p滿足m=n，n=p，即m與n長度相等方向相同，則有m與p長度相等方向相同，有m=對于D，b=0時，滿足a//b，故選：BC（多選）下列命題中錯誤的是（

）A．|a|?|bB．若A,B,C,D是空間任意四點，則有ABC．若AB,CDD．對空間任意一點O與不共線的三點A,B,C，若OP=xOA+yOB+z【答案】ACD【分析】根據(jù)向量共線的性質(zhì)可判斷CA，由向量的線性運算即可判斷B，根據(jù)共面定理的推論即可判斷D.【詳解】對于A，當a,b方向相同的共線時，此時|a|?|b對于B,AB+對于C，AB,CD共線，有可能A,B,C,D四點在同一條直線上，所以不能得到對于D，對空間任意一點O與不共線的三點A,B,C，若OP=xOA+yOB+zOC（其中如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，當λ=1時，點P在棱BB1上B．當μ=1時，點P在棱B1C．當λ+μ=1時，點P在線段B1CD．當λ=μ時，點P在線段BC【答案】BCD【分析】由空間向量共線定理逐一判斷即可求解【詳解】當λ=1時，BP=BC+μ則CP//BB1，即同理當μ=1時，則B1P//BC，故當λ+μ=1時，μ=1?λ，所以BP=λBC+故點P在線段B1當λ=μ時，BP=λBC+BB故選：BCD．已知O、A、B、C、D、E、F、G、H為空間的9個點（如圖所示），并且OE=kOA，OF=kOB，OH=kOD，【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)題意，由向量的線性運算可得EG=k【詳解】∵OE=kOA，OFEG=kOD∴AC//EG，因為AC、EG提升篇提升篇設(shè)向量e1，e2，e3不共面，已知AB=e1+e2+e3，BC=A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)A，C，D三點共線，可得AC//CD，則存在唯一實數(shù)μ，使得【詳解】由AB=e1得AC=因為A，C，D三點共線，所以AC//則存在唯一實數(shù)μ，使得AC=μCD，則2=4μ1+λ=8μ2=4μ，解得若點P∈平面ABC，且對空間內(nèi)任意一點O滿足OP=14OA+λA．?58 B．?38 C．【答案】D【分析】根據(jù)條件得出P，A，B，C四點共面，再根據(jù)OP=14【詳解】∵P∈平面ABC，∴P，A，B，C四點共面，又OP=14OA+λOB+18或者根據(jù)∵P∈平面ABC，∴P，A，B，C四點共面，則存在實數(shù)x,y，使得PA=x即OA?又4OP=OA+4λOB+如圖，設(shè)O為平行四邊形ABCD所在平面外任意一點，E為OC的中點，若OE=12OD+xA．?2 B．0 C．?1 D．3【答案】B【分析】根據(jù)向量的線性運算的幾何表示，得出OE=【詳解】∵E為OC的中點，∴OE∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴DC∴OE∵OE→=12OD→已知O為空間任意一點，A,B,C,P四點共面，但任意三點不共線．如果BP=mOA+OB+A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】A【分析】由題設(shè)條件推得OP=mOA【詳解】因為BP=OP?得OP?OB=m因為O為空間任意一點，A,B,C,P滿足任意三點不共線，且四點共面，所以m+2+1=1，故m=?2.故選：A.（多選）給出下列命題，其中正確的命題為（）A．若AB=CD，則必有A與C重合，B與D重合，AB與B．若AD=1C．若Q為△ABC的重心，則PQD．非零向量a，b，c滿足a與b，b與c，c與a都是共面向量，則a，b，c必共面【答案】BC【分析】根據(jù)向量相等不能得出線段相等判斷A選項，根據(jù)向量減法得出判斷B選項，根據(jù)重心性質(zhì)得出向量關(guān)系判斷C選項，應(yīng)用特殊向量判斷共面判斷D選項.【詳解】在平行四邊形ABDC中，滿足AB=CD，但不滿足A與C重合，B與D重合，AB與因為AD=13AC+23AB，所以3AD若Q為△ABC的重心，則QA+QB+QC=0，所以在三棱柱ABC?A1B1C1中，令AB=a，AC=b，AA1=c，滿足a與b，故選：BC.（多選）在下列條件中，使M與A，B，C不一定共面的是（）A．OM=3OA?2C．MA+MB+【答案】ABD【分析】根據(jù)各項中向量之間的線性關(guān)系，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合法判斷M與A，B，C是否存在不共面的情況即可.【詳解】A：OM+2OB+OC=3

由|OB|,|OC|,|OMB：OM+OA=?此時，M與A，B，C不共面，滿足；C：因為MA+MB+MC=0，所以MA=?MB?MCD：4(OM+OA此時，M與A，B，C不共面，滿足；故選：ABD如圖，四棱錐P?ABCD的底面是邊長為1的正方形，E是棱PD上的點，且PE=3ED，若PF=λPC，且滿足BF//平面ACE，則λ=（

A．23 B．32 C．33【答案】A【分析】連接BD，交AC于點O，連接OE，利用中位線性質(zhì)和線面平行的判定證明BG//平面ACE，結(jié)合BF//平面ACE，則證明平面BGF//平面ACE，再利用利用面面平行的性質(zhì)則有GF【詳解】如圖，連接BD，交AC于點O，連接OE，則BO=OD，在線段PE取一點G，使得GE=ED，則G是PD的中點，PGPE連接BG，F(xiàn)G，則BG//因為OE?平面ACE，BG?平面ACE，所以BG//平面ACE.因為BF//平面ACE，BG∩BF=B，BG，BF?平面BGF，所以平面BGF//平面ACE因為平面PCD∩平面ACE=EC，平面PCD∩平面BGF=GF，所以GF//所以PFPC=PGPE=《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在陽馬P?ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=1，AD=1，CD=2，則下列結(jié)論正確的有（

）A．四面體P?ACD是鱉臑B．陽馬P?ABCD的體積為2C．若BQ=2D．D到平面PAC的距離為2【答案】BCD【分析】由△PAC不是直角三角形否定選項A；求得陽馬P?ABCD的體積判斷選項B；以DA，DC，DP為基底表示向量DQ進而判斷選項C；求得【詳解】A錯，連接AC，則△PAC中，PA=2則△PAC不是直角三角形，則四面體P?ACD不是鱉臑；B對，VP?ABCD=C對，DQD對，設(shè)D到平面PAC的距離為d，又S△PAC由13?32?d=13×故選：BCD已知長方體ABCD?A1B1C1D1的棱AB=AD=2，AA1=1，點P滿足：

A．當λ=1，γ=0時，P到A1DB．當μ=1時，點P的到平面BDDC．當λ=0，μ=1時，直線PB與平面ABCD所成角的正切值的最大值為2D．當λ=μ=1，γ=12時，四棱錐P?B【答案】CD【分析】根據(jù)向量的線性關(guān)系確定P所在的位置或區(qū)域，結(jié)合長方體的結(jié)構(gòu)求點線、點面距離，根據(jù)線面角的定義求直線PB與平面ABCD所成角的最大正切值，求棱錐外接球的半徑，進而求外接球的表面積.【詳解】A：AP=AB+μAD，則μAD=AP所以P到A1D1的距離為3，即棱BC與AB：AP=λAB+AD+γAA所以，當P在CC1上時，P的到平面而CC1//DD1，CC1?面BDD所以，由長方體結(jié)構(gòu)特征，最大值問題化為C到BD的距離?，BD=22，則?=C：AP=AD+γAA1，則根據(jù)長方體的結(jié)構(gòu)易知：當P與D1重合時，直線PB與面ABCD所成角正切值的最大值為DD：AP=AB+AD+12如下圖，PB=PD=PD1=P

所以P?BB1DD1的底面為矩形，頂點P在B故P?BB1DD1外接球的球心O所以PE=P